Slides sobre Verificação de Programas baseados no livro de Silva, Finger e Melo

1. Verifica¸˜o de Programas
ca
Adolfo Neto (DAINF-UTFPR)
http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~adolfo
November 6, 2012
Adolfo Neto (DAINF-UTFPR) Verifica¸˜o de Programas
ca

2. Uma linguagem de programa¸˜o
ca
Sintaxe da linguagem:
Express˜es Aritm´ticas:
o e
E ::= n|x|(−E )|(E + E )|(E − E )|(E ∗ E )
Express˜es L´gicas:
o o
B ::= true|false|(!B)|(B&B)|(E < E )|(E == E )|(E ! = E )
Comandos: C ::= x := E |C ; C |if B{C } else {C }|while B{C }
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ca

3. Semˆntica Operacional
a
A semˆntica operacional “denota o efeito sobre o estado do
a
programa de cada comando da linguagem.”
Representa¸˜o da execu¸˜o de um comando C :
ca ca
C, σ → σ
onde σ ´ o estado antes da execu¸˜o do comando e σ ´ o
e ca e
estado depois da execu¸˜o do comando C .
ca
“A semˆntica operacional deve denotar os efeitos de todos os
a
comandos da linguagem e, para isso, deve ser definida sobre
todos os comandos e express˜es da linguagem”
o
Fonte: (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.189).
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ca

4. Regras da Semˆntica Operacional
a
Exemplo de regra (ex. 7.2.1 de (SILVA; FINGER; MELO, 2006,
p.189)) – Atrib-Operacional:
E, σ → m
x := E , σ → σ[m/x]
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ca

5. Exemplo
Exemplo 7.2.2 (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.190).
´
E preciso definir a semˆntica operacional de todas as express˜es
a o
aritm´ticas e l´gicas, al´m dos comandos.
e o e
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6. Mais sobre a Semˆntica Operacional
a
De (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.191):
A semˆntica operacional n˜o faz uma representa¸˜o expl´
a a ca ıcita
entre asser¸˜es que denotam as pr´ e p´s-condi¸˜es dos
co e o co
programas.
ϕ Prog ψ (tripla de Hoare)
Corre¸˜o parcial: para todo estado σ que satisfaz ϕ, se a
ca
execu¸˜o de Prog a partir do estado σ termina, produzindo
ca
um estado σ , ent˜o σ satisfaz ψ.
a
Queremos um sistema (c´lculo) de provas para provar a
a
validade da asser¸˜o “ ϕ Prog ψ ”:
ca
ϕ Prog ψ
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7. Mais sobre a Semˆntica Operacional
a
De (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.192):
As precondi¸˜es ϕ s˜o propriedades sobre o estado inicial do
co a
programa Prog.
Podemos ter um estado σ que satisfa¸a a asser¸˜o ϕ:
c ca
σ ϕ
Portanto, ap´s a execu¸˜o de Prog sobre o estado σ, um
o ca
estado σ ´ produzido. E σ satisfaz ψ:
e
σ ϕ → Prog σ ψ
onde Prog termina se executado sobre um estado que satisfaz
ϕ e Prog σ representa o estado produzido por Prog ap´s sua
o
execu¸˜o sobre o estado σ.
ca
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8. Mais sobre a Semˆntica Operacional
a
De (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.192):
A asser¸˜o
ca ϕ Prog ψ deve ser v´lida para TODOS os
a
estados que satisfazem ϕ:
∀σ(σ ϕ) → Prog σ ψ
Assumimos que Prog termina quando executado sobre os
estados σ. Na pr´tica temos programas que n˜o param.
a a
As provas de programas podem ser divididas em:
provas quando assumimos que o programa p´ra; e
a
provas que tem como tarefa tamb´m provar a termina¸˜o do
e ca
programa.
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9. Mais sobre a Semˆntica Operacional: Corre¸˜o Parcial
a ca
De (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.192), def. 7.3.1:
Corre¸˜o parcial: A tripla
ca
ϕ Prog ψ
´ satisfeita sob corre¸˜o parcial se, para todos os estados que
e ca
satisfazem ϕ, o estado resultante da execu¸˜o do programa
ca
Prog satisfaz a p´s-condi¸˜o ψ, se Prog termina.
o ca
Nesse caso, par ´ a rela¸˜o de satisfazibilidade para corre¸˜o
e ca ca
parcial:
par ϕ Prog ψ
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10. Mais sobre a Semˆntica Operacional: Corre¸˜o Parcial
a ca
De (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.192), def. 7.3.1:
Corre¸˜o parcial ´ um requisito ineficiente, na pr´tica, porque
ca e a
n˜o garante a termina¸˜o do programa.
a ca
Qualquer programa que n˜o termina satisfaz a sua
a
especifica¸˜o.
ca
Na outra no¸˜o de corre¸˜o (corre¸˜o total), a
ca ca ca
satisfazibilidade, bem como a termina¸˜o do programa, deve
ca
ser provada.
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11. Mais sobre a Semˆntica Operacional: Corre¸˜o Total
a ca
De (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.193), def. 7.3.2:
Corre¸˜o total: A tripla
ca
ϕ Prog ψ
´ satisfeita sob corre¸˜o total se, para todos os estados que
e ca
satisfazem ϕ, o estado resultante da execu¸˜o do programa
ca
Prog satisfaz a p´s-condi¸˜o ψ e Prog termina.
o ca
Nesse caso, tot ´ a rela¸˜o de satisfazibilidade para corre¸˜o
e ca ca
total:
tot ϕ Prog ψ
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12. Mais sobre a Semˆntica Operacional: Corre¸˜o Total
a ca
De (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.193):
Qualque programa que entra em um la¸o infinito de repeti¸˜o
c ca
n˜o satisfaz sua especifica¸˜o sob a rela¸˜o de corre¸˜o total.
a ca ca ca
Essa rela¸˜o ´ muito mais util na pr´tica.
ca e ´ a
Provar corre¸˜o total de programas pode ser dividido em:
ca
1. provar corre¸˜o parcial
ca
2. provar que o programa termina
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13. Exemplos
Demonstra¸˜es informais:
co
Exemplo 7.3.1 (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.193).
Exemplo 7.3.2 (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.194-195).
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14. Corre¸˜o Parcial de Programas
ca
O sistema de provas prova ´ definido sobre cada elemento
e
sint´tico da linguagem
a
As provas s˜o realizadas usando indu¸˜o sobre as estruturas
a ca
dos programas
Ou seja, as regras provam a corre¸˜o de uma asser¸˜o para
ca ca
um comando mais complexo pela prova de corre¸˜o das
ca
asser¸˜es de seus subcomandos.
co
Devemos distinguir dois elementos no sistema de provas:
1. as regras de inferˆncia sobre cada um dos elementos sint´ticos
e a
dos programas
2. o mecanismo de prova usando as regras definidas
As regras s˜o chamadas regras de Hoare. O conjunto das
a
regras forma a l´gica de Hoare.
o
Fonte: (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.195).
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15. Regras da Semˆntica Operacional
a
Composi¸˜o:
ca
ϕ C1 η η C2 ψ
ϕ C 1; C 2 ψ
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16. Regras da Semˆntica Operacional
a
Atribui¸˜o:
ca
ψ[E /x] x := E ψ
A propriedade a ser satisfeita antes da atribui¸˜o ´ a pr´pria ψ com
ca e o
todas as ocorrˆncias de x substitu´
e ıdas pela express˜o E , ψ[E /x].
a
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17. Regras da Semˆntica Operacional
a
IfElse:
φ ∧ B C1 ψ φ ∧ ¬B C 2 ψ
φ if B{C 1}else {C 2} ψ
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18. Regras da Semˆntica Operacional
a
WhileParcial:
η∧B C η
η while B{C } η ∧ ¬B
Obs.: η ´ um invariante que deve ser satisfeito antes e depois de o
e
comando C ser executado.
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19. Regras da Semˆntica Operacional
a
Implica¸˜o:
ca
ϕ →ϕ ϕC ψ ψ→ψ
ϕ C ψ
Observa¸˜es:
co
Esta regra faz a conex˜o entre as provas que podemos ter na
a
l´gica de predicados, usada na especifica¸˜o dos problemas,
o ca
com a l´gica de programas aqui apresentada.
o
Isto nos permite considerar as provas na l´gica de predicados
o
como parte das provas de programas
Estabelece o elo de liga¸˜o entre especifica¸˜o e programas
ca ca
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20. Regras da Semˆntica Operacional
a
E, σ → m ϕ C1 η η C2 ψ
x := E , σ → σ[m/x] ϕ C 1; C 2 ψ
φ ∧ B C1 ψ φ ∧ ¬B C 2 ψ
ψ[E /x] x := E ψ φ if B{C 1}else {C 2} ψ
η∧B C η ϕ →ϕ ϕC ψ ψ→ψ
η while B{C } η ∧ ¬B ϕ C ψ
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21. Sistema de Provas
Provar que o programa P
C0;
C1;
C2;
.
.
.
Cn
satisfaz a especifica¸˜o
ca
Pre: ϕ
Pos: ψ
par ϕ P ψ
corresponde a . . .
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22. Sistema de Provas
Provar cada um dos comandos para as suas pr´ e p´s-condi¸˜es
e o co
individuais
ϕ
C0;
ϕ1
C1;
ϕ2
.
.
.
ϕn
Cn
ψ
O que corresponde a . . . Fonte: (SILVA; FINGER; MELO, 2006,
p.199).
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ca

23. Sistema de Provas
O que corresponde a
par ϕ C0 ϕ1
par ϕ1 C1 ϕ2
.
.
.
par ϕ n Cn ψ
Fonte: (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.200).
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ca

24. Sistema de Provas
A regra a ser aplicada para provar cada comando ´ detectada
e
pela pr´pria sintaxe do comando: se ´ uma Atribui¸˜o, um
o e ca
IfElse, etc.
Mas aqui foram introduzidas asser¸˜es intermedi´rias entre os
co a
comandos. Como encontrar tais asser¸˜es quando temos
co
apenas a especifica¸˜o das pr´ (ϕ) e p´s-condi¸˜es (ψ) do
ca e o co
problema?
Exemplo 7.4.1 (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.200-201)
Fonte: (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.200-201).
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ca

25. Sistema de Provas
Mas aqui foram introduzidas asser¸˜es intermedi´rias entre os
co a
comandos. Como encontrar tais asser¸˜es quando temos
co
apenas a especifica¸˜o das pr´ (ϕ) e p´s-condi¸˜es (ψ) do
ca e o co
problema?
Olhamos o que queremos provar para, ent˜o, introduzir
a
asser¸˜es intermedi´rias para verificar se a premissa ´
co a e
suficiente para provar a asser¸˜o do topo do programa.
ca
Fonte: (SILVA; FINGER; MELO, 2006, p.201).
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26. Pr´ximos Passos
o
Tablˆ de provas
o
Exemplos de provas
Corre¸˜o e completude do sistema de provas
ca
Corre¸˜o total de programas
ca
Notas bibliogr´ficas
a
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27. Referˆncias
e
SILVA, Fl´vio S. C. da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. V.
a
de. L´gica para Computa¸˜o. S˜o Paulo: Thomson
o ca a
Learning, 2006.
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