Pcmg prova de matemática - tipo a - resolução

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PROVA DE MATEMÁTICA – TIPO A – PERITO CRIMINAL DE MINAS GERAIS
QUESTÃO 11
O Sr. João é um economista aposentado que resolveu melhorar sua qualidade de vida comprando uma pousada
com 40 suítes em uma bela região praiana. Com base em dados do proprietário anterior, ele deduziu duas
funções para gerenciar seu negócio: a função do preço (p) por diária da suíte (x) e a da receita (R). As funções
foram definidas, respectivamente, por: ( )p x 5x 350= − + e ( ) 2
R x 5x 350x= − + . Considerando essas
funções, o preço que o Sr. João deve cobrar para maximizar a receita é
(A) R$ 150,00 (B) R$ 175,00 (C) R$ 190,00 (D) R$ 225,00
Solução:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
R x 5x 350x
R ' x 0
10x 350 0 10x 350 x 35
Assim :
p x 5x 350
Substituindo :
p 35 5 35 350 175 350 175 p 35 175,00
Re sp :R$ 175,00
= − +
=
− + = ⇔ = ∴ =
= − +
= − + = − + = ∴ =
Alternativa Correta: (B)
AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 1

QUESTÃO 12
Uma entidade filantrópica fez um levantamento dos serviços prestados em certa região e observou que 1.680
famílias foram atendidas por uma equipe de 12 funcionários em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia. Elaborou
um novo planejamento logístico em que as equipes seriam formadas por 5 funcionários que iriam trabalhar 6 dias
de 4 horas por dia. Nesse novo planejamento, o número de famílias que serão atendidas por equipe será igual a
(A) 290 (B) 350 (C) 420 (D) 840
Solução:
FAMÍLIA FUNCIONÁRIOS DIAS HORAS /DIA
1680 12 5 8
x 5 6 4
D D D
Assim :
1680 12
x
=
6
5
÷
5
×
6
6
8
÷
×
4
4
÷
4
1680 2 2 1680 4
4x 1680
x 1 1 x 1
1680
x 420 x 420
4
Re sp : 420 famílias
÷
⇔ = × ⇔ = ⇔ =
= = ∴ =
Alternativa Correta: (C)

QUESTÃO 13
Uma companhia aérea decidiu solicitar a uma empresa especializada kits contendo uma mistura de sementes
oleaginosas para ofertar aos seus clientes. Os kits deveriam conter 100 g de uma mistura de amendoim,
amêndoa e avelã. A companhia aérea solicitou que a quantidade de amêndoa fosse igual a um terço da soma das
outras duas e informou que estava disposta a pagar R$ 1,15 por kit. A empresa especializada sabe que o quilo do
amendoim custa R$ 5,00, o de amêndoa, R$ 20,00 e o de avelã, R$ 16,00. A quantidade, em gramas, de cada
semente que a empresa deve colocar em cada kit, de tal maneira que atenda a todas as exigências estabelecidas
pela companhia aérea, deverá ser, respectivamente, de:
(A) 50; 25; 25. (B) 50; 20; 30. (C) 60; 20; 20. (D) 60; 15; 25.
Solução:
( )
Definindo :
x quantidade em gramas de amendoim
y quantidade em gramas de amêndoa
z quantidade em gramas de avelã
Assim :
x y z 100
x y z 100 x y z 10
1
y x z 3y x z
3
5x 20y 16z 1150
5 20 16
x y z 1,15
1000 1000 1000
≡
≡
≡

 + + =
+ + = + + =
 
= × + ⇔ = + ⇔ 
  + + =
+ + =
( )
0
x 3y z 0
5x 20y 16z 1150
Assim :
x y z 100 100
4y 100 y 25 y 25
4x 3y z 0
Assim :
x y z 100 x y z 100
5x 20y 16z 1150 5x 20y 16z 1150
Assim :
x y z 100 5 5x 5y 5z 500
5x 20y5x 20y 16z 1150


− + − =
 + + =
+ + =
⇔ = ⇔ = = ∴ =
− + − =
+ + = + + = 
⇔ 
+ + = + + = 
 + + = × − − − − = −
⇔
+ ++ + = 16z 1150
Assim :
15y 11z 650 11z 650 15 25 650 375 11z 275
275
11z 275 z 25 Z 25
11
Assim :
x y z 100 x 100 y z 100 25 25 50 x 50
Re sp :50; 25; 25


=
+ = ⇔ = − × = − ⇔ =
= ⇔ = = ∴ =
+ + = ⇔ = − − = − − = ∴ =
Alternativa Correta: (A)

QUESTÃO 14
Um artista recebeu uma encomenda para fazer um painel, esculpindo em uma chapa de aço folhas e flores. Para
determinar o formato do painel, o artista considerou a chapa de aço como um plano cartesiano cujos eixos a
dividiram em quatro quadrantes. Utilizou um segmento de reta e o deslocou nesse plano cartesiano, de tal forma
que uma das extremidades permanecia sempre no eixo y e o seu ponto médio permanecia sempre no eixo x.
Dessa maneira, o formato da figura desenhada pela outra extremidade é uma
(A) elipse. (B) parábola. (C) hipérbole. (D) circunferência.
Solução:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 22 2 2 2 2 2
MB 1 1
2 22 2 2 2 2 2
AB 1 1
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
A 0,y M x ,0 B x,y
Fazendo :
d d x x y d x x d y I
d 4d x y y 4d y y 4d x II
Equação da Re ta Suporte dos pontos A, M e B :
x y
0 y
0 y x x y x y 0
x 0
x y
Assim :
y x x y x y xy xy 0 y x x y x x xy 1
As
= ⇔ − + = ∴ − = −
= ⇔ + − = ∴ − = −
= ⇔ + − =
+ − + − = ⇔ − − − = − × −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
4 2 2 2 2 2 2
sim :
y x x y x x xy x x y y xy
Assim,elevando ao quadrado :
x x y y x y III
(I) e II III :
x x y y x y d y 4d x x y
4d x d 4d y x y
− − − = ⇔ − − =
− − =
→
− − = ⇔ − − =
− − + 2 2
x y=
( )
4 2 2 2 2
2 2 2 2 4 4
2 2
4d x d 4d y 0
Assim :
x d 4d y 4d 4d
x d
⇔ − − =
+ = ÷
4
4d
2
4d
+
2
4
y
4d
4
4d
=
4
4d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x y x y
1 1, a,b são cons tantes.
4d d a b
x y
1 Equação da Elipse
4d d
⇔ + = ⇔ + =
∴ + = ⇔

QUESTÃO 15
Um policial faz sua ronda em uma região formada por 16 quarteirões dispostos segundo a figura abaixo. Ele
encontrava-se exatamente no ponto P quando recebeu um aviso pelo rádio informando sobre um assaltante
localizado no ponto A. O policial dirige-se ao local em que se encontra o assaltante pelo caminho mais curto, isto
é, movendo-se da esquerda para a direita e de baixo para cima.
Nessas condições, o número de caminhos diferentes que o policial poderá fazer é:
(A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 20
Solução:
( )2,3
5
Movimentos : d,d,c,c
Assim :
4! 4 3 2 24
P 6
2!2! 2 2 4
× ×
= = = =
×

QUESTÃO 16
Uma empreiteira está construindo um parque e o paisagista determinou que, ao longo de uma das ruas
retilíneas, serão plantadas 60 palmeiras imperiais com distância de 1 metro entre uma e outra, cujas covas já
estão preparadas. O funcionário responsável pelo plantio, colocação das palmeiras nas covas previamente
preparadas, recebe as mudas de uma plataforma situada a uma distância de 15 metros da primeira palmeira
plantada e, a cada viagem, consegue carregar somente 3 palmeiras. Começando e terminando na plataforma, o
percurso total, em metros, que ele terá que caminhar até colocar todas as palmeiras em suas respectivas covas
será igual a
(A) 910 (B) 1.480 (C) 1.820 (D) 2.190
Solução:
Observe o esquema abaixo, que representa a situação do problema:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
3
20
n 1 20 20
Assim temos :
Viagem1 ida e volta : 34 metros a 34 m
Viagem 2 ida e volta : 40 metros a 40 m
Viagem 3 ida e volta : 46 metros a 46 m
Viagem 20 ida e volta : 40 metros a ?
Assim :
a a n 1 r a 34 20 1 6 m 34 19 6 m 34 114 m 148 m a 1
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
= + − × ⇔ = + − × = + × = + = ∴ =
M
( ) ( )1 n
n 20 20
48 m
Assim :
a a n 34 148 20
S S m 182 10 m 1820 m S 1820 m
2 2
+ × + ×
= ⇔ = = × = ∴ =
Alternativa Correta: (C)

QUESTÃO 17
Uma pesquisa sobre acidentes em rodovias observou que, de todos os acidentes fatais, 24% envolveram
capotagens e 15,8%, carros utilitários. Considerando que uma capotagem não tenha sido envolvida, 5,6% de
todos os acidentes fatais envolveram carros utilitários. Sabendo-se que o acidente fatal envolveu um carro
utilitário, a probabilidade de que ele tenha sido capotagem é de, aproximadamente,
(A) 11,5%. (B) 38%. (C) 48%. (D) 94,4%.
CAPOTAGEM
24%
UTILITÁRIOS SOMENTE
5,6% DE 76
UTILITÁRIOS
15,8%
24
100 4,256
15,8
→
→ →
→
Assim, temos o seguinte Diagrama de Venn-Euler:
( )
( )
( )
( )
Assim,"sabendo-se que o acidente fatal envolveu um carro utilitário,
a probabilidade de que ele tenha sido capotagem é de, aproximadamente:"
p A B 11,544
p A |B 0,73 p A |B 73%
p B 15,8
Mas,"sabendo-se que o aci
∩
= = = ∴ =
( )
( )
( )
( )
dente fatal envolveu uma capotagem,
a probabilidade de que ele tenha sido utilitário é de, aproximadamente:"
p B A 11,544
p B | A 0,481 p B | A 48%
p A 24
∩
= = = ∴ =
Comentários: Esta questão deve ser anulada por falha na pergunta.

QUESTÃO 18
Duas sequências são formadas pelos termos gerais:
Quando n tende para o infinito, pode-se observar que o comportamento dessas sequências é dado,
respectivamente, por:
(A) Divergente; convergente para zero.
(B) Divergente; divergente.
(C) Convergente para zero; convergente para zero.
(D) Convergente para zero; divergente.
Solução:
( ) ( )
n 1 n
n n
n n
n n n n
1 n 1
a 1 b 1
2n 1 2n 1
Assim :
1 1
lim lim 0 Convergente, tende para zero.
2n 1 2n 1
e
n 1 n 1 n 1 1
lim lim lim lim Divergente.
2n 1 2n 1 2n 2 2
+
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞ →∞
+
= − × = − ×
− −
 
= = ∴ ÷− − 
+ +
= = = = ∴
− −
Alternativa Correta: (D)

QUESTÃO 19
Com o objetivo de diversificar sua renda, um produtor rural decidiu construir um tanque para criar tilápias.
Colocou, inicialmente, 1.000 tilápias e, descuidadamente, deixou cair também 8 piabas. Suponha que o aumento
das populações de piabas e tilápias ocorre segundo as leis P(t)=P010t
e T(t)=T02t
, respectivamente, em que P0 é
a população inicial de piabas, T0 é a população inicial de tilápias e t o número de anos contados a partir do ano
inicial. O tempo, em anos, em que o número de piabas será igual ao número de tilápias é
(A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 18
Solução:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
3
0
t
0
t
0
t 3 t
3 t
t 3 t 3 t 3 t
3 t
3 t
Dados :
P 8
T 1000 10
Mas :
P t P 10
T t T 2
Substituindo :
P t 8 10 e T t 10 2
Mas :
2 2
P t T t 8 10 10 2 2 10 10 2
10 10
Assim :
2 2
t 3 anos
10 10
Re sp : t 3 anos
=
= =
=
=
= × = ×
= ⇔ × = × ⇔ × = × ⇔ =
   
= ∴ = ÷  ÷
   
=

QUESTÃO 20
Um laboratório está testando um tipo de isca para formigas. A isca tem o formato de uma circunferência e foi
fixada numa bancada experimental, quadriculada por um plano cartesiano, com centro em (0,-2). Uma formiga
tangenciou a isca no ponto (1, 2). A equação da reta tangente à circunferência nesse ponto é dada por:
(A) y = 4x – 2 (B) y = 4x + 2 (C) 4y – x = 7 (D) 4y + x = 9
Solução:
Temos a seguinte situação:
Queremos encontrar a equação da reta (r) tangente à circunferência no ponto P(1,2) e perpendicular à reta que
passa pelos pontos C(0,-2) e P(1,2).
1º) Equação da reta que contém os pontos C(0,-2) e P(1,2).
x y
0 2
0 2x y 2 2x 0 y 4x 2 0 y 4x 2
1 2
x y
−
= ⇔ − + + − = ⇔ − + = ∴ = −

2º) Coeficiente angular da reta (r) perpendicular à reta que passa pelos pontos C(0,-2) e P(1,2).
( )CP r
r
CP : y 4x 2
Assim :
1
m 4 m r CP
4
Logo :
1
m
4
= −
= ⇒ = − ⇔ ⊥
= −
3º) Equação da reta (r)
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
r : y x n
4
substituindo P 1,2 :
1 1 1 1 9
y x n 2 1 n n 2 n 2 n
4 4 4 4 4
Assim :
1 1 9
r : y x n r : y x r : 4y x 9 r : 4y x 9
4 4 4
= − +
 
= − + ⇔ = − + ⇔ − = ⇔ = + ∴ = ÷
 
= − + ⇔ = − + ⇔ = − + ∴ + =
Alternativa Correta: (D)
GABARITO FINAL:
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B C A A A C * D A D

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