1. 1
ความน่าจะเป็น

2. ชีวิตความเป็นอยู่ทุกวันนี้โดยทั่วไปเรามักจะพบกับ
เหตุการณ์ต่าง ๆ ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้น เช่น ถ้าเราซื้อ
สลากกินแบ่งรัฐบาล เราก็มีโอกาสจะถูกรางวัล หรือไม่
ถูกรางวัลก็ได้หรือการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง มี
โอกาสขึ้นหัวหรือก้อยได้เท่า ๆ กัน หรือจากการหยิบไพ่
1 ใบจากสำารับที่มี 52 ใบ มีโอกาสที่จะได้ควีน
โพดำาหรือไม่ได้ควีนโพดำาก็ได้ หรือถ้ามีลูกแก้วสีดำา สี
แดง สีขาว อย่างละ 1 ลูก อยู่ในกล่อง ต้องการหยิบ
1 ครั้ง ให้ได้ลูกแก้วสีแดง ก็มีโอกาสที่จะหยิบได้หรือ
อาจจะไม่ได้ก็ได้ เหล่านี้เป็นต้น โอกาสหรือความน่า
จะเป็น จึงเป็นคำาตอบที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่สนใจ
ที่เกิดขึ้นจากการกระทำาที่เป็นการทดลองสุ่ม ดังนั้นก่อน
ที่จะหาค่าความน่าจะเป็นได้จึงจำาเป็นต้องรู้จักคำาที่
เกี่ยวข้องอย่างน้อย 3 คำา คือ การทดลองสุ่ม แซมเปิล
สเปซ และเหตุการณ์ 1

3. นิยาม การทดลองสุ่ม (random experiment)
หมายถึง การทดลองใด ๆ ที่ทราบผลของการทดลอง ว่า
จะเกิดอะไรขึ้นได้บ้างจากการทดลองนั้น ๆ แต่ไม่สามารถ
บอกหรือกำาหนดได้แน่นอนว่า การทดลองครั้งนั้นได้ผล
เป็นอะไรแน่
ตัวอย่างการทดลองสุ่ม
1. การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง
2. การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง
3. การโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง
การหยิบไพ่จากสำารับ 1 ใบ 1 ครั้ง
การจับสลาก 1 ใบ จากสลากที่ทำาไว้ 10 ใบ 1 ครั้ง
การหยิบครั้งที่ 1 ให้ได้ ลูกแก้วสีแดงจากกล่องที่มีลูก
แก้ว ดำา แดง ขาว อย่างละ 1 ลูก
2
การทดลองสุ่ม

4. นิยาม แซมเปิลสเปซ (sample space)
หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกหรือผลลัพธ์ที่
เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม นิยมเขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์ S
3
แซมเปิลสเปซ

5. { }T,H
{ }TTHT,HT,HH,
{ }TTTTTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH,
{ }65,4,3,2,1,
{ }000,001,010,011,100,101,110,111
S1
=
S2
=
S3
=
S4
=
S7
=
การทดลองสุ่ม แซมเปิลสเปซ จำานวน
ผลลัพธ์
ทั้งหมด
1) การโยนเหรียญ 1 อัน 1
ครั้ง
n(S1
) = 2
2)การโยนเหรียญ 2 อัน 1
ครั้ง
n(S2
) = 4
3)การโยนเหรียญ 3 อัน 1
ครั้ง
n(S3
) = 8
4) การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1
ครั้ง
n(S4
) = 6
5) การทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1
ครั้ง
S5
= { (1 ,1) , (1 , 2) , (1 ,3) , (1 ,4) , (1 ,5)
, (1 ,6)
(2 ,1) , (2 , 2) , (2 ,3) , (2 ,4) , (2 ,5)
, (2 ,6)
(3 ,1) , (3 , 2) , (3 ,3) , (3 ,4) , (3 ,5)
, (3 ,6)
(4 ,1) , (4 , 2) , (4 ,3) , (4 ,4) , (4 ,5)
, (4 ,6)
(5 ,1) , (5 , 2) , (5 ,3) , (5 ,4) , (5 ,5)
, (5 ,6)
(6 ,1) , (6 , 2) , (6 ,3) , (6 ,4) , (6 ,5)
n(S5
) = 36
งการทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ
4

6. ตัวอย่าง (sample point) ดังตัวอย่างข้างต้นแล้ว ในการ
ทดลองครั้งหนึ่ง ๆ อาจมีแซมเปิลสเปซได้มากกว่า 1
แซมเปิลสเปซได้ เช่น จากการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง
ได้ผลลัพธ์เป็น
S1
=
n(S1) = 8 เมื่อต้องการรู้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่
เกิดขึ้น
หรือ S2 =
n(S2) = 4 เมื่อต้องการรู้จำานวนหัวที่เกิดขึ้น
จากการโยนเหรียญ 3 อัน
{ }TTTTTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH,
{ }32,1,,0
5

7. การหาผลลัพธ์จากการทดลองบางอย่าง เช่น จากการโยน
เหรียญ 3 อัน อาจเขียนเป็นแผนภาพต้นไม้ (tree diagram)
เพื่อทำาให้สามารถหาสมาชิกหรือผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้น ดังนี้
ผลจากการ
โยนเหรียญ
อันที่ 1
ผลจากการ
โยนเหรียญ
อันที่ 2
ผลจากการ
โยนเหรียญ
อันที่ 3
ผลจากการ
โยนเหรียญทั้ง 3
อัน
T
T
HHH
H
HTH
HTT
TTT
TTH
THT
THH
T
H
T
H
H
T
T
H
H
H
T HHT
6

8. 1. การโยนเหรียญ 1 เหรียญ n ครั้ง หรือโยน
เหรียญ n เหรียญ 1 ครั้งจะได้จำานวนสมาชิกของ
แซมเปิลสเปซเท่ากับ 2n
ดังนั้นการหาจำานวนสมาชิก
ของแซมเปิลสเปซใด ๆ ที่ได้ผลลัพธ์จากการทดลอง
แต่ละครั้งที่เป็นไปได้ 2 อย่างจะได้ผลลัพธ์ของ n(s)
= 2n
2. การทดลองทอดลูกเต๋า n ลูก 1 ครั้ง ถ้าสนใจ
ผลลัพธ์ที่เป็นจำานวนแต้มที่หงายของลูกเต๋าแต่ละลูก
จะได้จำานวนสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซเท่ากับ
6n
7

9. { }TTT,TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH
{ }THH,HTH,HHT,HHH
{ }TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH
{ }TTT,TTH,THT,HTT
{ }THT,HTH,HHT
นิยาม เหตุการณ์ (event) คือ เซตย่อยหรือสับเซตของ
แซมเปิลสเปซ ถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิก 1 ตัว เรียกว่าเหตุการณ์
เชิงเดี่ยว (simple event) แต่ถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิกมากกว่า 1
ตัว เรียกว่า เหตุการณ์เชิงประกอบ (compound event)
การหาเซตของเหตุการณ์ใด ๆ จำาเป็นต้องรู้ว่าเกิดจากการทดลอง
สุ่มอะไรและรู้ว่า แซมเปิลสเปซประกอบด้วยอะไรบ้าง จึงจะหาเหตุ
การณ์ที่สนใจได้ดังนี้
จากการทดลองสุ่มโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง สนใจหน้าที่เกิด
จาก S =
; n(S) = 8
A = เหตุการณ์ที่เกิดหัวอย่างน้อย 2 อัน
A = ; n(A) = 4
B = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยอย่างมาก 2 อัน
B =
; n(B) = 7
C = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยมากกว่า 1 อัน
C = ; n(C) = 48

10. การหาค่าความน่าจะเป็น
การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ (probability)
คือ การหาค่าที่แสดงถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น ๆ ว่ามีได้มาก
น้อยเพียงใด ซึ่งในที่นี้จะกล่าวถึงการหาค่าความน่าจะเป็น 2 วิธี
คือ การหาค่าความน่าจะเป็นวิธีตัวแบบคณิตศาสตร์หรือวิธีอมตะ
และการหาค่าความน่าจะเป็นโดยการใช้ความถี่สัมพัทธ์
1. การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะ (classical
method)
นิยาม ถ้าการทดลองสุ่มมีผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น n(S)อย่าง
ผลลัพธ์แต่ละอย่างมีโอกาสเกิดได้เท่า ๆ กัน และจะเกิดได้อย่างใด
อย่างหนึ่งเท่านั้น ถ้า n(A) คือจำานวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ P (A)
นั่นคือ P(A) =
เมื่อ P(A) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A
n(A) แทนจำานวนสมาชิกในเหตุการณ์ A
n(S) แทนจำานวนสมาชิกทั้งหมดในแซมเปิลสเปซ
ข้อสังเกต การหาความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะนี้ จำานวนสมาชิก
ของแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ จะต้องนับได้และมีจำานวนจำากัด
( )
( )Sn
An
9

11. ตัวอย่างที่ 1 ถ้าสุ่มครอบครัวที่มีบุตร 3 คน มาครอบครัวหนึ่ง
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ของบุตรทั้ง 3 ต่อไปนี้
1) มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คน
2) มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน
3) มีบุตรหญิง 2 คน
4) มีบุตรคนแรกเป็นหญิง
5) มีบุตรคนแรกเป็นชาย คนที่สองเป็นหญิง
6) มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน
7) ไม่มีบุตรหญิงเลย
8) มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน
10

12. นแผนภาพต้นไม้เพื่อหาสมาชิกของแซมเปิลสเปซโดยให้ ช แทนชายและ ญ
บุตรคนแรก บุตรคนที่
สอง
บุตรคนที่
สาม
ผลที่ได้
ญ
ญ
ชช
ช
ช
ชญ
ญ
ญญ
ญ
ญญช
ญชญ
ญชช
ญ
ช ญ
ช
ช
ญ
ญ
ช ช
ช
ญ ชช
ญชญ
ช
รูปแสดงแซมเปิลสเปซของครอบครัวที่มีบุตร 3 คน11

13. ญชญ , ญญช , ญญญ } ; n(S) = 8
1) ให้ E1
แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชายอย่างน้อย
2 คน
E1 = { ชชช , ชชญ , ชญช,
ญชช }
n(E1) = 4
P(E1) =
= 4/8 = 1/2
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย
อย่างน้อย 2 คน
เท่ากับ 1/2
( )
( )Sn
En 1
12

14. 14
2) ให้ E2
แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงอย่างมาก
2 คน
E2 = { ชชช , ชชญ , ชญช,
ชญญ , ญชช , ญชญ , ญญช }
n(E2) = 7
P(E2) = =
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง
อย่างมาก 2 คน เท่ากับ 7/8
( )
( )Sn
En 2
8
7

15. 4) ให้ E4
แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นหญิง
E4 = { ญชช , ญชญ , ญญช ,
ญญญ }
n(E4) = 4
P(E4) =
= =
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มี
บุตรคนแรกเป็นหญิง เท่ากับ
3) ให้ E3
แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คน
E3 = { ชญญ , ญชญ , ญญช }
n(E3) = 3
P(E3) = =
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คน
เท่ากับ
( )
( )Sn
En 3
8
3
8
3
( )
( )Sn
En 4
8
4
2
1
13
2
1

16. 5) ให้ E5
แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นชาย คนที่
สองเป็นหญิง
E5 = { ชญช, ชญญ }
n(E5) = 2
P(E5) =
= =
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็น
ชาย คนที่สองเป็นหญิงเท่ากับ
E6
= { ชญญ , ญชญ , ญญช ,
ญญญ }
n(E6
) = 4
P(E6
) =
= =
( )
( )Sn
En 5
8
2
4
1
4
1
( )
( )Sn
En 6
8
4
2
1
2
1
6) ให้ E6
แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1
คน
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน เท่ากับ
14

17. = = 0
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน เท่ากับ
0
E7
= { ชชช }
n(E7
) = 1
P(E7
) =
=
( )
( )Sn
En 7
8
1
8
1
7) ให้ E7
แทนเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตร
หญิงเลย
นั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตรหญิงเลย เท่ากับ
( )
( )Sn
En 8
8
0
8) ให้ E8
แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2
คน E8
= =
∅
n(E8
) = 0
P(E8
) =
15

18. ตัวอย่างที่ 2 ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหา
1) แซมเปิลสเปซ
2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มที่ขึ้นเท่ากับ 8
3) เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว
4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน
5) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้มเป็น 4
6) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกท
ได้ลงตัว
7) ความน่าจะเป็นของข้อ 2 และข้อ 3
วิธีทำา 1) S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) ,
(3,6)
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) ,
(4,6)
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) ,
(5,6)
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) ,16

19. 2) ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 8
A = (2,6) , (6,2) , (3,5) ,
(5,3) , (4,4)
n(A) = 5
3) ให้ B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว
B = (1,3) , (3,1) , (2,2) , (2,6) ,
(6,2) , (3,5) , (5,3) , (4,4) , (6,6)
n(B) = 9
( )CP ( )
( )Sn
Cn
36
6
6
1
4 ) ให้ C แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือน
กันC = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) } ; n(C)
6
= = =
17

20. D = { (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) } ; n(D) = 6
( )DP ( )
( )Sn
Dn
36
6
6
1
5) ให้ D แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋า
ลูกแรกขึ้นแต้ม 4
= = =
6) ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกที่สองได
ลงตัว
E = (2,2) , (2,4) , (2,6) ; n(E) = 3
( )EP ( )
( )Sn
En
36
3
12
1= =
=
( )AP ( )
( )Sn
An
36
5
( )BP ( )
( )Sn
Bn
36
9
4
1
7
)
= =
= = =
18

21. n
f
การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีการใช้ความถี่
สัมพัทธ์ (relative frequency method)
นิยาม ถ้ามีการทดลองซำ้า ๆ กัน n ครั้ง เกิดเหตุการณ์ A
ขึ้น f ครั้ง ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A คือ หรือความน่า
จะเป็นโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์เกิดจากอัตราส่วนระหว่างความถี่ของ
เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหรือที่สนใจกับความถี่ของเหตุการณ์ทั้งหมด
นั่นคือ
P(A) =
n
f
โยนเหรียญบาท 1 อัน 700 ครั้ง ปรากฏว่าขึ้นหัว 250 ครั้ง จงหาควา
การโยนเหรียญบาทนี้
ให้ A เป็นเหตุการณ์ของการโยนที่เกิดหัว
P(A) = 700
250
= 0.3571
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญนี้ที่จะเกิดหัว เท่ากับ 0.3571
19

22. ตัวอย่างที่ 4 บริษัทรับทำาประกันอัคคีภัยแห่งหนึ่ง กำาลังเปิด
ทำาประกันอัคคีภัยที่อำาเภอหนึ่ง และเพื่อเป็นการหาข้อมูล
สำาหรับการกำาหนดอัตราการประกัน จึงได้ทำาการสำารวจคนใน
อำาเภอนี้มา 10,000 คน พบว่ามีจำานวนผู้สนใจทำาประกัน
อัคคีภัยอยู่ 1,750 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนในอำาเภอนี้
จะทำาประกันอัคคีภัย
วิธีทำา ความน่าจะเป็นที่คนในอำาเภอนี้จะทำาประกันอัคคีภัย
=
n
f
10,000
1,750
= = 0.175
20

23. สุ่มนักศึกษา 1 คน จากตารางนี้ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไป
เป็นนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี
เป็นนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
เป็นนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปี
เป็นนักศึกษาชาย
เป็นนักศึกษาชายที่อายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไป
เป็นนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี
เป็นนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการ
5 ในภาคเรียนที่แล้วมีนักศึกษาลงทะเบียนเรียนวิชาการคิดและการตัดสินใจ
ณะเป็นดังนี้
อายุ คณะวิทยา
ศาสตร์ฯ
คณะวิทยาการ
จัดการ
ชาย หญิง ชาย หญิง
น้อยกว่า 20
ปี
11 19 15 29
20 – 23 ปี 24 38 31 53
มากกว่า 23
ปี
10 18 12 10
21

24. วิธีทำา จากตารางหาผลรวมในแนวตั้ง
และแนวนอนได้ดังนี้อายุ คณะวิทยา
ศาสตร์ฯ
คณะ
วิทยาการ
จัดการ
รว
ม
ชาย หญิง ชาย หญิง
น้อยกว่า
20 ปี
11 19 15 29 74
20 – 23 ปี 24 38 31 53 14
6
มากกว่า 23
ปี
10 18 12 10 50
รวม 45 75 58 92 27
0
จำานวนนักศึกษาทั้งหมด = 45 + 75 + 58 + 92 = 270 คน
ให้ A แทนนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี จำานวน 24 + 38 + 31 + 53 =
P(A) = 270
146
2) ให้ B แทนนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีจำานวน 45
P(B) = 270
45
22

25. ให้ C แทนนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปี จำานวน 19+38+29+53 =
(C) = 270
139
4) ให้ D แทนนักศึกษาชาย จำานวน 45 + 58 = 103 คน
P(D) =
270
103
ให้ F แทนนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี จำานวน 19 + 29 = 48
P(F) =
270
48
E แทนนักศึกษาชายที่มีอายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไป จำานวน 24 + 10 + 31 +
E) = 270
77
) ให้ G แทนนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการ จำานวน 58 + 92 = 150 คน
P(G) = 270
150
23

26. คุณสมบัติความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใด ๆ มีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1 เท่าน
นั่นคือ 0 ≤ P(A) ≤ 1
หรือ 0% ≤ P(A) ≤ 100 %
กล่าวได้ว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่าง จะมีค่าเท่ากับ 0 ค
P(∅) = 0 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย
ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปซมีค่าเท่ากับ 1 คือ
P(s) = 1 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน
P(A) = 0.5 หมายถึง เหตุการณ์ A มีโอกาสเกิดหรือไม่เกิดไ
24