Este documento apresenta um resumo da aula 2 sobre transformação da deformação. Os tópicos abordados incluem estado plano de deformações, equações de transformação, círculo de Mohr, deformação por cisalhamento máxima, rosetas e relações entre propriedades dos materiais e deformações. O objetivo é mostrar métodos para medir e analisar deformações em diferentes orientações.
1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplinas:
Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período
E
Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
2. Tema de aula 2: Transformação da Deformação
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
• 2.1 Estado Plano de Deformações
• 2.2 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformações
• 2.3 Círculo de Mohr — Estado Plano de Deformações
• 2.4 Deformação por Cisalhamento Máxima Absoluta
• 2.5 Rosetas
• 2.6 Relações Material-Propriedade
OBJETIVOS:
• Mostrar utilização de métodos semelhantes aos de transformação de tensão.
• Apresentar maneiras de medição das deformações
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”
THOMAS FULLER, M.D.
3. 2.1 Estado plano de deformações
O estado geral de deformação também é caracterizado por seis componentes, três normais εx,
εy e εz (adimensionais) que ocorrem nas direções dos eixos x, y e z e três por cisalhamento γ
xy, γ yz e γxz (variação angular [rad] entre os pares de eixos especificados);
No estado plano de deformações desconsideramos as componentes εz, γyz e γxz, teremos;
Convenção:
. γ (+) -> (fecha).
. γ (-) ->(abre).
As componentes de deformação são avaliadas por extensômetros e tem valores específicos em
cada direção observada.
Mas devido ao efeito Poisson, o estado plano de tensões não
causa necessariamente um estado plano de deformações e vice-versa.
4. 2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações
Baseado nestas deformações, buscamos as deformações
de um elemento em x’y’ rotacionado em relação a xy;
Na direção y’ defasamos = +90º, e teremos;
Consideraremos o elemento infinitesimal com deformações normais εx e εy nas direções x e y e
deformações total cisalhantes γxy ;
Para a deformação normal em x’ teremos a equação geral;
Para a deformação cisalhante em x’y’ teremos
a equação geral;
Como no estado plano de tensões
podemos geometricamente deduzir
expressões para obter εx’, εy’, γ x’y’
nos eixos x’y’.
5. EXEMPLO: O elemento infinitesimal do suporte está sujeito a um estado plano de deformações
com os seguintes componentes: εx = 150 (10-6), εy = 200 (10-6), e γxy= -700 (10-6). Usar as
equações de transformação e determinar as deformações planas equivalentes em um elemento
orientado a 30° no sentido horário em relação à posição original. Esquematizar no plano x-y o
elemento distorcido em virtude dessas deformações.
Solução:
Vemos que há uma def. cis. Negativa (abre ângulo entre x’
e y’), uma def. normal positiva em x’ (alonga) e negativa
em y’ (contrai), logo esboçamos o elemento deformado:
6. DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS;
Obtemos as expressões de maneira análoga as tensões principais
Deformações normais principais também ocorrem em orientações de deformações cisalhantes
nulas.
A deformação cisalhante máxima também ocorre em planos a 45º, onde atua uma deformação
normal média.
Em materiais isotrópicos os eixos das deformações principais coincidem com a orientação dos eixos
das tensões principais.
7. Fazer: O estado de deformação no ponto do dente da engrenagem tem
componentes εx=850(10-6), εy=480(10-6), γxy = 650(10-6), Usar as
equações de transformação da deformação para determinar (a) as
deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento
máxima no plano e a deformação normal média. Especificar em cada caso
a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como as deformações o
distorcem.
8.
9. 2.3 Circulo de Mohr - Estado plano de deformações
A equação do circulo de Mohr de deformações é obtida analogamente às de tensões;
Com atenção para o fato do eixo das ordenadas representar metade da deformação por
cisalhamento.
Centro e raio serão;
onde , e o pt de referência pode ser
Exemplo: O estado de deformação no ponto da chave tem componentes εx=260(10-6),
εy=320(10-6) e γxy= 180(10-6). Usar o circulo de Mohr para determinar (a) as deformações
principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação
normal média. Especificar em cada caso a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como
as deformações o distorcem.
Sol; obtendo metade da def. cis. podemos marcar o
pt de referência A,
Com a def. normal média obtemos o centro,
No próximo slide mostramos o círculo construído com o centro e pt de referência dados,
10. Dados; εx=260(10-6), εy=320(10-6) e γxy= 180(10-6)
Temos o circulo;
O raio será;
B e D dão as deformações principais;
A orientação do plano principal de
def. normal min. por tang. é;
Logo θp2=35.8º no sentido horário, e a máxima defasado
portanto observando o círculo
θp1=90-35.8=54.2º anti-hor. p/ a def.
normal máx.
Com o raio obtemos a def. cis. max.
no circulo, entre AC e CE dá o ângulo da orientação da def. cis máx por tg.;
sentido anti-horário, com fechamento angular (γ+).
11. Como vemos, a deformação de cisalhamento máxima absoluta será
como ela ocorre no plano x’z’, seu elemento está orientado à 45º em torno de y’(σint).
Temos ainda a deformação normal média;
2.4 Deformação por cisalhamento máxima absoluta
Em materiais homogêneos e isotrópicos, estas tensões
submetem as deformações principais
nestas direções;
Analisando cada plano
separadamente,
construímos o círculo de
Mohr que cruza o eixo das
abcissas nas def. principais dadas
(pts de ordenadas def. cis.=0)
Como vimos, um elem. em um estado de tensão tridimensional xyz;
terá uma orientação x’y’z’ onde atuam as tensões
principais (triaxiais)
ATENÇÂO: Planos onde não há def. cis. estão com
as def. normais principais.
12. Sol; para obter as tensões principais vamos utilizar o ciclo de Mohr para deformações,
inicialmente no plano xy;
Lembrando que;
Fazemos;
assim teremos as deformações principais no
plano x’y’;
que serão respectivamente εmax e εint, pois se trata de estado plano
com εz’=0=εmin, então fazemos o ciclo simultaneamente com as
deformações principais em cada um dos plano x’y´, x´z´e z´ý´;
Vemos que a def. cis. máxima no plano x’y’ será;
Vemos que def. cis. máxima absoluta ocorre no plano x’z’
(círculo maior) e será;
Exemplo: A deformação no ponto A do suporte tem componentes εx=300(10-6), εy=550(10-6) ,
γxy= -650(10-6) e εz= 0. Determinar (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por
cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.
Lembre-se: Planos que
não tiverem def. cis. tem
as def. normais principais
(xz e yz neste caso)
13. 2.5 Rosetas
São extensômetros de resistência elétrica;
para padrão de 3 extensômetros;
Em uma superfície xy ela mede as deformações εx’
(εa, εb e εc) respectivamente nas direções θ (θa, θb
e θc) representadas acima.
Trata-se de um problema inverso (temos (εx’)’s e
θ’s, e buscamos εx, εy e γxy) montando um sistema
com a equação geral de transformação ;
(reescrita sem as identidades trigonométricas; sen 2θ = 2 sen
θ cos θ, cos2 θ = (1+ cos 2 θ)/2 e sen2 θ + cos2 θ = 1).
O sistema terá a forma;
Determinados εx, εy e γxy utilizamos Mohr ou
Eq. gerais para obter as deformações principais
e cisalhante máxima.
Para facilitar convém orientar as rosetas
nas formas:
14. Assim o sistema;
Substituindo os valores de sen e cos
reescrevemos respectivamente:
θa=0º
θb=45º
θc=90º
θa=0º
θb=60º
θc=120º
Exemplo: O estado de deformação no ponto A do suporte da Figura-a é medido com o uso da
roseta mostrada na Figura -b. Devido às cargas, as leituras nos aferidores dão εa=60(10-6),
εb=135(10-6) , εc = 264(10-6). Determinar as deformações principais no plano nesse ponto e as
direções em que cada uma atua. Sol; poderíamos usar o sistema reescrito mais
simples, mas montando o sistema inteiro;
Cuja solução será;
ou
15. Por trigonometria (tg) obtemos o menor ângulo principal (2θp2) de AC até a direção da deformação principal
mínima no sentido anti-horário;
Logo a orientação será;
Montaremos o ciclo de Mohr;
16. Fazer: A roseta montada no elo da retroescavadeira fez as seguintes aferições; εa=650(10-6),
εb=-300(10-6) , εc = 480(10-6). Determinar (a) as deformações principais no plano, (b) a
deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada.
17.
18. Supondo materiais homogêneos e isotrópicos na região linear elástica;
Lei de Hooke Generalizada;
Em tensões triaxiais para obter as deformações devemos considerar Poisson
, (cada deformação sofre influência da def. perpendicular a ela).
Ex: Vamos buscar εx:
Pela lei de Hooke uniaxial (Cap 3), quando σx é aplicada o elemento deforma-se ε'x em x;
Mas como σy é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε‘’x em x;
Mas como σz é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε‘’’x em x;
Portanto a deformação final εx será a superposição (soma) das três, ou seja;
Analogamente para y e z faremos;
LEI DE HOOKE GENERALIZADA TRIAXIAL->
2.6 Relações Material Propriedade
19. Obs: Não existe efeito Poisson no cisalhamento,
Cada tensão τxy (plano x e direção y), apenas deforma o ângulo γxy
, (entre os eixos x e y)
assim, para cisalhamento, a lei de Hooke não se altera;
O módulo de elasticidade (E), o módulo de cisalhamento (ou módulo de rigidez) (G) e o
coeficiente de Poisson (ν) se relacionam pela Equação:
Deformação Volumétrica (e) (ou dilatação) ;
Tensões normais num elemento de volume inicial V0=dV=dxdydz;
causam variações de volume δV=V-V0
desprezando os produtos das deformações,
Deformação volumétrica ou dilatação
é simplesmente a razão adimensional;
Substituindo a Lei de Hooke generalizada nas deformações (ε’s):
20. Módulo de elasticidade do volume (ou compressibilidade) (k);
Dado um elemento submetido a uma pressão hidrostática
positiva (p) de compressão;
Teremos as tensões normais;
Substituíndo estas na equação da def. volumétrica, reescrevemos:
O termo constante do lado direito é o k;
(un: Pa ou ksi)
Obs:
, K>0 , (pois pressão hidrostática (p) positiva é compressão, e causa def. vol. (e) negativa)
Isso mostra que Poisson tem valor limitante máximo ν 0.5 (veja o denominador de k)
Esse é o valor de ν usado para escoamento plástico, quando o módulo de compressibilidade K é
máximo significando não haver mais mudança de volume, só da forma.
21. Fazer: A barra de cloreto de polivinil (Epvc = 800x103 psi) está sujeita a uma força axial de 900 lb.
Supondo que ela tenha as dimensões originais mostradas, se o ângulo θ decrescer Δθ = 0,01°
depois que a carga for aplicada, determinar:
a)as deformações normais εx, εy em função de (νpvc).
b)o coeficiente de Poisson (νpvc).
c)o módulo de cisalhamento (G).
d)a deformação volumétrica (e).
e)o módulo de compressibilidade (k).
22.
23. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.