As diferentes curvas cônicas Os elementos de uma curva cônica Equações reduzidas das curvas cônicas A excentricidade das curvas cônicas

1. Geometria
Analítica
AS SEÇÕES CÔNICAS
As diferentes curvas cônicas
Os elementos de uma curva cônica
Equações reduzidas das curvas cônicas
A excentricidade das curvas cônicas

2. APRESENTAÇÃO
O
lá aluno (a), seja bem-vindo (a) a esta nova etapa de construção do conhecimento!
Aqui, você aprenderá os conceitos dascurvas cônicas e aprenderá como determinar
suas equações reduzidas. Você verá que as curvas cônicas não degeneradas são curvas
muito conhecidas e muito utilizadas em vários ramos da ciência. Espero que você tenha
um ótimo aprendizado!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você será capaz de:
• Conceituar e reconhecer as diferentes curvas cônicas;
• Reconhecer e determinar os elementos de uma curva cônica;
• Determinar as equações reduzidas das curvas cônicas;
FICHA TÉCNICA
• Analisar a excentricidade das curvas cônicas.
FUMEC VIRTUAL - SETOR DE
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Tâmara Santos Soares
Produção de
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Marcela Scarpelli
Paulo Roberto Rosa Junior
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
BELO HORIZONTE - 2013
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Prof. Fernando Henrique


3. AS SEÇÕES CÔNICAS
As seções cônicas
UMA PEQUENA INTRODUÇÃO
As curvas cônicas têm sido estudadas desde a antiguidade por
matemáticos influentes em sua época, como Euclides e Apolônio. No início,
estas curvas planas eram estudadas por simples curiosidade, sem muitas
pretensões de aplicações práticas. No entanto, com o passar do tempo e
o desenvolvimento de áreas do conhecimento como a física,a astronomia,
a engenharia e a própria matemática, surgiram aplicações práticas
importantes para estas curvas. Como exemplo temos as órbitas elípticas
dos planetas em torno do sol, bem como as características reflexivas
destas curvas largamente utilizadas na indústria em geral.
Neste trabalho será feito um breve resgate da história destas curvas,
a descrição de suas equações matemáticas e uma consideração a
respeito da possibilidade da utilização das propriedades físicas destas
curvas planas, como solução estrutural e/ou estética em obras de arte
de engenharia civil.
UM POUCO DE HISTÓRIA
As curvas cônicas são conhecidas e estudadas a muitos séculos. Os
trabalhos mais antigos sobre o assunto foram feitos por Menaecmo,
Aristeu e Euclides. Mas foi Apolônio, conhecido como:
“O Grande Geômetra” que nasceu por volta de 262aC
em Perga, no sul da Ásia Menor e morreu por volta
de 190aC em Alexandria, que desenvolveu um estudo
mais completo e detalhado sobre as seções cônicas.
Sua grande obra Seções Cônicas supera completamente os trabalhos anteriores sobre o assunto.
(EVES, 1997)
As Seções Cônicas
59

4. Este autor também afirma que:
“Antes de Apolônio os gregos tiravam as cônicas de três tipos de cones de
revolução, conforme o ângulo do vértice da seção meridiana fosse menor que,
igual a, ou maior que um ângulo reto. Seccionando-se cada um desses tipos
de cones com um plano perpendicular a uma geratriz resultam respectivamente uma elipse, uma parábola e uma hipérbole. Só se considerava um ramo da
hipérbole. Apolônio porém, no livro I de seu tratado, obtinha todas as seções
cônicas da maneira hoje familiar, ou seja, a partir de uma cone circular duplo,
reto ou oblíquo”
(EVES, 1997)
Parábola
Circunferência
Elipse
Hipérbole
Figura 1: Seções cônicas não degeneradas
A figura 1 mostra a obtenção das seções cônicascomo descrito. A circunferência também
pode ser considerada uma cônica, pois pode ser obtida quando um plano secciona um
cone reto perpendicularmente ao seu eixo e, existem ainda, as chamadas cônicas degeneradas que ocorrem quando o plano intercepta o cone em seu vértice e dependendo de
seu ângulo surgem um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes.Porém, neste trabalho
serão abordadas a elipse, a hipérbole e a parábola.
Winterle (2000), descreve como obter uma “superfíciecônica” a partir de duas retas,
como mostra afigura 2:
“Sejam duas retas e e g concorrentes em o e não-perpendicualares. Conservemos
fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno de e mantendo constante o
ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g gera uma superfície cônica
circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice o.”
(Winterle, 2000)
e
g
o
Figura 2: Superfície cônica
60
As Seções Cônicas

5. No início os matemáticos estudavam estas elegantes curvas sem maiores preocupações
com aplicações práticas. Mas ao longo do tempo inúmeras descobertes importanets em
matemática pura e na ciência em geral estavam ligadas às seções cônicas.
Dois exemplos clássicos são, a descoberta de Galileu Galilei, que em 1604 descobriu que
um projétil que era lançado horizontalmente do topo de uma torre tinha uma trajetória em
forma de parábola, se considerando atuante apenas a força da gravidade,o outro exemplo
é a publicação de Képler em 1609, referente à sua descoberta de que a órbita de Marte
em torno do Sol era uma elipse, lançando a hipótese que todos os planetas se moveriam
em órbitas elípticas, o que foi comprovado décadas mais tarde por Isaac newton.
Galileu Galilei
Képler
Isaac Newton
DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS
Embora, como visto, as curvas cônicas poderem ser obtidas através de seções em um
cone, seu estudo através da geometria analítica é feito a partir de suas definições matemáticas e de suas equações descritas em relação a um sistema de referência.Steimbruch
(1987), nos dá uma definição matemática para cada uma das curvas cônicas abordadas,
veja as figuras 3, 4 e 5.
“Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de
uma reta d (diretriz) e de um ponto F (foco) não pertencente a d.”
(Steimbruch,1987)
π
Mn
F
( d ) diretriz
Mn ∈ parábola ⇒ dM n F = dM n (d )
Figura 3: Parábola
“Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos (focos) desse plano é constante.”
(Steimbruch,1987)
As Seções Cônicas
61

6. π
M1
M2
F
F'
Mn
Mn ∈ elipse ⇒ dM n F ' + dM n F = k
Figura 4: Elipse
“Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante.”
(Steimbruch,1987)
π
Mn
M1
F'
F
M2
Mn ∈ hipérbole ⇒
dM n F ' − dM n F = k
Figura 5: Hipérbole
TABELA 1 - SÍMBOLOS
Mn
Um ponto qualquer pertencente às cônicas
dPF
Distância do ponto P ao foco F
dPd
Distância do ponto P à reta diretriz
dPF’
Distância do ponto P ao foco F’
k
Constante característica das cônicas
Equações reduzidas das cônicas não degeneradas
As equações reduzidas das cônicas, que são as equações mais simplificadas destas
curvas, são obtidas quando o sistema de referência está posicionado em determinados
locais que serão descritos.
Equações reduzidas das parábolas
Para as parábolas, se o plano cartesiano for posicionado de modo que o vértice da parábola fique na origem e seu foco sobre um dos eixos coordenados, tem-sesua equação
cartesiana reduzida que possui quatro tipos possíveis, você pode observar isto nas figuras
6, 7, 8 e 9:
62
As Seções Cônicas

7. y
x= p
y
x = −p
F ( p,0 )
F ( − p,0 )
x
x
y 2 = −4 px
y 2 = 4 px
Figura 6: Parábola tipo 1
Figura 7: Parábola tipo 2
y
y
y= p
F ( p,0 )
x 2 = 4 py
x 2 = −4 py
F ( 0, − p )
x
y = −p
x
−p
Figura 8: Parábola tipo 3
Figura 9: Parábola tipo 4
Equações reduzidas das elípses
Agora, dê uma olhada nas ver figuras 10 e 11. Perceba que para as elípses o plano cartesiano deverá estar posicionado, de tal forma que, os focos fiquem sobre um dos eixos
e simétricos em relação à origem, neste caso surgem dois tipos de equações reduzidas.
y
y
A ( 0, a )
B ( 0, b )
F ( 0, c )
B ( −b,0 )
A ( − a,0 )
B ( b,0 )
x
F ′ ( 0, −c )
A ( 0, − a )
A ( a,0 )
F ′ ( −c,0 )
F ( c,0 )
B ( 0, −b )
y 2 x2
+
=1
a 2 b2
x2 x2
+
=1
a 2 b2
Figura 10
As Seções Cônicas
x
Figura 11
63

8. Equações reduzidas das hipérboles
Para as hipérboles o posicionamento do plano cartesiano é similar ao das elipses, ou seja,
focos sobre um dos eixos esimétricos em relação à origem, como você pode ver nas
figuras 12 e 13.
y
y
F
A
A′
x
A′
A
F′
F
x
F′
y 2 x2
−
=1
a 2 b2
x2 x2
−
=1
a 2 b2
Figura 12: Hipérbole tipo 1
Figura 13: Hipérbole tipo 2
Vamos agora estudar um pouco mais detalhadamente
cada uma das curvas cônicas não degeneradas, ou
seja, a parábola, a elipse e a hipérbole,com exceção da
circunferência que já estudamos anteriormente.
A PARÁBOLA
Uma das curvas planas mais conhecidas, e com várias aplicações na matemática e na
engenharia, é a parábola. Em relação à sua definição matemática vale lembrar que,um
conjunto de infinitos pontos de um plano que são equidistantes de uma reta diretriz (d) e
de um ponto fixo, foco (F), deste plano.
π
Mn
F
IMPORTANTE
O foco não pertence à diretriz.
( d ) diretriz
Mn ∈ parábola ⇒ dM n F = dM n (d )
Figura 14
64
As Seções Cônicas

9. Elementos da Parábola
Vamos continuar analisando nossos estudos com a análise da figura 15, ela mostra uma
parábola com vértice na origem do sistema cartesiano, concavidade voltada para a direita
e foco sobre o eixo x.
y
(d )
x = −p
−p
L
F ( p,0 )
v
x
R
Figura 15
Os elementos desta curva são:
• Foco: é o ponto fixo F;
• Diretriz: é a reta fixa (d);
• Eixo: é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz;
• Vértice: é o ponto de interseção da parábola com seu eixo;
• Parâmetro: Chamaremos de parâmetro (P) a distância do foco ao vértice, sendo então 2p a distância do foco à diretriz;
• Lado reto: é o segmento cujos extremos são pontos da parábola, é
perpendicular ao eixo e passa pelo foco.
Parâmetro
Alguns autores consideram o
parâmetro ( P ) como sendo
a distância entre o foco e a
diretriz. Neste caso a distância
entre o foco e o vértice é
p
2
Como já foi dito, estudaremos primeiramente as
equações reduzidas das parábolas. Neste caso o plano
cartesiano terá a sua origem coincidindo com o vértice
da parábola cujo eixo, e consequentemente seu foco,
estará sobre um dos eixos coordenados.
Equações Reduzidas da Parábola
y
RELEMBRE
M ( x, y )
−p
v
d=
F ( p,0 )
x
dpr =
(d )
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
ax0 + by0 + c
a 2 + b2
Figura 16
As Seções Cônicas
65

10. −
0
Equação da diretriz: x = p ou x + 0 y + p =
Seja o ponto genérico M ( x, y ) ∈ parábola
Definição matemática: dMF = dM ( d )
 dMF = ( x − p ) 2 + y 2



1⋅ x + 0 ⋅ y + p

=
= x+ p
dM (d )
12 + 0

Então:
( x − p ) 2 + y 2 =x + p
(
( x − p)2 + y 2
2
2
)
2
=+p
x
2
2
2
x − 2 px + P + y = x + 2 px + p
2
∴
2
y = 4 px
Eq. genérica reduzida de uma
parábola com a concavidade
voltada para a direita.
Então, por analogia, é possível concluir que temos
quatro tipos de equações reduzidas para as parábolas.
y
y
x = −p
F ( p,0 )
F ( − p,0 )
−p
x= p
p
x
y 2 = 4 px
x
y 2 = −4 px
Figura 17
Figura 18
y
y
y= p
p
x 2 = 4 py
F ( p,0 )
x 2 = −4 py
x
y = −p
F ( 0, − p )
x
−p
Figura 19
66
Figura 20
As Seções Cônicas

11. Exercícios resolvidos
1. Vamos agora esboçar o gráfico, dar as coordenadas do foco e a equação da diretriz
da parábola y 2 = 4 px .
Então y 2 = 4 x
Compare a equação dada com a equação genérica y 2 − 4 x =
0
 y2 = 4x

 2
 y = 4 px

⇒
4p = 4
p =1
x = −1
−1
y
F (1,0 )
x
y2 = 4x
 1

• A equação da diretriz pode ser escrita como x =
1
.
2
2. Determine a equação da parábola cujo F  − ,0  foco é e a diretriz é a reta
 2 
2x −1 = :
0
• Pela posição do foco e da diretriz, podemos concluir que se trata de uma parábola com
vértice na origem e concavidade voltada para a esquerda, cuja equação genérica é
y 2 = −4 px .
• Seu parâmetro p vale
1
.
2
Então:
1
y 2 =−4 ⋅ ⋅ x
2
As Seções Cônicas
∴
y 2 =−2 x
67

12. A ELIPSE
A Elipse é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de .
Para lembrar, sua definição matemática, ou seja, a regra que
define como esses pontos devem estar posicionados no plano,
para que descrevam uma elipse é a seguinte: Elipse é o conjunto
de infinitos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos deste plano (focos) é constante (k). Cada elipse tem
a sua constante k.
π
M2
M1
F
F'
Mn
Mn ∈ elipse ⇒ dM n F ' + dM n F = k
Figura 21
Elementos da Elipse
A figura 22 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano.
y
B ( 0, b )
A′ ( −a,0 )
2c
A ( −a,0 )
F ′ ( −c,0 )
2a
F ( c,0 )
x
B′ ( 0, −b )
Figura 22
Seus principais elementos são:
• Eixo maior: é o segmento A’A, cuja medida vale 2a;
• Eixo menor: é o segmento B’B, cuja medida vale 2b;
• Vértices: são os pontos A '( − a,0) e A( a,0) ;
• Focos: são os pontos fixos F '( −c,0) e F (c,0) , a distância focal (entre focos)
mede 2c;
• Os pontos B '(0, −b) e B (0, b) são as extremidades do eixo menor.
68
As Seções Cônicas

13. IMPORTANTE
1. A constante k, característica de cada elipse, é igual ao comprimento de seu eixo maior
2a.
Então: k = 2a
Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto A '( − a,0) que (pertence à elipse e
A a,0)
por isso deve satisfazer à condição:
Definição matemática: dA ' F '+ dA ' F =
k
y
B ( 0, b )
De fato:
dA ' F = a − c
'
dA ' F= a + c
a
A′ ( −a,0 )
a−c+a+c =
k
K = 2a
a
b
A ( a,0 )
x
F ( c,0 )
c
F ′ ( −c,0 )
Então,
M ( x, y )
B′ ( 0, −b )
Figura 23
2. Relação entre a, b e c.
2
a= b 2 + c 2
Equação Reduzida da Elipse
Primeiramente estudaremos as cônicas tomando como referência
um sistema de eixos coordenados, as elipses e hipérboles estarão
posicionadas tal que seus vértices e focos fiquem sobre um dos
eixos e simétricos em relação à origem como na figura 22. No caso
das parábolas, seu foco deverá estar sobre um dos eixos e seu
vértice posicionado na origem. Com isso vamos obter as equações
reduzidas destas curvas.
Vamos agora determinar a equação de uma elipse específica, cujos
focos são F' (-3, 0) e F (3, 0) e cujo eixo maior 2a mede 10 unidades.
Lembrando que 2a = k. Esta elipse está representada na figura 24.
y
M ( x, y )
A ( −5,0 )
A ( 5,0 )
F ( −3,0 )
F ( 3,0 )
x
2a = 10
Figura 24
As Seções Cônicas
69

14. Seja o ponto genérico M ( x, y ) ∈ elipse
Definição matemática: dMF ′ + dMF =
2a
Então:
( x + 3) 2 + y 2 +
(
( x + 3) 2 + y 2
( x − 3) 2 + y 2 =
10
) = (10 −
2
( x − 3) 2 + y 2
)
2
x 2 + 6 x + 9 + y 2 = 100 − 20 ( x − 3) 2 + y 2 + x 2 − 6 x + 9 + y 2
6 x = 100 − 20 ( x − 3) 2 + y 2 − 6 x
− 20
12 x − 100 = ( x − 3) 2 + y 2
(
−
(3x − 25) 2 = 5 ( x − 3) 2 + y 2
(÷4)
)
2
=
9 x 2 − 150 x + 625 25( x 2 − 6 x + 9 + y 2
9 x 2 − 150 x + 625 = 25 x 2 − 150 x + 225 + 25 y 2
625 − 225 = 16 x 2 + 25 y 2
400 = 2 + 25 y 2
16 x
(÷400)
400 16 x 2 25 y 2
=
+
400 400
400
1=
x2
y2
+
25 16
ou
Equação reduzida da elipse na
sua forma característica após
simplificação.
x2 y 2
+
=1
25 16
Equações Reduzidas Genéricas da Elipse
Podemos determinar uma equação genérica reduzida para todas as elipses com focos
e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à origem. A figura
25 mostra uma elipse cujos elementos estão com coordenadas genéricas em relação ao
sistema cartesiano. Determinaremos sua equação aplicando a definição matemática.
y
M ( x, y )
A ( − a,0 )
A ( a,0 )
F ′ ( −c,0 )
F ( c,0 )
x
RELEMBRE
2
a= b 2 + c 2
Figura 25
70
As Seções Cônicas

15. dMF ′ + dMF =
2a
( x + c) 2 + y 2 +
(
( x + c) 2 + y 2
( x − c) 2 + y 2 =
2a
) = ( 2a −
2
( x − c) 2 + y 2
)
2
x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2
/
/
/
/
/
/
2cx = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 − 2cx
4cx − 4a 2 = a ( x − c) 2 + y 2
−4
(
(cx − a 2 ) 2 = a ( x − c) 2 + y 2
−
(÷4)
)
2
c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 a 2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 )
=
c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 =a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2
a4 − a2c2 = a2 x2 − c2 x2 + a2 y 2
a 2 (a 2 − c 2 ) x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y 2
=
a2 − c2 =
b2
Fazendo
a 2b 2 =2 x 2 + a 2 y 2 (÷a 2b 2 )
b
a 2b 2
=
a 2b 2
2
b2 x2
a2 y2
+ 2 2
a 2b 2
ab
Equação genérica reduzida de
uma elipse com focos e vértices sobre o eixo-x e simétricos
em relação à origem
2
x
y
1
+ 2 =
2
a
b
Analogamente, temos:
y
A ( 0, a )
F ( 0, c )
B ( −b,0 )
x2 y 2
+
=
1
b2 a 2
B ( b,0 )
x
F ′ ( 0, −c )
A ( 0, − a )
Equação genérica reduzida de
uma elipse com focos e vértices sobre o eixo-y e simétricos
em relação à origem.
Figura 26
ATENÇÃO
Notemos que no caso da elipse, a > b então a2 > b2 sendo a, b > 0, ou seja, o a2 que nos indicará
a posição dos focos e vértices será sempre o maior denominador na equação reduzida.
As Seções Cônicas
71

16. Excentricidade da elipse
Excentricidade é a razão e =
c
que nos informa o quão achatada é uma elipse.
a
Como a > c ⇒ 0 < e < 1 . Outra fórmula para o cálculo da excentricidade:
a2 − c2 =
b2
2
c= a 2 − b 2
a 2 − b2
=
c
e=
a 2 − b2
a
a 2 − b2
e= 2
a
e=−
1
∴
b2
a2
OBSERVAÇÕES
• Note que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido no intervalo aberto (0,1).
• Uma elipse com uma excentricidade próxima de zero, é uma elipse menos achatada, ou
mais arredondada, quanto menor a excentricidade mais arredondada será a elipse. No
caso limite onde c = 0 e, portanto e = 0 teremos uma circunferência de raio a.
• Uma elipse com uma excentricidade próxima de 1, é uma elipse bastante achatada. Para
que a excentricidade se aproxime de 1 é necessário que c fique próximo de a.
Exercício resolvido
1. Chegou a hora de você determinar a equação da elipse com focos no eixo-x, onde
temos:
2a = 12
 2c = 8
I. 
Então:
e
a
c
= 6= 4
2
c= a 2 − b 2
16 36 − b 2
=
2
b= 36 − 16
= 20
b2
72
∴
x2 y 2
= 1
+
36 20
As Seções Cônicas

17. 2b = 6
II. 

1
e= 2

Assim:
b=3
=
e
1−
2
1
 =

2
b2
a2

9 
 1− 2 

a 


2
1
9
= 1− 2
4
a
9
1
= 1−
2
4
a
9 3
=
a2 4
3a 2 = 36
= 12
a2
∴
x2 y 2
+= 1
12 9
A HIPÉRBOLE
Assim como a elipse, a hipérbole também é uma curva
plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de . Para
lembrar, sua definição matemática diz que a Hipérbole é o
conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferença das
distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é, em valor
absoluto, uma constante (k).
DICA
Cada hipérbole tem a sua constante k.
As Seções Cônicas
73

18. π
Mn
M1
F'
F
M2
dM n F ' − dM n F = k
Mn ∈ hipérbole ⇒
Figura 27
Elementos da Hipérbole
A figura 28 mostra uma hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano.
y
b
y=− x
a
y=
B ( b,0 )
A′( 0, a )
b
x
a
y =b
A ( 0, − a )
F ( 0, c )
F ′ ( 0, −c )
x
y = −b
B′( −b,0 )
x = −a
x=a
Figura 28
OBSERÇÃO
Os focos estão sobre o eixo x e simétricos em relação à origem.
Seus principais elementos são:
• Eixo transverso (ou real): é o segmento A’A, cuja medida vale 2a;
• Eixo conjugado (ou imaginário): é o segmento B’B, cuja medida vale 2b;
• Vértices: são os pontos A '( − a,0) e A( a,0) ;
• Focos: são os pontos fixos F '( −c,0) e F (c,0) , a distância focal (entre focos)
mede 2c;
b
a
b
a
• Assíntotas: são as retas y = y =
− x e
x .
74
As Seções Cônicas

19. IMPORTANTE
A constante k, característica de cada hipérbole, é igual ao comprimento de seu eixo transverso 2a.
Então k = 2a. Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto
hipérbole e por isso deve satisfazer à condição:
A(a, 0) que pertence à
Definição matemática: dAF '− dAF =
k
De fato:
dAF '− dAF =
k
( a + c ) − (c − a ) =
k
Então,
a+c−c+a =
k
k = 2a
k
= 2a pois a > 0
Equações Reduzidas Genéricas da Hipérbole
Vamos determinar uma equação genérica reduzida para todas as hipérboles com focos
e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à origem. A figura
5.8 mostra uma hipérbole cujos elementos estão com coordenadas genéricas em relação
ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equação aplicando a definição matemática.
y
y
M ( x, y )
F ′ ( −c,0 )
A ( − a,0 )
A ( a,0 )
F ( c,0 )
x
c
a
b
A
F
x
Figura 29
2
Lembrando que: c= a 2 + b 2
Seja o ponto genérico M ( x, y ) ∈ hipérbole
Definição matemática
dMF ′ − dMF =
2a
Então:
( x + c) 2 + y 2 −
As Seções Cônicas
( x − c) 2 + y 2 =
2a
75

20. Eliminando os radicais, simplificando e fazendo c 2 − a 2 =.
b2
Encontraremos assim:
Equação genérica de uma hipérbole com focos e vértices sobre
o eixo-x e simétricos em relação
à origem.
x2 y 2
−
=
1
a 2 b2
Analogamente:
y
y 2 x2
−
=
1
a 2 b2
F
A
x
A′
F′
Equação genérica de uma hipérbole com focos e vértices sobre
o eixo-y e simétricos em relação
à origem.
Figura 30
IMPORTANTE
Na equação reduzida da hipérbole o a2 também nos indicará a posição dos focos e vértices e
neste caso será sempre o denominador da parcela positiva. Se a = b temos o que chamamos
de hipérbole equilátera.
Excentricidade da hipérbole
Também é calculada pela razão e =
c
que nos dá a abertura dos ramos da hipérbole.
a
Como c > a a excentricidade da hipérbole sempre será >1.
Outra fórmula para o cálculo da excentricidade:
c2 − a2 =
b2
2
c= a 2 + b 2
=
c
e=
a 2 + b2
a 2 + b2
a
a 2 + b2
e= 2
a
76
∴
e=+
1
b2
a2
As Seções Cônicas

21. Exercícios resolvidos
1. Determine as coordenadas dos focos e vértices das hipérboles:
a.
4 x2 − 9 y 2 =
36
4 x 2 9 y 2 36
−
=
36
36 36
e b2
= 9= 4
a2
Focos e vértices estão sobre o eixo x.
2
c= a 2 + b 2
c 2= 9 + 4
c 2 = 13 ⇒ c =
13
∴
(
)
F ′ − 13,0 e F
A ' ( −3,0 )
e
(
13,0
)
A ( 3,0 )
2
2
8
b. y − x =
y 2 x2 8
−
=
8
8 8
e b2
= 8= 8
a2
Focos e vértices estão sobre o eixo x.
2
c= a 2 + b 2
c 2 = 16
c=
4
F '(0, −4) e F (0, 4)
∴
A '(0, − 8) e A(0, 8)
c.
2 x2 − y 2 =
2
2 x2 y 2 2
−
=
2
2 2
x2 y 2
−
=
1
1
2
e b2
= 1= 2
a2
Focos e vértices estão sobre o eixo x.
2
c= a 2 + b 2
c2 = 1 + 2
c=
As Seções Cônicas
3
∴
F '(− 3,0) e F ( 3,0)
A '(−1,0) e A(1,0)
77

22. 2. Vamos obter a equação da hipérbole, com centro na origem do sistema cartesiano,
nos casos:
a.
2a = 8e um dos focos é (5,0)
2c = 10
⇒
c =5
⇒
c 2 = 25
2
c= a 2 + b 2
2
b= c 2 − a 2
2
b= 25 − 16
b2 = 9
O eixo transverso está contido no eixo x.
x2 y 2
−
=1
a 2 b2
b.
⇒
x2 y 2
−
= 1
16
9
2b = 2e um dos focos é (–2,0)
2b =2 ⇒
b =1
⇒ b 2 =1
2c = 4
c=2
⇒
⇒
c2 = 4
2
c= a 2 + b 2
2
a= c 2 − b 2
b 2= 4 − 1
b2 = 3
O eixo transverso está contido no eixo x.
x2 y 2
−
=1
a 2 b2
c.
⇒
x2 y 2
−
= 1
3
1
2a = 6e um dos focos é (0,–5)
2a =6 ⇒
2c = 10
⇒
a =3 ⇒ a 2 =9
c =5
⇒
c 2 = 25
2
c= a 2 + b 2
2
b= c 2 − a 2
2
b= 25 − 9
b 2 = 16
O eixo transverso está contido no eixo y.
x2 y 2
−
=1
a 2 b2
78
⇒
x2 y 2
−
= 1
9 16
As Seções Cônicas

23. DICA
As cônicas na engenharia: As características físicas das curvas cônicas aparecem em diversos tipos de obras de engenharia civil como pontes, viadutos e túneis como solução estrutural e/ou estética.
UM EXEMPLO TEÓRICO
Um exemplo clássico da aplicação das curvas cônicas na engenharia é descrito a seguir:
A Figura 31 mostra um túnel hipotético de duas pistas com
uma seção transversal que é uma parábola. A altura H
do túnel é de 7m e sua largura na base é de L=20 7m .
Pretende-se saber a que altura h deverá estar a pista 2 de
modo que ela tenha l = 40m de largura.
Pista 2
h
Pista 1
L = 20 7 m
Figura 31: Esquema de túnel com seção transversal em forma de parábola
Para solucionar o problema é necessário encontrar a equação da parábola, e para isto é,
preciso posicionar no esquema um sistema de referência (plano cartesiano). Se o plano
cartesiano for posicionado com sua origem no topo do túnel, onde está o vértice da parábola, então obter-se á sua equação reduzida.
As Seções Cônicas
79

24. y
x
B ( 20, y )
(
A 10 7, −7
)
Figura 32: Esquema do túnel com o plano cartesiano
A Figura 32 mostra o plano cartesiano posicionado de tal maneira que a equação reduzida
2
da parábola tenha a forma genérica x = −4 py . Para determinar a equação específica da
parábola do túnel, basta substituir na equação genérica o ponto A(10 7, −7) que é um
ponto conhecido da curva (seção do túnel);
(10 7) 2 = p (−7)
−4
700 = 28 p
p = 25
Desta maneira obtém-se p = 25 e então a equação específica da parábola será x2 = –4(25)y
ou x2 = –100y. Substituindo o ponto B(20, y) na equação da parábola, vem:
202 = −100 y
400 = −100 y
y = −4
ATENÇÃO
A ordenada do ponto B é – 4 então podemos concluir que a altura h da pista 2 será:
h= 7 − 4
h = 3m
80
As Seções Cônicas

25. EXEMPLOS REAIS NA ENGENHARIA
FIGURA 33: Catedral de Brasília
Fonte: www.infobrasiia.com.br
A figura 33 mostra a Catedral de Brasília. As estruturas de concreto são arcos de parábolas que têm funções estrutural e também estética.
Figura 34 – Central Nuclear de Grafenrheinfeld, Alemanha
Figura 35 – Hiperbolóide de uma folha.
As torres de refrigeração de uma usina nuclear, como as mostradas na figura 34, geralmente são estruturas em formato de hiperbolóide de uma folha gerado pela rotação de
uma hipérbole em torno de um de seus eixos (ver figura 35).
Para finalizar, veja o que Sato (2005) afirma sobre a hipérbole:
“Podemos mostrar que o hiperbolóide de uma folha gerado pela rotação de uma
hipérbole em torno do seu eixo transverso é também gerado por uma reta. Ou
seja, ele pode ser considerado como sendo formado por uma união de retas
(superfície regrada). Assim, seu formato é usado na construção de centrais de
energia atômica, onde barras de aço retilíneas, que têm alta resistência, e se
cruzam para obter estruturas extremamente fortes.”
(SATO, J., 2005).
As Seções Cônicas
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26. Síntese
Neste módulo você aprendeu um pouco da história das curvas cônicas, viu quais são estas
curvas e porque elas têm esse nome. Você aprendeu também a definição matemática das
curvas cônicas não degeneradas, parábola, elipse e hipérbole com exceção da circunferência
já estudada anteriormente, e aprendeu a determinar suas equações reduzidas.
Referências
CERVO, A. L.; BERVIAN, P. A., (1996) - Metodologia cientifica. MAKRON books. 4ª Edição. SaoPaulo.
CONDE, Antônio. (2004) - Geometria analítica. Atlas. São Paulo.
EVES, Howard. (1997) - Introdução à história da matemática – 2ª ed. Campinas, SP. Editora da Unicamp.
FRANÇA, J.L.; VASCONCELLOS, A.C., (2004) - Manual para normalização de publicações técnico-científicas.
UFMG. 7ª Edição. Belo Horizonte.
MASON, Jayme. (1977) - Pontes em concreto armado e protendido. Livros Técnicos e Científicos. Rio de Janeiro.
SATO, J. (2005) - As Cônicas e suas Aplicações. Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia.
STEINBRUCH, Alfredo. (1987) - Geometria analítica – 2ª ed. Mc Graw-Hill. São Paulo.
VASCONCELOS, Augusto Carlos de. (1993) - Pontes brasileiras – viadutos e passarelas notáveis. Pini. São Paulo.
WINTERLE, Paulo. (2000) - Vetores e geometria analítica. Makron Books. São Paulo.
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