Notas sobre el número Phi y la geometría del pentágono

1. Algunas anotaciones
Rulo Kobashikawa
<akobashikawa@gmail.com>
Razón Áurea en el
Pentágono

2. Razón Áurea
Es una proporción tal
que el menor es al mayor
como el mayor es al total
a
(xa - a) / a = a / xa
xa - a
xa

3. Razón Áurea
Resolviendo la ecuación:
x2
- x - 1 = 0
x = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) = φ
a
(φa - a) / a = a / φa
φa - a
φa

4. φ
φ (phi) es llamado el número áureo
φ = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) ≈ 1.618
1
(φ - 1) / 1 = 1 / φ
φ - 1
φ

5. 1/φ
1/φ (la inversa de phi) es llamada la sección
áurea
1/φ = (√5 - 1) / 2 = 2 / (√5 + 1) ≈ 0.618
1/φ
(1 - 1/φ) / (1/φ) = (1/φ) / 1
1 - 1/φ
1

6. 1/φ
φ y su inversa se diferencian en 1
1/φ = φ - 1 = 0.618
1/φ
φ - 1
1 - 1/φ
2 - φ
1 1
1/φ
φ - 1
φ

7. El simbolismo de φ
El menor es al mayor
como el mayor es al
todo.
" Así como abajo es
arriba."
" Así en la tierra
como en el cielo."

8. φ en la serie de Fibonacci
Cada término de la serie es la suma de los dos
anteriores
F: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Se observa que la relación entre un número y
su anterior va tendiendo hacia φ mientras
oscila
r: ..., 1, 2, 1.5, 1.67, 1.60, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618, ...

9. φ en la serie de Fibonacci
r = limn→∞
( F(n) / F(n-1) )
= limn→∞
( [ F(n-1) + F(n-2) ] / F(n-1) )
= limn→∞
( F(n-1) / F(n-1) ) +
limn→∞
( F(n-2) / F(n-1) )
= limn→∞
( F(n-1) / F(n-1) ) +
1 / limn→∞
( F(n-1) / F(n-2) )
= 1 + 1 / r (pues la serie es convergente)
entonces:
r = (√5 + 1) / 2 = φ

10. Algunas equivalencias de φ
● 1/φ = φ - 1
● 1 - 1/φ = 2 - φ = (φ - 1)2
● φ = 1 + 1/φ = (φ + 1) (φ - 1)
● φ2
= φ + 1, φ2
- 1 = φ
● φ3
= (φ + 1) / (φ - 1)
● φn
= φn-1
/ (φ - 1)
● φ = limn→∞
( F(n) / F(n-1) )
● √5 = 2φ - 1 = 2/φ +1

11. Fracción continua de φ
φ = 1 + 1/φ
= 1 + 1/(1 + 1/φ)
= 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(...)))))
φ ≈ 1 + 1 = 2
≈ 1 + 1/2 = (1+2)/2 = 3/2
≈ 1 + 2/3 = (2+3)/3 = 5/3
≈ 1 + 3/5 = (3+5)/5 = 8/5
≈ 1 + F(n-1)/F(n)

12. Trazando 1/φ
La idea es conseguir un segmento
de longitud √5 / 2 y luego restarle
1/2.
Si la altura mide 1, un pie
perpendicular de 1/2
determina un triángulo rectángulo
con hipotenusa √5 / 2
Proyectando la hipotenusa sobre el
pie, se le puede restar 1/2 para
obtener (√5 - 1) / 2 = 1 / φ
El área del rectángulo también es 1
/ φ.

13. Trazando φ
La idea es conseguir un
segmento de longitud √5 / 2 y
luego restarle 1/2.
Si la altura mide 1, un pie
perpendicular de 1/2
determina un triángulo
rectángulo con hipotenusa √5
/ 2
Proyectando la hipotenusa
sobre el pie, se le puede
agregar 1/2 para obtener (√5
+ 1) / 2 = φ
El área del rectángulo
también es φ.

14. φ en el pentágono
La razón áurea está presente en el pentágono.
¿Cómo se podría haber hallado eso?

15. Apotema de un triángulo
● OP divide AB en dos
partes iguales.
● AOP es semejante a
CAP
● AP = AC/2
● Entonces,
OP = AO/2
a = r/2

16. Apotema de un cuadrado
● OP divide AB en dos
partes iguales.
● OPA es isósceles
● Entonces,
OP = AO / √2
a = r / √2

17. Apotema de un pentágono
● OP divide AB en dos
partes iguales.
● QOB es la mitad de
OQB
● La bisectriz QM
determina los
triángulos isosceles
OMQ y BQM
● QOB es semejante a
BQM:
r / x = x / (r - x)
● Entonces, x = r / φ
● ONM es semejante a
OPB:
a / (r/2) = r / x
● Entonces,
a = rφ / 2

18. Apotema de un pentágono
Además:
● PQ = r - a
● Entonces,
PQ
= r - r/(2φ)
= (r/2)(φ - 1) / φ
= (r/2) / φ2
= x / φ

19. Triángulos notables

20. Triángulos notables

21. φ en el pentágono

22. Construyendo un pentágono
La idea es
conseguir primero
el lado del
decágono:
AD = r/φ.
Luego unir dos
lados de decágono
para obtener el
lado del
pentágono ED.

23. Construyendo un pentágono
Luego copiar esa
longitud a lo largo
de la
circunferencia.

24. ● En el triángulo isósceles de 36°, el que la
medida del ángulo de la base sea el doble
conduce a encontrar φ.
● El que φ y su inverso se diferencien en 1
conduce a equivalencias interesantes.
Me parece que

25. Enlaces
● Wikipedia: Número áureo explica la diferencia entre
número áureo (φ) y sección áurea (1/φ)
● Geogebra es el programa libre y open source para
realizar construcciones geométricas.
● Google Drive Slides permite hacer presentaciones
como esta.

26. Presentado por
Rulo Kobashikawa
akobashikawa@gmail.com
2013/05/15