química

1. TRATAMENTO ESTATÍSTICO
DE RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Professora : Adrianne Mendonça

2. INTRODUÇÃO
 O estudo dos fenômenos naturais pela elaboração
de modelos matemáticos e a medida de sua
adequação à realidade é a finalidade das aulas
práticas de ciências naturais, que constituem, na
realidade, o efetivo exercício do método científico.
Durante as aulas práticas o estudante aprende a
reduzir a oposição entre o real e o possível e
encontrar a região mista, a chamada região do
provável: medida de uma grandeza e teoria das
incertezas, por exemplo. Tal é a função específica
das aulas práticas no desenvolvimento do
pensamento científico do estudante.

3. INTRODUÇÃO À NOÇÃO DE MEDIDA
 Fazer uma medida é comparar duas grandezas de
mesma espécie, uma sendo conhecida e a outra
desconhecida: medida de comprimento com uma
escala, por exemplo. Geralmente esta comparação
consiste em associar o conjunto de grandezas da
mesma natureza a um espaço vetorial
unidimensional. A escolha de uma unidade
corresponde à definição do número que mede
uma certa grandeza deste conjunto não é outra
coisa que a determinação da componente (na
verdade componente contra variante) de um vetor
particular do espaço considerado.

4. INTRODUÇÃO À NOÇÃO DE MEDIDA
 A comparação direta não é sempre possível;
em conseqüência deve-se considerar uma
relação (lei física) entre a grandeza a ser
medida e outras grandezas conhecidas ou
mensuráveis diretamente. Fazer uma medida
consiste em "cercar" um valor verdadeiro Vv.
Assim se pode entender porque um valor
medido só tem sentido quando acompanhado
de sua incerteza que representa o intervalo de
confiança que se pode atribuir ao resultado.

5. INTRODUÇÃO À NOÇÃO DE MEDIDA
 Antes de fazer uma medida, é necessário
questionar sobre:
 a natureza da grandeza a ser medida.
 a escolha dos métodos e aparelhos, em função
da precisão desejada.
 Para isso é importante falar sobre a natureza
da grandeza física, os métodos de medida e as
qualidades dos instrumentos de medida.

6. A NATUREZA DA GRANDEZA FÍSICA
 Antes de começar uma medida, é importante
conhecer bem a grandeza cujo valor é
procurado (unidade, ordem de grandeza,
estabilidade no tempo e no espaço, etc.) Essa
grandeza pode ser mal definida em função de
um parâmetro exterior que varia:

7. GRANDEZA FÍSICA MAL DEFINIDA POR NATUREZA
 A espessura de uma tábua de madeira não é
tão bem definida como a espessura de uma
peça metálica retificada. A medida, com
precisão, do volume de um sólido de forma
qualquer nem sempre é possível com um
instrumento que permite a medida das
dimensões (paquímetro, por exemplo). Em
certos casos é inútil procurar medir com uma
precisão melhor do que permita a definição da
grandeza física considerada.

8. GRANDEZA FÍSICA FUNÇÃO DOS PARÂMETROS
EXTERIORES
 Chama-se "parâmetros exteriores" qualquer
causa (temperatura, pressão, campo elétrico,
campo magnético, tempo, tipo de aparelho
utilizado, etc.) que pode afetar o valor da
grandeza física. Por exemplo, uma variação de
temperatura de 50 ºC produz uma variação de
valor de uma resistência. Um amperímetro e
um voltímetro introduzidos num circuito
perturbam os valores das correntes e das d.d.p.

9. OS MÉTODOS DE MEDIDA
 Quando uma medida relativa (comparação de uma grandeza
desconhecida com uma grandeza conhecida da mesma espécie) é
impossível, deve-se usar uma relação entre a grandeza estudada e
outras grandezas mensuráveis, isto é uma lei física.
 Definir um sistema de unidades consiste em escolher um certo
número de grandezas básicas materializadas por padrões físicos. As
outras unidades são determinadas a partir de leis, uma vez fixado o
valor dos coeficientes numéricos ainda não determinados pela
experiência. O sistema mais utilizado no mundo é o Sistema
Internacional de Unidades, estabelecido em convenções
internacionais.
 O sistema internacional (SI) tem 6 unidades fundamentais: o metro,
o quilograma, o segundo, o ampère, o kelvin e a candela.

10. QUALIDADES DOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA
 Para se utilizar um instrumento de medida
algumas de suas características podem ser
importantes, como, por exemplo, seu peso, seu
volume, o tipo de alimentação, o princípio de
funcionamento, a facilidade de instalação, a
confiabilidade, etc. Mas as características mais
importantes são aquelas que definem os
vínculos entre o instrumento e a grandeza que
ele mede.

11. O INTERVALO DE MENSURAÇÃO
 Um termômetro clínico, por exemplo, possui
um intervalo de mensuração entre 34 e 52 ºC.
Este intervalo pode ser limitado por causa das
"grandezas de influência" que modificam as
características do instrumento e que são
geralmente mencionadas pelo fabricante
(temperatura, campo elétrico, campo
magnético, etc.)

12. SENSIBILIDADE
 Quanto mais facilmente um instrumento
detecta pequenas variações da grandeza que
ele mede tanto mais sensível ele é. Exemplo: se
uma balança só for desequilibrada com uma
carga maior ou igual a 0,01 grama, sua
sensibilidade é 0,01 grama.

13. FINEZA
 A fineza se refere à influência do aparelho de
medida sobre a grandeza sendo medida.
Exemplo: A resistência interna de um
voltímetro produz um desvio que modifica a
d.d.p. medida. A fineza de um instrumento é
boa quando sua reação sobre a medida é
pequena, isto é, desprezível em comparação à
precisão da medida.

14. RAPIDEZ DE RESPOSTA
 A rapidez de resposta de um instrumento de
medida é a qualidade que expressa sua aptidão
de seguir as variações temporais de um
grandeza física medida. Esta rapidez é limitada
pelas massas, momento de inércia, viscosidade
dos fluidos, capacidades caloríficas e elétricas,
indutância e as correntes induzidas.

15. UTILIZAÇÃO E ESTUDO DAS MEDIDAS ATRAVÉS DE
PROCEDIMENTOS ESTATÍSTICOS.
 A execução de uma série de medidas constitui o
primeiro passo no exame de um determinado
fenômeno natural. A seguir os resultados obtidos
devem ser organizados, interpretados e criticados
a partir de um tratamento estatístico. Este
geralmente permite a extração de maior número
de informações e de conclusões mais realistas
sobre o fenômeno estudado. Desse modo, são
apresentadas a seguir, algumas noções
elementares sobre o tratamento estatístico dos
dados experimentais.

16. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS , ALGARISMOS EXATOS E
ALGARISMOS INCERTOS
 São os algarismos necessários para expressar os resultados obtidos,
durante um experimento científico, com a mesma precisão que as medidas
realizadas.
 Constituem os algarismos de uma leitura que estão isentos de qualquer
dúvida ou estimativa.
 Constituem-se, os algarismos de uma medida que estão sujeitos a
estimativas. O último algarismo significativo, e apenas ele, deve ser incerto.
A soma, divisão ou multiplicação de um algarismo incerto com algarismos
exatos é um algarismo incerto.

17. ERROS
 A análise do erro num resultado numérico é
fundamental. Os dados disponíveis são
raramente exatos, pois são baseados em
experiências ou estimativas. Os processos
numéricos empregados na obtenção dos
resultados, introduzem erros dos seguintes
tipos:

18. ERRO SISTEMÁTICO
 É devido, principalmente, a fatos
independentes do operador, por exemplo, um
aparelho com escala mal padronizada. Os erros
sistemáticos são constantes em grandeza e
sinal, nunca se compensam e podem ser
eliminados, em parte, usando-se um aparelho
de boa qualidade e padronizando-o da melhor
maneira possível.

19. ERROS ACIDENTAIS OU INDETERMINADOS
 É o erro devido ao operador. Estes erros são
variáveis em grandeza e sinal e se compensam
quando o número de medidas é grande. Quando
se repete uma medida os erros acidentais
geralmente não conservam a mesma magnitude e
o mesmo sinal. Em conseqüência, com a ajuda de
cálculos aproximados, de informações suficientes
sobre as características dos instrumentos
utilizados e de métodos adequados, é possível
então obter para uma grandeza um conjunto de
valores no qual se admite encontrar o "valor
verdadeiro".

20. ERROS SEMI-ACIDENTAIS
 São devidos à maneira de trabalhar ou devidos
à aparelhagem. Por exemplo, o esvaziamento
incompleto de um béquer. Estes erros são
constantes em sinal, mas de grandeza variável.

21. ERRO VERDADEIRO
 É a diferença entre o valor medido de uma
grandeza e o valor real
 Ei = Xi - X

22. ERRO APARENTE, AFASTAMENTO, DISCREPÂNCIA
OU RESÍDUO
 É a diferença entre o valor medido e o valor
mais provável.
 Ea = Xi - Xvmp

23. CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE ERROS
 Quando se dispõe de uma série muito
numerosa de medidas de uma grandeza, pode-
se construir uma curva de erros ou curva de
probabilidades de Gauss.
 A curva de Gauss resulta do registro dos
valores das medidas Xi na abscissa, enquanto
na ordenada se assinala a freqüência Ni em
que o mesmo resultado ocorre.

24. ILUSTRANDO ...

25. CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE ERROS
 No caso de um instrumento de medida cuja
precisão não permite detectar as flutuações da
grandeza medida (instrumento sensível às
flutuações) basta levar em conta a precisão do
instrumento para determinar a incerteza na
medida. No caso contrário é preciso efetuar várias
medidas e calcular o valor médio provável. O valor
médio da grandeza X possui um domínio de
incerteza D X > 0 chamado de INCERTEZA
ABSOLUTA e determinado a partir da precisão dos
instrumentos ou a partir das medidas repetidas.

26. CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE ERROS
 Seja um gráfico (figura acima) da probabilidade de se
obter o valor verdadeiro de uma grandeza X. Obtém-se
uma curva em forma de sino e simétrica em relação ao
valor verdadeiro de X indicado por Xv na figura (isto
para um grande número de medidas e só considerando
os valores aceitáveis). Mostra-se que a probabilidade de
se obter um valor Xe exterior ao intervalo Xv - dX e Xv +
dX é dado pela razão entre a área cinza na figura e a
área total sob a curva da mesma figura.. É
determinando um valor considerado para esta
probabilidade (em geral 10%) que se escolhe D X. Deste
modo, o valor Xe medido se encontra entre Xv- D X e Xv
+ D X, com uma probabilidade igual a 90%.

27. CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE ERROS
 A incerteza absoluta permite então a definição do
conjunto de valores entre os quais se encontr o valor
verdadeiro, pois Xe - D X < Xv < Xe + D X.
 A incerteza absoluta não ressalta a perfeição de uma
medida pois medir um comprimento de 1 metro com
incerteza de 1 centímetro não apresenta a mesma
dificuldade que medir um comprimento da ordem de
10 km com a mesma incerteza: este última medida
requer uma aparelhagem muito mais precisa, por isto
introduz-se a incerteza relativa que é a razão entre a
incerteza absoluta D X e o valor absoluto X da medida.
Ela caracteriza a precisão da medida, é independente
das unidades escolhidas e é sempre positiva.

28. CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE ERROS
 Nos exemplos citados no parágrafo anterior
temos as incertezas relativas de -1/100 e
1/106 respectivamente. Diz-se que a segunda
medida é 10,000 vezes mais precisa que a
primeira.

29. POSTULADOS DE GAUSS
 A probabilidade de se encontrar ou cometer um erro
compreendido entre os valores X e X + dX é uma função
de X.
 Entre os espaços de -¥ a + ¥ a probabilidade de se
cometer um erro é igual a 1, isto é, existe a certeza do
erro.
 O valor mais provável (VMP) de uma grandeza medida
N vezes é a média aritmética das medidas realizadas.
 São iguais as possibilidades de se cometer erros com o
mesmo valor absoluto desde que sejam de sinais
contrários.

30.  Com base nos postulados acima e traçando-se
um gráfico no qual as abscissas sejam
proporcionais aos valores das medidas Xi e a
ordenada proporcional às freqüências, obtem-
se a curva em forma de sino. A expressão
analítica da referida curva é:
 -h2.x2
 F(x) = K e

31.  onde K e h são constantes a determinar. Nota-se que quando
x é igual a zero, tem-se F(x) = K ou seja, K é ordenada
máxima, a qual representa o número de medidas que não
diferem do valor mais provável.
 Freqüência e probabilidade - Teorema de Bernouille
 Freqüência: É a razão entre o número de vezes que um
evento determinado ocorreu pelo número de vezes que
poderia ter ocorrido.
 Probabilidade: É a razão entre o número de eventos
favoráveis pelo número de eventos possíveis.
 Teorema de Bernouille: Quando o número de eventos
tende para o infinito a freqüência tende para a
probabilidade

32. PARÂMETROS ESTATÍSTICOS
 Uma série de dados contém informações que
podem ser traduzidas através de alguns
parâmetros classificados abaixo:
 Medidas de dispersão - Desvio padrão e
amplitude
 Medidas de situação - Média, moda, mediana
 Medidas de simetria
 Medidas de achatamento

33. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES.
 Quando o número de medidas da mesma
grandeza é grande, o resultado mais comum de
tais medidas, isto é, a tendência "central", é
dada pela média aritmética das medidas.
 Média aritmética = X1 + X2 + ...+ Xn
 n

34. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
 Média aritmética ponderada = N1X1 + N2X2 +
...+ NnXn
 N
 onde Ni é o "peso" ou número de vezes que
ocorreu o resultado observado

35. MEDIANA E MODA
 É o valor de variável que divide o conjunto de
observações em duas partes iguais.
 É o valor da variável que corresponde à
observação mais freqüente, isto é, o valor da
variável cuja freqüência é máxima.

36. ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO
 Numa medida expressa na forma 7,25 ± 0,03, o
valor ± 0,03 representa o erro sobre o valor
absoluto da medida. Esse erro é independente
do valor absoluto da medida.
 O erro relativo é definido como sendo a fração
do erro cometido na medida. Ele depende do
valor absoluto da medida.
 Exemplos: 7,35 ± 0,03 Er = 0,03/7,35 x 100 =
0,21%

37. COMBINAÇÃO DE ERROS
 Quando uma quantidade de "a" pode ser
somente medida indiretamente a partir de
medidas "b" e "c", uma boa aproximação dos
erros sobre "a" é dada por:
 Se a = b ± c, o erro absoluto sobre "a" é a soma
dos erros absolutos sobre b e c.
 Se a = b.c ou a = b/c o erro relativo sobre "a" é
a soma dos erros relativos sobre b e c.

38. VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRANDEZA
 É a média das medidas encontradas , desde
que mereçam a mesma confiança. Mesma
confiança significa execução de medições pelo
mesmo observador, mesmo instrumento e
mesmo método.

39. QUALIFICAÇÃO DAS MEDIDAS
 Exatas: Quando o erro sistemático é pequeno. A exatidão da medida indica
quão próximo o valor médio experimental está próximo do valor
verdadeiro.
 Precisas: Quando o erro acidental é pequeno. A precisão de uma medida
tem duplo significado; referindo-se à reprodutibilidade de uma medida e ao
número de algarismos significativos envolvidos com segurança na referida
medida.
 A exatidão de um método científico será tanto maior quanto menor o erro
constante.
 Uma vez calculadas as estimativas dos parâmetros estatísticos necessários
para caracterizar a exatidão e a precisão, é necessário ainda saber
interpretar os dados colhidos a fim de poder esclarecer certas questões
como as enumeradas a seguir. Assim, se a média de uma série de
observações diferir algo do valor verdadeiro, será necessário verificar se a
diferença simplesmente reflete a flutuação dos erros indeterminados ou
deve ser atribuída a um erro constante.

40. QUALIFICAÇÃO DAS MEDIDAS
 A exatidão de um método científico será tanto maior
quanto menor o erro constante.
 Uma vez calculadas as estimativas dos parâmetros
estatísticos necessários para caracterizar a exatidão e a
precisão, é necessário ainda saber interpretar os dados
colhidos a fim de poder esclarecer certas questões
como as enumeradas a seguir. Assim, se a média de uma
série de observações diferir algo do valor verdadeiro,
será necessário verificar se a diferença simplesmente
reflete a flutuação dos erros indeterminados ou deve
ser atribuída a um erro constante.

41. DESVIO E ERRO MÉDIO
 Como o erro de uma medida é difícil de ser
determinado, porque o "valor verdadeiro"
raramente é conhecido, é necessário definir um
erro de tal modo que não seja necessário o
conhecimento desses "valores verdadeiros". Isto é
feito utilizando-se o conceito de desvio.
 Quando se toma a média aritmética como valor
real, pode-se fazer um exame crítico dos
resultados, começando pela verificação do desvio
Di ou pelo afastamento que cada medida
apresenta em relação à média aritmética. Assim:

42. EXPLICANDO ...
 Onde X barrado é a média aritmética.
 O erro médio u desvio médio, Dm, é a média
aritmética do valor absoluto do desvio. Para N
medidas:
 Dm = [D1] + [D2] + ...+ [Dn]
 N

43. DESVIO -PADRÃO E ERRO PROVÁVEL
 A qualidade de uma medida é dada conhecendo-
se o desvio-padrão, Ds, que dá uma idéia de
quanto a medida difere da média, e o erro
provável, P, que são definidos pelas relações:
 Ds = ± Ö å n D2
 N e P = Ds / Ö N
 Para um número de medidas igual ou superior a
cinco:
 Ds = ± Ö å n(Xi - média)2
 N

44. DESVIO -PADRÃO E ERRO PROVÁVEL
 Para um pequeno número de medidas, inferior
a cinco:
 Ds = ± Ö å nDi2
 N-1
 O resultado das medidas é dado por:

45. OBRIGADA !!!