Evidence for the charge-excess contribution in air shower radio emission obse...
Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes
1. Localisation d’une source
émettrice par un réseau
d’antennes :
Point de vue de
l’optimisation
Auteurs Ahmed Rebai, Doctorant Subatech
Tarek Salhi, Ingénieur des Mines
2. Plan de la présentation
Introduction et contexte de l’étude
Formulation du problème mathématique
d’optimisation
Etude de la localisation de la source
Simulations et résultats
Conclusion et perspectives
3. Le
recours à des techniques d’optimisation n’est pas
nouveau pour répondre à des problématiques de la
physique
Beaucoup de lois et problèmes physiques ont une
formulation variationnelle i.e. sous forme de
problème d’optimisation : Equations d’Euler-Lagrange
(mécanique), équations HJB, thermodynamique,
optique
Originegéométrique de la physique (géométrie
différentielle)
Domaine à l’interface de la physique, de l’analyse, de
l’analyse numérique et de la géométrie
Exemple : Seismic Reflection Tomography
4. Seismic Reflection Tomography
Problème formulé par Gauss 1809
Solutions optique géométrique
(onde plane) pour la propagation
de l’onde dans le milieu :
trajectoire rectiligne
Onde se propage entre une source
émettrice et un récepteur avec
une réflexion sur un milieu de
position et forme inconnue
Célérité (connue) et constante
dans le milieu
5. Formulation du problème à l’aide
d’une fonctionnelle moindre carrés
Le problème régularisé peut être formulé de la
façon suivante
où et est fonction de la
géométrie de la surface à déterminer (courbure)
est un paramètre à déterminer en fonction du
problème
6. Similitudes avec les techniques
d’ajustement (fit)
La fonctionnelle à optimiser est classique
(quadratique)
Similaire
aux ajustement par méthodes de
moindres carrés linéaires
2
obs x ⋅ U + yi ⋅ V
1 mod 2
1 t − ti ( a )
2
N ti − t0 + i
arg min ti (a ) − t
obs mod
obs c
i arg min i = min( χ 2 ) = ∑
a∈ℜn 2 2 a∈ℜ 2
n
σi i =1 σi
2
7. Comparaison de notre problème et
le Seismic Reflection Tomography
Localisation de la source à Seismic Reflection
l’aide d’un réseau d’antennes Tomography
Célérité de la lumière dans le Célérité d’une onde acoustique
vide dans le milieu inférieure à 3000
m/s
Fonctionnelle non standard Fonctionnelle quadratique à
(puissance quatrième) minimiser
Localisation d’une source en Répétabilité statistique possible,
mouvement source statique
Topologie du champs d’antennes Symétrie du réseau se retrouve
à optimiser dans la forme de l’interface
8. Formulation du problème
mathématique d’optimisation
Localiserla position et le temps
d’émission d’une onde à partir d’une
source avec un réseau d’antennes
9. Formulation du problème
d’optimisation sans contraintes
Le problème non régularisé et sans
contraintes est le suivant
où désigne la position de la source,
l’instant d’émission de l’onde (supposée
sphérique).
10. Propriétés de la fonctionnelle à
optimiser
Fonctiondifférentiable Algorithmes
d’optimisation différentiables
Algorithmes possibles : Levenberg-Marquardt
(méthodes quasi-newtoniennes), algorithme du
Simplexe, Méthodes de Gauss-Newton, méthodes
de gradient (pas fixe et pas optimal)
Fonction
coercive (infinie à l’infini) et non-
convexe existence certaine de minima locaux
Caractérisationde l’ensemble des points critiques
de la fonctionnelle
11. Importance de la notion de convexité
dans les problèmes d’optimisation
Conditionne la convergence des
algorithmes
Propriété topologique locale de la fonction
Regarder la différentielle première (plan
tangent) et seconde (forme quadratique)
12. Pourquoi la convexité est
importante ?
Les algorithmes d’optimisation
sont basés sur l’idée de la
méthode de Newton : Chercher
les directions de Descente pour
atteindre le minimum (local ou
global)
Sila fonction est convexe alors
minimum local = minimum global
Comme pour une bille qui dévale
une pente, si la condition initiale
n’est pas bien placée
algorithme coincé dans un
minimum local
13. Preuve de la non-convexité
Calcul de la différentielle première et seconde de la
fonctionnelle
Version en dimension supérieure
Le différentielle première est un vecteur (tenseur d’ordre
1) et la différentielle seconde une matrice (tenseur d’ordre
2)
Condition nécessaire et suffisante de convexité : La
matrice hessienne est définie positive
14. Calcul des différentielles
premières et secondes
Notons la matrice de Minkowski (métrique de
Minkowski)
La matrice Hessienne
La
fonctionnelle est convexe si et seulement si la
matrice Hessienne est définie positive.
16. Localisation de la source
Lors de l’étude des propriétés des points
critiques de la fonctionnelle, l’ensemble
des points critiques est paramétré de la
façon suivante
fi
X =∑ ⋅X i
i ∑
j
f j
La formule « ressemble » à un barycentre
la direction du barycentre joue un rôle
privilégié dans notre problème
17. Le problème monodimensionnel
Réseau de N antennes placées sur une
droite à des positions X i connues
Source de position et instant d’émission
inconnu
20. Droite de dégénérescence
Si un couple ( xs , t s* ) est un point critique
alors il vérifie les deux équations
Condition sur L pour que ( xs − L, t s* − L ) soit
aussi un point critique
Le point critique est à l’intérieur du réseau
21. Généralisation au cas de
dimensions supérieures
L’ensemble des
points critiques
contient une demi-
droite
L’idée se généralise
(bien que plus
difficile à formuler)
au cas de
dimensions
supérieures
23. Simulation dans le cas d’un réseau
linéique
Deux scénarios
envisagés
La source se trouve
dans l’intervalle des
antennes réceptrices
La source se trouve à
l’extérieur des
antennes réceptrices
24. La source est à l’extérieur du réseau
linéique
Confirmation de la
présence de minima
locaux même dans le
cas où σ t = 0
Dans ce cas, les
valeurs du χ 2 sont très
faibles
Dans le cas σ t > 0 , les
valeurs du χ 2 sont
élevées
25. La source est à l’intérieur du réseau
linéique
Existenced’un
minimum global
prononcé
La reconstruction de la
position de la 2source
est possible χ
Même remarques pour
les valeurs du en
fonction des σ t
26. Cas d’un réseau surfacique
Réseau autonome
CODALEMA dans le
cas de la
reconstruction du
bruit de fond
anthropique
Réseau AERA à
AUGER
Deux scénarios :
La source se trouve
à l’intérieur ou à
l’extérieur du
réseau
31. Conclusion et perspectives
L’estimateur introduit peut être
amélioré
Deux voies se présentent : ajouter de
χ global = χ LDF − amplitude + χ temps
2 2 2
l’information au χ 2
1
Anthropique proportionnel à
r
−r
Signal UHECR proportionnel à e r0
Attaquer le problème d’un point de
vue statistique : théorie des M-
estimateurs
Faire une hypothèse différente sur le
front d’onde
Notes de l'éditeur
Problème inverse : retrouver l’interface en connaissant les positions des émetteurs et les temps de parcours.
Vecteur gradient et matrice Hessienne Croissance des pentes dérivée seconde positive
La fonctionnelle est une fonction scalaire à deux variables. Les contraintes forment un ensemble de cônes qui se coupent en trois types d’ensembles : 1- L’ensemble vide 2- Un point 3- Une demi-droite On retrouve les « cônes de lumière » de la relativité restreinte
Enveloppe convexe importante et non pas la proximité au réseau d’antennes