SlideShare une entreprise Scribd logo

MATRIK-DETERMINAN

•Télécharger en tant que PPTX, PDF•
•
Achmad Sukmawijaya
Achmad Sukmawijaya

Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.

1  sur  33
MODUL 4: MATRIK DAN DETERMINAN
Pengertian Matrik Matrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan : )( ... ............ ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 nma aaaa a aaaa aaaa aaaa A ij mnmmm ij n n n                      Istilah-istilah : Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, C Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c … Bagian mendatar disebut baris Bagian tegak disebut kolom Indeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolom Jumlah baris=m, jumlah kolom=n Ukuran matrik disebut ordo Matrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)
CONTOH                 3145.023 223001.023.0 4333.022 5667.0221 j j A  Beberapa istilah yang perlu diketahui ; Elemen matrik A dapat berupa bilangan bulat, desimal, rel atau bilangan kompleks Jumlah baris A=4, jumlah kolom a=5, A berukuran (4x5) a32 : elemen baris ke-3 kolom-2 adalah 0.001 Elemen-elemen diagonal matrik A : 1, , 3, 1 CONTOH Perhatikan jaringan berikut : 1 2 4 3     terbubungtidakjdaninodejika, terhubungjdaninodejika, 0 1 ija              0110 1011 1101 0110 A Matrik jaringannya adalah sebagai berikut
MATRIK-MATRIK KHUSUS Matrik Bujur Sangkar A dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n )( ... ............ ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 nna aaaa a aaaa aaaa aaaa A ij nnnnn ij n n n                      Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11, a22, a33, a44 …. CONTOH              0110 1011 1101 0110 A Matrik A berordo 4, elemen- elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0                    81.0925 1283.04.0 54.0713 42342 5.01251 A
Matrik Segitiga Atas A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0 Matrik Segitiga Bawah A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0                   81.0925 0283.04.0 0.0713 00042 00001 A Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8 Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah                  80000 2000 .700 90 3 j ih gfe dcba A Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8 Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas
Matrik Diagonal = D A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D. Matrik Identitas = I A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I.                               1000 0400 0030 0002 300 020 002 ; 40 02 4 32 D DD                               1000 0100 0010 0001 100 010 001 ; 10 01 4 32 I II
Transpose Matrik= AT Transpose matrik A ditulis AT adalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolam A, dan kolom AT adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), AT berukuran (nxm) CONTOH                         2468 7654 6421 ; 276 464 652 841 T A A Matrik Simetris, A=AT A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, AT=A CONTOH                                      73000 35200 021010 00161.0 0001.05 543 431 312 ; 31 12 A A A Matrik tridiagonal
OPERASI ARITMATIK MATRIK (1) (1) Kesamaan, A=B Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika (1) A dan B berukuran sama (2) Setiap elemen yang seletak nilainya sama, aij = aij ; Contoh :               463 512 dan 643 512 BA A dan B berukuran sama (2x3), tetapi AB, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama (2) Perkalian dng skalar, kA Perkalian matrik, A=[aij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni : kA=k[aij]= [kaij] Contoh : 18129 1536 )6(3)4(3)3(3 )5(3)1(3)2(3 643 512 33A 643 512                           A
(3) Penjumlahan, A+B (1) Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama. (2) Bilamana, A+B=C, maka elemen matrik C diberikan, cij = aij + bij (elemen yang seletak dijumlahkan) OPERASI ARITMATIK MATRIK (2) Contoh : Diberikan :                                                              2605 11112 818121249 4152384 8124 428 18129 1534 462 214 2- 643 512 32B-3A :maka 462 214 dan 643 512 BA
OPERASI ARITMATIK MATRIK (3) (4) Perkalian Matrik, AB=C (1) Matrik, A=[aij](m=n) dan B=[bij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p]. (2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[cij](mxq) dimana elemen cij diberikan oleh : njinjiji n k kjikij bababa bac     ...2211 1 (mxq)(pxq)(mxn) CBA                                                                       643 512 13 42 61 BA 813 1315 13 42 61 643 512 AB maka 13 42 61 dan 643 512 BA Contoh : Diberikan :
Soal Latihan                                        12 21 23 12 dan 132 22 141 ; 324 213 ).1( C a ba b BA Hitunglah (a). AB ; BC dan CA (b). (AB)C = A(BC) (c). (BC)(A)=B(CA) (d). (CA)B = C(AB)                                                      ab b ba b a C ba ab ab ba B ba ab ba A 1 22 1 21 12 211 111 232 321 ; 24 42 31 ).2(
DETERMINAN MATRIK Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A Kasus n=1 A=[a], det(A) =|a| = a Kasus n=2 10)6(4 12- 34 bc-addet(A) dc ba |A|maka, dc ba A          Kasus, n=3, Metode Sarrus 3231 2221 1211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa |A| :|A|det(A)Sarrus,metodedengan aaa aaa aaa A              (–) (–) (–) (+) (+) (+) 7412248916 423 121 432 aaaaaaaaa- aaaaaaaaa 312213332112322311 322113312312332211   
METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn). (1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j (2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai : ij ji ij MC   )1( CONTOH :            63-4 523 212- A 17 3-4 23 1)( M)1(C :untukdan -12(-1)(12) M(-1)C 12)6(6 63- 21 M 13 31 13 21 12 21 21        M21 baris ke-2 dan kolom ke-1 dihilangkan
CONTOH : Minor              124-5 2-324 25-13 4132- A              124-5 2-324 25-13 4132- A M23 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan 134 (-16)-12-40- (-64)(-30)(-4) 14-5 2-24 432- M23    149 (-8)-3-(-100)-240110 125 25-3 412- M32   
DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j. )i-kebariskofaktorEkspansi( Ca...CaCa n1,2,...,i;Cadet(A)).2( oleh,diberikan Amatrikdeterminan2nUntuk, aa|A|det(A) 1,nUntuk).1( inini2i2i1i1 n 1k ikik 1111        )j-kekolomkofaktorEkspansi( Ca...CaCa n1,2,...,j;Cadet(A)).3( njnj2j2j1j1j n 1k kjkj     CONTOH Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor 1494(31)1(-7)--2(-9) 25 5-3 4 15 23 1- 12 25- (-2) MaMa-Ma CaCaCa 125 25-3 412- det(A) 131312121111 131312121111     
CONTOH Hitunglah determinan matrik A Ekspnasi kofaktor baris              4165 3244 5423 7612 A 19()7()6()()2 165 244 423 7- 465 344 523 6 415 324 543 1- 416 324 542 2 Ma-MaMa-Ma CaCa CaCadet(A) 1414131312121111 14141313 12121111      CONTOH Hitunglah determinan matrik A Ekspansi kofaktor kolom              4165 3244 5423 7612 A 196()4()-2()-1() 324 543 762 6 415 543 762 4 415 324 762 2 415 324 543 -1 MaMa-MaM-a CaCa CaCadet(A) 4242323222221212 42423232 22221212     
DETERMINAN : METODE CHIO Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka : aa aa... aa aa aa aa ... aa aa ...... aa aa... aa aa aa aa aa aa ... aa aa aa aa )(a 1 det(A) nnn1 1n11 n2n1 1211 n2n1 1211 iji1 1j11 3n31 1n11 3331 1311 3231 1211 2n21 1n11 2321 1311 2221 1211 2-n 11  Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.
CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= –2, dan n=3, maka :            125 25-3 412- A 149 2 298 )144154( 2 1 22-9- 16-7 2 1 15 42- 25 12- 23 42- 5-3 12- (-2) 1 det(A) 2-3                   4165 3244 5423 7612 A CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= 2, dan n=4, maka : 19 4 76 4 9241000 5042 2220 4 1 )7727()7028( )4422()4020( )1( 1 x 4 1 27287 22204 11101 4 1 35)-(830)-(25)-(12 28)-(624)-(44)-(8 21)-(1018)-(83)-(4 (2) 1 det(A) 23 2-4            
SIFAT-SIFAT DETERMINAN (1). Jika A matrik bujur sangkar maka det(A) = det(AT) Contoh :                       623 154 432 A 614 253 342 A T Menurut sifat (1), maka : det(A) = det(AT) = –42 (2). Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang berordo sama maka det(AB) = det(A) det(B) Contoh : 8det(B)60det(A) 200 3-20 21-2 Bdan 602 051 002 A                        480860)det()det(det(AB) 1624 1392 424 200 3-20 21-2 602 051 002 AB                                     BA
(3). Jika A matrik bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya 0 atau sebanding, maka det(A) = 0 Contoh : SIFAT-SIFAT DETERMINAN                       023 054 032 A 614 000 342 A Baris-2 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 Kolom-3 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 (4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utama tak nol, maka : det(A) = a11a22a33 … ann Contoh :              4000 3500 5430 7612 A A matrik segitiga atas, maka : det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120
(5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka : det(B) = k det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  k Hi : Baris ke-i baru = kx baris ke-i lama Kj  k Kj : Kolom ke-j baru = kxkolom ke-j lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH :                       18312 642 342 B 614 321 342 A det(A)=21 H2  2 H2 k1= 2 H2  3 H2 k2=3 det(B) = k1 k2 det (A) = (2) (3) 21 = 126
(6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris (kolom) , maka : det(B) = – det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hj : Baris ke-i baru = baris ke-j lama Ki  Kj : Kolom ke-i baru = kolom ke-j lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH :                                  231 164 432 C 321 614 342 B 614 321 342 A det(A)=21 H2  H3 K2  K3 det(B)= –det(A) = –21 det(C)= –det(B) = –(–21)=21
(7). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan pada baris (kolom) yang lain, maka : det(B) = det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hi+kHj : Baris ke-i baru = Baris ke-i lama + k baris ke-j lama Kj  Kj+k Kj : Kolom ke-j baru = kolom ke-j lama + k kolom ke-i lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN                                  400 3-2-0 321 C 2-4-0 3-2-0 321 B 723 322 321 A CONTOH : a11 = pivot a21 dan a31 direduksi menjadi 0 H2  H2 – 2 H1 H3  H3 – 3 H1 a22 = pivot a32 = direduksi – 0 H3  H3 – 2H2 Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8
Matrik Awal 2 2 4 0 40 3 2 0 1 2 4 6 3 2 4 4 6 Iterasi 1 PIVOT = a11 2 2 4 0 0 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H1 0 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H1 0 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1 Iterasi 2 PIVOT=a22 2 2 4 0 0 -1 -6 1 0 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2 Iterasi 3 PIVOT=a33 2 2 4 0 0 -1 -6 1 0 0 -10 5 0 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3
Matrik Awal 2 4 8 8 8 4 4 6 8 2 4 4 7 7 5 4 8 14 14 8 2 2 6 9 12 CONTOH : Iterasi 1 2 4 8 8 8 -64 0 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H1 0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H1 0 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1 Iterasi 2 2 4 8 8 8 -64 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H2 0 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2 Iterasi3 2 4 8 8 8 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 0 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H3 0 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3 Iterasi4 2 4 8 8 8 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 0 0 0 -4 -2 0 0 0 0 -2 H5=H5-(a54/a44)H4
DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga : A = LU Akibatnya : det(A) = det(L) det (U) CONTOH 24)det( 1462 951 642 LUA 100 210 321 U; 422 031 002 L                                   A TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU (1) Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah satu. (2) Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1 (3) Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris. (4) Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah
DEKOMPOSISI : METODE CROUT Kasus n=3 Rumus perhitungannya :                                333231 232221 131211 23 1312 333231 2221 11 aaa aaa aaa 100 u10 uu1 lll 0ll 00l 233213313333 22 132123 23 12313232 12212222 11 13 13 11 12 12 313121211111 :5Iterasi :4Iterasi ;:3Iterasi ;:2Iterasi ;;:1Iterasi ululal l ula u ulal ulal a a u a a u alalal        Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah : n2,...,jj,i l ula u n1,...,ii,j ulal ii 1i 1k ikikij ij 1j 1k kjikijij           
              1624 1392 424 A CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab : 1 4 4 5.0- 4 2- :2Iterasi 4;2;4 :1Iterasi 13 12 312111    u u lll 120(-1.5)-4(1)-16:5Iterasi -1.5 10 2(1)-13- :4Iterasi 04(-0.5)--2 ;10(2)(-0.5)-9:3Iterasi 33 23 32 22     l u l l 480U)det(L)det(det(A) 1)det( 100 1.5-10 10.5-1 U 480)12)(10(4)det( 1204 0102 004 L Jadi,                          U L
KASUS n=4 : METODE CROUT Rumus iterasi perhitungannya adalah :                                      44434241 34333231 24232221 14131211 34 2423 141312 44434241 333231 2221 11 1000 100 10 1 0 00 000 aaaa aaaa aaaa aaaa u uu uuu llll lll ll l 22 142124 24 22 132123 23 12414242 12313232 12212222 11 14 14 11 13 13 11 12 12 41413131 21211111 :4Iterasi ;:3Iterasi ;;:2Iterasi ;; ;;:1Iterasi l ula u l ula u ulal ulal ulal a a u a a u a a u alal alal           3443244214414444 33 2432143134 34 234213414343 233213313333 :7Iterasi :6Iterasi :5Iterasi ulululal l ulula u ululal ululal     
CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab :              6442 3642 1023 0422 A 2)1(24 2)1(24 ;1)1(32:3Iterasi 0 2 0 ;2 2 4 ;1 2 2 :2Iterasi ;2;2 ;3;2:1Iterasi 42 32 22 14 1312 4131 2111        l l l u uu ll ll -1 (-1) )0(3)(-1 u 6 (-1) 3(2)-0 u:4Iterasi 24 23   212(0.5)-2(-1)-2(0)-6 :7Iterasi 5.0 10 2(-1)-2(0)-3 :6Iterasi -122(6)-2(2)-4 -102(6)-2(2)-6:5Iterasi 44 34 43 33     l u l l                           1000 0.5100 1-610 0211 U; 21222 01022 001-3 0002 L Jadi,
DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah : n,...,2ii,j u ula l n1,...,jj,i ulau ii 1j 1k ikikij ij 1i 1k kjikijij            Kasus n=3 Rumus perhitungannya :                                333231 232221 131211 33 2322 131211 3231 21 aaa aaa aaa u00 uu0 uuu 1ll 01l 001 233213313333 22 123132 32 13212323 12212222 11 31 31 11 21 21 131312121111 :5Iterasi l:4Iterasi u ;:3Iterasi ;l:2Iterasi ;;u:1Iterasi ululau u ula ula ulau a a l a a auaua       
KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE Rumus iterasi perhitungannya adalah :                                      44434241 34333231 24232221 14131211 44 3433 242322 14131211 434241 3231 21 000 00 0 1 01 001 0001 aaaa aaaa aaaa aaaa u uu uuu uuuu lll ll l 22 124142 42 22 123132 32 12414224 13212323 12212222 11 41 41 11 31 31 11 21 21 14141313 12121111 l l:4Iterasi u ;:3Iterasi ;;l:2Iterasi ;; ;;u:1Iterasi u ula u ula ulau ula ulau a a l a a l a a auau aua           3443244214414444 33 2342134143 43 243214313434 233213313333 :7Iterasi :6Iterasi u u :5Iterasi ulululau u ulula l ulula ulula     
TUGAS II,III dan IV                  3a1a3b1b 1a1a1b1b 1b2b1a2a 1bba1a A Hitunglah det(A) dengan cara : a. Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil) b. Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap) c. Sifat-sifat determinan (reduksi menjadi matrik segitiga) d. Metode CHIO e. Dekomposisi matrik (CROUT dan Doolite)                       4121 42121 11212 1121 211 aaabb aaabb aaabb bbbaa bbbaa A Hitunglah det (A) dengan cara : a) sifat-sifat determinan b) Metode CHIO c) Dekomposisi matrik (Crout dan Doolite)

Recommandé

VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANG
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANGVARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANG
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANGUniversitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Determinan es
Determinan esDeterminan es
Determinan esadamkusnendar
 
Distribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPA
Distribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPADistribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPA
Distribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPAMuhammad Arif
 
Metode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumMetode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumWahyu Priyanti
 
2 deret fourier
2 deret fourier2 deret fourier
2 deret fourierSimon Patabang
 
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematikaDian Fery Irawan
 
Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )Phe Phe
 

Recommandé

VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANG
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANGVARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANG
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANGUniversitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Determinan es
Determinan esDeterminan es
Determinan esadamkusnendar
 
Distribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPA
Distribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPADistribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPA
Distribusi Normal Matematika Peminatan Kelas XII Program MIPAMuhammad Arif
 
Metode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumMetode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumWahyu Priyanti
 
2 deret fourier
2 deret fourier2 deret fourier
2 deret fourierSimon Patabang
 
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematika
18. soal soal notasi sigma barisan- deret dan induksi matematikaDian Fery Irawan
 
Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )Phe Phe
 
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
Integral Garis
Integral GarisIntegral Garis
Integral GarisKelinci Coklat
 
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerMenyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
 
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2Dayga_Hatsu
 
Matriks elementer
Matriks elementerMatriks elementer
Matriks elementerkartika amelia
 
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Analisis vektor
Analisis vektorAnalisis vektor
Analisis vektorRiyan Supriadi Supriadi
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Modul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nModul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nAchmad Sukmawijaya
 
Metode interpolasi linier
Metode interpolasi linierMetode interpolasi linier
Metode interpolasi linierokti agung
 
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
Nilai Egien Dan Vektor EigenNilai Egien Dan Vektor Eigen
Nilai Egien Dan Vektor EigenRizky Wulansari
 
Transformasi laplace (bag. kedua)
Transformasi laplace (bag. kedua)Transformasi laplace (bag. kedua)
Transformasi laplace (bag. kedua)Heni Widayani
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruangEdhy Suadnyanayasa
 
Modul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensiModul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensiAchmad Sukmawijaya
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksiMatriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksiElemantking Daeva
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Safran Nasoha
 
03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuanRudi Wicaksana
 
Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksRochimatulLaili
 
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linierMetode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linierahmad puji ardi
 
MODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdf
MODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdfMODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdf
MODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdfsdlb117709kampungbar
 
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020Prayudi MT
 

Contenu connexe

Tendances

Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerMenyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
 
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2Dayga_Hatsu
 
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Metode interpolasi linier
Metode interpolasi linierMetode interpolasi linier
Metode interpolasi linierokti agung
 
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
Nilai Egien Dan Vektor EigenNilai Egien Dan Vektor Eigen
Nilai Egien Dan Vektor EigenRizky Wulansari
 
Transformasi laplace (bag. kedua)
Transformasi laplace (bag. kedua)Transformasi laplace (bag. kedua)
Transformasi laplace (bag. kedua)Heni Widayani
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksiMatriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksiElemantking Daeva
 
03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuanRudi Wicaksana
 
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linierMetode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linierahmad puji ardi
 

Tendances (20)

Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
 
Integral Garis
Integral GarisIntegral Garis
Integral Garis
 
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerMenyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
 
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
 
Matriks elementer
Matriks elementerMatriks elementer
Matriks elementer
 
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
 
Analisis vektor
Analisis vektorAnalisis vektor
Analisis vektor
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
 
Modul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nModul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde n
 
Metode interpolasi linier
Metode interpolasi linierMetode interpolasi linier
Metode interpolasi linier
 
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
Nilai Egien Dan Vektor EigenNilai Egien Dan Vektor Eigen
Nilai Egien Dan Vektor Eigen
 
Transformasi laplace (bag. kedua)
Transformasi laplace (bag. kedua)Transformasi laplace (bag. kedua)
Transformasi laplace (bag. kedua)
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
 
Modul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensiModul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensi
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksiMatriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
 
03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan
 
Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi Kompleks
 
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linierMetode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
 

Similaire à MATRIK-DETERMINAN

Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020Prayudi MT
 
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2ahmad haidaroh
 
Determinan dan Invers
Determinan dan InversDeterminan dan Invers
Determinan dan Inversridho1810
 
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdfTugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdfmohnurahmathidayatul
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.pptmulinda3
 
2. Persamaan Linier2020.pptx
2. Persamaan Linier2020.pptx2. Persamaan Linier2020.pptx
2. Persamaan Linier2020.pptxYodaKurniaWijaya
 
Matriks & Operasinya Matriks invers
Matriks & Operasinya Matriks inversMatriks & Operasinya Matriks invers
Matriks & Operasinya Matriks inversMuhammad Martayuda
 
matrik 1.3 1.5, 1.7
matrik 1.3 1.5, 1.7matrik 1.3 1.5, 1.7
matrik 1.3 1.5, 1.7iimpunya3
 
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi IKuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi IMukhrizal Effendi
 

Similaire à MATRIK-DETERMINAN (20)

MODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdf
MODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdfMODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdf
MODUL_4_MATRIK_DAN_DETERMINAN.pdf
 
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020
 
Aljabar rev
Aljabar revAljabar rev
Aljabar rev
 
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
Notasi dan Operasi Dasar Matrik - Pertemuan 2
 
Determinan dan Invers
Determinan dan InversDeterminan dan Invers
Determinan dan Invers
 
Matriks
Matriks Matriks
Matriks
 
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdfTugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
Tugas sejarah Moh Nurahmat Hidayatul Karim.pdf
 
Matriks dan operasinya
Matriks dan operasinyaMatriks dan operasinya
Matriks dan operasinya
 
Matriks
Matriks Matriks
Matriks
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
MATRIKS NEW.pptx
MATRIKS NEW.pptxMATRIKS NEW.pptx
MATRIKS NEW.pptx
 
1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt1. Matriks.ppt
1. Matriks.ppt
 
2. Persamaan Linier2020.pptx
2. Persamaan Linier2020.pptx2. Persamaan Linier2020.pptx
2. Persamaan Linier2020.pptx
 
Ppt matriks
Ppt matriksPpt matriks
Ppt matriks
 
Matriks & Operasinya Matriks invers
Matriks & Operasinya Matriks inversMatriks & Operasinya Matriks invers
Matriks & Operasinya Matriks invers
 
matrik 1.3 1.5, 1.7
matrik 1.3 1.5, 1.7matrik 1.3 1.5, 1.7
matrik 1.3 1.5, 1.7
 
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi IKuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
Kuliah_1 Matriks Matematika Ekonomi I
 

Plus de Achmad Sukmawijaya

Plus de Achmad Sukmawijaya (6)

Modul 6 spl
Modul 6 splModul 6 spl
Modul 6 spl
 
Modul 5 invers matrik
Modul 5 invers matrikModul 5 invers matrik
Modul 5 invers matrik
 
Modul 3 transformasi laplace
Modul 3 transformasi laplaceModul 3 transformasi laplace
Modul 3 transformasi laplace
 
Modul 1 pd linier orde satu
Modul 1 pd linier orde satuModul 1 pd linier orde satu
Modul 1 pd linier orde satu
 
Modul 8 nilai eigen
Modul 8 nilai eigenModul 8 nilai eigen
Modul 8 nilai eigen
 
Aljabar bolean
Aljabar boleanAljabar bolean
Aljabar bolean
 

MATRIK-DETERMINAN

  • 1. MODUL 4: MATRIK DAN DETERMINAN
  • 2. Pengertian Matrik Matrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan : )( ... ............ ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 nma aaaa a aaaa aaaa aaaa A ij mnmmm ij n n n                      Istilah-istilah : Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, C Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c … Bagian mendatar disebut baris Bagian tegak disebut kolom Indeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolom Jumlah baris=m, jumlah kolom=n Ukuran matrik disebut ordo Matrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)
  • 3. CONTOH                 3145.023 223001.023.0 4333.022 5667.0221 j j A  Beberapa istilah yang perlu diketahui ; Elemen matrik A dapat berupa bilangan bulat, desimal, rel atau bilangan kompleks Jumlah baris A=4, jumlah kolom a=5, A berukuran (4x5) a32 : elemen baris ke-3 kolom-2 adalah 0.001 Elemen-elemen diagonal matrik A : 1, , 3, 1 CONTOH Perhatikan jaringan berikut : 1 2 4 3     terbubungtidakjdaninodejika, terhubungjdaninodejika, 0 1 ija              0110 1011 1101 0110 A Matrik jaringannya adalah sebagai berikut
  • 4. MATRIK-MATRIK KHUSUS Matrik Bujur Sangkar A dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n )( ... ............ ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 nna aaaa a aaaa aaaa aaaa A ij nnnnn ij n n n                      Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11, a22, a33, a44 …. CONTOH              0110 1011 1101 0110 A Matrik A berordo 4, elemen- elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0                    81.0925 1283.04.0 54.0713 42342 5.01251 A
  • 5. Matrik Segitiga Atas A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0 Matrik Segitiga Bawah A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0                   81.0925 0283.04.0 0.0713 00042 00001 A Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8 Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah                  80000 2000 .700 90 3 j ih gfe dcba A Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8 Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas
  • 6. Matrik Diagonal = D A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D. Matrik Identitas = I A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I.                               1000 0400 0030 0002 300 020 002 ; 40 02 4 32 D DD                               1000 0100 0010 0001 100 010 001 ; 10 01 4 32 I II
  • 7. Transpose Matrik= AT Transpose matrik A ditulis AT adalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolam A, dan kolom AT adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), AT berukuran (nxm) CONTOH                         2468 7654 6421 ; 276 464 652 841 T A A Matrik Simetris, A=AT A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, AT=A CONTOH                                      73000 35200 021010 00161.0 0001.05 543 431 312 ; 31 12 A A A Matrik tridiagonal
  • 8. OPERASI ARITMATIK MATRIK (1) (1) Kesamaan, A=B Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika (1) A dan B berukuran sama (2) Setiap elemen yang seletak nilainya sama, aij = aij ; Contoh :               463 512 dan 643 512 BA A dan B berukuran sama (2x3), tetapi AB, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama (2) Perkalian dng skalar, kA Perkalian matrik, A=[aij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni : kA=k[aij]= [kaij] Contoh : 18129 1536 )6(3)4(3)3(3 )5(3)1(3)2(3 643 512 33A 643 512                           A
  • 9. (3) Penjumlahan, A+B (1) Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama. (2) Bilamana, A+B=C, maka elemen matrik C diberikan, cij = aij + bij (elemen yang seletak dijumlahkan) OPERASI ARITMATIK MATRIK (2) Contoh : Diberikan :                                                              2605 11112 818121249 4152384 8124 428 18129 1534 462 214 2- 643 512 32B-3A :maka 462 214 dan 643 512 BA
  • 10. OPERASI ARITMATIK MATRIK (3) (4) Perkalian Matrik, AB=C (1) Matrik, A=[aij](m=n) dan B=[bij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p]. (2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[cij](mxq) dimana elemen cij diberikan oleh : njinjiji n k kjikij bababa bac     ...2211 1 (mxq)(pxq)(mxn) CBA                                                                       643 512 13 42 61 BA 813 1315 13 42 61 643 512 AB maka 13 42 61 dan 643 512 BA Contoh : Diberikan :
  • 11. Soal Latihan                                        12 21 23 12 dan 132 22 141 ; 324 213 ).1( C a ba b BA Hitunglah (a). AB ; BC dan CA (b). (AB)C = A(BC) (c). (BC)(A)=B(CA) (d). (CA)B = C(AB)                                                      ab b ba b a C ba ab ab ba B ba ab ba A 1 22 1 21 12 211 111 232 321 ; 24 42 31 ).2(
  • 12. DETERMINAN MATRIK Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A Kasus n=1 A=[a], det(A) =|a| = a Kasus n=2 10)6(4 12- 34 bc-addet(A) dc ba |A|maka, dc ba A          Kasus, n=3, Metode Sarrus 3231 2221 1211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa |A| :|A|det(A)Sarrus,metodedengan aaa aaa aaa A              (–) (–) (–) (+) (+) (+) 7412248916 423 121 432 aaaaaaaaa- aaaaaaaaa 312213332112322311 322113312312332211   
  • 13. METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn). (1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j (2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai : ij ji ij MC   )1( CONTOH :            63-4 523 212- A 17 3-4 23 1)( M)1(C :untukdan -12(-1)(12) M(-1)C 12)6(6 63- 21 M 13 31 13 21 12 21 21        M21 baris ke-2 dan kolom ke-1 dihilangkan
  • 14. CONTOH : Minor              124-5 2-324 25-13 4132- A              124-5 2-324 25-13 4132- A M23 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan 134 (-16)-12-40- (-64)(-30)(-4) 14-5 2-24 432- M23    149 (-8)-3-(-100)-240110 125 25-3 412- M32   
  • 15. DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j. )i-kebariskofaktorEkspansi( Ca...CaCa n1,2,...,i;Cadet(A)).2( oleh,diberikan Amatrikdeterminan2nUntuk, aa|A|det(A) 1,nUntuk).1( inini2i2i1i1 n 1k ikik 1111        )j-kekolomkofaktorEkspansi( Ca...CaCa n1,2,...,j;Cadet(A)).3( njnj2j2j1j1j n 1k kjkj     CONTOH Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor 1494(31)1(-7)--2(-9) 25 5-3 4 15 23 1- 12 25- (-2) MaMa-Ma CaCaCa 125 25-3 412- det(A) 131312121111 131312121111     
  • 16. CONTOH Hitunglah determinan matrik A Ekspnasi kofaktor baris              4165 3244 5423 7612 A 19()7()6()()2 165 244 423 7- 465 344 523 6 415 324 543 1- 416 324 542 2 Ma-MaMa-Ma CaCa CaCadet(A) 1414131312121111 14141313 12121111      CONTOH Hitunglah determinan matrik A Ekspansi kofaktor kolom              4165 3244 5423 7612 A 196()4()-2()-1() 324 543 762 6 415 543 762 4 415 324 762 2 415 324 543 -1 MaMa-MaM-a CaCa CaCadet(A) 4242323222221212 42423232 22221212     
  • 17. DETERMINAN : METODE CHIO Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka : aa aa... aa aa aa aa ... aa aa ...... aa aa... aa aa aa aa aa aa ... aa aa aa aa )(a 1 det(A) nnn1 1n11 n2n1 1211 n2n1 1211 iji1 1j11 3n31 1n11 3331 1311 3231 1211 2n21 1n11 2321 1311 2221 1211 2-n 11  Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.
  • 18. CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= –2, dan n=3, maka :            125 25-3 412- A 149 2 298 )144154( 2 1 22-9- 16-7 2 1 15 42- 25 12- 23 42- 5-3 12- (-2) 1 det(A) 2-3                   4165 3244 5423 7612 A CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= 2, dan n=4, maka : 19 4 76 4 9241000 5042 2220 4 1 )7727()7028( )4422()4020( )1( 1 x 4 1 27287 22204 11101 4 1 35)-(830)-(25)-(12 28)-(624)-(44)-(8 21)-(1018)-(83)-(4 (2) 1 det(A) 23 2-4            
  • 19. SIFAT-SIFAT DETERMINAN (1). Jika A matrik bujur sangkar maka det(A) = det(AT) Contoh :                       623 154 432 A 614 253 342 A T Menurut sifat (1), maka : det(A) = det(AT) = –42 (2). Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang berordo sama maka det(AB) = det(A) det(B) Contoh : 8det(B)60det(A) 200 3-20 21-2 Bdan 602 051 002 A                        480860)det()det(det(AB) 1624 1392 424 200 3-20 21-2 602 051 002 AB                                     BA
  • 20. (3). Jika A matrik bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya 0 atau sebanding, maka det(A) = 0 Contoh : SIFAT-SIFAT DETERMINAN                       023 054 032 A 614 000 342 A Baris-2 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 Kolom-3 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 (4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utama tak nol, maka : det(A) = a11a22a33 … ann Contoh :              4000 3500 5430 7612 A A matrik segitiga atas, maka : det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120
  • 21. (5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka : det(B) = k det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  k Hi : Baris ke-i baru = kx baris ke-i lama Kj  k Kj : Kolom ke-j baru = kxkolom ke-j lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH :                       18312 642 342 B 614 321 342 A det(A)=21 H2  2 H2 k1= 2 H2  3 H2 k2=3 det(B) = k1 k2 det (A) = (2) (3) 21 = 126
  • 22. (6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris (kolom) , maka : det(B) = – det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hj : Baris ke-i baru = baris ke-j lama Ki  Kj : Kolom ke-i baru = kolom ke-j lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH :                                  231 164 432 C 321 614 342 B 614 321 342 A det(A)=21 H2  H3 K2  K3 det(B)= –det(A) = –21 det(C)= –det(B) = –(–21)=21
  • 23. (7). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan pada baris (kolom) yang lain, maka : det(B) = det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hi+kHj : Baris ke-i baru = Baris ke-i lama + k baris ke-j lama Kj  Kj+k Kj : Kolom ke-j baru = kolom ke-j lama + k kolom ke-i lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN                                  400 3-2-0 321 C 2-4-0 3-2-0 321 B 723 322 321 A CONTOH : a11 = pivot a21 dan a31 direduksi menjadi 0 H2  H2 – 2 H1 H3  H3 – 3 H1 a22 = pivot a32 = direduksi – 0 H3  H3 – 2H2 Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8
  • 24. Matrik Awal 2 2 4 0 40 3 2 0 1 2 4 6 3 2 4 4 6 Iterasi 1 PIVOT = a11 2 2 4 0 0 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H1 0 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H1 0 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1 Iterasi 2 PIVOT=a22 2 2 4 0 0 -1 -6 1 0 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2 Iterasi 3 PIVOT=a33 2 2 4 0 0 -1 -6 1 0 0 -10 5 0 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3
  • 25. Matrik Awal 2 4 8 8 8 4 4 6 8 2 4 4 7 7 5 4 8 14 14 8 2 2 6 9 12 CONTOH : Iterasi 1 2 4 8 8 8 -64 0 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H1 0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H1 0 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1 Iterasi 2 2 4 8 8 8 -64 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H2 0 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2 Iterasi3 2 4 8 8 8 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 0 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H3 0 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3 Iterasi4 2 4 8 8 8 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 0 0 0 -4 -2 0 0 0 0 -2 H5=H5-(a54/a44)H4
  • 26. DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga : A = LU Akibatnya : det(A) = det(L) det (U) CONTOH 24)det( 1462 951 642 LUA 100 210 321 U; 422 031 002 L                                   A TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU (1) Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah satu. (2) Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1 (3) Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris. (4) Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah
  • 27. DEKOMPOSISI : METODE CROUT Kasus n=3 Rumus perhitungannya :                                333231 232221 131211 23 1312 333231 2221 11 aaa aaa aaa 100 u10 uu1 lll 0ll 00l 233213313333 22 132123 23 12313232 12212222 11 13 13 11 12 12 313121211111 :5Iterasi :4Iterasi ;:3Iterasi ;:2Iterasi ;;:1Iterasi ululal l ula u ulal ulal a a u a a u alalal        Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah : n2,...,jj,i l ula u n1,...,ii,j ulal ii 1i 1k ikikij ij 1j 1k kjikijij           
  • 28.               1624 1392 424 A CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab : 1 4 4 5.0- 4 2- :2Iterasi 4;2;4 :1Iterasi 13 12 312111    u u lll 120(-1.5)-4(1)-16:5Iterasi -1.5 10 2(1)-13- :4Iterasi 04(-0.5)--2 ;10(2)(-0.5)-9:3Iterasi 33 23 32 22     l u l l 480U)det(L)det(det(A) 1)det( 100 1.5-10 10.5-1 U 480)12)(10(4)det( 1204 0102 004 L Jadi,                          U L
  • 29. KASUS n=4 : METODE CROUT Rumus iterasi perhitungannya adalah :                                      44434241 34333231 24232221 14131211 34 2423 141312 44434241 333231 2221 11 1000 100 10 1 0 00 000 aaaa aaaa aaaa aaaa u uu uuu llll lll ll l 22 142124 24 22 132123 23 12414242 12313232 12212222 11 14 14 11 13 13 11 12 12 41413131 21211111 :4Iterasi ;:3Iterasi ;;:2Iterasi ;; ;;:1Iterasi l ula u l ula u ulal ulal ulal a a u a a u a a u alal alal           3443244214414444 33 2432143134 34 234213414343 233213313333 :7Iterasi :6Iterasi :5Iterasi ulululal l ulula u ululal ululal     
  • 30. CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab :              6442 3642 1023 0422 A 2)1(24 2)1(24 ;1)1(32:3Iterasi 0 2 0 ;2 2 4 ;1 2 2 :2Iterasi ;2;2 ;3;2:1Iterasi 42 32 22 14 1312 4131 2111        l l l u uu ll ll -1 (-1) )0(3)(-1 u 6 (-1) 3(2)-0 u:4Iterasi 24 23   212(0.5)-2(-1)-2(0)-6 :7Iterasi 5.0 10 2(-1)-2(0)-3 :6Iterasi -122(6)-2(2)-4 -102(6)-2(2)-6:5Iterasi 44 34 43 33     l u l l                           1000 0.5100 1-610 0211 U; 21222 01022 001-3 0002 L Jadi,
  • 31. DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah : n,...,2ii,j u ula l n1,...,jj,i ulau ii 1j 1k ikikij ij 1i 1k kjikijij            Kasus n=3 Rumus perhitungannya :                                333231 232221 131211 33 2322 131211 3231 21 aaa aaa aaa u00 uu0 uuu 1ll 01l 001 233213313333 22 123132 32 13212323 12212222 11 31 31 11 21 21 131312121111 :5Iterasi l:4Iterasi u ;:3Iterasi ;l:2Iterasi ;;u:1Iterasi ululau u ula ula ulau a a l a a auaua       
  • 32. KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE Rumus iterasi perhitungannya adalah :                                      44434241 34333231 24232221 14131211 44 3433 242322 14131211 434241 3231 21 000 00 0 1 01 001 0001 aaaa aaaa aaaa aaaa u uu uuu uuuu lll ll l 22 124142 42 22 123132 32 12414224 13212323 12212222 11 41 41 11 31 31 11 21 21 14141313 12121111 l l:4Iterasi u ;:3Iterasi ;;l:2Iterasi ;; ;;u:1Iterasi u ula u ula ulau ula ulau a a l a a l a a auau aua           3443244214414444 33 2342134143 43 243214313434 233213313333 :7Iterasi :6Iterasi u u :5Iterasi ulululau u ulula l ulula ulula     
  • 33. TUGAS II,III dan IV                  3a1a3b1b 1a1a1b1b 1b2b1a2a 1bba1a A Hitunglah det(A) dengan cara : a. Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil) b. Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap) c. Sifat-sifat determinan (reduksi menjadi matrik segitiga) d. Metode CHIO e. Dekomposisi matrik (CROUT dan Doolite)                       4121 42121 11212 1121 211 aaabb aaabb aaabb bbbaa bbbaa A Hitunglah det (A) dengan cara : a) sifat-sifat determinan b) Metode CHIO c) Dekomposisi matrik (Crout dan Doolite)