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  1. 1. AnalyseDidier Müller, janvier 2012 www.nymphomath.ch
  2. 2. Table des matières1. Limites1.1. Les limites dans la vie courante.....................................................................................................................................11.2. Exemple introductif.......................................................................................................................................................21.3. Définition et notations...................................................................................................................................................31.4. Opérations sur les limites..............................................................................................................................................41.5. Calcul de limites quand x → a, a fini............................................................................................................................41.6. Calcul de limites quand x → ∞......................................................................................................................................51.7. Une limite célèbre..........................................................................................................................................................71.8. Ce quil faut absolument savoir.....................................................................................................................................72. Continuité2.1. Continuité en un point...................................................................................................................................................92.2. Continuité sur un intervalle...........................................................................................................................................92.3. Opérations sur les fonctions continues........................................................................................................................102.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues........................................................................................112.5. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................123. Dérivées3.1. Un peu dhistoire..........................................................................................................................................................133.2. Définition de la dérivée...............................................................................................................................................133.3. La dérivée seconde......................................................................................................................................................173.4. Dérivées de fonctions usuelles....................................................................................................................................193.5. Règles de dérivation....................................................................................................................................................193.6. Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables...............................................................................................................213.7. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................244. Applications des dérivées4.1. Calculs de tangentes à des courbes..............................................................................................................................254.2. Problèmes de taux daccroissement.............................................................................................................................284.3. Problèmes doptimisation.............................................................................................................................................294.4. Méthode de Newton-Raphson.....................................................................................................................................324.5. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................325. Étude de fonctions5.1. Asymptotes..................................................................................................................................................................335.2. Points fixes..................................................................................................................................................................335.3. Croissance et concavité (rappels)................................................................................................................................345.4. Méthode.......................................................................................................................................................................355.5. Un exemple complet....................................................................................................................................................355.6. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................386. Étude de courbes paramétrées6.1. Définitions...................................................................................................................................................................396.2. Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajous.............................................................................................396.3. Asymptotes..................................................................................................................................................................406.4. Dérivées et points particuliers.....................................................................................................................................416.5. Méthode.......................................................................................................................................................................416.6. Deux exemples complets.............................................................................................................................................426.7. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................45
  3. 3. 7. Intégrales7.1. Un peu dhistoire..........................................................................................................................................................477.2. Calcul daire.................................................................................................................................................................477.3. Définition de lintégrale définie...................................................................................................................................487.4. Le théorème fondamental du calcul intégral...............................................................................................................497.5. Recherche de primitives..............................................................................................................................................507.6. Retour au problème du calcul daire............................................................................................................................537.7. Calcul de lintégrale définie.........................................................................................................................................547.8. Intégrales impropres....................................................................................................................................................557.9. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................568. Applications des intégrales8.1. Aire entre deux courbes...............................................................................................................................................578.2. Volume dun solide de révolution................................................................................................................................588.3. Longueur dune courbe plane.......................................................................................................................................598.4. Aire dune surface de révolution..................................................................................................................................608.5. Mouvement rectiligne..................................................................................................................................................618.6. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................629. Équations différentielles9.1. Introduction.................................................................................................................................................................639.2. Léquation y = f(x).......................................................................................................................................................639.3. Léquation à variables séparables y⋅ g(y) = h(x)........................................................................................................649.4. Léquation homogène y =g y x ..............................................................................................................................649.5. Léquation linéaire y + p(x)⋅ y = q(x)..........................................................................................................................659.6. Applications des équations différentielles dordre 1....................................................................................................659.7. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................67
  4. 4. LIMITES 11. Limites1.1. Les limites dans la vie courante La notion de vitesse, et en particulier la vitesse dun objet à un instant précis, est,Vitesse instantanée étonnamment, subtile et difficile à définir précisément. Considérez cette affirmation : « À linstant où le cheval a franchi la ligne darrivée, il galopait à 64 km/h ». Comment peut-on étayer une telle affirmation ? Une photographie ne serait daucune aide, puisque sur le cliché, le cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de quantifier le mouvement à un moment précis puisquen se focalisant sur un seul instant on stoppe le mouvement ! Rappelons que la vitesse est la distance parcourue ∆x divisée par le temps ∆t quil a fallu pour la parcourir. Pour avoir la vitesse instantanée, on choisira  t 0 . On ne peut pas prendre ∆t = 0, puisquon aurait une division par 0. La vitesse instantanée est donc une limite. Zénon dElée Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de Zénon et dautres (Elée, env. −490 − philosophes dès le 5ème siècle avant Jésus Christ. Lapproche moderne, rendue célèbre Elée, env. −425) par Newton, ne considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit intervalle de temps contenant cet instant. On a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente dune droite.Pente dune courbe Quen est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente dune courbe nest pasen un point constante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, la pente nest pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que dautres. Comme la pente dune droite est le déplacement vertical ∆y divisé par le déplacement horizontal ∆x, la pente en un point précis dune courbe sera obtenu en choisissant  x 0 , autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe. La pente dune courbe en un point est donc elle aussi une limite. La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement dune fonction au voisinage dun trou ou dun bord de son domaine de définition. Voisinage dun trou Voisinage dun bord du domaineDidier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  5. 5. 2 CHAPITRE 11.2. Exemple introductif sin  x Soit la fonction f  x= dont nous allons étudier le comportement au voisinage x 0 de a = 0, car elle est indéfinie en ce point, puisquon aurait . 0 Méthode numérique La méthode numérique consiste à construire un petit tableau de valeurs. Dans notre cas, on se rapprochera de 0 en venant depuis la gauche (i.e. en prenant des nombres plus petits que 0) et depuis la droite (i.e. en prenant des nombres plus grands que 0). Daprès le tableau ci-dessous, il semblerait que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est 1. Attention ! Dans les méthodes numériques, les angles sont toujours exprimés en radians ! gauche  a  droite x –0.1 –0.01 –0.001 –0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 0.1 f(x) 0.99833 0.99998 0.99999 0.99999 indéfini 0.99999 0.99999 0.99998 0.99833 Méthode géométrique Nous allons prouver que le résultat de lanalyse numérique est exact par une méthode géométrique ad hoc. D Regardons le dessin ci-contre. B Aire du triangle OCB ≤ Aire du secteur OCB ≤ Aire du triangle OCD, ta n x doù : 1 2 x 1 ⋅1⋅sin  x⋅1 ⋅  ⋅1⋅tan  x s in x 2 2 2 x Après simplifications : 0 A C sin  x x tan x 1 Après division par sin(x) (daprès le dessin sin(x) > 0) :Larc de cercle BC est une portion du x 1cercle trigonométrique (de rayon 1). 1  sin  x cos  x Puis en inversant tout : sin  x 1 cos  x x Comme on fait tendre x vers 0, cos(x) tend vers 1 et il résulte que : sin  x 1 1 x On vient de démontrer que, en venant depuis la droite (puisque langle x est positif), la limite de la fonction f(x) tend vers 1. On remarque rapidement que le résultat est le même en venant depuis la sin − x sin  x gauche (i.e. x < 0), puisque = et cos(–x) = cos(x). −x x Comme la limite à gauche est égale à la limite à droite, on dit que la limite existe et quelle est égale à 1. sin  x On lécrit : lim =1 x 0 x Remarque importante Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, on dit que la limite nexiste pas.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  6. 6. LIMITES 3 sin  x Graphe de , avec un trou en x = 0 x1.3. Définition et notations Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. Elle peut ne pas être définie en a. La limite de f en a est le nombre vers lequel se rapproche la valeur de f(x) quand x se rapproche aussi près quon veut de a, mais avec x ≠a. Notations Il existe de nombreuses notations pour indiquer les limites à gauche et à droite. Voici celle que nous utiliserons : Limite à gauche Limite à droite lim f x = L lim f  x= L x a x a xa xa Rappelons encore une fois que lim f x = L ⇔ lim f  x= L et lim f  x=L . x a xa x a xa xa {Exercice 1.1 – 1 si x  1 Soit la fonction f(x) = 2 si x = 1 3 si x  1 Donnez : a. lim f x  b. lim f x  c. lim f x  d. f(1) x 1 x 1 x 1 x1 x1Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  7. 7. 4 CHAPITRE 11.4. Opérations sur les limites Si f et g admettent des limites finies quand x  a , avec a fini ou infini, alors : lim  k⋅f  x=k⋅lim f  x , où k est un nombre réel x a xa lim  f  x g  x=lim f  xlim g x (idem pour « – ») x a xa x a lim  f  x⋅g  x=lim f  x⋅lim g  x x a xa xa lim f  x f  x x  a lim = si lim g x≠0 x a g x lim g  x x a xa n x a  lim  f  x= n lim f  x x a On va maintenant classer les limites en différentes catégories, puis on développera des techniques de résolution pour chacune de ces catégories. On cherchera dabord des limites quand x tend vers un nombre fini, puis quand x tend vers linfini.1.5. Calcul de limites quand x → a, a finiLimites de fonctions Introduisons dabord une définition intuitive de la continuité :continues en a « Une fonction est continue dans un intervalle si on peut la dessiner dun bout à lautre de lintervalle sans lever le crayon. » Si f est continue en a, la limite en a est égale à limage de a. 2 2 Exemples lim 3 x x =3⋅ 5=80 5 x 5 lim sin  x=sin x  3  3 3 = 2 N  xLimite du quotient Soit la fonction f  x= D xde deux fonctions1er cas : c1 Si lim N  x=c1 et lim D  x=c 2≠0 , alors lim f  x= .dénominateur non nul x a x a x a c22ème cas : Seule une des trois réponses suivantes est possible :numérateur non nul et 1. lim f  x=∞dénominateur nul x a 2. lim f  x=−∞ x a 3. lim f  x nexiste pas car lim f  x≠lim f  x x a x a x a xa xa Pour déterminer la bonne réponse, il faut donc comparer la limite à gauche et la limite à droite. Si elles sont égales, la bonne réponse sera la 1. ou la 2. Si elles sont différentes, la bonne réponse sera la 3. Si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0, on a une forme indéterminée.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  8. 8. LIMITES 53ème cas : a. N(x) et D(x) sont des polynômesnumérateur et Si N(a) = 0, N(x) est divisible par (x–a) et si D(a) = 0, D(x) est aussi divisible pardénominateur nuls (x–a). On peut donc simplifier la fraction par (x–a). 2 x – 5 x6  x−2 x−3 x−3 1 Exemple : lim =lim =lim =− x – x – 2 x  2  x−2 x1 x  2 x1 2 x2 3 b. N(x) et D(x) ne sont pas des polynômes Dans certains cas on peut simplifier. Exemple : lim  x – 2 =lim x–2 =lim 1 = 1 x4 x –4 x4   x−2  x 2 x  4  x 2 4 Dans dautres cas, il faut une autre méthode, par exemple numérique ou géométrique (voir lexemple introductif). Nous verrons dans le chapitre 3, consacré aux dérivées, le théorème de lHôpital, qui pourra être utilisé dans un pareil cas. Calculez, si elles existent, les limites suivantes :Exercice 1.2 2 2 2 x –2 x 2 x x – 1 3 x – 2 x 2 1. lim 2. lim 3 3. lim x 0 x x – 1 x 1 x 0 x1 2 2 2 x 2 x – 15 x 2 x – 15 x 2 x – 15 4. lim 2 5. lim 2 6. lim 2 x – 5 x 8 x15 x3 x 8 x15 x−3 x 8 x15 2 2 2 x – 2 x1 x 1 x – 3 x2 7. lim 8. lim 9. lim x  2 ∣x – 4∣ 2 2Aide pour les ex. 13-16 : x 1 x –1 x2 x – 4 x 4 x2  a  b  a –  b=a – b 2 2 2 x – 3 x2 x – 5 x6 x x – 2 10. lim 2 11. lim 2 12. lim 2Remarque utile pour les x2 x – 4 x 4 x3 2x –6x x 1  x – 1 x2calculsQuand x≈0, alors sin(x) ≈x 13. lim x –1 14. lim  x 2 x –  2 15. lim x–5et tan(x) ≈x. x 1 x –1 x 1 x –1 x 5  2 x –1 – 3 2Attention, cela ne marche que x sin 2 x sin 2 x 16. lim 17. lim 18. limquand x est proche de 0 ! x 0  x 1 – 1 2 x 0 x x 0 sin 3 x  sin  x –1 sin  x xAide pour les ex. 23-24 : 19. lim 20. lim 2 21. lim 2 x 1 x–1 x 0 2 x x x 1  x – 1comparer les limites à gaucheet à droite tan3 x ∣x∣ ∣x−2∣ 22. lim 23. lim 24. lim 2 x 0 3x x 0 x x2 x −3 x21.6. Calcul de limites quand x → ∞ Quand on divise un nombre fini par un nombre tendant vers linfini, le résultat tend versPrincipe du gâteau zéro.danniversairePlus le nombre dinvitésest grand, plus la part degâteau est petite.Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  9. 9. 6 CHAPITRE 1 Théorème 1Limite dunefonction polynôme En +∞ (respectivement –∞), toute fonction polynôme a la même limite que son terme de degré le plus élevé.quand x → ∞ Démonstration n n– 1 n –2 lim  an x an – 1 x an – 2 x a 1 xa0  = x ∞ n a n – 1 1 an – 2 1 a1 1 a0 1 n lim an x 1    =lim a x x ∞ an x  a n x2 a n x n−1  x  ∞ n  a n xn 0 0 0 0 Théorème 2Limite dunefonction rationnelle En +∞ (respectivement –∞), toute fonction rationnelle a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.quand x → ∞ En effet, daprès le théorème 1 : { 0 si n  m n n–1 n a n x a n – 1 x a1 xa0  an x an lim m m– 1 =lim m = si n = m x ∞ bm x bm – 1 x b1 xb0  x ∞ bm x bn ∞ ou – ∞ si n  m 0Formes Des expressions du type « », « 0⋅∞ », « ∞ », « ∞−∞ » sont dites indéterminées. ∞ 0indéterminées Lorsquun calcul de limites conduit à une forme indéterminée, on ne peut pas conclure  x =∣x∣ 2 immédiatement ; il faut généralement faire quelques transformations en utilisant par exemple les formules que vous trouverez dans la marge. Exemples ∣x∣ = { x si x0 – x si x  0 a. lim   x 24 x 4 – x  = lim    x2 – x = lim ∣x2∣ – x = 2 x∞ x∞ x∞ lim  x2 – x = 2 lim  x 2b xc = x∞ x ∞ lim x x ∞ ∣ b∣ 2 b. lim   x 2−2 x 42 x = lim    x−1232 x = x−∞ x−∞Refaites les deux exemplesci-contre en utilisant latroisième formule ! x−∞  lim   x−1  1 2  3  x−1  2 2 x = lim ∣x−1∣ 1 x−∞  3  x−1 2  2 x = 0 lim ∣x−1∣ 2 x = lim − x12 x = lim  x1 = –∞. x−∞ x−∞ x−∞ Calculez, si elles existent, les limites suivantes :Exercice 1.3 2 2 2 2x –3x 3 x – x1 2x – x 1. lim 2 2. lim 3 3. lim x∞ 3 x – 5 x1 x−∞ x x x−∞ x2 3 2 2 2 x 3 x  x−1 x −4 x3 4. lim 2 5. lim 2 6. lim 2 x∞ x –1 x∞ x 3 x x∞ 2 x 5 7. lim 2 x −5 x6 8. lim  x 2−3− x 9. lim  x 2−4x3 2 x−∞ 2 x −6 x x−∞ x x∞ x1 10. lim  x –  x2 1 11. lim 2 x x 21 x∞ x−∞Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  10. 10. LIMITES 71.7. Une limite célèbre Dans le chapitre consacré aux logarithmes, nous avions déjà vu cette limite célèbre, qui est la définition du nombre e (dont la valeur est 2.718281828459...) : x x lim 1 x∞  1 x =e . De plus, on a aussi lim 1 x−∞   1 x =e . Cest ici loccasion de remarquer que lon peut facilement se tromper en faisant desOù est la faute de raisonnements qui semblent justes. On pourrait en effet se dire que quand x tend versraisonnement ? linfini, 1/x tend vers 0, et quil reste alors 1 puissance infini, donc 1. Or, ce nest pas la réponse exacte. Aussi est-il toujours prudent de vérifier sa réponse par une petite analyse numérique. 1Remarquez bien que On a aussi : lim 1 y y =e .quand x → ±∞, y → 0, y0 1 1puisque y= . En effet, en substituant y par , on retrouve la première limite. x x Calculez, si elles existent, les limites suivantes :Exercice 1.4 x5 3x xIl faut utiliser les opérations 1. lim 1 x∞  1 x 2. lim 1 x∞   1 x 3. lim 1 x∞  2 xdu § 1.4 et parfois travailler x x   1par substitution pour seramener à la définition de e. 4. lim 1− x∞  1 x 5. lim 1 – 4 x x x 0 6. lim x∞ x 1 x x1 7. lim x∞   x3 x−1 8. lim 13 tan 2  xcot x 0 2 x 1.8. Ce quil faut absolument savoirConnaître les définitions de limite, limite à gauche, limite à droite t ok sin  xSavoir prouver que lim =1 t ok x 0 xSavoir résoudre les types de limites vus dans ce chapitre t okDidier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
  11. 11. 8 CHAPITRE 1Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
  12. 12. CONTINUITÉ 92. Continuité des fonctions2.1. Continuité en un point Définition On dit quune fonction f est continue en x = a si les trois conditions suivantes sont satisfaites : - f(a) existe dans ℝ , - les limites à gauche et à droite existent dans ℝ et sont égales, - les limites à gauche et à droite sont égales à f(a). Version courte, mais équivalente : f est continue en a si lim f x = f  a . x a Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ? 2 x – x– 2 a. f  x= x –2 On remarque que f(2) nest pas défini, ce qui entraîne que f est discontinue en 2. { 2 x – x– 2 si x≠2 b. f(x) = x– 2 1 si x=2 2 x – x–2  x – 2 x1 Comme f(2) = 1, f est définie en 2, et lim =lim =3 existe, x2 x–2 x 2 x–2 mais lim f x ≠ f 2  . x 2 Donc, f est discontinue en 2. { 1 si x≠0 c. f(x) = x 2 1 si x=0 1 Comme f(0) = 1, f est définie en 0, mais lim f x =lim 2 =∞ . x 0 x 0 x Aussi, f est discontinue en 0. d. f(x) = [x] La fonction partie entière f(x) = [x] présente une discontinuité en chaque valeur entière de x parce que lim [ x ] nexiste pas si n est un entier. x n2.2. Continuité sur un intervalle Définition graphique Donnons tout dabord une définition graphique intuitive : « Une fonction f est continue si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon. »Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
  13. 13. 10 CHAPITRE 2 Continuité à gauche et Une fonction est continue à droite en un nombre a si lim f x = f  a et continue à x a continuité à droite xa gauche en un nombre a si lim f x = f  a . x a xa Esquissez le graphe dune fonction qui est continue partout sauf en x = 3, et qui estExercice 2.1 continue à gauche en 3. Un parking fait payer 2 francs pour la première heure (ou fraction dheure) et 1 francExercice 2.2 pour chaque heure suivante jusquà un maximum journalier de 10 francs. a. Représentez graphiquement ce tarif de parking en fonction du temps. b. Remarquez les discontinuités de cette fonction et expliquez leur signification à quelquun qui met sa voiture dans ce garage. Continuité sur un On dit quune fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point intervalle de lintervalle. Aux extrémités de lintervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.Rappel Toutes les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :Une fonction est une règle qui - polynomiales (elles sont continues dans ℝ )assigne à chaque élément x - rationnellesdun ensemble A exactement - racinesun élément, noté f(x), dun - trigonométriquesensemble B. Lensemble A est - trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan, arccot)appelé le domaine de - exponentiellesdéfinition de la fonction. - logarithmes Attention ! Une fonction continue sur son domaine de définition nest pas forcément continue dans ℝ . Par exemple, tan(x) est continue sur son domaine de définition, mais pas dans ℝ .2.3. Opérations sur les fonctions continues Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ; soit un réel a ∈ I. Si les fonctions f et g sont continues en a, alors 1. λ·f est continue en a ( ∈ℝ ), 2. f + g est continue en a (idem pour « – »),Chacun de ces résultatsdécoule de la loi des limites 3. f·g est continue en a,correspondante f 4. est continue en a si g(a) ≠ 0 et discontinue si g(a) = 0.(voir chapitre 1, § 1.4) g 5. Si une fonction g est continue au point a et une fonction f est continue au point g(a), alors f °g est continue en a. ln  xarctan  x Où la fonction f  x= 2 est-elle continue ? x –1 La fonction y = ln(x) est continue pour x > 0 et y = arctan(x) est continue sur ℝ . Il sensuit que la fonction ln(x) + arctan(x) est continue sur ]0 ; +∞[, daprès la règle 2. La fonction du dénominateur est polynomiale et donc partout continue. Dautre part, x2 − 1 est nul quand x = 1 et x = −1. Finalement, f est continue sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
  14. 14. CONTINUITÉ 11 Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont discontinues pour la valeur de aExercice 2.3 donnée. Dessinez le graphe de ces fonctions. 2 x –1 a. f(x) = a = −1 x1 { 2 x −1 si x≠−1 b. f(x) = x1 a = −1 6 si x=−1 { 2 x −2 x−8 c. f(x) = si x≠4 a=4 x−4 3 si x=4 d. f(x) = {1−x si 2 x −2 x si x≤2 x2 a=2 Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont continues en chaque point de leurExercice 2.4 domaine de définition. Précisez ce domaine de définition. 4 x 17 a. f  x= 2 b. f t =2 t  25 – t 2 6 x x – 1 x 2 c. f  x=e sin 5 x d. f  x=arcsin  x – 1 f  x=cos e x  4 e. f t=ln t –1 f.2.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues Théorème de Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans lintervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0. Moins formel : « Une fonction continue ne peut changer de signe quaprès sêtre annulée. » Théorème de la valeur intermédiaire Bernhard Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] et f(a) ≠ f(b), alors, pour tout réel u strictement (Prague, 5/10/1781 - compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de lintervalle ouvert ]a, b[ tel que Prague, 18/12/1848) f(c) = u.Le théorème de la valeurintermédiaire certifie quunefonction continue passe partoutes les valeurs intermédiairesentre les valeurs f(a) et f(b).Attention ! Linverse nestpas vrai ! En effet, pour unréel c strictement comprisentre a et b, il nexiste pasforcément un réel u = f(c) danslintervalle ]f(a), f(b)[.Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
  15. 15. 12 CHAPITRE 2 Y a-t-il équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité ?Exercice 2.5 Autrement dit, est-ce que si une fonction satisfait la propriété de la valeur intermédiaire, cela signifie-t-il quelle est continue ? La réponse est non. {  1 sin si x≠0 Montrez que la fonction f(x) = x est un contre-exemple. 0 si x=0 Le théorème de la valeur intermédiaire est mis à contribution dans la localisation des racines des équations, ainsi que le montre lexemple suivant :Quand u = 0, on peut aussiutiliser le théorème de « Montrez quune racine de léquation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 est située entre 1 et 2. »Bolzano, qui est un casparticulier du théorème de la Posons f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Nous sommes à la recherche dune solution devaleur intermédiaire. léquation donnée, cest-à-dire dun nombre c situé entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Voilà pourquoi nous prenons a = 1, b = 2 et u = 0, en vue dexploiter ce théorème. On a : f(1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0 et f(2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0 Donc f(1) < 0 < f(2) et u = 0 est bien un nombre situé entre f(1) et f(2). De plus, f, étant une fonction polynomiale, est continue. Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire affirme lexistence dun nombre c entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Autrement dit, léquation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 a au moins une racine dans lintervalle ]1 ; 2[. Algorithme de Lalgorithme le plus simple permettant de recherche de zéros trouver un zéro dune fonction est la dune fonction méthode de dichotomie. On commence avec deux abscisses a et b qui encadrent un zéro de la fonction. À chaque itération, on coupe lintervalle en deux sous-Les algorithmes de recherche intervalles [a, c] et [c, b], c = (a + b)/2des zéros dune fonction sont étant le milieu de a et b. On garde le sous-étudiés en analyse numérique. intervalle qui contient un zéro, puis on recoupe en deux ce sous-intervalle, et ainsi de suite. Lintervalle encadrant le zéro devient ainsi de plus en plus petit. La méthode de dichotomie garantit la convergence vers un zéro lorsque la Étapes successives de la méthode de dichotomie fonction est continue. avec comme intervalle initial [a1; b1]. 1Exercice 2.6 Montrez que la fonction sin(4x4+3x+2) a une racine comprise entre 0 et 2 , puis calculez-la à 0.01 près.2.5. Ce quil faut absolument savoirConnaître la définition de la continuité en un point t okConnaître la définition de la continuité à gauche, à droite, sur un intervalle t okReconnaître une fonction continue t okDire où une fonction est discontinue t okConnaître le théorème de Bolzano t okConnaître le théorème de la valeur intermédiaire t okConnaître la méthode de dichotomie t okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
  16. 16. DÉRIVÉES 133. Dérivées3.1. Un peu dhistoire Isaac Newton est né le jour de Noël 1642, lannée de la mort de Galilée, à Woolsthorpe, petit bourg de la région de Lincoln, sur la côte est de lAngleterre. Admis au Trinity College de Cambridge en 1661, il se familiarise avec les œuvres de Descartes, Galilée, Wallis et Isaac Barrow. Entre 1665 et 1666, il est contraint de quitter lUniversité de Cambridge qui ferme ses portes à cause de la peste qui sévit dans la région. De retour à Woolsthorpe, cest au cours de cette parenthèse quil pose les fondements du calcul infinitésimal, de la nature de la lumière blanche et de sa théorie de lattraction universelle. De retour à Cambridge en 1669, il succède à Isaac Barrow à la chaire de mathématiques de lUniversité, quil conservera jusquen 1695. En 1671, il conçoit lui- même un télescope à miroir, exceptionnel pour lépoque, qui grossit 40 fois. Le 11 Isaac Newton janvier 1672, il est élu à la Royal Society de Londres. En 1687, Newton publie son (Woolsthorpe, 25/12/1643 - œuvre maîtresse, Principes mathématiques de philosophie naturelle, exposant sa théorie Londres, 31/3/1727) de lattraction universelle. En 1693, il plonge dans une profonde dépression qui marquera la fin de sa période créatrice. Les Méthodes des fluxions, quil avait écrites en 1671, ne seront publiées quen 1736, après sa mort. Newton y faisait alors naître le calcul infinitésimal, en même temps que Leibniz dont le Calcul différentiel fut, lui, édité en 1686. À lépoque, les deux hommes sétaient vivement opposés, chacun revendiquant la paternité de la découverte. À la mort de Newton, le débat continua. Leibniz est né à Leipzig le 1er juillet 1646. Il est donc parfaitement contemporain à Newton. À quinze ans, maîtrisant les langues anciennes, il entre à luniversité de Leipzig pour étudier le droit mais il y découvre Kepler, Galilée et Descartes, ce qui lincite à sinitier aux mathématiques. En 1663 il soutient une thèse sur le principe dindividuation, part étudier les mathématiques à Iena, puis le droit à Altorf où il obtientGottfried Wilhelm von Leibniz un doctorat en 1667. En 1672, Leibniz rejoint une mission diplomatique à la cour de (Leipzig, 1/7/1645 - Louis XIV – pour convaincre le roi de conquérir lÉgypte. Là, il se lie avec les grands Hannover, 14/11/1716) esprits de lépoque, dont le mathématicien hollandais Christiaan Huygens (1629-1695), se plonge dans la lecture de Pascal et invente une machine à calculer. Leibniz est ébloui par les méthodes que lui dévoile Huygens ; au cours dun voyage à Londres en 1673, il rencontre des mathématiciens anglais à qui il montre ses premiers travaux et assiste à des séances de la Royal Society dont il est élu membre étranger. De retour à Paris, il retrouve Huygens qui lencourage vivement à poursuivre ses recherches. À lissue de son séjour parisien, il élabore le calcul différentiel. En 1684, il publie son Calcul différentiel. Il fonde en 1700 lacadémie de Berlin dont il est le premier président. Leibniz est aussi célèbre en tant que théologien et philosophe. Dautres grands noms sont liés à lintégration. Citons entre autres Jacques Bernoulli (1654-1705), Jean Bernoulli (1667-1748) le frère de Jacques, Daniel Bernoulli (1700- Christiaan Huygens 1782) le fils de Jean, le marquis de lHôpital (1661-1704), Leonhard Euler (1707- (La Haye, 14/4/1629 - 1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Pierre Simon de Laplace (1749-1827) et La Haye, 8/7/1695) Augustin Cauchy (1789-1857).3.2. Définition de la dérivée f  x 0 x – f  x 0  Définition 1 Si la limite f  x 0= lim existe, elle est appelée fonction dérivée  x 0 x de la fonction f. f est alors dite dérivable. Remarque : ∆x peut être positif ou négatif. Si ∆x > 0 on parle de dérivée à droite ; si ∆x < 0, on parle de dérivée à gauche. La fonction est dérivable si la dérivée à droite et la dérivée à gauche existent et si elles sont égales.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
  17. 17. 14 CHAPITRE 3∆x est un accroissement(une variation) de lavariable x.f(x0+∆x) – f(x) estlaccroissement de f . f  x 0 x – f  x 0 est xle taux daccroissementmoyen.Quand ∆x → 0, on parlede taux de variationinstantané. Attention ! ∆x ne signifie pas ∆·x. Cela signifie « un petit accroissement de x ». On ne peut pas séparer le ∆ du x. Interprétation La valeur f (x0) est la pente de la tangente à la courbe f(x) en x = x0. géométrique De cette interprétation géométrique, on peut déduire que : Si f > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. Si f = 0 en un point, alors ce point est un extremum de la fonction ou un point dinflexion à tangente horizontale. minimum maximum points dinflexion à tangente (extrema) horizontale (chaise) Définition 2 Si une fonction f(x) est dérivable en tout point de lintervalle I = ]a ; b[, elle est dite dérivable sur lintervalle I. Notations Il existe plusieurs notations pour désigner la dérivée dune fonction y = f(x) : dy f (x), f , y, ˙ , y dx La dernière notation a été introduite par Leibniz. Elle remplace parfois avantageusement les autres notations. En effet, dans de nombreux calculs, on est en droit de travailler comme sil sagissait dun rapport banal, ce qui donne un aspect immédiat à certains résultats. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.Dérivabilité etcontinuité Attention ! La réciproque est fausse : une fonction continue nest pas forcément dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions possédant des « pointes ».Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
  18. 18. DÉRIVÉES 15 Sur le graphe de la fonction f(x) ci-dessous, indiquez les valeurs approximatives de xExercice 3.1 pour lesquelles : 1 a. f(x) = 0 b. f (x) = 0 c. f (x) = 1 d. f (x) = –4 e. f (x) = – 2IndicationUtilisez linterprétationgéométrique de la dérivée. Esquissez le graphe de sin(x) et utilisez ce graphe pour décider si la dérivée de sin(x) enExercice 3.2 x = 3π est positive ou négative. En utilisant la définition 1 de la dérivée, trouvez algébriquement la dérivée f deExercice 3.3 1Pour trouver f(x+∆x), il suffit a. f(x) = x3 + 5 b. f(x) = xde remplacer le symbole « x » c. f(x) =  x d. f(t) = 3t2 + 5tpar « x+∆x ». Trouvez la pente des tangentes à la parabole y = x2 aux points A(1; 1) et D(−2; 4).Exercice 3.4 Utilisez la définition 1 pour estimer numériquement la dérivée deExercice 3.5 a. f(x) = xx en x = 2  b. f(x) = ln(cos(x)) en x = Travaillez toujours en radians ! 4 c. f(x) = sin(ex) en x = 3 1Exercice 3.6 La position dun mobile est donnée par léquation du mouvement s = f(t) = 1t , où t est mesuré en secondes et s en mètres. Calculez la vitesse du mobile après 2 secondes.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
  19. 19. 16 CHAPITRE 3 Esquissez le graphe de la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous :Exercice 3.7 a. b. c. d. e. f. En mettant en correspondance les courbes de f(x) et f (x) de lexercice 3.7, remplissezExercice 3.8 les cases vides du tableau ci-dessous avec les réponses suivantes (il y a un intrus) : = 0, = 0, = 0, < 0, > 0, ∞, min ou max point pt. dinfl. à f(a) décroît croît minimum maximum dinflexion tg. horiz. f (a) Dans une expérience de laboratoire, le nombre de bactéries après t heures est donné parExercice 3.9 n = f(t). a. Quelle est la signification de f (5) ? En quelles unités sexprime f (5) ? b. Si la quantité de nourriture et despace nest pas limitée, lequel des deux nombres f (5) et f (10) sera le plus grand ? a. Dessinez une courbe dont la pente partout positive croît continûment.Exercice 3.10 b. Dessinez une courbe dont la pente partout positive décroît continûment. c. Dessinez une courbe dont la pente partout négative croît continûment. d. Dessinez une courbe dont la pente partout négative décroît continûment. Dessinez un graphe possible de y = f(x) connaissant les informations suivantes sur laExercice 3.11 dérivée : • f (x) > 0 pour 1 < x < 3 • f (x) < 0 pour x < 1 ou x > 3 • f (x) = 0 en x = 1 et x = 3 a. Sur un même système daxes, dessinez les graphes de f(x) = sin(x) et g(x) = sin(2x),Exercice 3.12 pour x compris entre 0 et 2π. b. Sur un deuxième système daxes identique au premier, esquissez les graphes de f (x) et g (x) et comparez-les. Par des expériences, on peut constater que le chemin parcouru ( l) par un corps en chuteExercice 3.13 libre est proportionnel au carré du temps écoulé : g l(t) = t2 où g est la gravité terrestre (9.81 m/s2). 2 a. Quelle est la vitesse moyenne entre le moment t et le moment t + ∆t ? Quand ∆t → 0, la vitesse moyenne tend, par définition, vers la vitesse instantanée au moment t. b. Quelle est la vitesse instantanée au moment t ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
  20. 20. DÉRIVÉES 173.3. La dérivée seconde Comme la dérivée est elle-même une fonction (cf. ex. 3.7), on peut souvent calculer sa dérivée. Pour une fonction f, la dérivée de sa dérivée est appelée dérivée seconde et notée f . Que nous dit la dérivée seconde ? Rappelons que la dérivée dune fonction nous dit si une fonction croît ou décroît. Si f > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.Remarque Si f < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.On peut aussi calculer ladérivée troisième, quatrième, Puisque f est la dérivée de f :etc. Cependant, elles ont Si f > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.moins dintérêt que les Si f < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.dérivées première et seconde. Ainsi la question devient : quindique le fait que f soit croissante ou décroissante ? Lorsque f est croissante, la courbe f se redresse : elle est convexe. Lorsque f est décroissante, la courbe f sinfléchit vers le bas : elle est concave.Deux trucs mnémotechniquesPour se rappeler la différenceentre convexe et concave,penser quune courbe concave ala forme dune caverne.Si la dérivée seconde estpositive, on peut imaginer que« la courbe sourit ».Inversement, quand elle estnégative, « elle tire la tronche ». Pour trouver les points dinflexion (point noir sur la figure ci-dessus) de f(x), il faut poser f (x) = 0 et résoudre. Mais attention ! Il faudra vérifier que cest bien un point dinflexion : f (x−ε) et f (x+ε) devront être de signe opposé. Pour la fonction f donnée ci-dessous, décidez où la dérivée seconde est positive et oùExercice 3.14 elle est négative.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
  21. 21. 18 CHAPITRE 3 Donnez trois moyens de faire la différence entre un minimum local dune fonction f, unExercice 3.15 maximum local et un point dinflexion à tangente horizontale . Chacun des graphes ci-dessous montre la position de quatre wagonnets se déplaçant surExercice 3.16 une ligne droite en fonction du temps. Les échelles de tous les graphes sont les mêmes. Quel(s) wagonnet(s) a (ont) :Rappels de physique a. une vitesse constante ?La fonction vitesse est la b. la plus grande vitesse initiale ?dérivée de la fonction horaire c. une vitesse nulle ?(position). La fonction d. une accélération nulle ?accélération est la dérivée de e. une accélération toujours positive ?la fonction vitesse. f. une accélération toujours négative ? (I) (II) (III) (IV) x x x x t t t t Trouvez algébriquement la dérivée seconde deExercice 3.17 1 a. f(x) = x3 + 5 en x = 1 b. f(x) = en x = 2(suite de lex. 3.3) x c. f(x) =  x en x = 1 d. f(t) = 3t2 + 5t en t = –1 Dessinez sur le graphe de la fonction f ci-dessous les « bouts de la fonction f » où f ≥ 0Exercice 3.18 (en vert), f ≥ 0 (en rouge) et f ≥ 0 (en bleu). On se donne les abscisses suivantes : –2.25, –1.6, –1.2, –0.5, 0, 0.7, 1.55, 2. Dites pour lesquelles de ces abscisses… a. f et f sont non nulles et de même signe. b. au moins deux des valeurs de f, f et f sont nulles. a. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout positives.Exercice 3.19 b. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout négative, mais dont la première dérivée est partout positive. c. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout positive, mais dont la première dérivée est partout négative. d. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout négatives.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
  22. 22. DÉRIVÉES 193.4. Dérivées de fonctions usuelles Pour éviter de toujours recalculer les mêmes dérivées à partir de la définition 1, on peut construire une table des dérivées. Les tables ci-dessous regroupent les fonctions usuelles. a et n sont des constantes. f (x) f (x) f (x) f (x) a 0 sin(x) cos(x) n n– 1 x n⋅x cos(x) –sin(x) 1 1 1 2  x= x 2 tan(x) 2 =1tan  x 2 x cos  x 1 1 2 ln(x) cot(x) − 2 =−1−cot  x x sin  x loga(x) 1 1 arcsin(x) x ln a  1 – x2 x x 1 e e arccos(x) −  1 – x2 x x 1 a a ln a arctan(x) 2 1 x 1 |x| sgn(x) (x ≠ 0) arccot(x) − 2 1x3.5. Règles de dérivation Soient f et g deux fonctions dérivables et λ un nombre réel. Les propriétés suivantes servent au calcul des dérivées :Les démonstrations de ces 1. (f + g) = f + g 2. (f – g) = f – gpropriétés, longues et fastidieuses, découlent de ladéfinition 1. 3. (λ·f) = λ·f 4.  f g = f g – f g g 2 5. (f·g) = f ·g + f·g 6.  g° f =g ° f ⋅f La règle la plus difficile est la sixième. Elle concerne la dérivation de fonctions composées. Nous la traiterons en détails un peu plus loin.3 exemples de calculs 1. Dérivons h(x) = ex + x3de dérivées On a f(x) = ex , g(x) = x3 et h(x) = f(x) + g(x).   Daprès la règle 1 : h  x=e x  3 x2 f g sin  x 2. Dérivons h x= x e f  x On a f(x) = sin(x) , g(x) = ex et h x= g  x f g f g Daprès la règle 4 : h  x=   sin x  = cos  x⋅e – ⋅e cos  x−sin  x x x x 2 x  e  e g2Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse

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