Chapitre 2 : Circuits combinatoire
Dans la suite des exercices, les minterms/maxterms sont exprimés en considérant les
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Question 2 :
À l’aide de l’algèbre de Boole, trouver les équivalences entre les circuits suivants :

f A = x1+x2+x3

Σm(0)...
Déduire le circuit d’une fonction logique
Question 3 :
Déduire le circuit de chacune des fonctions logiques suivantes (san...
Question 4 :
Effectuer une décomposition (conjonctive) de Shannon sur la variable x des fonctions de
la question 3. Déduir...
Les réponses des questions qui suivent utilisent une notation abrégée pour manipuler les
équations. Il est conseillé de re...
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= f A⊗f B = ΠM(1, 3, 6, 9, 11, 13, 14, 15) ⊗ Σm(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15)
= Σm(0, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 1...
Question 7 :
Proposez une simplification algébrique permettant de réduire le coût de chacun des circuits
de la question 5....
Il est aussi possible de reprendre l’équation de f C :
f C = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) = ΠM(12, 13, 14, 15)...
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Chapitre2 1 c

  1. 1. Chapitre 2 : Circuits combinatoire Dans la suite des exercices, les minterms/maxterms sont exprimés en considérant les variables xi dans l’ordre croissant. Exemple : x1 x2x3x4 = m7. Portes logiques Question 1 : À l’aide de l’algèbre de Boole, trouver les équivalences entre les circuits suivants : f A = x1⊕x2 x1 x2 +x1 x2 f B = x1⊗x2 x1 x2 +x1 x2 f C = x1 ⊕x2 x1x2+ x1 x2 = f B f D = x1⊕ x2 x1 x2 +x1 x2 = f B f E = x1 ⊗x2 x1 x2 + x1 x2 = f A f F = x1⊗ x2 x1 x2 +x1 x2 = f A f G = x1 ⊕ x2 x1 x2 + x1 x2 = f A f H = x1 ⊗ x2 x1x2+ x1 x2 = f B Il en résulte que f A = f E = f F = f G et f B = f C = f D = f H 1/8
  2. 2. Question 2 : À l’aide de l’algèbre de Boole, trouver les équivalences entre les circuits suivants : f A = x1+x2+x3 Σm(0) f B = x1+x2 +x3 Σm(2, 4, 6) f C = x1⊕x2⊕x3 Σm(1, 2, 6, 7) f D = (x1⊕x2) ⊕x3 Σm(1, 2, 6, 7) = f C f E = x1⊕x2⊕x3 Σm(0, 3, 4, 7) f F = (x1+x2)+x3 Σm(0) = f A Il en résulte que f autres. 2/8 A = f F et f C = f D. Les autres fonctions sont différentes les unes des
  3. 3. Déduire le circuit d’une fonction logique Question 3 : Déduire le circuit de chacune des fonctions logiques suivantes (sans simplification) : 1) xyz + x y + x y 2) (x+z)(y+z)+y 3) 3/8 (x+z)(y+z) + y
  4. 4. Question 4 : Effectuer une décomposition (conjonctive) de Shannon sur la variable x des fonctions de la question 3. Déduire le circuit de chacune des fonctions logiques ainsi réécrites. 1) xyz + x y + x y = ( x+ y )( x + z + y ) 2) (x+z)(y+z)+y = z +y 3) 4/8 (x+z)(y+z) + y = (x + z + y )( x + y )
  5. 5. Les réponses des questions qui suivent utilisent une notation abrégée pour manipuler les équations. Il est conseillé de reprendre les développements en faisant usage des variables x1, x2, x3 et x4. Déduire la fonction logique d’un circuit Question 5 : Déduire la fonction logique de chacun des circuits suivants : A) f A = ( x1 + x2 + x3 ) + ( x1 + x4 ) + (x2+ x4 ) + ( x2 + x3 +x4) = ΠM(1, 3, 6, 9, 11, 13, 14, 15) B) f B = [x2⊕x4][ x2(x1⊗x3) ] = x2⊗x4+x2(x1⊗x3) = x2x4+ x2 x4 +x2(x1x3+ x1 x3 ) = x2x4+ x2 x4 +x1x2x3+ x1 x2 x3 = Σm(0, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 14, 15) 5/8
  6. 6. C) f C = f A⊗f B = ΠM(1, 3, 6, 9, 11, 13, 14, 15) ⊗ Σm(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15) = Σm(0, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12) ⊗ Σm(0, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 14, 15) = ΠM(1, 3, 6, 9, 11, 13, 14, 15) ⊗ ΠM(1, 3, 6, 9, 11, 12) La fonction XNOR renvoie 1 si ses deux termes ont la même valeur (0,0) ou (1,1) f C = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) = ΠM(12, 13, 14, 15) Coût d’un circuit Question 6 : Évaluer le coût de chacun des circuits de la question 5. Considérer le coût d’un XOR/XNOR à N entrées comme étant 2N. Coût de f A = 2(2+1)+2(3+1)+(4+1) = 6 + 8 + 5 = 19 Coût de f B = 2(2+1)+2(2·2) = 6 + 8 = 14 Coût de f C = (2·2) + Coût de f A + Coût de f B = 4 + 19 + 14 = 37 6/8
  7. 7. Question 7 : Proposez une simplification algébrique permettant de réduire le coût de chacun des circuits de la question 5. A) f A= ΠM(1, 3, 6, 9, 11, 13, 14, 15) = M1M3M6M9M11M13M14M15 = M1M3M6M9M11M9M11M13M14M15 = (M1M3M9M11)(M9M11M13M15)(M6M14) = ( x2+ x4 )( x1 + x4 )( x2 + x3 +x4) On trouve par ailleurs (forme disjonctive) que : f A= Σm (0, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12) = (m0+m2+m8+m10)+( m0+m4+m8+m12)+( m5+m7) = x2 x4 + x3 x4 + x1 x2x4 Les deux implémentations auraient le même coût (implémentation en N-ET/N-OU) de 14. B) f B= Σm(0, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 14, 15) = (m0+m2+m8+m10)+(m0+m4)+(m5+m7+m13+m15)+(m10+m14) = x2 x4 + x1 x3 x4 +x2x4+x1x3 x4 Pour un coût de (4+1)+2(2+1)+2(3+1)=19 (N-ET). On trouve par ailleurs (forme conjonctive) que : f B= ΠM(1, 3, 6, 9, 11, 12) = (M1M3M9M11)(M6)(M12) = ( x2+ x4 )( x1+ x2 + x3 +x4)( x1 + x2 +x3 +x4) Pour un coût de (3+1)+(2+1)+2(4+1)=17 (N-OU). Il apparaît alors que l’ancienne implémentation était moins coûteuse. C) Pour implémenter f C, il est possible de considérer différentes implémentations : f C = = f A⊗f B On implémenter ce circuit en utilisant les implémentations minimales de f A et f B et en les ajoutant un XNOR, de sorte que son coût soit Coût de f C = (2·2) + Coût min de f A + Coût min de f B = 4 + 14 + 14 = 32 7/8
  8. 8. Il est aussi possible de reprendre l’équation de f C : f C = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) = ΠM(12, 13, 14, 15) = x1 + x2 Dont le coût est de 3… 8/8

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