Localisation d’une source   émettrice par un réseau                d’antennes :            Point de vue de              l’...
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Importance de la notion de convexité  dans les problèmes d’optimisationConditionne   la convergence des algorithmesPropr...
Pourquoi la convexité est             importante ? Les algorithmes d’optimisation  sont basés sur l’idée de la  méthode d...
Preuve de la non-convexité Calcul de la différentielle première et seconde de la  fonctionnelle Version   en dimension s...
Calcul des différentielles          premières et secondes Notons  la matrice de Minkowski (métrique de Minkowski) La   m...
Non-convexité de l’estimateurCalculexplicite du premier coefficient de la matrice HessienneTerme  conditionne la « défin...
Localisation de la sourceLors  de l’étude des propriétés des points critiques de la fonctionnelle, l’ensemble des points ...
Le problème monodimensionnelRéseau   de N antennes placées sur une droite à des positions X i connuesSource de position ...
Formulation du problème         d’optimisationMinimiser   la fonctionnellesous les contraintes
Ensemble des contraintes
Droite de dégénérescenceSi un couple ( xs , t s* ) est un point critique alors il vérifie les deux équationsCondition su...
Généralisation au cas de      dimensions supérieuresL’ensemble   des points critiques contient une demi- droiteL’idée   ...
Enveloppe convexe
Simulation dans le cas d’un réseau               linéiqueDeux  scénarios envisagésLa source se trouve dans l’intervalle ...
La source est à l’extérieur du réseau               linéiqueConfirmation   de la présence de minima locaux même dans le c...
La source est à l’intérieur du réseau               linéiqueExistenced’un minimum global prononcéLa reconstruction de la...
Cas d’un réseau surfacique Réseau autonome CODALEMA dans le cas de la reconstruction du bruit de fond anthropique Réseau...
Source hors de l’enveloppe convexe du                réseau
Source dans l’enveloppe convexe du        réseau d’antennes
Configuration spatiale du réseau plus              exotique
Démonstration de la dégénérescence  sur des données expérimentales
Conclusion et perspectives   L’estimateur introduit peut être    amélioré    Deux voies se présentent : ajouter de       ...
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Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes

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Présentation devant l'équipe astroparticule mercredi 7 decembre 2011

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  • Problème inverse : retrouver l’interface en connaissant les positions des émetteurs et les temps de parcours.
  • Vecteur gradient et matrice Hessienne Croissance des pentes  dérivée seconde positive
  • La fonctionnelle est une fonction scalaire à deux variables. Les contraintes forment un ensemble de cônes qui se coupent en trois types d’ensembles : 1- L’ensemble vide 2- Un point 3- Une demi-droite On retrouve les « cônes de lumière » de la relativité restreinte
  • Enveloppe convexe importante et non pas la proximité au réseau d’antennes
  • Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes

    1. 1. Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes : Point de vue de l’optimisationAuteurs Ahmed Rebai, Doctorant Subatech Tarek Salhi, Ingénieur des Mines
    2. 2. Plan de la présentationIntroduction et contexte de l’étudeFormulation du problème mathématique d’optimisationEtude de la localisation de la sourceSimulations et résultatsConclusion et perspectives
    3. 3.  Le recours à des techniques d’optimisation n’est pas nouveau pour répondre à des problématiques de la physique Beaucoup de lois et problèmes physiques ont une formulation variationnelle i.e. sous forme de problème d’optimisation : Equations d’Euler-Lagrange (mécanique), équations HJB, thermodynamique, optique Originegéométrique de la physique (géométrie différentielle) Domaine à l’interface de la physique, de l’analyse, de l’analyse numérique et de la géométrie Exemple : Seismic Reflection Tomography
    4. 4. Seismic Reflection Tomography Problème formulé par Gauss 1809 Solutions optique géométrique (onde plane) pour la propagation de l’onde dans le milieu : trajectoire rectiligne Onde se propage entre une source émettrice et un récepteur avec une réflexion sur un milieu de position et forme inconnue Célérité (connue) et constante dans le milieu
    5. 5. Formulation du problème à l’aided’une fonctionnelle moindre carrés Le problème régularisé peut être formulé de la façon suivante où et est fonction de la géométrie de la surface à déterminer (courbure) est un paramètre à déterminer en fonction du problème
    6. 6. Similitudes avec les techniquesd’ajustement (fit)La fonctionnelle à optimiser est classique (quadratique)Similaire aux ajustement par méthodes de moindres carrés linéaires 2  obs x ⋅ U + yi ⋅ V  1 mod 2 1 t − ti ( a ) 2 N  ti − t0 + i arg min ti (a ) − t obs mod obs c i arg min i = min( χ 2 ) = ∑   a∈ℜn 2 2 a∈ℜ 2 n σi i =1  σi  2    
    7. 7. Comparaison de notre problème etle Seismic Reflection TomographyLocalisation de la source à Seismic Reflectionl’aide d’un réseau d’antennes TomographyCélérité de la lumière dans le Célérité d’une onde acoustiquevide dans le milieu inférieure à 3000 m/sFonctionnelle non standard Fonctionnelle quadratique à(puissance quatrième) minimiserLocalisation d’une source en Répétabilité statistique possible,mouvement source statiqueTopologie du champs d’antennes Symétrie du réseau se retrouveà optimiser dans la forme de l’interface
    8. 8. Formulation du problèmemathématique d’optimisationLocaliserla position et le temps d’émission d’une onde à partir d’une source avec un réseau d’antennes
    9. 9. Formulation du problèmed’optimisation sans contraintesLe problème non régularisé et sans contraintes est le suivant où désigne la position de la source, l’instant d’émission de l’onde (supposée sphérique).
    10. 10. Propriétés de la fonctionnelle à optimiser Fonctiondifférentiable  Algorithmes d’optimisation différentiables Algorithmes possibles : Levenberg-Marquardt (méthodes quasi-newtoniennes), algorithme du Simplexe, Méthodes de Gauss-Newton, méthodes de gradient (pas fixe et pas optimal) Fonction coercive (infinie à l’infini) et non- convexe  existence certaine de minima locaux Caractérisationde l’ensemble des points critiques de la fonctionnelle
    11. 11. Importance de la notion de convexité dans les problèmes d’optimisationConditionne la convergence des algorithmesPropriété topologique locale de la fonctionRegarder la différentielle première (plan tangent) et seconde (forme quadratique)
    12. 12. Pourquoi la convexité est importante ? Les algorithmes d’optimisation sont basés sur l’idée de la méthode de Newton : Chercher les directions de Descente pour atteindre le minimum (local ou global) Sila fonction est convexe alors minimum local = minimum global Comme pour une bille qui dévale une pente, si la condition initiale n’est pas bien placée  algorithme coincé dans un minimum local
    13. 13. Preuve de la non-convexité Calcul de la différentielle première et seconde de la fonctionnelle Version en dimension supérieure Le différentielle première est un vecteur (tenseur d’ordre 1) et la différentielle seconde une matrice (tenseur d’ordre 2) Condition nécessaire et suffisante de convexité : La matrice hessienne est définie positive
    14. 14. Calcul des différentielles premières et secondes Notons la matrice de Minkowski (métrique de Minkowski) La matrice Hessienne La fonctionnelle est convexe si et seulement si la matrice Hessienne est définie positive.
    15. 15. Non-convexité de l’estimateurCalculexplicite du premier coefficient de la matrice HessienneTerme conditionne la « définie-positivité » de la matrice Hessienne et donc la convexité
    16. 16. Localisation de la sourceLors de l’étude des propriétés des points critiques de la fonctionnelle, l’ensemble des points critiques est paramétré de la façon suivante fi X =∑ ⋅X i i ∑ j f jLa formule « ressemble » à un barycentre  la direction du barycentre joue un rôle privilégié dans notre problème
    17. 17. Le problème monodimensionnelRéseau de N antennes placées sur une droite à des positions X i connuesSource de position et instant d’émission inconnu
    18. 18. Formulation du problème d’optimisationMinimiser la fonctionnellesous les contraintes
    19. 19. Ensemble des contraintes
    20. 20. Droite de dégénérescenceSi un couple ( xs , t s* ) est un point critique alors il vérifie les deux équationsCondition sur L pour que ( xs − L, t s* − L ) soit aussi un point critiqueLe point critique est à l’intérieur du réseau
    21. 21. Généralisation au cas de dimensions supérieuresL’ensemble des points critiques contient une demi- droiteL’idée se généralise (bien que plus difficile à formuler) au cas de dimensions supérieures
    22. 22. Enveloppe convexe
    23. 23. Simulation dans le cas d’un réseau linéiqueDeux scénarios envisagésLa source se trouve dans l’intervalle des antennes réceptricesLa source se trouve à l’extérieur des antennes réceptrices
    24. 24. La source est à l’extérieur du réseau linéiqueConfirmation de la présence de minima locaux même dans le cas où σ t = 0Dans ce cas, les valeurs du χ 2 sont très faiblesDans le cas σ t > 0 , les valeurs du χ 2 sont élevées
    25. 25. La source est à l’intérieur du réseau linéiqueExistenced’un minimum global prononcéLa reconstruction de la position de la 2source est possible χMême remarques pour les valeurs du en fonction des σ t
    26. 26. Cas d’un réseau surfacique Réseau autonome CODALEMA dans le cas de la reconstruction du bruit de fond anthropique Réseau AERA à AUGER Deux scénarios : La source se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur du réseau
    27. 27. Source hors de l’enveloppe convexe du réseau
    28. 28. Source dans l’enveloppe convexe du réseau d’antennes
    29. 29. Configuration spatiale du réseau plus exotique
    30. 30. Démonstration de la dégénérescence sur des données expérimentales
    31. 31. Conclusion et perspectives L’estimateur introduit peut être amélioré Deux voies se présentent : ajouter de χ global = χ LDF − amplitude + χ temps 2 2 2 l’information au χ 2 1 Anthropique proportionnel à r −r Signal UHECR proportionnel à e r0 Attaquer le problème d’un point de vue statistique : théorie des M- estimateurs Faire une hypothèse différente sur le front d’onde

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