probability statistics lecture

1. Page 1 of 14
.‫مقدمة‬
‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫االحصاء‬3:‫جمموعات‬
Collection Presentation Analysis
Stat 500 AS507
:‫ادلقرر‬ ‫حمتوايت‬
1.( ‫االحتماالت‬ ‫ية‬‫ر‬‫نظ‬Probability Theory.)
2.( ‫االحتمايل‬ ‫يع‬‫ز‬‫التو‬ ‫دالة‬Probability Distribution.)
3.( ‫العينة‬ ‫يع‬‫ز‬‫تو‬Sampling Distribution.)
4..‫الفروض‬ ‫ات‬‫ر‬‫اختبا‬
Chapter 1: Probability
:‫التجارب‬ ‫من‬ ‫نوعني‬ ‫هناك‬
‫ائية‬‫و‬‫العش‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬(Random Experiment.)(1)
)‫هتمنا‬ ‫(ال‬ ‫العمدية‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬(2)
‫ائية‬‫و‬‫العش‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬‫بة‬‫ر‬‫جت‬ ‫ىي‬‫النتائج‬ ‫ىذه‬ ،‫النتائج‬ ‫من‬ ‫جمموعة‬ ‫ايل‬ ‫تقدان‬‫نعرف‬‫ها‬‫مقدما‬،‫اي‬ ‫نعرف‬ ‫ان‬ ‫ميكن‬ ‫ال‬ ‫لكن‬‫و‬
‫اتج‬‫و‬‫الن‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬ ‫وال‬ ‫عليها‬ ‫رمصل‬ ‫النتائج‬ ‫ىذه‬ ‫من‬‫إ‬‫بة‬‫ر‬‫التج‬ ‫اء‬‫ر‬‫اج‬ ‫بعد‬ ‫ال‬‫اء‬‫ر‬‫اج‬ ‫بعد‬ ‫حتديده‬ ‫يتم‬ ‫الفعلي‬ ‫(احلدث‬
.‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫أمسها‬ ‫جمموعة‬ ‫يف‬ ‫اتج‬‫و‬‫الن‬ ‫تلك‬ ‫جتميع‬ ‫ميكن‬ ‫مث‬ ‫ومن‬ ،)ً‫ا‬‫فعلي‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬
‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬(Sample space:)‫ىو‬‫الفئة‬‫اجملموعة‬ ‫أو‬‫اليت‬‫مجيع‬ ‫علي‬ ‫حتتوي‬‫ال‬‫اتج‬‫و‬‫ن‬‫املمكنة‬‫لل‬‫بة‬‫ر‬‫تج‬‫ال‬‫ائية‬‫و‬‫عش‬
(Domain،)‫نرد‬ ‫زىرة‬ ‫مثال‬(1،2،3،4،5،6‫ال‬‫و‬ )‫عملة‬‫املعدنية‬(‫كتابة‬،‫ملك‬):‫الصيغة‬ ‫هبذه‬ ‫وتكتب‬ ،
S = {H, T} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = {D, N} D = Defective
‫أ‬‫نو‬‫ا‬:‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫ع‬
( ‫متصل‬ ‫أو‬ ‫مستمر‬Continuous)( ‫متقطع‬Discrete)
( ‫للعد‬ ‫قابل‬ ‫غري‬ ،‫املتصل‬ ‫املدى‬ ‫وىو‬uncountable)
‫هنائي‬ ‫ال‬ ‫عدد‬ ‫حتتوى‬ )‫الوزن‬ ‫أو‬ ‫(الطول‬ ‫فًتة‬ ‫يشكل‬ ‫بل‬
( ‫القيم‬ ‫من‬[ ])
)‫ات‬‫ر‬‫السيا‬ ‫أو‬ ‫اد‬‫ر‬‫األف‬ ‫(عدد‬ ‫للعد‬ ‫قابلة‬ ‫حمددة‬ ‫نقط‬ ‫وىو‬
( ‫حمدود‬Finite)( ‫حمدود‬ ‫غري‬Infinite)
(1‫وسا‬ ‫أشهر‬ )‫ئ‬:‫ائية‬‫و‬‫العش‬ ‫العينة‬ ‫ل‬( ‫النرد‬ ‫زىرة‬die)،( ‫عملة‬ ‫رمي‬coin)‫الكوتشينة‬ ‫اللعب‬ ‫اق‬‫ر‬‫أو‬‫و‬ ،
(2‫حتديد‬ ‫يتم‬ ‫ىنا‬ ).ً‫ا‬‫مسبق‬ ‫الناتج‬ ‫الرقم‬ ‫ومعرفة‬ ‫النرد‬ ‫زىرة‬ ‫على‬ ‫القرص‬ ‫مثل‬ ،ً‫ال‬‫فع‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬ ‫اء‬‫ر‬‫إج‬ ‫قبل‬ ‫حىت‬ ،‫وبدقة‬ ‫النتائج‬

2. Page 2 of 14
‫ابلشكل‬ ‫املتصل‬ ‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫كتابة‬‫ويتم‬:‫التايل‬
S = {x : 0 ≤ x ≤ 100, x R}
" ‫يسمى‬ ‫ما‬ ‫لو‬ ‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ :‫مالحظة‬Order.‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫داخل‬ ‫العناصر‬ ‫عدد‬ ‫ميثل‬ ‫وىو‬ "
( ‫ئية‬‫ز‬‫اجل‬ ‫الفئة‬Sub Set:)‫ئية‬‫ز‬‫اجل‬ ‫الفئات‬ ‫عدد‬ ‫فة‬‫ر‬‫مع‬ ‫ميكن‬‫و‬ ،‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫حيتويها‬ ‫اليت‬ ‫الفئات‬ ‫من‬ ‫جمموعة‬ ‫ىي‬
:‫التايل‬ ‫القانون‬ ‫من‬ ‫احملتملة‬
=2Order
, Order = ‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬‫االرجاع‬ ‫مع‬ ‫السحب‬ ‫يف‬
:‫ىي‬ ‫جمموعات‬ ‫بع‬‫ر‬‫أ‬ ‫عدد‬ ،‫معدنية‬ ‫عملة‬ ‫رمي‬ ‫من‬ ‫ئية‬‫ز‬‫اجل‬ ‫اجملموعات‬ :‫مثال‬{H}, {T}, {H, T}, {} or
‫احلدث‬(The Event:)‫أ‬ ‫ىو‬‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫من‬ ‫ئية‬‫ز‬‫ج‬ ‫فئة‬ ‫ي‬،(3)
:‫وقوعو‬ ‫حيث‬ ‫من‬ ‫اع‬‫و‬‫أن‬ ‫ثالث‬ ‫لو‬‫و‬
( ‫مستحيل‬ ‫حدث‬Impossible) ‫حدث‬( ‫احتمايل‬Probable) ( ‫كد‬‫مؤ‬ ‫حدث‬Sure)
P=0 0 < P < 1 P=1
:‫فنجد‬ ‫األحداث‬ ‫بني‬ ‫العالقة‬ ‫عن‬ ‫التحدث‬ ‫عند‬ ‫أما‬
( ‫مانع‬ ‫احلدث‬Mutually Exclusive Event)( ‫ادلستقل‬ ‫احلدث‬The Independent Events)
‫فردي‬ ‫ورقم‬ ،‫كتابة‬‫و‬ ‫ملك‬ :‫اآلخر‬ ‫وقوع‬ ‫مينع‬ ‫حدث‬ ‫وقوع‬
‫النرد‬ ‫يف‬ ‫وزوجي‬
‫وقوع‬ ‫حدثني‬،‫اآلخر‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ ‫على‬ ‫يؤثر‬ ‫ال‬ ‫احدمها‬
.‫ابطني‬‫ًت‬‫م‬ ‫غري‬(4)
‫ادلكمل‬ ‫احلدث‬(Compliment Event).
( ‫ابلرمز‬ ‫لو‬ ‫ويرمز‬Ac
( ‫أو‬ )A’‫أن‬ ‫كما‬،‫املكمل‬ ‫مع‬ ‫يتناىف‬ ‫احلدث‬ ‫وقوع‬ ‫ألن‬ ً‫ا‬‫مانع‬ ً‫اث‬‫حد‬ ‫املكمل‬ ‫احلدث‬ ‫ويعترب‬ ،)
‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫ميثالن‬ ‫ومكملو‬ ‫احلدث‬.(5)
P (A) + P (A’) = 1
(3‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫من‬ ‫اج‬‫ر‬‫استخ‬ ‫يتم‬ ‫ئية‬‫ز‬‫ج‬ ‫فئة‬ ‫كل‬).‫حدث‬ ً‫ا‬‫أيض‬ ‫ىي‬ )‫(فاي‬ ‫الفارغة‬ ‫اجملموعة‬ ‫حىت‬ ،‫حدث‬ ‫تعترب‬
(4)‫لذا‬ ،‫الصورة‬ ‫ظهور‬ ‫بعدم‬ ‫متعلق‬ ‫الكتابة‬ ‫ظهور‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ ‫وابلتايل‬ ‫الكتابة‬ ‫ظهور‬ ‫ينفي‬ ‫الصورة‬ ‫ظهور‬ ‫أن‬ ‫ذمد‬ ‫املعدنية‬ ‫العملة‬ ‫رمي‬ ‫بة‬‫ر‬‫جت‬ ‫يف‬‫غري‬ ‫احلدثني‬ ‫فإن‬
‫املت‬ ‫احلداثن‬ :‫النتيجة‬ ،‫متنافيني‬ ‫كوهنما‬‫من‬ ‫الرغم‬ ‫على‬ ‫مستقلني‬‫املتنافية‬ ‫غري‬ ‫االحداث‬ ،‫متنافية‬ ‫غري‬ ‫حداثن‬ ‫مها‬ ‫املستقالن‬ ‫احلداثن‬ ،‫مستقلني‬ ‫غري‬ ‫حداثن‬ ‫مها‬ ‫نافيان‬
.‫متنافية‬ ‫غري‬ ‫أو‬ ‫متنافية‬ ‫تكون‬ ‫فقد‬ ‫املستقلة‬ ‫غري‬ ‫األحداث‬ ‫كذلك‬‫و‬ ،‫مستقلة‬ ‫غري‬ ‫أو‬ ‫مستقلة‬ ‫تكون‬ ‫قد‬
(5):‫مثال‬‫جمموع‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬‫النرد‬ ‫رمييت‬‫من‬ ‫اكرب‬3= ‫اليت‬ ‫القيم‬ ‫حساب‬ ‫ميكن‬ ‫للسهولة‬‫و‬ ،3،‫أقل‬ ‫أو‬P=3/36،
p(A)=1-p(Ac) = 1- (3/36) = 33/36

3. Page 3 of 14
:‫وادلكمل‬ ‫ادلانع‬ ‫احلدثني‬ ‫بني‬ ‫الفرق‬
‫مانع‬ ‫احلدث‬‫ادلكمل‬ ‫احلدث‬
A B =A B = , A B = S
.‫العكس‬ ‫ليس‬‫و‬ ‫متنافيني‬ ‫حدثني‬ ‫مها‬ ‫املتممني‬ ‫احلدثني‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ ‫اجلدول‬ ‫من‬
‫االحتمال‬ ‫حساب‬:
‫ايضي‬‫ر‬‫ال‬ ‫االحتمال‬‫النظري‬ ‫او‬(Mathematical prob.)‫ييب‬‫ر‬‫التج‬ ‫االحتمال‬(Empirical prob.)
‫احلدث‬‫و‬ ‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫يقة‬‫ر‬‫بط‬ ‫حيسب‬‫النسيب‬ ‫ار‬‫ر‬‫التك‬ ‫على‬ ‫يعتمد‬‫ل‬‫لبياانت‬‫االصلية‬
‫العينة‬ ‫ار‬‫ر‬‫تك‬ ‫ومع‬ ،‫ايضي‬‫ر‬‫ال‬ ‫االحتمال‬ ‫على‬ ‫نعتمد‬ ‫وابلتايل‬ ‫كثرية‬‫ات‬‫ر‬‫م‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬ ‫اء‬‫ر‬‫إج‬ ‫العملية‬ ‫احلياة‬ ‫يف‬ ‫يصعب‬ ‫قد‬
.‫ايضي‬‫ر‬‫ال‬ ‫لالحتمال‬ ‫ييب‬‫ر‬‫التج‬ ‫ابالحتمال‬ ‫نصل‬(6)
‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫على‬ ‫املعتمد‬ "‫ايضي‬‫ر‬‫ال‬ ‫"االحتمال‬ ‫ىو‬ ‫ىنا‬ ‫يهمنا‬ ‫وما‬
.‫احلدث‬‫و‬
‫االحتمال‬ ‫حساب‬ ‫خطوات‬:‫الرايضي‬
1.‫وصف‬‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬‫مث‬ ،‫وعدد‬ ‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫عناصر‬ ‫حتديد‬( ‫عناصره‬n.)
2.‫احلد‬ ‫رمدد‬( ‫ث‬A‫وىو‬ )‫ئية‬‫ز‬‫ج‬ ‫فئة‬( = ‫عناصره‬ ‫وعدد‬ ،‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫من‬m.)
3.‫احلدث‬ ‫احتمال‬ ‫حساب‬(A):‫ابلقانون‬
:‫مثال‬‫نرد‬ ‫زىرة‬ ‫القيت‬S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1.‫علي‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬‫زوجي‬ ‫عدد‬E1 = {2, 4, 6}, P1 = 3/6 = ½
2.‫احلصول‬ ‫احتمال‬‫من‬ ‫أكرب‬ ‫رقم‬4E2 = {5, 6}, P2 = 2/6 = 1/3
3.‫احتمال‬‫من‬ ‫أقل‬ ‫رقم‬ ‫على‬ ‫احلصول‬1E3 = {}, P3 = 0/6 = 0
ً‫ا‬‫وطبع‬:‫كتابتها‬‫ميكن‬‫و‬ ،‫سالبة‬ ‫قيم‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ،‫احد‬‫و‬‫ال‬‫و‬ ‫الصفر‬ ‫بني‬ ‫تقع‬ ‫االحتمال‬ ‫قيمة‬ ‫أن‬ ‫املسلمات‬ ‫من‬
0 ≤ P (E) ≤ 1
(6‫النتيجة‬ ‫تكون‬ ‫احدة‬‫و‬ ‫مرة‬ ‫عملة‬ ‫رمي‬ ‫فمع‬ )111‫احتماهلا‬ ‫ان‬ ‫رغم‬ ،%51‫وبعد‬ ،%3‫االحتمال‬ ‫سيكون‬ ‫رميات‬66‫و‬ %33‫ايضي‬‫ر‬‫ال‬ ‫االحتمال‬ ‫عكس‬ %
51%‫ال‬ ‫االحتمال‬ ‫يتالقي‬ ‫كبري‬‫لعدد‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬ ‫ومع‬ ،.‫احلسايب‬ ‫مع‬ ‫ييب‬‫ر‬‫تج‬

4. Page 4 of 14
:‫مثال‬‫تني‬‫ر‬‫م‬ ‫نرد‬ ‫زىرة‬ ‫القيت‬
1.‫متشاهبني‬ ‫وجهني‬ ‫علي‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬E1 ={11, 22, 33, 44, 55, 66}, P1 = 6/36
2.‫جمموعهم‬ ‫وجهني‬ ‫على‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬11E2 ={46, 55, 64}, P2 = 3/36
3.‫من‬ ‫اقل‬ ‫الوجعني‬ ‫جمموع‬ ‫يكون‬ ‫لن‬ ‫احتمال‬3E3 ={11}, P3 = 1/36
4.‫رقم‬ ‫علي‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬1‫األويل‬ ‫الزىرة‬ ‫من‬E4 ={11, 12, 13, 14, 15, 16}, P4 = 6/36
‫تني‬‫ر‬‫م‬ ‫النرد‬ ‫زىر‬ ‫القاء‬ ‫مع‬ ‫االرقام‬ ‫شكل‬ ‫نرسم‬ ‫أن‬ ‫ودمكن‬
.‫للتسهيل‬
6665646362616
5655545352515
4645444342414
3635343332313
2625242322212
1615141312111
654321-
:‫االحتماالت‬ ‫مجع‬ ‫نظرية‬
‫مانعني‬ ‫احلدثني‬ ‫لو‬P (A B) = P (A) + P (B)
)‫مانعة‬ ‫(غري‬ ‫االحداث‬ ‫بني‬ ‫تقاطع‬ ‫ىناك‬ ‫لو‬P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B)
‫من‬ ‫اكرب‬ ‫او‬ ‫فردي‬ ‫رقم‬ ‫علي‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬ ‫ىو‬ ‫ما‬ ‫نرد‬ ‫زىرة‬ ‫القيت‬ :‫مثال‬4.
A = {1, 3, 5}, P (A) = 3/6
B = {5, 6}, P (B) = 2/6
AB = {5}, P (A B) = 1/6
P (A B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6
:‫مثال‬
Male (M) Female
Smoking (S) 4 1 5
Not smoking 3 2 5
7 3 10
:‫مدخن‬ ‫ذكر‬ ‫على‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬ ‫ما‬
P (M S) = P (M) + P (S) - P (M S) = 7/10 + 5/10 - 4/10 = 8/10

5. Page 5 of 14
( ‫الشرطي‬ ‫االحتمال‬Conditional probability.)
( ‫ويعين‬ ،‫الثاين‬ ‫الشرط‬ ‫بوقوع‬ ‫وقوعو‬ ‫مشروط‬ ‫أحدمها‬ ،‫حدثني‬ ‫بني‬ ‫عالقة‬A)( ‫بشرط‬B.)(7)
( ‫احلدث‬ ‫احتمال‬A( ‫بشرط‬ )B)P (A / B) =
( ‫احلدث‬ ‫احتمال‬B( ‫بشرط‬ )A)P (B / A) =
= ‫املشروط‬ ‫االحتمال‬
‫احتمال‬ ‫التقاطع‬
‫احتمال‬ ‫الشرط‬
‫األحداث‬ ‫استقالل‬:‫احلدثني‬ ‫يقال‬A, B‫مستقلني‬ ‫حداثن‬.‫بشرط‬(8)
P (A / B) =
P (B / A) =
( :‫يكون‬ ‫أن‬ ‫شرط‬ ‫ىل‬A / B( = )B / A.‫صدفة‬ ‫حيدث‬ ‫قد‬ ‫لكن‬ ،‫ال‬ ‫)؟‬
‫مثال‬:‫ترد‬ ‫تني‬‫ر‬‫زه‬ ‫القيت‬)‫تني‬‫ر‬‫م‬ ‫نرد‬ ‫زهرة‬ ‫(أو‬‫يكون‬ ‫ان‬ ‫احتمال‬ ‫اوجد‬:
1.‫متشاهبان‬ ‫الوجهان‬(A)‫جمموعهم‬ ‫او‬4(B.)
P (A) = 6/36, P (B) = 3/36, P (A B) = 1/36
P (A or B) = P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 6/36 + 3/36 – 1/36 = 8/36
2.‫متشاهبان‬ ‫الوجهان‬(A)‫وجمموعهم‬4(B.)
P (A) = 6/36, P (B) = 3/36, P (A B) = 8/36
P (A and B) = P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 6/36 + 3/36 - 8/36 = 1/36
3.‫متشاهبان‬ ‫الوجهان‬(A)‫جمموعهم‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫بشرط‬4(B.)
P (A) = 6/36, P (B) = 3/36, P (A B) = 1/36
P (A/B) = = = 1/3
(7( ‫احتمال‬ )A and B‫بينهما‬ ‫التقاطع‬ ‫احتمال‬ ‫ىو‬ )
(8‫الشرطي‬ ‫احلدث‬ ‫حساب‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ،‫ال‬ ‫أم‬ ‫مستقل‬ ‫ىو‬ ‫ىل‬ ‫احلدث‬ ‫على‬ ‫رمكم‬ ‫أن‬ ‫ميكن‬ ‫كيف‬)‫مستقلني‬ ‫يكون‬ ‫االخر‬ ‫على‬ ‫مؤثر‬ ‫غري‬ ‫احلدث‬ ‫كان‬‫لو‬ ،

6. Page 6 of 14
4.‫جمموعهم‬4(B( ‫متشاهبني‬ ‫الوجهني‬ ‫بشرط‬ ،)A.)
P (B / A) = = = 1/6
5.‫مستقلني؟‬ ‫احلدثني‬ ‫ىل‬
P (B / A) ≠ P (B)  ‫مستقلني‬ ‫غري‬ ‫حدثني‬ ‫مها‬ ‫وابلتايل‬ ‫تقاطع‬ ‫ىناك‬
( ‫االحتماالت‬ ‫ضرب‬ ‫قانون‬Multiplication:)
‫املستقلة‬ ‫االحداث‬‫املستقلة‬ ‫غري‬ ‫االحداث‬
P (A B) = P (A) × P (B)P (A B) = P (B) × P (A / B)
P (A / B) = = P (A)P (A / B) =
:‫مثال‬
‫طالبة‬‫طالب‬
642‫علمي‬
642‫أديب‬
1284
:‫املطلوب‬
1.( ‫طالب‬ ‫احتمال‬A( ‫علمي‬ ‫أبنو‬ ً‫ا‬‫علم‬ )B.)
P (A) = 4/12 = 1/3, P (B) = 6/12 = ½ , P (A/ B) = 1/3 × ½ = 1/6 (9)
P (A / B) = P (A B) / P (B) = = 1/3 = P (A) ‫مستقالن‬ ‫احلداثن‬
‫على‬ ‫احلكم‬ :‫مهم‬)‫االحتماالت‬ ‫(ضرب‬ ‫من‬ ‫وليس‬ )‫الشرطي‬ ‫(االحتمال‬ ‫من‬ ‫أييت‬ ‫االستقالل‬،‫ابحتمال‬ ‫أنيت‬ ‫أي‬
‫هنما‬‫ر‬‫ونقا‬ ‫اجلدول‬ ‫من‬ ‫القيمة‬‫و‬ ،‫احلدثني‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫ليس‬‫و‬ ،‫هنما‬‫ر‬‫ونقا‬ ‫الشرطي‬ ‫احلدث‬‫و‬ ‫احلدث‬
(9= ‫اجلدول‬ ‫من‬ )2/12

7. Page 7 of 14
‫مثال‬:‫علي‬ ‫حيتوي‬ ‫صندوق‬3‫و‬ ‫اء‬‫ر‬‫مح‬ ‫ات‬‫ر‬‫ك‬7‫اوجد‬ ‫ايل‬‫و‬‫الت‬ ‫علي‬ ‫تني‬‫ر‬‫ك‬‫سحبت‬ ‫اوجد‬ ‫بيضاء‬ ‫ات‬‫ر‬‫ك‬‫احتماالت‬‫اذا‬
‫السحب‬ ‫كان‬‫إبرجاع‬‫ارجاع‬ ‫وبدون‬.(11)
1.‫اللون‬ ‫نفس‬ ‫هلم‬ ‫تني‬‫ر‬‫الك‬
2.‫اللون‬ ‫خمتلفتني‬ ‫تني‬‫ر‬‫الك‬
3.‫بيضاء‬ ‫الثانية‬ ‫الكرة‬
:‫احلل‬
‫الكورة‬
‫األوىل‬
‫الكرة‬
‫الثانية‬
S
‫االرجاع‬ ‫مع‬ ‫االحتمال‬ ‫االرجاع‬ ‫عدم‬ ‫مع‬ ‫االحتمال‬
1st
2nd
P1 * P2 1st
2nd
R R RR 3/10 3/10 9/100 3/10 2/9 P(R) * P(R/R)
W RW 3/10 7/10 21/100 3/10 7/9 P(R) * P(W/R)
W R WR 7/10 3/10 21/100 7/10 3/9 P(W) * P(R/W)
W WW 7/10 7/10 49/100 7/10 6/9 P(W) * P(W/W)
‫مستقلة‬ ‫مستقلة‬ ‫غري‬
(11):‫االرجاع‬‫مث‬ ‫اللون‬ ‫وتسجيل‬ ‫كرة‬‫اول‬ ‫سحب‬ ‫ويعين‬‫االرجاع‬ ‫بعد‬ ‫الثانية‬ ‫وسحب‬ ‫ارجاعها‬،‫األوىل‬ ‫الكرة‬ ‫ارجاع‬ ‫بدون‬ ‫الثانية‬ ‫مث‬ ،‫األوىل‬ ‫اسحب‬ :‫ارجاع‬ ‫بدون‬ ،
.‫يؤثر‬ ‫االرجاع‬ ‫وعدم‬ ،‫يؤثر‬ ‫ال‬ ‫اإلرجاع‬ ‫وابلتايل‬

8. Page 8 of 14
‫األول‬ ‫الباب‬ ‫متارين‬
1.‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫رقم‬ ‫غلى‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ‫نرد‬ ‫زهرة‬ ‫القيت‬2‫أو‬3.
A ={2, 4, 6} P (A) = 3/6
B = {3, 6} P (B) = 2/6
P (A or B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6
2.:‫اآلتية‬ ‫االحتماالت‬ ‫أوجد‬ ،‫يتان‬‫ز‬‫متوا‬ ‫نرد‬ ‫تني‬‫ر‬‫زه‬ ‫القيت‬
a..‫فردى‬ ‫الوجهني‬ ‫جمموع‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬
P (A) = 18 / 36
b.‫اح‬( ‫متشاهبني‬ ‫الوجهني‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫تمال‬A)‫أ‬‫جمموعهم‬ ‫و‬6(B).
A = {11, 22, 33, 44, 55, 66} P (A) = 6/36
B = {15, 24, 33, 42, 51}
P (A or B) = 6/36 + 5/36 – 1/36 = 10/36
c.‫الوجهني‬ ‫جمموع‬ ‫كان‬‫اذا‬6(A)‫متشاهبني‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫ما‬(B).
P (B / A) = 1/36 ÷ 5/36 = 1/5
3.‫به‬ ‫كيس‬3،‫اء‬‫ر‬‫مح‬ ‫ات‬‫ر‬‫ك‬7‫ك‬‫سحبت‬ ،‫سوداء‬ ‫ات‬‫ر‬‫ك‬‫ر‬‫اتن‬‫ارجاع‬ ‫بدون‬:‫أوجد‬
a.‫سوداء‬ ‫احدامها‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬(A)‫اء‬‫ر‬‫مح‬ ‫األخرى‬‫و‬(B).
P (A and B) = 7/10 * 3/9 = 21/90
b..‫اللون‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫تكوان‬ ‫ان‬ ‫احتمال‬
P (AA or BB) = 7/10 * 6/9 + 3/10 * 2/9 = 48/90
c.‫السحب‬ ‫كان‬‫اذا‬‫إبرجاع‬.‫السابقة‬ ‫االحتماالت‬ ‫أوجد‬
P (AB) = 7/10 * 3/10 = 21/100
P (AA or BB) = 7/10 * 6/10 + 3/10 * 2/10 = 48/100
4.:‫على‬ ‫حنصل‬ ‫ان‬ ‫احتمال‬ ‫هو‬ ‫ما‬ ،‫يتان‬‫ز‬‫متوا‬ ‫عملتان‬ ‫القيت‬
S = {HH, HT, TH, TT}
a..‫االوىل‬ ‫العملة‬ ‫من‬ ‫صورة‬
P (A) = 2/4 = ½

9. Page 9 of 14
b..‫االقل‬ ‫على‬ ‫احدة‬‫و‬ ‫صورة‬
P (B) = 3/4
c..‫احدة‬‫و‬ ‫صورة‬
P (C) = 2/4
d..‫متشاهبان‬ ‫وجهان‬
P (D) = 2/4
5.:‫أوجد‬ ‫إرجاع‬ ‫بدون‬ ‫ورقتني‬ ‫سحبنا‬ ‫اللعب‬ ‫اق‬‫ر‬‫أو‬ ‫جمموعة‬ ‫من‬
a.‫اء‬‫ر‬‫مح‬ ‫أحدامها‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬(A)‫صورة‬ ‫األخرى‬‫و‬(B).
P (A B) = 26/52 * 12/51 = 0.12
b.‫من‬ ‫أقل‬ ‫املسحوبة‬ ‫الورقة‬ ‫كانت‬‫اذا‬4(A)‫اء‬‫ر‬‫مح‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ،(B).
P (A) = 12/52, P(B) = 26/52
P (B / A) = 6/52 ÷12/52 = ½
6.‫احتمال‬ ‫هو‬ ‫ما‬ ‫متوازنتني‬ ‫تني‬‫ر‬‫زه‬ ‫رمي‬ ‫عند‬‫الوجهني‬ ‫جمموع‬ ‫يكون‬ ‫أن‬7‫أو‬11.
A={16, 25, 34, 43, 52, 61} P (A) = 6/36
B = {46, 55, 64} P (B) = 3/36
P (A or B) = 6/36 + 3/36 = 9/36
7.:‫اآليت‬ ‫وجد‬ ‫أشخاص‬ ‫عشرة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ ‫عينة‬ ‫يف‬
( ‫طالب‬M)( ‫طالبة‬F)‫اجملموع‬
( ‫علمي‬A)235
( ‫أديب‬B)145
‫اجملموع‬3711
‫من‬ ‫املسحوب‬ ‫الشخص‬ ‫كان‬‫اذا‬ .‫العلمية‬ ‫الشعبة‬ ‫من‬ ‫أو‬ ‫طالب‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫ىو‬ ‫ما‬ ‫ائي‬‫و‬‫عش‬ ‫شخص‬ ‫اختيار‬
.‫طالبة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ‫االدبية‬ ‫الشعبة‬
P (M) = 3/10 P (A) = 5/10 P(A and M) = 2/10
P (M or A) = 3/10 + 5/10 - 2/10 = 6/10
P (F /B) = 4/10 ÷ 5/10 = 4/5

10. Page 10 of 14
8.‫من‬ ‫أقل‬ ‫رقم‬ ‫على‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ‫وعملة‬ ‫زهرة‬ ‫القيت‬3‫الزهر‬ ‫من‬(A)‫العملة‬ ‫من‬ ‫صورة‬ ‫أو‬
(B)‫يساوي‬ ‫أو‬ ‫أكرب‬ ‫رقم‬ ‫الزهرة‬ ‫من‬ ‫يظهر‬ ‫ما‬ ‫كان‬‫اذا‬ ،5(C).‫صورة‬ ‫على‬ ‫احلصول‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬
P (A) = 2/6
P (B) =1/2
P (C) = 2/6
Sheet (1)
‫األول‬ ‫السؤال‬:‫ات‬‫ر‬‫العبا‬ ‫خطأ‬ ‫او‬ ‫صحة‬ ‫مدى‬ ‫على‬ ‫اكد‬‫التالية‬.
1..‫النتيجو‬ ‫نفس‬ ‫مالحظو‬ ‫كد‬‫املؤ‬ ‫فمن‬ ‫الظروف‬ ‫نفس‬ ‫حتت‬ ‫تكررت‬ ‫اذا‬ ‫كده‬‫مؤ‬ ‫بو‬‫ر‬‫جت‬ ‫ىى‬ ‫ائيو‬‫و‬‫العش‬ ‫بو‬‫ر‬‫التج‬
‫خطأ‬،‫نعرف‬‫بة‬‫ر‬‫التج‬‫ائية‬‫و‬‫العش‬‫ابهنا‬‫ىي‬‫بة‬‫ر‬‫جت‬‫احتمالية‬‫وليست‬‫كده‬‫مو‬،‫ون‬‫علم‬‫مسبقا‬‫جبميع‬‫نتائجها‬‫ولكن‬‫ال‬‫نستطيع‬‫ان‬
‫نتأكد‬‫أي‬‫من‬‫ىذه‬‫اتج‬‫و‬‫الن‬‫ستتحقق‬‫او‬‫تظهر‬
2.‫كان‬‫إذا‬(A)‫فإن‬ ‫احده‬‫و‬ ‫مره‬ ‫نقود‬ ‫قطعو‬ ‫القاء‬ ‫عند‬ ‫صور‬ ‫ثالث‬ ‫ظهور‬ ‫متثل‬p(A)=0.5
،‫خطأ‬P(A)=0‫العينة‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬ ‫ج‬‫خار‬ ‫احلدث‬‫و‬ ،‫حدوثو‬ ‫ميكن‬ ‫ال‬ ‫ألنو‬ ‫مستحيل‬ ‫حدث‬ ‫ىذا‬ ،
3.
‫يتحقق‬ ‫صفر‬ = ‫التقاطع‬ ‫لو‬ ‫ألن‬ ،‫صحيح‬‫االحتمالني‬ ‫جمموع‬ ‫من‬ ‫أقل‬ ‫االحتاد‬ ‫أن‬ ‫شرط‬ ‫يتحقق‬ ‫تقاطع‬ ‫ىناك‬ ‫لو‬‫و‬ ،‫التساوي‬
4.= ‫معينو‬ ‫ماده‬ ‫ىف‬ ‫امحد‬ ‫ذماح‬ ‫احتمال‬ ‫كان‬‫إذا‬1.65‫فإن‬‫احتمال‬‫رسوبو‬1.25.
‫لأل‬ ،‫خطأ‬‫ن‬‫االحتمالني‬ ‫جمموع‬≠1= ‫رسوبو‬ ‫احتمال‬ ‫أن‬ ‫الصح‬‫و‬ ،1.35
5.‫بينما‬
،‫خطأ‬‫صح‬ ‫اآلخر‬ ‫النصف‬ ‫بينما‬ ،
‫للحدثني‬ ‫التاليه‬ ‫الشروط‬ ‫من‬ ‫كال‬‫يتحقق‬ ‫:مىت‬ ‫الثاىن‬ ‫السؤال‬A,B:
1.P(A B) = P(A) + P(B)
‫احلدث‬ ‫يكون‬ ‫عنما‬ ‫يتحقق‬A‫و‬B‫متنافيني‬ ‫حدثني‬

11. Page 11 of 14
2.P(A|B) = P(A)
‫احلدث‬ ‫يكون‬ ‫عنما‬ ‫يتحقق‬A‫و‬B‫حدثني‬‫مستقلني‬

12. Page 12 of 14
‫الثالث‬ ‫السؤال‬:
‫بة‬‫ر‬‫جت‬ ‫يف‬‫إلقاء‬:‫فإن‬ ‫احدة‬‫و‬ ‫مرة‬ ‫النرد‬ ‫حجر‬A={2,4,6 }, B={1,3,5}
‫يعد‬ ‫ىل‬A,B‫؟‬ ‫ومتنافيو‬ ‫شاملو‬ ‫احداث‬
:‫ألن‬ ‫شاملة‬ ‫احداث‬ ‫نعم‬P (A) + P (B) = S
‫صفر‬ = ‫التقاطع‬ ‫ألن‬ ‫متنافية‬ ‫احداث‬‫و‬
: ‫ابع‬‫ر‬‫ال‬ ‫السؤال‬
‫يساوي‬ ‫ات‬‫ر‬‫االختبا‬ ‫أحد‬ ‫يف‬ ‫دمحم‬ ‫ذماح‬ ‫احتمال‬ ‫كان‬‫إذا‬1.6‫احتمال‬‫و‬ ،‫يساوي‬ ً‫ا‬‫مع‬ ‫ودمحم‬ ‫أمحد‬ ‫ذماح‬1.1‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ،
.‫أمحد‬ ‫ورسوب‬ ‫دمحم‬ ‫ذماح‬
( ‫ميثل‬ ‫دمحم‬ ‫ذماح‬ ‫أن‬ ‫نفًتض‬A( ‫ميثل‬ ‫أمحد‬ ‫ذماح‬ ‫أن‬‫و‬ ،)B):‫املعطيات‬ ‫تكون‬ ‫وابلتايل‬ ،
P (A) = 0.6, P (A B) = 0.1, P (A B’) = ?
P (A B’) = P (A) - P (A B) = 0.6 - 0.1 = 0.5
:‫اخلامس‬ ‫السؤال‬
( ‫النوع‬ ‫من‬ ‫املتربعني‬ ‫أحد‬ ‫دم‬ ‫فصيلة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫كان‬ ‫إذا‬A)‫ىو‬1.35‫بضغط‬ ‫مصاب‬ ‫ع‬‫املترب‬ ‫ىذا‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬‫و‬
‫ىو‬ ‫الدم‬1.15( ‫النوع‬ ‫من‬ ‫دمو‬ ‫فصيلة‬ ‫أو‬ ‫الدم‬ ‫بضغط‬ ‫مصاب‬ ‫ع‬‫املترب‬ ‫ىذا‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬‫و‬A‫ىو‬ )1.4
( :‫املطلوب‬1)‫الدم‬ ‫بضغط‬ ‫مصاب‬ ‫غري‬( ،2( ‫دمة‬ ‫عينة‬ )A( ،‫الدم‬ ‫بضغط‬ ‫مصاب‬ ‫وغري‬ )3( ‫دمة‬ ‫فصيلة‬ ‫احتمال‬ )A)
( ،‫الدم‬ ‫بضغط‬ ‫مصاب‬ ‫بشرط‬4‫مستقلني؟‬ ‫مها‬ ‫ىل‬ )
( ،ً‫ال‬‫أو‬ ‫االحداث‬ ‫رمدد‬A‫الدم‬ ‫فصيلة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ )A( ،B‫الدم‬ ‫ضغط‬ ‫مبرض‬ ‫اإلصابة‬ ‫تعين‬ )
P (A) = 0.35, P (B) = 0.15, P (A B) = 0.4
1. P (B’) = 0.85
2. P (A B’) = P (A) - P (A B) ‫على‬ ‫احلصول‬ ‫جيب‬ ‫للتطبيق‬ً‫ال‬‫أو‬ ‫التقاطع‬
P (A B) = P(A) + P(B) - P (A B)
0.4 = 0.35 + 0.15 - P (A B), P (A B) = 0.1
P (A B’) = 0.35 - 0.1 = 0.25
3. | = 0.1/0.15 = 0.66

13. Page 13 of 14
4.:‫يقتني‬‫ر‬‫ط‬ ‫ىناك‬ ‫مستقالن‬ ‫مها‬ ‫ىل‬ ‫ملعرفة‬ )‫مستقالن‬ ‫(غري‬
P (A B) = P (A) × P (B)|
0.1 ≠ 0.65 × 0.15 = 0.09750.66 ≠ 0.65
‫السادس‬ ‫السؤال‬:
:‫ايل‬‫و‬‫الت‬ ‫على‬ ‫الدم‬ ‫ضغط‬ ‫ومستوى‬ ‫التدخني‬ ‫عادة‬ ‫حسب‬ ً‫ا‬‫شخص‬ ‫بعمائة‬‫ر‬‫أ‬ ‫يصنف‬ ‫التايل‬ ‫اجلدول‬
‫التدخني‬ ‫عادة‬
‫اجملموع‬‫يدخن‬ ‫ال‬‫يدخن‬(D)
‫الدم‬‫ضغط‬‫متسوى‬
511141‫تفع‬‫ر‬‫م‬(A)
21113171‫متوسط‬
1519555‫منخفض‬
411235165‫اجملموع‬
( ‫األحداث‬ ‫ولنعرف‬ ،‫ائي‬‫و‬‫عش‬ ‫بشكل‬ ‫اد‬‫ر‬‫االف‬ ‫ىؤالء‬ ‫أحد‬ ‫اختيار‬ ‫ىي‬ ‫بة‬‫ر‬‫التج‬ ‫لتكن‬‫و‬A‫ضغط‬ ‫شخص‬ ‫اختيار‬ ‫حادث‬ )
( ،‫تفع‬‫ر‬‫م‬ ‫دمو‬D‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫اجياد‬ ‫ىو‬ ‫املطلوب‬ ،‫مدخن‬ ‫شخص‬ ‫اختيار‬ ‫حادث‬ ):‫املختار‬ ‫الشخص‬
1..‫تفع‬‫ر‬‫م‬ ‫دمو‬ ‫ضغط‬P (A) = 50/400
2..‫مدخن‬P (D) = 165/400
3..‫ويدخن‬ ‫تفع‬‫ر‬‫م‬ ‫دمو‬ ‫ضغط‬P (A D) = 40/400
4.. ‫مدخن‬ ‫ابنو‬ ‫علما‬ ‫تفع‬‫ر‬‫م‬ ‫دمو‬ ‫ضغط‬| = 40/165
5.‫احلادثني‬ ‫ىل‬A, D‫مستقلني‬‫ملاذا؟‬ ‫؟‬No, | P (A)
:‫السابع‬ ‫ال‬‫ؤ‬‫الس‬
1..‫النتيجة‬ ‫ىف‬ ‫تني‬‫ر‬‫صو‬ ‫ظهور‬ ‫احتمال‬ ‫احسب‬ ‫ات‬‫ر‬‫م‬ ‫ثالث‬ ‫نقود‬ ‫قطعو‬ ‫القاء‬ ‫عند‬
‫احلدث‬(T‫الصورة‬ ‫ظهور‬ ‫ميثل‬ )
S = {TTT, TTH, THT. THH, HTT, HTH, HHT, HHH}
P (2T) = 3/8

14. Page 14 of 14
2.‫يف‬‫العبني‬ ‫ىناك‬ ‫كان‬‫اذا‬ ‫معينو‬ ‫مباره‬A , B‫اللعب‬ ‫فوز‬ ‫إحتمال‬ ‫كان‬‫و‬A‫فوز‬ ‫إحتمال‬ ‫ضعف‬ ‫بيساوى‬ ‫ابملبارة‬
‫اللعب‬(B)‫اللعب‬ ‫ان‬ ‫إحتمال‬ ‫.إحسب‬A.‫تني‬‫ر‬‫م‬ ‫املبارة‬ ‫إقامة‬ ‫عند‬ ‫االقل‬ ‫على‬ ‫مرة‬ ‫يفوز‬
( ‫األول‬ ‫الالعب‬ ‫فوز‬ ‫احتمال‬ ‫أن‬ ‫فرضنا‬ ‫لو‬A= )X( ‫الثاين‬ ‫الالعب‬ ‫فوز‬ ‫احتمال‬ ‫يكون‬ ،B= )2X
P (A) = 1/3, P (B) = 2/3
S ={AA, AB, BA, BB}
P (W1) = 3/4