Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
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Chapitre III : M´thodes de R´solutio...
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  1. 1. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Cours d’ordonnancement Adel ESSAFI December 7, 2013 Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  2. 2. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e PLAN 1 Chapitre I : Introduction 2 Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e 3 Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e 4 Les algorithmes approch´s e 5 Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  3. 3. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Introduction : un ordonnancement c’est quoi? Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  4. 4. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e D´finition e D´finition e Le probl`me d’ordonnancement consiste ` organiser dans le temps e a la r´alisation d’un ensemble de tˆches, compte tenu de contraintes e a temporelles (d´lais, contraintes d’enchainements, ...) et de e contraintes portant sur l’utilisation et la disponibilit´ des ressources e requises. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  5. 5. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Donn´es d’un probl`me d’ordonnancement e e Les tˆches : Un ensemble de tˆches avec eventuellement des a a contraintes ou de carat´riques sp´ciales. e e Ressources : Un environnement de ressources pour effectuer les tˆches a Fonction Objectif : Un crit`re d’optimisation e Objectif : D´terminer les ressources sur lesquelles les tˆches vont e a s’ex´cuter ainsi que les dates de d´but d’ex´cution e e e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  6. 6. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Gestion des projets Grands Projets Chantiers de constructions ........................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  7. 7. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Ateliers Ateliers simples (menuisier avec une seule machine ) Ateliers complexes (plusieurs ´tages s´quentiel / Parall`les ) e e e ........................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  8. 8. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Administration Gestions des ressources humaines Emploi de temps Gestions des pauses dans les centres d’appels ........................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  9. 9. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Informatique Partage des ressources (processeur) entre les processus Partage des coeurs entre les processus Gestion des ressources partag´s e Ordonnancement sur les plateformes de calcul distribu´s e (machines parall`les, grilles, cloud ...) e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  10. 10. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Tˆches : propri´t´s a ee Dur´e : d´pends des ressources / environnement e e Ready date (date de d´but au plus tˆt) : c’est la date avant e o laquelle la tˆche ne peut pas ˆtre ex´cut´es. a e e e Due date: c’est la date buttoire (impos´e par des intervenants e externes : contrainte ` respecter). a Nature de la tˆche : tˆche simple (s’ex´cute sur une a a e ressources unique), tˆches avec queue ..... a D´pendances : Relation de pr´c´dence entre les tˆches e e e a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  11. 11. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Tˆches : Illustration a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  12. 12. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Tˆches : d´pendance a e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  13. 13. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Ressources Machines qui ex´cutent les tˆches e a Une ou plusieurs machines Organisation : parall`le / s´rie (ordre de passage des tˆches ) e e a Une ressource ex´cute une seule tˆche ` la fois e a a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  14. 14. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Objectifs Quelle est la fonction ` optimiser ? a Exemples (minimiser le temps): Temps d’attente devant une chaisse (social?) Nombre de tˆches en retards / retard maximal a La date de fin de la derni`re tˆche ex´cut´e e a e e Moyenne des dates de fin d’ex´cution des tˆches e a Exemples (minimiser l’utilisation des ressources): Ordonnancement economique : utiliser le nombre minimal de ressources R´seau: Optimiser l’utilisation de la bande passante e Probl`me de transport : minimiser les distances parcourues. e .................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  15. 15. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notations et D´finition e Graphe de tˆches G = (V , E ) a V : ensemble de tˆches (instruction selon la granularit´) a e E : ensemble d’arrˆtes (repr´sentent les liens entre ces tˆches e e a (associ´s au volume des donn´es ` transf´rer). e e a e Statique : Structures et volume connus a priori Dynamique : le volule des donn´es est connu au fur et ` mesure du d´roulement e a e l’ex´cution e relation de pr´c´dence : relation d’ordre partiel e e Vi Vj La tˆche Vi doit s’ex´cuter enti`rement avant de commencer a e e l’ex´cutuion de Vj e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  16. 16. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notations et D´finition e Definition Ordonnancer un syst`me de tˆches, c’est d´terminer les deux e a e applications π et σ o` π associe un processeur ` chaque tˆche et σ u a a leur associe un temps de d´but d’ex´cution. e e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  17. 17. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notations rj : release date dj : due date wj : poid de la tˆche Cj = σ(j) + pj : date de fin d’ex´cution a e Lj = max(dj − Cj ) : retard Ui : date de retard Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  18. 18. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Ordonnancement r´alisable e Un ordonnancement est r´alisable ssi e σ(j) ≥ σ(i) + pi + λ(i, j) et ce pour tout (i, j) telque i j λ(i, j) : temps n´cessaire au transfert de donn´e de Vi ` Vj e e a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  19. 19. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notation ` 3 champs a Le sch´ma de classification propos´ par (Graham et al, 1979). e e Classification ` trois champs α|β|γ a α : environnement des machines β : les caract´ristiques des tˆches e a γ : crit`re(s) ` optimiser e a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  20. 20. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Le champs α Carat´rise les ressources e Compos´ de deux sous champs α1α2 e Une seule machine ⇒ α1 = et α2 = 1 Machines parall`les : α1 ∈ {P, Q, R} et α2=nombre de e machines Ateliers α1 ∈ {F , J, O} Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  21. 21. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Le champs β Carat´rise les tˆches e a β = β1β2β3β4.... β1 = pmtn si la pr´emption des tˆches est autoris´e, sinon β1 e a e est absent S’il y a des contraintes de pr´c´dence entre les tˆches alors e e a β2 ∈ {prec, chain, in − tree, out − tree}, sinon β2 est vide β3 = rj si les dates de d´but au plus tˆt rj (ou dates de e o disponibilit´) des tˆches ne sont pas forc´ment identiques e a e .................. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  22. 22. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Le champs γ fonction objectif : crit`re de performance e Cmax : Makespan Lmax : Retard maximal Wj Cj : Somme pond´r´es des dates de fin ee UJ : Nombre de tˆches en retards a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  23. 23. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Introduction Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une e question importante Probl`me complexe : recherche d’un algorithme efficace e (optimal) Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce probl`me est NP-difficile e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  24. 24. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de calcul e Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une e question importante Probl`me complexe : recherche d’un algorithme efficace e (optimal) Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce probl`me est NP-difficile e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  25. 25. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de calcul e Fonction h qui transforme toute entr´e x de taille |x| en une e sortie h(x). Mesure d’efficacit´ : nombre d’instruction pour effectuer cette e transformation Nombre d’instruction d´pend de la taille de x e Taille de l’entr´e : taille de la plus grande valeur en e repr´sentation binaire e Exemple : un entier a est represent´ sur log2 a bits e Exemple : un tableau de taille m est represent´ sur mlog2 a e bits o` a est le plus grand entier pr´sent u e Objectif : D´terminer T (n) : Nombre d’instructions de h au pire e des cas. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  26. 26. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e R`gles de calcul e Blocks cons´cutifs : on retient la complexit´ du plus grand e e block Brachement : On retient la complexit´ du plus grand block e parmis les blocks alernatifs Voir cours complexit´ des algorithmes e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  27. 27. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notation en O on note f = O(g ) ssi ∃C > 0 , ∃n0 telque ∀n > n0 , |f (n)| ≤ cg (n) Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  28. 28. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Classes d’algorithmes Polynomial Pseudo-polynomial Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  29. 29. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de d´cision e e Un probl`me de d´cision est d´fini par: e e e un nom des param`tres g´n´riques (Instance) e e e une question. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  30. 30. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de d´cision : Exemples e e Probl`me PARTITION: e Instance: A = a1 , ....., an Question: Existe t-il un sous ensemble B de A telque ai = i∈B Adel ESSAFI i∈A {B}ai Cours d’ordonnancement
  31. 31. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de d´cision : Exemples e e Vertex Cover (Couvrant): Instance: Un Graphe G=(V,E) Un Entier k Question: Existe t-il un un sous ensemble V de V de taile k telque chaque arrete de E soit adjacente au moins ` un a ´l´ment de V . ee Vertex Cover: Minimum Vertex Cover: Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  32. 32. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e D´finition des certificats e Etant donn´ un ´nonc´ I de longueur n, on se pose la question: e e e A partir de quelle information sur I , de longueur polynomiale en n, peut-on v´rifier que I est ` r´ponse ”oui”? e a e On appelle alors certificats de I les informations susceptibles de permettre cette v´rification. e En anglais, si une instance a une reponse oui , elle est not´e e yes-instance. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  33. 33. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e D´finition de l’algorithme de v´rification e e On construit un algorithme de v´rification V , dont les donn´es e e sont les couples (I , c) o` c est une instance de I, tel que : u si I est une entr´e valide du probl`me, alors, il existe un e e certificat c tel que V r´pond oui pour la donn´e (I,c) e e si I n’est une entr´e valide du probl`me, V r´pond non pour e e e toute donn´e (I,c) e V est de complexit´ polynomiale la taille de I e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  34. 34. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e R´duction de KARP e Soient L1 et L2 deux langages sur un alphabet Σ. Une fonction τ de Σ ∗ vers Σ ∗ est une r´duction de L1 vers L2 ssi: e ∀x ∈ Σ ∗ , x ∈ L1 ⇔ τ (x) ∈ L2 τ est une transformation polynomiale Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  35. 35. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e R´duction de probl`mes e e Soient π et π deux probl`me e π se reduit ` π , not´ π ∝ π ssi : a e τ transforme toute instance positive de π en un instance positive de π et transforme toute instance n´gative de π en un instance e n´gative de π . e ⇒ : π est au moins aussi difficile que π. La r´duction est une relation d’ordre entre les probl`mes e e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  36. 36. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e Ratio d’approximation Le rapport d’approximation d’un algorithme A pour un probl`me e de minimisation : ρA = inf {r ≥ 1 tel que ρA(I ) ≤ r } pour toutes les instances I wA (I ) : rapport de la valeur de l’objectif de A ` l’optimal a ρA(I ) = ∗ w (A) pour l’instance I Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  37. 37. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e Programmation lin´aire e Probl`me d’affectation des tˆches aux ressources: e a Objectif : min(maxk aik pi ) i Variables d’affectation aik = 1 si la tˆche i est affect´e ` la machine k a e a 0 sinon. Contraintes d’affectation : ∀i k aik = 1 Une tˆche est affect´e exactement ` 1 machine a e a Date de fin sur la machine k : i pi aik Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  38. 38. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e Branch and Bound Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  39. 39. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Algorithmes de liste Priorit´ sur les tˆches : liste L e a S´quencement glouton des tˆches e a Si la ressource est libre, s´quencer la premi`re tˆche disponible e e a de la liste Principe glouton:ne pas laisser la ressource inoccup´e si des e tˆches sont disponibles a La liste sert ` arbitrer lorsque plusieurs tˆches sont disponibles a a en mˆme temps e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  40. 40. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Listes optimales 1||Ci : Liste SPT 1||Tmax : Liste EDD 1|ri |Cmax :∀ liste L Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  41. 41. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Algorithme de Liste 1 Tout algorithme de liste a une garantie 2 − m pour Pm||Cmax Borne atteinte avec SPT pour l’instance suivante : m(m − 1) tˆches de dur´e 1 a e 1 tˆche de dur´e m a e Nous avons alors Cmax (SPT ) = 2m − 1 ∗ Cmax = m Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  42. 42. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Algorithme LPT Placer d’abord les tˆches les plus longues a Liste LPT (Largest Processing Time) : s´quence des taches par e dur´e d´croissante e e L’algorithme de liste LPT a une garantie 4/3 − 1/3m pour Pm||Cmax et cette borne est atteinte Instance limite: m machines 2m + 1 tˆches de tailles a (2m − 1, 2m − 1, 2m − 2, 2m − 2, ...., m, m, m) Pour cette instance nous avons, Cmax (LPT ) = 4m − 1 ∗ Cmax = 3m Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  43. 43. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement

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