The presence on the earth of cosmic rays, with an energy greater than PeV, still poses theoretical problems in the astrophysicists community. Difficulties are due to the explanation of the acceleration and energy transfer mechanisms . In this project, we try to pass in review the conventional acceleration and to introduce the stochastic acceleration. We model the problem with the Fokker-Planck equation. We show that under certain approximations the non-linear partial differential equation can be transformed into an ordinary Heat equation. Finally, we use a numerical finite difference method for solving the last equation.

1. Rayons cosmiques et l'accéleration
stochastique
Rebai Ahmed
23 janvier 2013
Résumé
La présence des rayons cosmiques sur la terre dont l'énergie est supé-
rieure au PeV pose encore des problèmes théoriques à la communauté des
astrophysiciens. Les dicultés sont dues à l'explication des mécanismes
d'accélération de ces particules microscopiques. Devant l'insusance du
mecanisme d'accéleration classique des particules chargées, de nombreux
mécanismes ont surgis pour éxpliquer ce phénomène. L'accéleration Sto-
chastique , qui est l'un de ces mécanismes, reprèsente une approche per-
tinente du problème.
1 Introduction
Les rayons cosmiques reprèsentent des particules non-thermiques, ie générés
par un processus autre que le rayonnement de corps noirs, supposées chargées,
dont les énergies observées s'étendent du MeV jusqu'à quelques 1020 eV. La dé-
tection dès 1962 d'un rayon cosmique d'énergie supérieure à 1020 eV par John
Linsley et ses collaborateurs a soulevé de multiples questions qui sont toujours
d'actualité. Si l'existence de rayons cosmiques à de telles énergies a été conr-
mée par d'autres expériences, ni les nombreux travaux théoriques, ni les quelques
données expérimentales disponibles à ce jour, ne permettent de comprendre com-
plètement l'origine et la nature de ce rayonnement hautement énergétique. la
production de rayons cosmiques à des énergies supérieures à l'exa-électronvolt li-
mite le champ possible des sources à l'origine de l'accélération de ces particules.
Cette accélération fait appel essentiellement à deux mécanismes : l'accéléra-
tion par un champ électrique stationnaire ou l'accélération statistique dans un
plasma magnétisé.
2 Insusance de l'accélération via un champ élec-
trique stationnaire
Naturellement, le mécanisme favorisé pour accélérer une particule chargée
est le champ électrique. Pour accélérer une particule chargée, la force la plus
1

2. ecace est celle de Lorentz F = q(E + v ∧ B). Cette accélération est due à
la force électrique et non pas à celle magnétique car cette dernière ne travaille
pas : q.(v ∧ B) ∧ v = 0. Toutefois, les zones magnétisées fournissent de l'énergie
aux particules chargées via les variations temporelles du champ magnétique qui
génèrent un champ électrique variable.
Les champs électriques durables ne se rencontrent que dans des environne-
ments propices à leur stabilité tels que les étoiles à neutrons. Si on prend le
cas des pulsars, qui sont des étoiles à neutrons en rotation, on trouve qu'un
champs électrique stationnaire intervient vraisemblablement dans son magnéto-
sphère. Cependant, ce champs n'est pas favorisé en raison des pertes synchro-
tons 1 importantes subies par les particules au cours du processus d'accélération.
De plus, le spectre en énergie des particules ainsi générées n'est pas en loi de
puissance, contrairement à celui du rayonnement cosmique. En eet, pour ac-
célérer des particules de nombre atomique Z jusqu'à des énergies de 1020 eV ,
les champs électrostatiques requis doivent correspondre à une diérence de po-
20
tentiel de 10 Volts. Cependent, Peu d'objets astrophysiques à l'exception des
Z
pulsars, présentent de tels champs. En eet, pour une pulsation angulaire ty-
pique de 70 rad/s, le champ magnétique B à la surface de l'étoile est de l'ordre
de 109 Tesla. L'amplitude du champ électrique induit est alors donnée par :
= W.L.B soit71014 V/m pour un rayon typique de pulsar de 10 km. L'énergie
maximale acquise par une particule de charge Ze dans un tel champ est donc
Emax = Ze.L 1019 eV pour un proton. Cependant, il faut tenir compte
des pertes énergétiques, principalement par émission synchrotron, subies lors de
l'accélération. Ainsi, une charge Q de masse m émet lors d'une acccélération
de nature relativiste, une puissance P négilgeable devant la puissance gagnée
lorsque la taille requise pour accélerer les particules jusqu'à 1020 est d'au moins
égale à un parsec 2 . Ce qui exclut les pulsar et les étoiles à neutrons. Ainsi
voit-on que le mécanisme d'accélération via un champ stationnaire ne peut pas
expliquer la grande énergie de ces rayons cosmiques.
3 Accéleration stochastique :
Devant l'incapacité du mécanisme évoqué dans la première partie, plusieurs
études ont été faites pour expliquer le transfert d'énergie à ces particules chargés.
Parmi ces études, on peut citer l'article de P.A. Sturrock sur ce type d'accélé-
ration 3 . On se propose dans cette partie de passer en révision les hypothèses
utilisés dans l'article original. On nira par une résolution numérique d'une
équation à dérivé partielle de type équation de chaleur.
1. les pertes sont dûes à l'émission que connaient les particules à cause de l'accéleration
relativiste
2. 1 parsec = 3,2616 années-lumière.
3. P.A. Sturrock : Stochastic acceleration - PHYSICAL REVIEW - Volume 144, numero
1- Janvier 1966

3. 3.1 Cadre théorique :
Pour des raisons de simplicité, on considère le problème d'accélération des
particules chargées jusqu'à des énergies relativistes, c-à-d que l'énergie fournie
à la particule est du même ordre de grandeur que l'énergie de la particule au
repos. D'autre part, le champ électromagnétique (E, B) dans lequel baignent les
particules est un champ aléatoire d'intensité faible 4 . Sa composante magnétique
est stationnaire et uniforme, par contre sa composante électrique est aléatoire.
La variation aléatoire du champ électrique est faible pour qu'on puisse utili-
ser un formalisme des fonctions de corrélation du second-ordre. On distinguera
l'étude du mouvement parallèle au champ magnétique et celui perpendiculaire
à ce dernier. Nous nous contenterons d'étudier, dans ce qui, suit le mouvement
parallèle. Finalement, un formalisme se basant sur sur la résilution de l'équation
de Fokker-Planck est utilisé. On dénit f la fonction de distribution de l'ensemble
des particules dans un espace de phase à 6 dimensions (x, y, z, vx , vy , vz ).
3.2 Cas d'accéleration parrallèle au champ magnétique :
Dans ce cas, on s'intéressera à une fonction de distribution réduite exprimée
dans l'espace de phase des vitesses (vx , vy , vz ). L'équation est donnée par la
formule suivante
∂f ∂ 1 ∂2
= − (A.f ) + . 2 (B.f )
∂t ∂v 2 ∂v
avec
v ( v)2
A = ; B =
t t
Le but du jeu maintenant est d'exprimer les coecients A et B en fonction
des paramètres du problème. L'équation du mouvement s'exprime sur l'axe Oz
comme suit :
d2 z dv q
2
= = .Ez (z; t)
dt dt m
Dans l'approximation du champ faible, on peut utiliser un calcul perturbatif de
la position z :
z = z0 + v0 t + Z I (t) + Z II (t) + ...
Tout calcul fait 5 on obtient :
q 2
B = 2π( ) dk.Szz (k, vk)
m
1 q 2 ∂
A=π( ) dk.Szz (k, vk)
2 m ∂v
l'équation de Fokker-Planck dans le cas d'un mouvement parrallèle au champ
magnétique s'ecrit :
∂f ∂ 1 ∂2 ∂ ∂f
= − (A.f ) + . 2 (B.f ) = (D(v). )
∂t ∂v 2 ∂v ∂v ∂v
4. C'est l'approximation du champ faible
5. Pour plus de précisions, se référer à l'article de P.A. Sturrock

4. Figure 1 Eet d'un champ électromagnétique stochastique sur une distribu-
tion gaussienne normalisée d'électrons.
avec D(v) = π( m )2 dk.Szz (k, vk) . Les bornes des integrales précedentes
q
étant−∞ et +∞.
Il reste à mentionner que la puissance de l'équation de Fokker-Planck obtenu
réside dans la variation du terme D(v) = π( m )2 dk.Szz (k, vk). En eet, étu-
q
diant une distibustion d'électrons gaussienne et normalisée à une température
initiale de100K et supposons que D(v) est constant. On aboutit à une équation
simpliée qu'on résout avec un chemin numérique et on trace la solution en
bleu :
On voit bien l'étalement de la fonction de distribution dans l'espace des
vitesse, ce qui veut dire l'accéleration des électrons. Cependant, la vitesse maxi-
male obtenue est de 106 1020 . On conclut l'importance des variations de D(v)
dans la pertinence de ce mécanisme.
4 Conclusion
L'insusance de l'accéleration à champs électrostatique a donné lieu à l'ap-
parition de plusieurs mécanismes approchant le mécanisme d'accéleration réelle
des rayons cosmiques et qui est jusqu'à présent inconnu. L'accéleration sto-
chastique, étant l'une des approches, traduisant l'accéleration dans un champs
électrique aléatoire, arrive à justié de telle très grandes énergies de ces rayons.
En se donnant des hypothèses sur les champs, on est arrivé à l'équation de

5. Fokker-Planck donnant la fonction de distribution des vitesses.
Références
[1] P.A. Sturrock. Stochastic acceleration. Janvier 1966. PHYSICAL REVIEW.
Numéro 1. Volume 144.
[2] Xavier GARRIDO. 2008. Étude de la composition des rayons cosmiques
d'ultra-hautes énergies détectés par l'Observatoire Pierre Auger et analyse
des processus hadroniques associés. Thèse de Doctorat. Université de Nantes.