Te presento el axioma del supremo del Prof. Nelson Cifuentes F.

1. Prof. Nelson Cifuentes F.
0.1 Axioma del supremo
El conjunto de los números racionales cumple con la propiedades de cuerpo
y de orden que se cumplen en , sin embargo en tal conjunto no podemos dar
respuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla
x2 = 2
es por eso que necesitamos dar otro axioma en , antes debemos introducir
algunas definiciones.
Sea S ⊆ , definimos:
Definición 0.1.1 Se dice que un número real a es cota inferior de S si a ≤ s
para todo s ∈ S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “S está acotado
inferiormente”.
Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b ≥ s
para todo s ∈ S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotado
superiormente”.
Definición 0.1.3 Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un con-
junto acotado.
Ejemplo 0.1.4 Sea S = ]−1, 3[ ∪ [4, 5] entonces a = −2 es cota inferior para S. En
efecto, si s ∈ S entonces −1 < s < 3 ∨ 4 ≤ s ≤ 5 se sigue −2 ≤ s sea cual sea el
s ∈ S. Similarmente a = −1.5, a = −3, a = −1 son cotas inferiores de S. a = 7/2
no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que es
estrictamente menor que a .
Al encontrar una cota inferior, de inmediato podemos decir que el conjunto
es acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un con-
junto S entonces todo j ≤ a también será cota inferior.
Ejemplo 0.1.5 Sea A = x ∈ : x = n para algún n ∈
1
= 1, 2 , 3 , ... . b = 2 es
1 1
una cota superior para A pues si n ∈ entonces n ≥ 1 de donde obtenemos
1 ≥ 1/n para cada n ∈ , se sigue que cualquier elemento del conjunto es menor
que 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que
1 es cota superior, ya que 1 ∈ A.
Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el con-
junto es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior de
un conjunto S entonces todo b con b ≤ b también será cota superior.
Definición 0.1.6 Un número real m se dice mínimo de un conjunto S si m ∈ S y
m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = min (S).
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Definición 0.1.7 Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M ∈ S
y M ≥ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces M = max (S).
Ejemplo 0.1.8 Sea A = [0, 1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 ∈ A y para
cada x ∈ A se tiene 0 ≤ x . Note que a = −1 es cota inferior pero no es el mínimo
porque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A,
1 ∈ A y para cada x ∈ A se cumple x ≤ 1.
Ejemplo 0.1.9 Sea A = [−1, 5[ entonces m = −1 es un mímino, pues −1 ∈ A
y para cada x ∈ A se tiene −1 ≤ x . Este conjunto no tiene máximo, note que
5 ∈ A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 es cota
superior pero no esta en el conjunto, ningún número mayor que 5 puede ser el
maximo al no estar en el conjunto, si −1 < b < 5 entonces el elemento b +5 ∈ A
2
y b < b +5 luego b no es máximo. Claramente si b ≤ −1 no puede ser el máximo
2
basta tomar 2 ∈ A para tener una contradicción.
Si el máximo existe entonces es único: Si M 1 y M 2 son dos máximos del
conjunto S entonces se sumple que M 1 ∈ S y M 2 ∈ S pero al ser M 1 un máximo
en particular se cumple para cada s ∈ S, s ≤ M 1 en particular para s = M 2 se
tiene
M2 ≤ M1
similarmente, al ser M 2 un máximo se cumple
M1 ≤ M2
de ambos se obtiene M 1 = M 2 .
Definición 0.1.10 Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es la
mayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a > a
no es cota inferior de S, verificándose que a > s para algún s ∈ S . En este caso
se escribe a = inf (S).
Definición 0.1.11 Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es la
menor de las cotas superiores de S. Es decir, si s ≤ b para todo s ∈ S y cada b < b
no es cota superior de S, verificándose que b < s para algún s ∈ S. En este caso
se escribe a = supS.
Ejemplo 0.1.12 Si A = ]1, 2[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es
]−∞, 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior) se ve que la
mayor de todas ellas es x = 1 luego 1 = inf A. El conjunto de las cotas superiores
de A es [2, ∞[ luego la menor de las cotas superiores es 2 se sigue que 2 = sup A.
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Ejemplo 0.1.13 Si B = [−1, 3[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A
es ]−∞, −1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior, incluso el
−1) se ve que la mayor de todas ellas es x = −1 luego −1 = inf A. El conjunto de
las cotas superiores de A es [3, ∞[ luego la menor de las cotas superiores es 3 se
sigue que 3 = sup A.
• El supremo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no necesari-
amente es el máximo del conjunto.
• El ínfimo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no es necesari-
amente el mínimo del conjunto.
• Si existe un máximo el será el supremo del conjunto
• Si existe el mínimo el será el ínfimo del conjunto.
Proposición 0.1.14 Sea A un conjunto no vacío de entonces
inf A ≤ sup A
Demostración: Si a ∈ A entonces a ≤ sup A pues sup A es cota superior,
además inf A ≤ a pues inf A es cota inferior.
Proposición 0.1.15 Si A ⊆ B y A = entonces
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B
Demostración: Note que si x ∈ A entonces x ∈ B se sigue que para cada
x ∈A
inf B ≤ x ≤ sup B
(inf B es cota inferior de B y sup B es cota superior), se sigue que inf B es cota
inferior de A y sup B es cota superior de A. Como inf A es la mayor de las cotas
inferiores de A se sigue
inf B ≤ inf A
y como sup A es la menor de las cotas superiores
sup A ≤ sup B
pero por la propiedad anterior
inf A ≤ sup A
juntando las desigualdades obtenemos
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B
Ya estamos en condiciones de dar el axioma que caracteriza a :
Axioma del supremo: Todo subconjunto de no vacío y acotado superior-
mente tiene un supremo. (el supremo es un número real)
Este axioma implica lo siguiente:
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Proposición 0.1.16 Todo subconjunto de no vacío y acotado inferiormente
tiene un ínfimo. (el ínfimo es un número real)
Demostración: Sea A un conjunto no vacío y acotado inferiormente, defi-
namos −A = {−a : a ∈ A} entonces −A es no vacío y acotado superiormente
(note que si l era cota inferior de A entonces l ≤ a para cada a ∈ A eso implica
−l ≥ −a para cada a ∈ A, se sigue −l es cota superior de −A). Por el axioma
del supremo existeel supremo de −A y denotemoslo por sup (−A), este número
cumple con ser la menor de las cotas superiores de −A se sigue que para cada
−a ∈ −A se cumple
−a ≤ sup (−A)
entonces, para cada a ∈ A se tiene
a ≥ − sup (−A)
mostremos que en realidad
inf A = − sup (−A)
ya sabemos que − sup (−A) es cota inferior, si j > − sup (−A) entonces −j <
sup (−A), de la definición de supremo se sigue que debe existir un elmento
−a ∈ −A tal que
−j < −a < sup (−A)
se sigue que
j > a > − sup (−A)
luego cualquier número mayor que − sup (−A) no es cota inferior de A , se sigue
que − sup (−A) es la mayor cota inferior, es decir el ínfimo, de donde obtenemos
inf A = − sup (−A)
Como es de esperar, este axioma tiene importantes concecuencias entre las
cuales podemos nombrar las siguientes:
Teorema 0.1.17 El conjunto de los naturales no es acotado superiormente en .
Demostración. Supongamos que esta acotado superiormente en , como es
no vacío, por el axioma del supremo existiría un real
K = sup
ahora bien, K − 1 no es cota superior pues K es la menor de las cotas inferiores,
se sigue que existe un n ∈ tal que K −1 < n se sigue sumando a ambos lados de
la igualdad que K < n + 1 pero n + 1 es un natural, entonces K no puede ser el
supremo, esto es una contradicción que viene de suponer acotado, se sigue que
no puede ser acotado en .
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Teorema 0.1.18 Para cada x > 0 existe un n ∈ tal que 0 < 1/n < x .
Demostración. Suponga que existiera un x > 0 tal que para cada n ∈
1
x≤
n
entonces se cumpliría
n ≤ x −1
para todos los naturales, es decir, estaría acotado en lo que sabemos no puede
ser.
Teorema 0.1.19 Para cada x ∈ existe un k ∈ tal que k ≤ x < k + 1 (este
entero es llamado la parte entera de x y generalmente se denota por [x ])
Teorema 0.1.20 Si x ,y son dos reales con x < y entonces existe un racional P =
n/m tal que
x <p <y
(esta propiedad es llamada densidad de los racionales en , nos dice en todo
intervalo no degenerado de la recta real existen racionales)
El axioma del supremo puede ser utilizado para garantizar la existencia de
raíces de reales. Sea b ∈ + entonces
n
b = sup {x ∈ : 0 ≤ x ∧xn ≤ b}
0.1.1 Ejercicios propuestos
1. Determinar supremo e infimo de los siguientes conjuntos (si es que exis-
ten)
(a) x∈ : x2 < 3
(b) x∈ : x 2 − x + 1 > −2
(c) {0.3, 0.33, 0.333, ...}
(d) {−1/n : n ∈ }
2. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina
el conjunto
A B = {a b ∈ : a ∈ A ∧ b ∈ B }
demostrar que en general
sup (A B ) = sup A sup B
pero que si A y B contienen solo reales positivos entonces si se cumple la
igualdad. Muestre también que si sup A < 0 y sup B < 0 entonces
inf (A B ) = sup A sup B
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3. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina
el conjunto
A + B = {a + b ∈ : a ∈ A ∧ b ∈ B }
demostrar que
sup (A + B ) = sup A + sup B
¿Qué pasa con los ínfimos?
4. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. Decidir cuales de las
siguientes propiedades son verdaderas y demostrarlas y encontrar con-
traejemplos para las falsas.
(a) sup (A ∩ B ) ≤ inf sup A, sup B
(b) sup (A ∩ B ) = inf sup A, sup B
(c) sup (A ∪ B ) ≥ sup sup A, sup B
(d) sup (A ∪ B ) = sup sup A, sup B
5. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. ¿Es verdad que sup A =
sup B y inf A = inf B implican A = B ?
6. Utilizando el último teorema y la irracionalidad de 2 muestre que si
x , y ∈ y x < y entonces existe un irracional ξ tal que
x <ξ<y
x y
Ind.: Con el teorema insertar un racional r entre 2
y 2
, mostrar que
r 2 es irracional.
7. S es un conjunto acotado si y solo si existe un número real J > 0 tal que
S ⊆ [− J , J ].
8. Muestre que si el mínimo existe es único.
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