cours de modelisation mse 2013

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cours de modelisation mse 2013

  1. 1. - 1 - INTRODUCTION A LA MODELISATION MACROECONOMETRIQUE Amen Tayo Philémon DOVOEDO Table des matières Chapitre 1 Généralités sur la modélisation économique et l‟évolution de la modélisation macroéconométrique I. Définition d‟un modèle économique II. Objectifs de la modélisation économique III. Etapes de l‟évolution de la modélisation macroéconométrique Chapitre 2 Modélisation macroéconométrique classique ou structurelle I.Terminologie relative aux modèles économétriques à équations simultanées et écriture matricielle de ces modèles II. Construction des modèles macroéconométriques II.1. Liens entre la modélisation macroéconométrique et la comptabilité nationale II.2. Maquette d‟un modèle macroéconométrique standard
  2. 2. - 2 - Chapitre 3 Analyse et évaluation des modèles macroéconométriques I. Analyse des modèles macroéconométriques I.1. Simulation historique et prévision I.2.Définition et calcul des multiplicateurs d‟un modèle macroéconométrique I.3. Analyse du comportement dynamique des modèles I.4. Simulation stochastique II. Méthodes d‟évaluation des prévisions macroéconométriques II.1. Mesures synthétiques de la qualité prévisionnelle des modèles : les statistiques d‟erreur prévisionnelle II.2. Test de l‟efficacité prévisionnelle d‟un modèle Objectif du cours : initiation à la modélisation macroéconométrique structurelle en vue de la prévision et de la simulation des politiques économiques. Volume horaire : 30 heures, dont 22 pour le cours et les exercices d‟application, et 8 heures de Travaux Pratiques (construction, estimation et simulation du modèle I de L. Klein). Chargé du cours : Amen Tayo P. Dovoédo, docteur en économie mathématique et économétrie et Ingénieur Statisticien Economiste.
  3. 3. - 3 - Introduction La modélisation macroéconométrique a été lancée par les travaux de Tinbergen qui a construit le premier modèle destiné à l‟étude des cycles économiques aux Etats Unis dans les années 30. L‟approche de Tinbergen a ensuite été reprise et développée par L. Klein à partir des années 40 et conduisit à la généralisation de la construction de modèles reposant essentiellement sur la théorie keynésienne dans les années 60.Ces modèles étaient destinés à la prévision économique et à l‟analyse des politiques économiques. Ils ont été l‟objet de critiques et ont été remis en cause après le premier choc pétrolier, suite aux erreurs de leurs prévisions. D‟autres approches ont alors vu le jour et entrent depuis en concurrence avec la modélisation macroéconométrique classique. Il s‟agit notamment de la modélisation autorégressive vectorielle (VAR), lancée par Sims et Sargent et des modèles DGSE (Equilibre Général Dynamique et Stochastique). Ces nouvelles approches ne seront pas développées dans ce cours introductif.
  4. 4. - 4 - Modélisation, A.Dovoédo CHAPITRE 1 Généralités sur la modélisation économique et l’évolution de la modélisation macroéconométrique. Ce premier chapitre expose brièvement les généralités relatives à la modélisation économique quantitative et les principales étapes du développement de la modélisation macroéconométrique. I. Définition d‟un modèle économique Il s‟agit d‟une représentation schématique de la réalité économique et sociale, sous la forme d‟une équation ou d‟un groupe d‟équations traduisant ou explicitant un « comportement », c'est-à-dire une décision d‟un groupe d‟agents économiques (décision de consommer, d‟épargner, d‟investir, de produire, etc.), ou une relation de définition ou d‟équilibre entre plusieurs variables économiques. Chaque équation de « comportement » reflète les a priori théoriques du modélisateur, et s‟insère dans un cadre comptable qui décrit les opérations économiques des différents agents économiques, lorsqu‟il s‟agit d‟un modèle macroéconomique. Le fondement théorique des équations de comportement est le plus souvent l‟hypothèse de recherche d‟un optimum par les agents individuels, c'est-à-dire
  5. 5. - 5 - Modélisation, A.Dovoédo l‟hypothèse de « rationalité » : recherche du maximum de satisfaction ou d‟utilité pour le consommateur, et du maximum de profit pour la firme. L‟interaction de ces comportements conduit à un état d‟équilibre de l‟économie, où l‟offre et la demande sur les différents marchés s‟ajustent soit par l‟intermédiaire des mouvements de prix, soit par rationnement quantitatif. L‟équilibre des différents marchés peut être perturbé par l‟action de l‟état ou du gouvernement qui est supposé agir de façon autonome (politique économique discrétionnaire). Les objectifs de la modélisation économique se situent à deux niveaux : d‟une part, l‟analyse formalisée des comportements isolés d‟agents économiques, et d‟autre part l‟analyse de l‟interaction de ces comportements individuels et la compréhension des mécanismes de fonctionnement global de l‟économie. II. Objectifs de la modélisation économique II.1. Analyse des comportements isolés Il s‟agit dans ce cas de comprendre et de prévoir le comportement d‟un groupe donné d‟agents économiques (consommateurs, entreprises, etc). Les économistes s‟appuient alors généralement sur un ou plusieurs modèles théoriques qui proposent une description formalisée du comportement étudié. Ces modèles théoriques, fondés sur l‟observation de la réalité, mettent en avant
  6. 6. - 6 - Modélisation, A.Dovoédo des variables explicatives plausibles du comportement analysé, et précisent les effets attendus de ces variables. Ainsi, par exemple, on s‟attend qu‟une augmentation de leur revenu réel disponible conduise les ménages à augmenter leurs dépenses de consommation, et qu‟une hausse du chômage les incite au contraire à les réduire et à constituer une épargne de « précaution ». Mais il arrive qu‟un modèle théorique soit incapable de prédire le signe exact de l‟effet d‟une variable explicative. Par exemple, on sait que la hausse du niveau général des prix (c‟est à dire l‟inflation) a deux effets antagonistes sur la consommation des ménages : d‟une part elle conduit les ménages à réduire leur consommation et à augmenter leur épargne pour compenser la perte du pouvoir d‟achat de leurs actifs financiers (effet de « reconstitution de l‟encaisse réelle ») ; d‟autre part, elle les incite aussi à augmenter leur consommation de biens dont ils pensent que le prix va croître rapidement. L‟ordre de grandeur de chacun de ces deux effets contraires n‟est pas connu a priori et ne peut qu‟être estimé à partir de données concrètes et l‟estimation d‟une fonction de consommation. La modélisation des comportements isolés par la spécification et l‟estimation d‟une équation ou d‟un petit groupe d‟équations vise ainsi plusieurs buts : - Vérifier tout d‟abord l‟adéquation du modèle théorique proposé à la réalité, supposée correctement représentée par les données statistiques relatives
  7. 7. - 7 - Modélisation, A.Dovoédo aux variables retenues dans le modèle. L‟estimation économétrique du modèle théorique ne saurait cependant apporter la preuve formelle de la justesse ou de l‟inadéquation de ce modèle. Une estimation statistiquement correcte du modèle permet de ne pas le rejeter, mais n‟est pas un gage de son adéquation définitive et intemporelle à la réalité. Par contre, une estimation non significative est le signe que le modèle est certainement inapproprié. - Le deuxième but de la modélisation des comportements est l‟estimation précise des effets des variables économiques qui influencent le comportement étudié. Exemple : chiffrer la valeur exacte de la propension à consommer les revenus salariaux et celle à consommer les revenus non salariaux, pour pouvoir comprendre et prévoir les fluctuations de la consommation. - Le troisième but de la modélisation des comportements individuels est de lever l‟incertitude relative au signe de l‟effet de certaines variables sur le comportement étudié, signalée plus haut (cas de l‟effet de l‟inflation sur la consommation des ménages). II.2. Analyse du fonctionnement global de l‟économie Le fonctionnement d‟ensemble de l‟économie résulte de l‟interaction de nombreux comportements isolés, modélisables chacun par une équation ou un groupe d‟équations. Il est donc schématisé par ce systèmes d‟équations
  8. 8. - 8 - Modélisation, A.Dovoédo interdépendantes : la consommation est liée au revenu, qui est liée à la production qui, elle-même est un déterminant de l‟investissement. Ce modèle de fonctionnement global de l‟économie se caractérise donc par des simultanéités, et peut de ce fait être de grande taille et très complexe. La justification d‟un modèle global complexe est de mettre en évidence et de permettre une estimation plus efficace de la simultanéité des comportements isolés des différents agents économiques. Le modèle est donc un instrument indispensable, qui doit être cependant sans cesse amélioré et remis en question, compte tenu des présupposés théoriques des constructeurs lors de la spécification des différentes équations de comportement, mais aussi de l‟incertitude liée à l‟estimation des coefficients des variables explicatives. III. Etapes de l‟évolution de la modélisation macroéconométrique La dernière partie de ce chapitre introductif est consacré à un bref historique de la modélisation macroéconométrique. On peut identifier plusieurs phases dans l‟évolution de la construction des modèles macroéconométriques. - La phase de lancement, qui va des années 30 au début des années 60. On considère que l‟économiste hollandais Jan Tinbergen est l‟initiateur de la modélisation macroéconométrique, avec la publication en 1937 de son ouvrage
  9. 9. - 9 - Modélisation, A.Dovoédo consacré à la modélisation de l‟économie américaine en vue de l‟analyse des cycles économiques. Il s‟appuie pour ce faire, sur les travaux de T. Haavelmo, qui est considéré comme le fondateur de l‟économétrie moderne pour avoir été le premier à formuler de façon probabiliste l‟estimation des relations économiques. Tinbergen a, quant à lui, inspiré Lawrence Klein qui a construit dans les années 50 le premier modèle macroéconométrique de l‟économie américaine, destiné à la prévision et à la simulation de politiques économiques. Cet économiste a également participé activement aux travaux de la „Cowles Commission‟ portant sur la mise au point et au développement des méthodes statistiques rigoureuses d‟estimation et de tests nécessaires à la construction de ces modèles. - La phase de généralisation de la construction de ces modèles dans l‟ensemble des pays développés, dans les années 60 et la première moitié des années 70. Plusieurs modèles concurrents sont construits pour l‟économie américaine par des instituts de prévision privés, académiques ou affiliés à la Réserve Fédérale (Wharton E.F.A., Chase Econometrics, Université du Michigan, etc.). Cette activité de modélisation s‟étend rapidement aux pays européens tels que la France, l‟Angleterre, les Pays Bas, etc., mais en se cantonnant surtout aux administrations publiques (ministères de l‟Economie et des finances, instituts de Statistique comme l‟INSEE en France). Ces modèles
  10. 10. - 10 - Modélisation, A.Dovoédo reposaient essentiellement sur la théorie kéynésienne ou la synthèse néo classique pour certaines équations. - La phase de critique, de contestation théorique et de renouvellement méthodologique, qui commence au milieu des années 70, avec le premier choc pétrolier qui mit en évidence les insuffisances prévisionnelles de la plupart de ces modèles. Cette phase débute par des tentatives d‟amélioration des fondements théoriques des modèles, par une représentation plus affinée des comportements des agents et un renforcement des liens de la modélisation macroéconomique avec la théorie microéconomique. Elle se caractérise ensuite par la formulation de critiques virulentes à l‟encontre des modèles macroéconométriques, suite à leurs mauvaises performances prévisionnelles pendant le premier choc pétrolier en 1973. Le chef de file de cette remise en cause est Robert Lucas (prix Nobel), dont la fameuse critique, fondée sur la théorie des anticipations rationnelles, démontrait l‟impossibilité de mise en œuvre de politiques économiques efficaces à l‟aide de ces modèles, en raison du lien entre les paramètres de ces modèles et les variables de politique économique. Bien que la plupart des constructeurs de modèles jugent cette critique « exagérée » ou même non pertinente pour l‟économie américaine peu sujette à l‟époque à des changements structurels significatifs, bon nombre d‟entre eux essaient d‟en tenir compte dans la spécification des équations de
  11. 11. - 11 - Modélisation, A.Dovoédo leurs modèles, en introduisant des variables d‟anticipation, c'est-à-dire des projections futures de certaines variables endogènes importantes (prix, offre de monnaie, etc.). Cette démarche a donné naissance aux modèles à anticipations rationnelles et à la mise au point de méthodes d‟estimation spécifiques requises par ces modèles. Une autre critique des modèles macroéconométriques « traditionnels », faite par Christopher Sims, est la classification arbitraire des variables de ces modèles en variables endogènes et exogènes. Les variables endogènes sont expliquées et déterminées par le modèle, tandis que les variables exogènes sont déterminées en dehors du modèle. Cette classification se traduit par l‟adoption de critères d‟identification arbitraires et dépourvus de crédibilité, selon cet économiste (prix Nobel 2011) qui lance dans les années 70 et 80 la modélisation autorégressive vectorielle (VAR en anglais), dans laquelle les variables non déterministes sont toutes endogènes et interagissent les unes avec les autres. Cette approche conduit à la réduction du nombre de variables endogènes et donc de la taille des modèles, puisque chaque variable est expliquée par ses propres valeurs retardées et celles des autres variables, ce qui conduit à l‟augmentation démesurée du nombre de paramètres inconnus à estimer. La quatrième phase de l‟histoire de la modélisation macroéconométrique se caractérise par une mise en cause théorique plus radicale et une sophistication
  12. 12. - 12 - Modélisation, A.Dovoédo accrue des fondations microéconomiques de ces modèles, qui permettent l‟émergence des modèles RBC (modèles des cycles réels) puis des modèles d‟Equilibre Général Dynamiques et Stochastiques (« DSGE models » en anglais). Ces modèles essaient d‟intégrer les rigidités nominales et les nombreuses imperfections de marchés présentes dans les économies industrialisées mais ignorées dans les modèles macroéconométriques traditionnels. Notons pour clore ce bref chapitre introductif que la modélisation économique quantitative ne se cantonne pas à la sphère macroéconomique. Depuis plusieurs décennies, des modèles microéconométriques décrivant et formalisant les dépenses de consommation des ménages et exploitant les données fournies par les enquêtes budget-consommation, ont été construits dans plusieurs pays. Ces modèles expliquent la demande individuelle ou simultanée des différents biens de consommation (courbes d‟Engel, systèmes linéaires ou log-linéaires des dépenses, etc.). De même plusieurs modèles sectoriels agricoles décrivant le comportement de production et d‟investissement des agriculteurs ont été construits dans quelques pays en développement dans les années 70 par la Banque mondiale et des universités américaines. Enfin signalons également le développement de la modélisation des marchés d‟actifs financiers qui a donné
  13. 13. - 13 - Modélisation, A.Dovoédo lieu à la naissance d‟outils d‟estimation économétrique spécifiques (modèles ARCH et GARCH) introduits par les travaux de Engle (1987).
  14. 14. - 14 - Modélisation, A.Dovoédo CHAPITRE 2 MODELISATION MACROECONOMETRIQUE CLASSIQUE OU STRUCTURELLE Ce chapitre est une introduction à la modélisation macroéconométrique classique ou structurelle. Il comprend deux parties : la première partie aborde la terminologie et l‟écriture matricielle des modèles macroéconométriques, tandis que la deuxième examine la formulation théorique de ces modèles en s‟appuyant sur l‟exemple de maquette proposé par l‟un des pionniers de la modélisation macroéconométrique, L. Klein, prix Nobel d‟économie, dans l‟un de ses ouvrages consacrés à ce sujet ( Lectures in Econometrics (1983)). I. Terminologie relative aux modèles économétriques à équations simultanées et écriture matricielle de ces modèles I.1. Terminologie Les variables Les variables d‟un modèle (macroéconométrique) à équations simultanées sont de deux types : les variables endogènes, expliquées et déterminées conjointement par le modèle, et les variables exogènes, qui contribuent à l‟explication des variables endogènes, mais qui ne sont pas expliquées par elles. Les variables exogènes elles mêmes sont classées en variables de contrôle, ou de décision, ou instruments, qui sont, comme leur nom l‟indiquent, fixées et contrôlées par un décideur, et en variables d‟environnement qui ont une évolution autonome.
  15. 15. - 15 - Modélisation, A.Dovoédo Dans un modèle à équations simultanées, les variables dites endogènes sont des variables à la fois expliquées et explicatives. Les variables endogènes décalées ont le même statut que les variables exogènes. L‟ensemble des variables exogènes et des variables endogènes décalées d‟un modèle constitue les variables qualifiées de « prédéterminées » Les équations Les équations constituant un modèle reposant sur une théorie économique sont dites « structurelles ». Par définition, une équation structurelle peut inclure plusieurs variables endogènes et plusieurs variables exogènes. Les variables du modèle exclues d‟une équation structurelle peuvent être considérées comme présentes dans cette équation avec des coefficients nuls (cette convention est utile pour l‟écriture matricielle d‟un modèle à équations simultanées). Le nombre d‟équations d‟un modèle doit être égal à son nombre de variables endogènes. On distingue 4 types d‟équations structurelles : 1. Les équations de comportement : elles expliquent les comportements des agents économiques (demande et offre d‟un bien, comportement d‟investissement des entreprises, etc.). 2. Les équations « technologiques » : elles décrivent en particulier la combinaison productive des facteurs de production (fonctions de production).
  16. 16. - 16 - Modélisation, A.Dovoédo 3. Les équations institutionnelles : ce sont des relations ou des règles définies par les administrations fiscales, financières ou autres, d‟un pays (par exemple la liaison entre les différents impôts et taxes et le revenu des imposables). 4. Les identités, qui définissent certaines variables, ou qui sont des égalités comptables entre certaines variables. I.2. Ecriture matricielle des modèles à équations simultanées Soit Z le vecteur-colonne contenant les g variables endogènes d‟un modèle à équations simultanées, et X le vecteur-colonne des k variables exogènes. On suppose que le décalage maximal des variables endogènes est égal à un. On peut écrire ce modèle dynamique d‟ordre un sous la forme matricielle suivante en omettant pour l‟instant le vecteur des erreurs : 1100  ttt ZAXBZA Avec : A0 = matrice (gxg) des coefficients structurels des variables endogènes courantes ; A1= matrice (gxg) des coefficients structurels des variables endogènes décalées ; B0= matrice (gxk) des coefficients structurels des variables exogènes courantes ;
  17. 17. - 17 - Modélisation, A.Dovoédo Exemple Soit le modèle keynésien simplifié : )4( )3( )2()( )1()( 10 110 10 tttt tt ttt ttt GICY YT YYI TYC         Avec : C = dépenses de consommation ; I = investissement ; T = impôts ; Y = revenu ; G = dépenses publiques (exogènes). Les variables endogènes de ce modèle bien connu sont : Ct, It, Tt, et Yt. Les variables prédéterminées sont Gt (exogène) et Yt-1 (revenu décalé). On peut réécrire les équations du modèle en déplaçant à gauche du signe «= » les variables endogènes, et à droite les constantes et les variables prédéterminées : tttt tt ttt ttt GICY YT YYI YTC      01 1101 011    D‟où l‟écriture matricielle du modèle :                                                                                       1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 11 0000 0000 000 0000 1 10 0 0 0 1011 100 010 01 t t t t t t t t t Y T I C G Y T I C       
  18. 18. - 18 - Modélisation, A.Dovoédo C'est-à-dire avec les notations introduites plus haut : 1100  ttt ZAXBZA , A0 étant la matrice (4x4) des coefficients des 4 variables endogènes courantes regroupées dans le vecteur Zt, A1, la matrice des coefficients des variables endogènes décalées Zt-1, et B0 la matrice des termes constants et du coefficient de la variable exogène Gt. D‟une façon générale, un modèle macroéconométrique à équations simultanées comportant g variables endogènes courantes rassemblées dans le vecteur Zt, avec un décalage maximum d‟ordre p de ces variables endogènes , k variables exogènes courantes regroupées dans le vecteur Xt et ayant des décalages jusqu‟à l‟ordre q, s‟écrit sous la forme matricielle suivantes : ,...... 0110 qtqtptptt XBXBZAZAZA   les lettres A0, …, Ap, B0,…, Bq désignant les matrices des coefficients, Zt, …,Zt-1, désignant les vecteurs des variables endogènes courantes et décalées, et Xt, …, Xt-q les vecteurs des variables endogènes courantes et décalées. I.3. Ecriture matricielle des modèles à équations simultanées avec prise en compte des erreurs aléatoires des équations institutionnelles et de comportement Reprenons l‟exemple du modèle keynésien simplifié donné ci-dessus et introduisons des termes d‟erreur aléatoire dans les deux équations de
  19. 19. - 19 - Modélisation, A.Dovoédo comportement et l‟équation institutionnelle, comme il se doit. On a : )8( )7( )6()( )5()( 310 2110 110 tttt ttt tttt tttt GICY YT YYI TYC         Substituons l‟identité comptable (8) définissant le revenu Yt dans les 3 premières équations du modèle. On obtient pour l‟équation de consommation : )9()1()( 101111110 ttttttttttt TGICTGICC   De même les équations (6) et (7) deviennent : )10()1( 20111111111 ttttttt GICGIC    )11(30111 ttttt GTIC   L‟écriture matricielle du nouveau modèle (à 3 équations) ainsi obtenu est donc : Avec :                                                                            t t t t t t t t t t et G X T I C Z BBAA 3 2 1 11 10 10 10 0111 11 11 111 0 , 1 , 00 0 00 ,, 000 0 000 , 1 01 1            
  20. 20. - 20 - Modélisation, A.Dovoédo Le modèle obtenu par substitution de l‟identité comptable dans les autres équations est entièrement stochastique et comporte évidemment moins d‟équations que le modèle initial. A l‟instar de ce modèle, la plupart des modèles macroéconométriques sont dynamiques, c'est-à-dire spécifiés sous forme autorégressive. Autrement dit, ils possèdent des variables endogènes décalés dans la liste de leurs variables explicatives. Le modèle kéynésien simplifié présenté ci-dessus est un modèle dynamique d‟ordre 1. On peut le généraliser facilement à un modèle dynamique d‟ordre p, c'est-à-dire autorégressif d‟ordre p. ,...... 0110 tqtqtptptt XBXBZAZAZA   Cette écriture générale repose sur la théorie économique et constitue la forme « structurelle » du modèle. Chacune des équations institutionnelles ou de comportement fournit, en général, la valeur de l‟une des variables endogènes en fonction des valeurs courantes des autres variables, des valeurs décalées de l‟ensemble des variables endogènes, des variables exogènes courantes et décalées, et d‟un terme d‟erreur aléatoire. La forme réduite du modèle est celle dans laquelle chaque variable endogène s‟exprime en fonction des variables endogènes retardées, des variables exogènes, et d‟un terme d‟erreur. Elle existe lorsque la matrice A0 des coefficients structurels des variables endogènes est inversible. La forme réduite est alors égale à : tqtqtptptt AXBXBZAZAAZ 1 0011 1 0 )......(    
  21. 21. - 21 - Modélisation, A.Dovoédo Si les éléments du vecteur d‟erreurs structurelles et sont supposés non correlés, il en sera de même pour le vecteur d‟erreurs tA 1 0  de la forme réduite. Toute la dynamique du système, c'est-à-dire l‟effet du passé sur le présent, est alors résumé dans les matrices des coefficients réduits .1,,1, 1 0 1 0 qàjBAetpàiAA ji   Exercice : Soit le modèle keynésien simplifié avec investissement exogène et sans dépenses étatiques : )3( )2( )1(1 tt ttt ttt YR ICY dbCaRC     Commenter ce modèle. L‟écrire sous forme matricielle et donner sa forme réduite. Les 3 relations définissent la forme structurelle du modèle. La relation (1) est une équation de comportement (fonction de consommation macroéconomique). La relation (2) est une égalité comptable ou une relation d‟équilibre entre la demande (Ct+It) et l‟offre (la production) Yt. Enfin, la relation (3) définit le revenu Rt en l‟assimilant à la production. Variables endogènes du modèle : Ct, Yt, Rt. Variable exogène : It Ecriture matricielle du modèle : ce modèle peut se réduire à une équation par substitution dans (1) des relations d‟équilibre et de définition (2) et (3). Mais on l‟écrira plutôt sous forme matricielle en conservant les deux relations non stochastiques, ce qui donne :
  22. 22. - 22 - Modélisation, A.Dovoédo                                                                                   0 0 1 00 10 0 000 000 00 010 001 00 1 1 1 t t t t t t t t t t t u I d R Y Cb R Y Ca R Y C On en déduit que : Soit formellement ,0110 tttt XBZAZA   avec            t t t t R Y C Z ,        t t I X 1 , et            0 0 t t u  , A0 étant la matrice des coefficients de Zt, A1 celle de Zt-1 et B0 celle de Xt. Le déterminant de A0 est égal à 1-a. A0 est donc inversible si a est différent de 1. L‟inverse de A0 est égal à :             111 11 1 1 11 0 a aa a A La forme réduite du modèle s‟écrit : tttt AXBAZAAZ 1 00 1 011 1 0     Tous calculs faits, on trouve :                                      t t t ttt u u u a X d a Z b b b a Z 1 1 11 11 0 1 1 00 00 00 1 1 1
  23. 23. - 23 - Modélisation, A.Dovoédo Les équations réduites du modèle s‟en déduisent : t t ttt t ttt R a u a d I a C a b Y a u a d I a a C a b C                    111 1 1 1111 1 1 II. Construction des modèles macroéconométriques II.1. Liens entre la modélisation macroéconométrique et la comptabilité nationale Un modèle économique est une représentation schématique de la réalité économique et une tentative d‟explication du fonctionnement de cette réalité. Il doit donc s‟appuyer sur une description de cette réalité. Dans le cas d‟un modèle économique national, une description pertinente de la réalité est celle de la comptabilité nationale. Le système simplifié de comptabilité nationale considère que l‟économie est constituée d‟agents qui effectuent des opérations qu‟on peut résumer dans des comptes. Dans ce système, quatre types d‟agents économiques sont identifiés : les Ménages, les Entreprises, l‟Etat ou le Gouvernement, et l‟Extérieur. Les comptes de chaque groupe d‟agents enregistrent leurs emplois et ressources selon le principe de la partie double : les ressources d‟un groupe d‟agents sont les emplois (ou les dépenses) d‟un autre groupe. Les soldes des comptes d‟agents (Emplois – Ressources) constituent l‟épargne de ces agents. Les 4 comptes d‟agents sont complétés par le compte d‟utilisation des ressources (ou de capital).
  24. 24. - 24 - L‟examen d‟un modèle simplifié de l‟économie nationale fait apparaître les équations suivantes : 1. Des équations comptables exprimant l‟équilibre des quatre comptes d‟agents et l‟équilibre du compte d‟utilisation des ressources. 2. Des équations de comportement de certains agents, des équations relatives aux institutions (fiscalité et autres), et des équations technologiques exprimant par exemple la combinaison optimale des facteurs de production dans le processus productif Une liste non exhaustive de ces équations comprend : - La fonction de consommation agrégée, qui explique les dépenses de consommation courantes des ménages. - L‟équation de taxation directe des ménages, qui explique le niveau des impôts sur le revenu perçus par l‟Etat (l‟administration fiscale). - L‟équation de taxation directe des entreprises par l‟Etat. - L‟équation d‟importation, qui lie le volume des importations à la demande intérieure résultant de l‟activité et de la compétitivité des entreprises nationales. - L‟équation d‟exportation, si cette variable est considérée comme endogène. - L‟équation de dépréciation du capital. - L‟équation d‟investissement des entreprises (FBCF) et des ménages (investissement en logement). Cette liste non exhaustive des équations d‟un modèle macroéconométrique montre l‟importance des variables du système de comptabilité nationale dans la spécification des équations de ce type de modèle. Il existe un lien inextricable
  25. 25. - 25 - Modélisation, A.Dovoédo entre la modélisation macroéconométrique et le système de comptabilité nationale. Toutes les variables utilisées concrètement dans ou fournies par l‟élaboration des comptes et essentielles à la modélisation des comportements des agents économiques, notamment les variables de marché telles que les prix des biens, les taux d‟intérêt, les taux de salaire, etc, sont indispensables à la construction des modèles macroéconométriques. La spécification des équations de ces modèles s‟efforce de prendre en compte certains types de non linéarité inévitables, de même que la dynamique des comportements des agents. Cette dynamique des comportements est modélisée grâce à l‟introduction de variables endogènes décalées dans la liste des variables explicatives, justifiée théoriquement par une hypothèse d‟ajustement partiel des variables endogènes à un niveau désiré, ou plus rigoureusement, à partir des années 80, par la cointégration de certaines variables endogènes conduisant à la spécification d‟un modèle à correction d‟erreurs (théorème de représentation de Granger (1987)). Les implications d‟une spécification dynamique fondée sur la théorie de la cointégration ne seront pas développées dans ce cours introductif (voir le cours d‟Econométrie). Nous présenterons et commenterons de préférence ici une maquette classique d‟un modèle macroéconométrique, développée par Lawrence Klein dans l‟un de ses ouvrages. II.2. Maquette d‟un modèle macroéconométrique standard Identités comptables ou de définition - Définition du PNB )1()( tttttt XIMEGIC 
  26. 26. - 26 - Modélisation, A.Dovoédo - Réconciliation entre le PNB et le revenu national )2(321 rttttttttt TTTYDpTXp  -Définition du revenu national )3(32 rttttttt TTTYPLw  -Définition du stock de capital )4(1 tttt DIKK   Relations technologiques et équations de comportement -Fonction de consommation )5()( 11210 ttttt uCpYC   -Fonction d‟investissement - )6(213210 ttttt uKrXI   -Fonction d‟exportation )7()()( 313210 tttwttt uEppWTE   -Fonction d‟importation )8()()()( 413210 ttmtttt uIMppXIM  
  27. 27. - 27 - Modélisation, A.Dovoédo -Fonction de production )9()ln()ln()ln()ln( 5131210 ttttt uLKXL    -Equation de formation des prix )10()/( 6210 tmttttt upXLwp   -Equation de salaire )11()ln()])/(()[()ln( 7210 tttttt upLLFLFw   -Taux de participation de la main d‟œuvre (taux d‟activité) )12()/(])/())[((/)( 8210 tttttttt upwLFLLFNLF   -Equation d‟offre de monnaie )13()ln()/ln( 9210 tttttt uprMXp   -Equation de dépréciation du capital )14(101 ttt uKD  
  28. 28. - 28 - Modélisation, A.Dovoédo Equations institutionnelles -Equation de taxation indirecte )15()( 11101 tttt uXpT   -Equation de taxation directe personnelle )16(12102 ttt uYT   -Equation de taxation directe des entreprises )17(13103 ttt uPT   Equation de transfert )18())(( 14210 ttttrt uwLLFT   Variables endogènes ou dépendantes Ct = Dépenses réelles de consommation Yt=Revenu nominal disponible des ménages pt = Niveau général des prix It = Formation Brute de Capital Fixe (Investissement) Xt = PNB réel rt = Taux d‟intérêt nominal
  29. 29. - 29 - Modélisation, A.Dovoédo Kt = Stock réel de capital en fin de période Et = Exportations réelles (IM)t = Importations réelles Lt = Emploi wt = Taux de salaire (LF)t = Main d‟œuvre Dt = Consommation réelle de capital (dépréciation) T1t = Taxes indirectes nominales T2t = Taxes directes nominales sur les personnes T1t = Taxes directes nominales sur les entreprises Trt = Transferts nominaux aux ménages Pt = Profits (revenu non salarial nominal) Variables exogènes ou indépendantes Gt = Dépenses publiques réelles en bien et services (WT)t = Volume réelles du commerce mondial pwt = Prix du commerce mondial pmt = Prix des importations Nt = Population
  30. 30. - 30 - Modélisation, A.Dovoédo Mt = Offre nominale de monnaie Commentaire des principales équations non comptables de cette maquette 1. La fonction de consommation (équation (5)) La consommation réelle courante Ct est une fonction linéaire du revenu réel courant (Yt/pt) et de la consommation réelle de la période écoulée Ct-1. La présence de la consommation décalée Ct-1 dans la liste des variables explicatives équivaut, en fait, à la spécification de Ct comme une fonction à retards échelonnés des revenus réels courant et passés, soit :        0 121 2 0 ),19()/()( 1 i titit i t pYC    avec l‟hypothèse que l‟erreur suit un processus autorégressif d‟ordre un, soit : .11121 ttt u  Dans cette spécification, on suppose que  102  , ce qui exprime la consommation Ct comme une fonction linéaire affine de la somme pondérée infinie des revenus courant et passés, les pondérations suivant une progression géométrique décroissante. La somme     0 2 )/()( i itit i pY s‟interprète comme un indicateur de la valeur de long terme du revenu.
  31. 31. - 31 - Modélisation, A.Dovoédo Pour montrer que la spécification (19) équivaut à la spécification autorégressive (5), il suffit de calculer 12 tC en utilisant (19) et de soustraire cette quantité de Ct. On a :                 1 1121 0 11 1 2121 1 2 20 12 )/()()/()( )/( 1 )1( i tt i itit i itit i tttt pYpY pYCC      = ttt upY 110 )/(  Ce qui donne bien la spécification (5). La fonction d‟investissement (6) Il s‟agit d‟une version de l‟accélérateur flexible. Sa dérivation théorique repose sur l‟hypothèse que la variation Kt du stock de capital est proportionnelle à l‟écart entre le stock courant de capital désiré par les entrepreneurs et le stock de capital effectif de la période écoulée, soit : )1()( 1 * 1 HKKKKK ttttt    Le coefficient  représente la « vitesse d‟ajustement » du stock effectif de capital au stock désiré. On suppose ensuite que le stock désiré de capital est une fonction linéaire du PNB réel Xt et du taux d‟intérêt nominal rt, soit :
  32. 32. - 32 - Modélisation, A.Dovoédo )20(* 2 * 2 * 1 * 0 * tttt urXK   Cette relation découle de l‟hypothèse que la production utilise une technologie de type Cobb-Douglas. On montre en effet que dans ce cas, une condition de maximisation du profit brut (c'est-à-dire avant impôt), à long terme, est : ),()( * ttttt XpKrp   c'est-à-dire que la valeur optimale du capital (charges courantes d‟intérêt * ttt Krp plus les charges d‟amortissement )( * tt Kp ) est proportionnelle à la valeur de la production. Il s‟ensuit que :     t t t r X K* , relation dont la linéarisation conduit à l‟expression (20), au terme d‟erreur près. On obtient, en substituant (20) dans l‟hypothèse H1 : * 21 * 2 * 1 * 0 tttt uKrXK    Par ailleurs, en tenant compte de l‟identité (4) et de l‟équation de dépréciation du capital (14), on peut écrire : * 21 * 2 * 1 * 0 tttttt uKrXDIK    C'est-à-dire :
  33. 33. - 33 - Modélisation, A.Dovoédo ttttt uKrXI 213210   , en posant : .;;;; 10 * 223 * 22 * 11 * 00 ttt uuu   Remarquons enfin le caractère simplificateur de l‟utilisation d‟un prix unique (niveau général des prix) pour valoriser la production et les composantes de la demande. Cette démarche élimine en effet les prix de l‟équation d‟investissement. Le rôle des prix peut néanmoins être pris en compte dans cette équation en remplaçant le taux d‟intérêt nominal par le taux d‟intérêt réel. 3.Equations du commerce extérieur 3.1. Exportations Elles sont liées au niveau d‟activité mondiale, représenté par le volume du commerce mondial, aux prix relatifs des biens produits à l‟extérieur par rapport aux biens intérieurs, exprimés en unité monétaire locale (par application du taux de change), et à la valeur décalée des exportations, qui traduit la lenteur de la réaction des exportations aux variations de prix et aux autres chocs qui affectent le commerce mondial. Notons que le niveau d‟activité mondiale aurait pu être mesuré par la production réelle mondiale, mais celle-ci est plus difficile à estimer que le volume du commerce mondial.
  34. 34. - 34 - Modélisation, A.Dovoédo 3.2. Importations Elles dépendent d‟une part du niveau d‟activité intérieure, assimilé à la production intérieure Xt, ce qui semble plus approprié pour les biens industriels que pour les biens de consommation. L‟importation de ces derniers dépendrait plutôt du revenu réel disponible qui serait une meilleure mesure de l‟activité intérieure. D‟où la pertinence de l‟estimation de deux fonctions d‟importation au moins, une pour les biens d‟équipement industriels, et une pour les biens de consommation. Elles dépendent d‟autre part du prix relatif des produits intérieurs par rapport aux produits importés (p/pm), le prix pm des importations étant exprimé en unités monétaires locales via le taux de change. Enfin la prise en compte des importations décalées dans l‟explication des importations courantes se justifie de la même façon que pour les exportations, à savoir la lente réaction de cette variable aux modifications de prix et autres chocs qui affectent l‟activité intérieure (d‟où la formulation autorégressive retenue pour l‟équation). 4. Fonction de production Cette fonction est introduite pour décrire les conditions physiques de l‟offre (la production réelle Xt). Elle n‟est cependant pas écrite sous la forme traditionnelle de la fonction Cobb-Douglas classique, soit :
  35. 35. - 35 - Modélisation, A.Dovoédo tttt uKALX  1 En effet, d‟une part, il a été procédé à la re-normalisation de cette formulation de façon à exprimer le facteur travail Lt nécessaire à la production comme variable dépendante. Bien qu‟équivalente mathématiquement à la formulation traditionnelle, la formulation retenue est différente notamment du point de vue du sens de la causalité. Si la production Xt et le stock de capital Kt-1 peuvent être déterminés par d‟autres équations du modèle, la fonction de production re- normalisée sert uniquement à calculer la force de travail nécessaire à l‟activité productive. Par ailleurs cette formulation représente la fonction de production de court terme, ou plus exactement le processus d‟ajustement de la production aux variations du seul facteur variable à court terme, à savoir le travail. 5. Equation de formation des prix Il s‟agit d‟une relation empirique entre le niveau général des prix, le coût unitaire de la main d‟œuvre, et le prix unitaire des importations. Le coût unitaire de la main d‟œuvre est égal au ratio du taux de salaire wt et de la productivité du travail (Xt/Lt). La relation entre le prix et le coût unitaire du facteur travail peut être considérée, sur le long terme, comme une conséquence de la condition de
  36. 36. - 36 - Modélisation, A.Dovoédo maximisation du profit avec une technologie de type Cobb-Douglas. Dans ce cas en effet, on sait que : t t t t p w L X    : rémunération du travail à sa productivité marginale en valeur, c'est-à- dire : . t t t t p w L X  On en déduit que : t tt t X Lw p   Remarquons que la prise en compte du prix pm des importations dans l‟équation des prix se justifie par la présence, dans les produits importés, de biens intermédiaires et de biens d‟équipement utilisés dans le processus de production. 6. Equations de salaire et de participation de la main d‟œuvre L‟équation de salaire explique la variation du taux de salaire par la variation du niveau général des prix et l‟inverse du taux de chômage (relation de Philips). Le taux d‟activité de la population est quant à lui lié au taux de chômage et au taux réel de salaire.
  37. 37. - 37 - Modélisation, A.Dovoédo 7. Equation d‟offre de monnaie En raison des fluctuations de la vitesse de circulation de la monnaie, la théorie quantitative de la monnaie est généralement inappropriée pour expliquer la détermination du revenu national et le niveau absolu des prix (de plein emploi). L‟équation proposée lie la variation de la vitesse de circulation de la monnaie positivement au taux d‟intérêt nominal et au taux d‟inflation et découle de la théorie keynésienne et de certaines théories des cycles. 8. Equation de dépréciation du capital Cette relation, purement technique, permet de lier le stock courant de capital à la chronique des investissements bruts passés. En effet, en remplaçant Dt par sa valeur dans cette équation, on obtient la relation de récurrence suivante : tttt uKIK ,101)1(   Cette relation dit que le stock actuel de capital est la somme du capital non déclassé (1-)Kt-1 et des nouveaux achats d‟équipement (investissement brut). Le développement de cette relation de récurrence donne la formule :   it i t IK )1(  vt
  38. 38. - 38 - Modélisation, A.Dovoédo avec : vt=(1-)vt-1-u10,t Le stock courant de capital Kt est donc bien la somme pondérée des investissements bruts courants et passés, le poids (1-)i des investissements étant une fonction décroissante de leur ancienneté i et du taux de dépréciation du capital, . 9. Les équations institutionnelles Elles sont relatives aux variables fiscales et aux transferts qui interviennent dans la définition des principaux agrégats relatifs à la production et au revenu national (produit national aux prix du marché, revenu national aux coûts des facteurs, revenu des ménages avant impôts, revenu disponible des ménages). Elles sont supposées dépendre linéairement du niveau d‟activité économique. D‟autres variables spécifiques reflétant les particularités institutionnelles nationales (par exemple les exemptions fiscales particulières et les niveaux minima imposés à certains transferts) peuvent être introduites dans la spécification de ces équations, si nécessaire. En raison de leur grande instabilité due aux changements réguliers de la législation, ces équations doivent être souvent réestimées ou corrigées en fonction des informations hors modèle disponibles.
  39. 39. - 39 - Modélisation, A.Dovoédo Enfin, il est à noter que ces équations sont en général nominales, à la différence des équations de comportement telles que l‟équation de consommation ou d‟investissement.
  40. 40. - 40 - Modélisation, A.Dovoédo CHAPITRE 3 ANALYSE ET EVALUATION DES MODELES MACROECONOMETRIQUES Ce chapitre présente les principales notions nécessaires à l‟analyse et à l‟évaluation des modèles macroéconométriques. I. Analyse des modèles macroéconométriques I.1. Simulation historique et prévision Un modèle macroéconométrique à équations simultanées est généralement spécifié sous forme dynamique, c'est-à-dire que certaines de ses variables explicatives sont des variables endogènes décalées. Une fois estimé, ce modèle peut être résolu par rapport à ses variables endogènes, en annulant le vecteur des résidus et en se donnant des valeurs initiales pour les variables endogènes, lorsqu‟on connaît les valeurs des variables exogènes. Définition La simulation d‟un modèle dynamique est la résolution de ce modèle sur une période de temps donnée, pour des valeurs initiales connues des variables endogènes et des valeurs observées ou fixées des variables exogènes. La simulation est qualifiée d‟historique ou de rétrospective lorsqu‟elle est relative à la période d‟estimation du modèle. Motivation de la simulation : les motifs de la simulation d‟un modèle sont divers : test de la qualité et évaluation du modèle sur la période d‟estimation, test de la qualité prévisionnelle, analyse des politiques économiques. C‟est l‟objectif visé par la simulation qui détermine l‟horizon temporel de celle-ci. Supposons que le modèle a été estimé sur la période [1960, 1990] et qu‟on se situe en t>1990.
  41. 41. - 41 - Modélisation, A.Dovoédo La simulation est dite historique si elle concerne la période d‟estimation, comme on l‟a déjà dit. Les valeurs des variables endogènes observées sur la période antérieure à 1960 sont utilisées comme valeurs initiales, et les observations des variables exogènes sur la période [1960, 1990] sont utilisées dans la résolution du modèle par rapport aux variables endogènes courantes. Au-delà de 1960, les solutions calculées reposent sur les solutions obtenues pour les années antérieures : d‟où le terme « simulation », c'est-à-dire calcul enchaîné des solutions successives en utilisant les solutions des années précédentes. La comparaison des solutions de simulation historique et des véritables valeurs des variables endogènes permet de tester la validité du modèle. Pour évaluer les scénarios de politique économique à l‟aide du modèle, on procède à une simulation dite « ex-post ». Ceci peut se faire en modifiant la valeur de certains coefficients estimés ou de certaines variables instruments de politique économique (taxes, dépenses publiques), et en calculant les nouvelles solutions du modèle après ces modifications, que l‟on peut comparer aux solutions du modèle non modifié. Les conséquences économiques d‟une modification des dépenses publiques, des impôts et taxes directes, ou de l‟offre de monnaie, peuvent ainsi être déterminées à l‟aide de simulations ex-post. Lorsque la simulation du modèle concerne une période postérieure à la période d‟estimation, on parle de prévision. Lorsque la prévision est effectuée à un moment où les valeurs des variables exogènes sont disponibles pour la période ciblée par cette prévision, c‟est à dire lorsque l‟horizon prévisionnel est inférieur
  42. 42. - 42 - Modélisation, A.Dovoédo à la date où on se situe et que les vraies valeurs des exogènes sont disponibles, on parle de prévision ex-post ou inconditionnelle. La prévision ex-post vise à tester la précision prédictive du modèle. Lorsque par contre la prévision est effectuée pour une date future, c'est-à-dire postérieure à la date actuelle, elle nécessite l‟estimation ou la projection préalable des valeurs futures des variables exogènes. On parle de prévision « ex ante » ou conditionnelle. A l‟instar de la simulation historique, la prévision est utilisable pour l‟analyse de différents scénarios de politique économique relatifs aux variables exogènes contrôlées par les autorités et au calcul de leurs effets sur les valeurs futures des variables endogènes. La simulation et la prévision à l‟aide des modèles macroéconométriques sont réalisées aisément grâce aux divers logiciels économétriques actuellement disponibles (Eviews, RATS, etc) qui utilisent des méthodes de résolution numérique des modèles, notamment l‟algorithme de Gauss-Seidel qu‟on présentera ultérieurement. La résolution ne peut se faire analytiquement que pour les modèles de petite taille. Exemple : Considérons le modèle standard du multiplicateur-accélérateur : Ct=a1+a2Yt-1 (1) It=b1+b2(Yt-1-Yt-2) (2) Yt=Ct+It+Gt (3) C=consommation ; I=investissement ; Y=produit national brut ; G=dépenses publiques (variable exogène).
  43. 43. - 43 - Modélisation, A.Dovoédo Par substitution, on trouve l‟équation de récurrence d‟ordre 2 en Y : Yt-(a2+b2)Yt-1+b2Yt-2=(a1+b1)+Gt (4) Connaissant les valeurs estimées des coefficients ai et bi, 2 valeurs initiales pour Y et la valeur de la variable exogène, cette équation de récurrence se résout facilement (voir plus loin,à la sous-section I.3). Les solutions obtenues pour Y servent ensuite à calculer C et I. I.2. Définition et calcul des multiplicateurs d‟un modèle macroéconométrique Les différents types de multiplicateurs d‟un modèle macroéconométrique dynamique sont définis dans le cas d‟un modèle simple à deux équations puis dans le cas d‟un modèle dynamique plus général. Cas le plus simple : Soit le modèle suivant : Ct=aYt-1+b Yt=Ct+At Ct=Consommation ; Yt=PIB ; At=autres composantes de la demande, supposées exogènes. En substituant l‟équation de consommation dans l‟identité comptable, on peut écrire les égalités successives : Yt=aYt-1+b+At aYt-1=a2 Yt-2+ab+aAt-1 a2 Yt-2=a3 Yt-3+ a2 b+a2 At-2 …………………………
  44. 44. - 44 - Modélisation, A.Dovoédo En sommant et en simplifiant les deux membres de ces égalités successives, on obtient la forme réduite de Yt : Yt=(At+aAt-1+a2 At-2+…)+b(1+a+a2 +…)= a b Aa it i i      10 On peut définir les différents types de multiplicateurs à partir de cette forme réduite. Multiplicateur d‟impact : C‟est la variation instantanée de Yt résultant d‟une variation unitaire de la variable exogène At. C‟est donc : 1   t t A Y Multiplicateur décalé d‟ordre un : C‟est l‟impact d‟une variation unitaire de At-1 sur Yt, soit : a A Y t t    1 Multiplicateur décalé d‟ordre i : C‟est la variation courante de Y, résultant d‟une variation unitaire de A survenue i période plus tôt, soit : i it t a A Y     Multiplicateur de longue période ou de long terme C‟est le cumul des multiplicateurs décalés et du multiplicateur d‟impact, soit : a a i i     1 1 0 en supposant que a]-1, 1[ . C‟est l‟impact à long terme sur le revenu d‟une variation unitaire de la variable exogène.
  45. 45. - 45 - Modélisation, A.Dovoédo Généralisation Considérons l‟expression matricielle d‟un modèle à équations simultanées, à structure autorégressive d‟ordre 1, en omettent le vecteur des erreurs. ttt BXZAZA  110 où Zt est le vecteur des variables endogènes courantes, Zt-1 le vecteur des variables endogènes décalées d‟une période, Xt le vecteur des variables exogènes courantes, A0, A1, et B des matrices de coefficients. La forme réduite de ce modèle s‟écrit comme on le sait : ttttt XZBXAZAAZ 211 1 011 1 0      avec 1 1 01 AA  et BA 1 02   Définition La matrice t t X Z   2 représente la matrice des multiplicateurs d‟impact du modèle. C‟est la matrice des variations instantanées de toutes le variables endogènes suite à une variation unitaire de chaque variable exogène. Développons la forme réduite du modèle. On a les égalités successives suivantes : nt n nt n nt n nt n nt n nt n ttt ttt ttt XZZ XZZ XZZ XZZ XZZ                211 1 11 12 1 111 1 1 22 2 13 3 12 2 1 1212 2 111 211 ......................................... En sommant et en simplifiant ces égalités, on trouve l‟équation matricielle
  46. 46. - 46 - 1 1 12122 2 11212 ...     nt n nt n tttt ZXXXXZ Les définitions générales suivantes résultent de l‟équation donnée ci-dessus : Définition La matrice des multiplicateurs décalés d‟ordre i des variables endogènes par rapport au variables exogènes est la dérivée partielle du vecteur des variables endogènes courantes par rapport au vecteur des variables exogènes décalées i fois, soit : 21    i it t X Z . Elle donne l‟impact sur toutes les variables endogènes d‟une variation unitaire de chaque variable exogène, survenue i périodes plus tôt. Définition La matrice des multiplicateurs de longue période des variables endogènes par rapport aux variables exogènes est la somme de la matrice des multiplicateurs d‟impact et des matrices des multiplicateurs décalées d‟ordre i, i variant de 1 à l‟infini, soit :           0 2 1 121 0 )( i i i it t I X Z , en supposant que la matrice (I- 1) est inversible, I étant la matrice identité dont l‟ordre est égale au nombre de variables endogènes. Cette matrice mesure l‟impact à long terme sur les variables endogènes d‟une variation unitaire de chaque variable exogène. Exemple Considérons la version suivante du modèle du multiplicateur-accélérateur, sans terme constant et avec une fonction d‟investissement ayant comme variable explicative la variation courante du revenu :
  47. 47. - 47 - tttt ttt tt GICY YYbI YaC      )( 12 12 On suppose que a2=0,5 et b2=2 Ecriture matricielle du modèle : t t t t t t t G Y I C Y I C                                                          1 0 0 000 200 5,000 111 210 001 1 1 1 , soit ttt BXZAZA  110 avec : A0=             111 210 001 A1=            000 200 5,000 B=           1 0 0 Le déterminant de A0 est égal à -1, donc A0 est inversible et son inverse est égal à :             111 212 001 1 0A La forme réduite du modèle s‟écrit : ttt XZZ 211   , avec :                                    5,100 100 5,000 000 200 5,000 111 212 001 1 1 01 AA                                    1 2 0 1 0 0 111 212 001 1 02 BA : c‟est le vecteur des multiplicateurs d‟impact. Calculons les multiplicateurs décalés d‟ordre 1 et 2.
  48. 48. - 48 - Multiplicateurs décalés d‟ordre 1 1 2=                                     5,1 1 5,0 1 2 0 5,100 100 5,000 Multiplicateurs décalés d‟ordre 2 :                                                                        25,2 5,1 75,0 5,1 1 5,0 5,100 100 5,000 1 2 0 5,100 100 5,000 5,100 100 5,000 2 2 1 Multiplicateurs de long terme : 2 1 1 )(   I               5,000 110 5,001 1I ;                              200 210 101 100 15,00 5,005,0 5,0 1 )( 1 1I Donc :                                       2 0 1 1 2 0 200 210 101 )( 2 1 1I Remarque : les formules matricielles de calcul des différents types de multiplicateurs données ci-dessus ne sont évidemment valables que pour les modèles linéaires et ne sont concrètement utilisables que pour les modèles de petite taille. Lorsque le modèle est de grande taille et/ou non linéaire, les multiplicateurs décalés ou dynamiques doivent être calculés par simulation. On fait varier chaque variable exogène d‟une unité en maintenant inchangées les
  49. 49. - 49 - autres variables exogènes, et on résout le modèle. La comparaison de ces nouvelles solutions aux solutions de référence (i.e. avant modification) permet de calculer les multiplicateurs de tous ordres. Notons que pour les modèles non linéaires, les multiplicateurs dynamiques dépendent aussi des valeurs initiales des variables endogènes pour la période de simulation. I.3. Analyse du comportement dynamique des modèles Les modèles à équations simultanées sont censés décrire les interactions dynamiques entre les différentes variables représentatives de l‟activité économique. Il est donc primordial de connaître le comportement dynamique de ces modèles, et d‟étudier leur stabilité, pour apprécier leur adéquation à la réalité et leur pertinence. L‟étude de la dynamique ou de la stabilité des modèles repose sur la résolution d‟équations aux différences (ou de récurrence), vérifiées par les variables endogènes du modèle. La résolution de ces équations permet d‟établir les conditions de stabilité ou d‟instabilité des solutions des modèles dynamiques à équations simultanées. La détermination de ces conditions sera effectuée à l‟aide du modèle classique du multiplicateur-accélérateur (Samuelson) donné à la page 2. Ce modèle linéaire se ramène à une équation de récurrence par substitution de la consommation et de l‟investissement dans l‟identité comptable. Cette équation, appelée équation dynamique fondamentale, s‟écrit : tttt GbaYbYbaY   )()( 1122122 Il s‟agit d‟une équation de récurrence d‟ordre 2. L‟étude de la dynamique du modèle se ramène à la résolution de l‟équation homogène associée à l‟équation précédente, qui s‟écrit : 0)( 22122   ttt YbYbaY
  50. 50. - 50 - La résolution de cette équation se fait, rappelons le, en supposant qu‟une solution particulière générale s‟écrit sous la forme t t AY  .En reportant cette solution dans l‟équation homogène, on obtient l‟équation caractéristique du modèle : 0)( 222 2  bba  Les solutions de l‟équation caractéristiques, appelées racines caractéristiques, déterminent les propriétés dynamiques du modèle. Ces solutions s‟écrivent : 2 )( 22 1   ba  et 2 )( 22 2   ba  , avec 2 2 22 4)( bba  Les solutions de l‟équation homogène sont donc t t AY 11 et t AY 222  , où A1 et A2 sont des constantes qui dépendent des valeurs initiales de Yt. Il en résulte que la solution générale de l‟équation homogène est la somme de ces deux solutions particulières : tt t AAY 2211   . La stabilité ou la dynamique du modèle repose sur la valeur des racines 1 et2 de l‟équation caractéristique. Les différents cas suivants sont à envisager : 1. Les racines caractéristiques sont réelles, c'est-à-dire >0 ( 222 2 bba  ) : Dans ce cas soit les solutions Yt évolueront de manière stable et non oscillatoire , si les deux racines caractéristiques sont inférieures à 1 en valeur absolue, et a2 et b2 sont alors compris entre 0 et 1, soit ces solutions suivront une trajectoire explosive et non oscillatoire si l‟une au moins des racines caractéristiques est supérieure en valeur absolue à 1 , et dans ce cas, a2 appartient à [0, 1] et b2 appartient à [1,4] (représenter graphiquement la courbe d‟équation 222 2 bba  ).
  51. 51. - 51 - 2. Les racines caractéristiques sont complexes, c'est-à-dire<0, soit 222 2 bba  Dans ce cas, soit la trajectoire des solutions sera stable et oscillatoire (sinusoïdale) si les coefficients a2 et b2 sont compris entre 0 et 1, soit cette trajectoire explosive et oscillatoire si a2 appartient à [0, 1] et b2 appartient à [1, 4]. 3. L‟équation caractéristique a une racine réelle double, c'est-à-dire =0, soit 222 2 bba  Cette racine double est égale à 2 22 1 2 b ba    . Les deux solutions de l‟équation de récurrence homogène sont donc t A 11 et t tA 12  , et leur somme est la solution générale de cette équation. La trajectoire des solutions de l‟équation générale sera instable (explosive) si 11  , c'est-à-dire si b2>1. Elle sera convergente et stable au bout d‟une période de temps plus ou moins longue dans le cas contraire. Notons que cette résolution analytique de l‟équation de récurrence qui décrit la trajectoire des solutions d‟un modèle dynamique n‟est possible que si le décalage maximum des variables endogènes du modèle est inférieur à 3. Lorsque l‟ordre de l‟équation de récurrence est élevé, sa résolution doit se faire numériquement, ce qui se fait aisément à l‟aide de la plupart des logiciels économétriques disponibles actuellement. Exemple d‟étude de la stabilité d‟un modèle Reprenons le modèle du multiplicateur-accélérateur étudié plus haut. Supposons que a2=0,6 et b2=0,1. Alors, 1=0,35+0,15=0,5 et2=0,35-0,15=0,20.
  52. 52. - 52 - Modélisation, A.Dovoédo Donc les deux racines caractéristiques sont inférieures à 1, et la trajectoire des solutions est stable et non oscillatoire (non cyclique). Supposons maintenant que a2=0,6 et b2=0,8. Alors =1,96-3,2=-1,24<0. Les racines caractéristiques sont donc complexes et s‟écrivent : 1=0,7+0,56i et 2=0,7-0,56i Par ailleurs le module de ces racines est inférieur à 1. Les solutions du modèle suivent donc dans ce cas une trajectoire amortie et cyclique, c'est-à-dire stable. I.4. Simulation stochastique La simulation historique ou les prévisions formulées à l‟aide d‟un modèle sont des solutions déterministes de ce modèle, c'est-à-dire des solutions obtenues en annulant le vecteur des résidus du modèle. Si le modèle est dynamique d‟ordre p, on peut l‟écrire de la façon suivante : F(Zt,…,Zt-p, Xt, a)=ut , où F est un vecteur de fonctions représentant la partie déterministe des équations, Zt, …, Zt-p, désignant les vecteurs des variables endogènes courantes et décalées, Xt désignant le vecteur des variables exogènes, a étant un vecteur regroupant l‟ensemble des coefficients du modèle, et ut étant le vecteur des perturbations aléatoires associées aux équations stochastiques du modèle. Une fois le vecteur a estimé par â à l‟aide de toute méthode appropriée, on peut calculer le vecteur des résidus ût en soustrayant tZ et son estimation, obtenue en supposant dans un premier temps que ût est nul, c'est-à-dire en résolvant le système : F(Zt,…,Zt-p, Xt, â)=0
  53. 53. - 53 - Modélisation, A.Dovoédo Les solutions ainsi obtenues sont dites déterministes. Elles sont entachées d‟erreurs, en raison du caractère imparfait de l‟estimation â de a, et de l‟hypothèse de nullité retenue pour les résidus d‟estimation. Il importe donc de pouvoir estimer l‟incertitude relative aux solutions déterministes du modèle, c'est-à-dire leur précision. Cette précision est estimée à l‟aide des techniques de simulation stochastique. Il s‟agit d‟évaluer l‟écart-type des erreurs des solutions déterministes du modèle en tirant des pseudo-échantillons d‟erreurs permettant de calculer des échantillons de solutions non déterministes sur une période donnée. Ces solutions non déterministes (ût non nul) sont utilisées pour construire une série d‟erreurs de simulation dont l‟écart-type représente la précision des solutions déterministes du modèle. Le tirage aléatoire des pseudo-échantillons d‟erreurs se fait en supposant que le vecteur ût des résidus d‟estimations suit une loi normale multidimensionnelle de moyenne le vecteur nul et de matrice de variance- méthode d‟estimation. Les logiciels économétriques actuellement disponibles sont d‟un grand secours pour ce genre de tirages. Mais la mise en oeuvre des techniques de simulation stochastique reste encore une tâche ardue. Le lecteur intéressé peut se reporter par exemple à Ray C. Fair (1984). II. Méthodes d‟évaluation des prévisions macroéconométriques L‟évaluation de la qualité des prévisions d‟un modèle macroéconométrique est une autre façon d‟apprécier la pertinence des spécifications retenues pour les équations du modèle. Les prévisions d‟un modèle peuvent être évaluées de façon ponctuelle ex post, en déterminant les causes probables de la bonne ou de la mauvaise qualité de ces prévisions. Cette analyse explicative a posteriori des causes des erreurs ponctuelles de prévision est cependant insuffisante, et doit
  54. 54. - 54 - être complétée par une analyse statistique des séries d‟erreurs de prévision enregistrées sur une période de temps suffisamment longue. Deux approches sont couramment utilisées pour analyser statistiquement les séries de prévisions et d‟erreurs de prévision d‟un modèle macroéconométrique : le calcul sur différentes périodes de statistiques d‟erreurs, et le test de l‟efficacité prévisionnelle du modèle. II.1. Mesures synthétiques de la qualité prévisionnelle des modèles : les statistiques d‟erreur prévisionnelle. Soit yt, t=1 à n, la série des observations d‟une variable pour les dates comprises entre t=1 et t=n, et y*t, la série des prévisions de la même variable effectuées à l‟aide du modèle en t-l (prévisions à l‟horizon l). La série des erreurs de prévision à l‟horizon l est égale à : et=yt-y*t, t=1,…, n. La qualité des prévisions peut être appréciée visuellement en représentant graphiquement les deux séries (yt) et (y*t) (courbes des observations et des prévisions de la variable). Si les prévisions sont de bonne qualité, les deux courbes sont pratiquement confondues. Dans le cas contraire, elles sont nettement distinctes, voir divergentes. Cette appréciation graphique doit être vérifiée et complétée par le calcul de quelques statistiques d‟erreur qui résument la qualité des prévisions analysées. Les statistiques les plus utilisées sont : L‟erreur quadratique moyenne MSE ou sa racine carrée RMSE   n t te n MSE 1 21 ; 2 1 1 2 ) 1 (   n t te n RMSE Cette statistique d‟erreur est considérée comme la meilleure statistique d‟erreur parce qu‟elle est mathématiquement analogue à une fonction de risque
  55. 55. - 55 - quadratique, préférée dans la plupart des problèmes de décision formalisée, et utilisée notamment en estimation statistique (critère des moindres carrés). L‟erreur quadratique moyenne en pourcentage ou sa racine carrée    n t t tt y yy n MSE 1 2 * * )( 1 % et %MSE L‟erreur moyenne   n t te n EM 1 1 Le test de sa nullité correspond au test d‟absence de biais prévisionnel systématique. L‟erreur absolue moyenne   n t te n EAM 1 1 L‟erreur absolue moyenne en pourcentage    n t t tt y yy n EAM 1 * * 1 % Ces statistiques, purement descriptives, sont utiles pour comparer la qualité prévisionnelle du modèle pour différentes périodes, ou pour comparer les performances de différents modèles. II.2. Test de l‟efficacité prévisionnelle d‟un modèle Ce test, proposé par H. Theil, est une autre approche utilisée pour apprécier la qualité prévisionnelle d‟un modèle. Il consiste à vérifier si la droite d‟ajustement
  56. 56. - 56 - Modélisation, A.Dovoédo de la série (At) des observations d‟une variable, à la série (Pt) des prévisions de cette variable, se confond avec la droite de prévision parfaite, At=Pt. Il suffit donc d‟estimer la droite d‟équation At=a+bPt, et de tester l‟hypothèse (a=0 et b=1). Le non rejet de cette hypothèse par un test usuel de Fisher signifie, d‟après la terminologie de H. Theil, que les prévisions du modèle sont efficaces. La validité de ce test repose évidemment sur la stationnarité des séries (Pt) et (At), ou à défaut, sur leur cointégration. En plus de ces résumés statistiques et des tests d‟absence de biais et d‟efficacité prévisionnelle, les prévisions d‟un modèle sont appréciées en comparaison avec celles d‟autres modèles disponibles ou faciles à construire (modèles d‟extrapolations naïves ou sophistiquées comme les modèles de Box et Jenkins).
  57. 57. - 57 - Modélisation, A.Dovoédo Eléments de Bibliographie 1. Artus P., Deleau M., et P. Malgrange : Modélisation macroéconomique, Economica, 1986. 2. Daloz J.-P. et C. Goux : Macroéconomie appliquée : du simple au complexe, Cujas, 1985. 3. Fair, R.: Specification, Estimation and Analysis of Macroeconometric Models, Harvard University Press, 1984. 4. Klein, L.: Lectures in Econometrics, North Holland, 1983. 5. Pyndick R. S. and D. L. Rubinfeld : Econometric Models and Economic Forecasts, Mc Graw Hill. 6. Wallis K. F.: “Large Scale Macroeconometric Modeling”, in Handbook of Applied Econometrics, Vol.1, Pesaran M. H. and M. R. Wickens, ed., Blackwell, 1999.
  58. 58. - 58 - Modélisation, A.Dovoédo Exercices Exercice 1 : Dans un modèle relatif à l’économie américaine (celui de Ray C. Fair), l’équation de la production nationale repose sur les 3 hypothèses suivantes : Hypothèse 1 : )log()log( * tt XV  (log=logarithme népérien). Hypothèse 2 : ))log()(log()log()log( 1 **  tttt VVXY  Hypothèse 3 : ttttt YYYY    ))log()(log()log()log( 1 * 1 Avec : Vt=niveau des stocks des entreprises à la fin de la période t. Xt=niveau des ventes des entreprises pour la période t. Yt=production des entreprises à la période t. * tV et * tY désignent les niveaux désirés ou anticipés de Vt et Yt, et t est un terme d’erreur aléatoire. Les lettres ,  et  sont des coefficients. 1. Donner la signification de chacune des trois hypothèses, en précisant la signification de  et  2. Déterminer l’expression de log(Yt) qui résulte de ces hypothèses. 3. Calculer les élasticités de court et de long terme de la production par rapport aux ventes, sachant que les estimations des coefficients de l’équation de production sont : 683,01   , 243,0 , 88,0)1(  . Exercice 2 : On propose la spécification suivante pour la demande agrégée de travail des entreprises au niveau national :
  59. 59. - 59 - ttttt uLKXL   )log()log()log()log( 131210  Avec : Xt=PNB réel de l’année t ; Kt-1=stock réel de capital à la fin de l’année t-1 ; Lt=demande agrégée de travail à l’année t ; ut=terme d’erreur aléatoire ; les lettres grecques indicées i sont des coefficients ; log=logarithme népérien. 1. Commenter cette équation. 2. Montrer qu’elle résulte de la renormalisation et de la dynamisation d’une fonction de production agrégée de type Cobb-Douglas. Exercice 3 : On donne le modèle suivant, décrivant une économie fictive fermée : tt YC 9,0 tttt YYYI 2,0)(5,0 21   tttt GICY  Avec : Ct=consommation en t ; Yt=revenu en t ; It=investissement en t ; Gt=dépenses publiques en t (exogènes). 1. Commenter succinctement ce modèle. 2. Ecrire le modèle sous la forme matricielle suivante : tttt BXZAZAZA   22110 Avec:            t t t t Y I C Z , et Ai, i=0, 1,2 et B désignant les matrices des coefficients. 3. Déterminer la forme réduite du modèle. 4. Calculer les multiplicateurs d’impact, les multiplicateurs décalés d’ordre un, et les multiplicateurs de long terme des variables endogènes par rapport à la variable exogène. Commenter les résultats obtenus. 5. Etudier la stabilité du modèle.

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