REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
UNIVERSITE DIJILLALI LIABES DE SIDI ...
Remerciements

Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein du laboratoire de
Modélisation des Composants et ...
Je remercie aussi vivement à Monsieur M.Azzedine, Chargé de cours au centre
universitaire de Mostaganem d’avoir accepter d...
DEDICACES

Je dédie ce modeste travail à :
Mes très chers parents
Mon frère et Mes sœurs
Ma belle famille
Ainsi qu’à tous ...
SOMMAIRE
Introduction ……………………………………………………………………1
CHAPITRE I
Les méthodes Multigrilles linéaires
I-Introduction……………………………...
2)-Deuxième étape………………………………………………………34
2)-1-Calcul des matrices U et F…………………………………………34
2)-1-1-La matrice Jacobienne………...
Conclusion générale ………………………………………………………...82
Annexes ………………………………………………………………………85
Références bibliographiques…………………………...
Introduction
Introduction.

Le logiciel de simulation numérique SIM-3D des composants à semiconducteurs a
été développé au laboratoire ...
Introduction.

Au Chapitre deux, nous décrivons les principales étapes de calcul caractérisant la
version initiale du logi...
Chapitre I
Les méthodes Multigilles
linéaires
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

I-Introduction :
Les méthodes Multigrilles jouent un rôle important dan...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

II-2-Systèmes discrets:
Pour des problèmes discrets nous emploierons la...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

II-3- Terminologie d’étoiles de différences [1]:
Pour

la

définition

...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

· Exemple :
Prenons comme exemple le cas simple de l’équation de Poisso...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

Gh =

{XÎR :X = jh, j =( j1, j2, j3,..., jd ),h=(h1,h2,h3,...,hd ),
d

...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

ja =0,1,2,3,...,na,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d
na

}

(I-12)

Dans le cas de...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

2h-fonctions grille en h-fonctions grille. Pour la description de tels ...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

Exemples :

J2

Gh

J2

G2h

4

2

I

3

2h
h

2
1
1

h
I 2h

J1

J1

0...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

Où G (Wh ) dénote espace linéaire de fonction de grilles sur Wh . Nous
...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

ˆh
Où : Bh = L-1 et I h est dénoté matrice d’identité sur G (Wh ) .

No...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

1. Calcul du défaut :

dhj

=

2. Restriction du défaut (fin – à – brut...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

méthodes itératives procèdent par affinages successifs d’une approximat...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

La correction trouvée ainsi est transférée à la grille plus fine au moy...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

U hj

d hj = f h - LhU hj

U hj

ˆ
Vh j

n 1relax
I hH

U hj +1

ˆ
U hj...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

Pour une description formelle des méthodes Multigrilles, nous utilisons...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

· Si l >1 :
1. Prè – lissage :

· Calcul U l j par l’application u

1

...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

V-Organigramme d’un pas d’itération Multigrille [1]:

Approximation

Vl...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

Niveau 3
P3

R3

P2

R2

R1

Niveau 2

Niveau 1

P1
Niveau 0

Résolutio...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

VI- Convergence, coût de calcul, occupation mémoire :
VI-1 Théorie de c...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

VI-2 Coût en calculs [1]:

De la définition récursive d’un cycle Multig...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

Wl ~ 3/4 C N l pour γ=1 (V-cycle).
Wl ~ 2 C N l pour γ=2 (W-cycle).
Wl ...
Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

VII-Conclusion :
Le principe de la méthode Multigrille est d’estimer un...
Chapitre II
Présentation de la version
actuelle du logiciel
SIM-3D
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

I-Introduction :
Ce chapitre contient la description...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

Entrée des dimensions
géométriques
de la structure

...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

Entrées des dimensions du domaine à
discrétiser, les...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

y
o

D

C

x

B

A
z

υ

P+

H

G

E
F
Fig.(II-3) : ...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

et Pour le plan BDFG:
ψijl = log nc.Na
ni2
2
Pijl = ...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

voué à déterminer la valeur d’un seul type d’inconnu...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

Initialisation des valeurs y ,N,P

Résolution en dy ...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

II-2-2-Algotithme De Newton :
II-2-2-1-Introduction ...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

dfi(x)
x =x
j =1 dx j
n

fi( x *)= fi( x (k) +( x *-...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

Dans ce système d’équations linéaires, toutes les qu...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

r r r
U.d =-F

(II-11)

Où :

r
U : La matrice Jacob...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

2-1-1-La matrice Jacobienne :
2-1-1-1-Origine Septad...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

NX, NY et NZ représente respectivement le nombre de ...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

Le tableau suivant nous permet de repérer un élément...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

1)-si : k<dim-1
2)-si : k-1>=0
3)-si : k<dim- nx
4)-...
Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

III-Conclusion :
L’algorithme le mieux adapté à la r...
Chapitre III
Implémentation de
l’algorithme Multigrille
au logiciel SIM-3D
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

I-Introduction :
Les calculs numériques étan...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

Il s’avère être commode de considérer une gr...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

.

II-2- L’opérateur de restriction R(i) :

...
Chapitre III

Implémentation de

U(lmax).δ(lmax) = -F(lmax);

d(lmax-1) = R(lmax-1)( d(lmax)) ;
d(lmax) =- F(lmax) - U(lma...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

IV-Description de l’algorithme Multigrille d...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

Si δ0(i) :est la conjecture initiale.
Cette ...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

V-Organigramme Newton –Multigrille :
Initial...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

A

l = l +1

Interpolation de l’erreur :
V( ...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

V-Description des opérateurs de restriction ...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

Les figures suivantes montrent la représenta...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

U(A6)

U(A5)

x
U0
z
U(A7)

U(A8)

Les nœuds...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

VI-2-Interpolation linéaire :
Après que la c...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

· Quand un nœud de Gh est entouré par quatre...
Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

VII-Conclusion :
Nous avons mis au point une...
Chapitre IV
Résultats
et
interprétations
Chapitre IV

Résultats et interprétations.

I-Introduction :
Les résultats de simulation que nous présentons dans ce chapi...
Chapitre IV

Résultats et interprétations.

concentrations en porteurs libres et distributions de potentiels. Ces résultat...
Chapitre IV

Résultats et interprétations.

Paramètres physiques :

Paramètres géométriques :

KT=26.10-3 ev.
Nc =4.43.101...
Chapitre IV

Résultats et interprétations.

III-1-Simulation avec un maillage (17x17x17 points) :
Le tableau ci-dessous se...
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Résultats et interprétations.

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psi (kT/q)

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2
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Fig...
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Résultats et interprétations.

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p(cm-3)

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Résultats et interprétations.

III-2-Simulation avec un maillage (33x33x33 points) :
Le nombre d’itérations e...
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Résultats et interprétations.

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III-3-Simulation avec un maillage (65x65x65 points) :
Les résultats suivants s...
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Résultats et interprétations.

IV- Comparaison des résultats et interprétation :
Lors des simulations que nou...
Chapitre IV

Résultats et interprétations.

SOR qui devient dans ce cas complètement inefficace, comme le montrent les fig...
Chapitre IV

Résultats et interprétations.

La comparaison des résultats numériques du tableau (IV-5) montre que la méthod...
Conclusion générale
Conclusion générale.

Dans ce travail nous avons réalisé une nouvelle version du logiciel SIM-3D
permettant l’intégration ...
Conclusion générale.

sens direct et à base de GaAs. Trois types de maillage différent à pas constant sont
appliqués.

Les...
Conclusion générale.

· En troisième lieu, et pour s’assurer encore plus de l’intérêt de la méthode
Multigrille sur une di...
Annexes
Annexe A

Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération.

Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération ...
Annexe B

La stru cture étudiée(Diode PIN).

1). LA DIODE PIN
Une diode PIN[28]est réalisée en empilant une couche P+ très...
Annexe B

La stru cture étudiée(Diode PIN).

Nt > N A
q

Un centre recombinant efficace Er situé au milieu de la bande int...
Annexe C

Le modèle physique.

I)-Equations de base des semi-conducteurs :
I-1)-Equations électrostatiques :
L’équation de...
Annexe C

Le modèle physique.

I-2)-Equations de continuité :
Les équations de continuité [31] expriment la conservation d...
Magister kharroubi larbi
Magister kharroubi larbi
Magister kharroubi larbi
Magister kharroubi larbi
Magister kharroubi larbi
Magister kharroubi larbi
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simulation numérique 3D des jonction PIN
méthode SOR méthode multigrilles
résolution 3D des équations des continuités des électrons et trous
résolution 3D de l'équation de poisson
Algorithme de Gummel
Algorithme de Newton
Microeletrinique

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  1. 1. REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR UNIVERSITE DIJILLALI LIABES DE SIDI BEL ABBES FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR DEPARTEMENT DE L’ELECTRONIQUE Présenté à l’université de Sidi Bel Abbès Pour l’obtention du diplôme de Option : microélectronique Présenté par KHARROUBI Larbi Implémentation d’une méthode Multigrille rapide dans le logiciel de simulation numérique des composants à semi-conducteurs Soutenu le : 14 Octobre 2004 Mr H. Abid : Professeur à l’université de Sidi Bel Abbès Devant le jury : Président Mme R. Brahimi : Professeur à l’université de Sidi Bel Abbès Rapporteur Mr M. Amrani : Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès Examinateur Mr Z. Bensaad : Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès Examinateur MmeY.Bourezigu: Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès Examinatrice Mr M.Azzedine: Chargé de cours au centre universitaire de Mostaganem Examinateur Année Universitaire 2003/2004
  2. 2. Remerciements Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein du laboratoire de Modélisation des Composants et de Conception des Circuits (LMCCC) sous la direction de Madame R.Brahimi, docteur de l’école centrale de Lyon et professeur à l’université de Sidi Bel Abbès. Je tiens à exprimer ma gratitude et mes profonds remerciements à Monsieur H.Abid, professeur à l’université de Sidi Bel Abbès, d’avoir accepter de présider ce jury, j’espère que ce travail sera à la hauteur de sa confiance. Je remercie chaleureusement Madame R.Brahimi, qui a su m’accorder toute sa confiance, je ne manquerais pas de saisir cette opportunité pour lui exprimer mes sincères reconnaissances et profonde gratitude pour l’aide déterminante qu’elle m’a apportée tout au long de ce travail. Ses conseils précieux et ses encouragements m’ont été bénéfiques pour mener à terme ce travail. J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur M.Amrani, Maître de conférences à l’université de Sidi Sel Abbès d’avoir accepter d’être membre de jury. Mes remerciements les plus sincères s’adressent à Monsieur Z.Bensaad, Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès d’avoir accepter de juger ce modeste travail. Mes vifs remerciements s’adressent également à Madame Y.Bourezigu.Smahi Maître de conférences membre de jury. à l’université de Sidi Bel Abbès d’avoir accepter d’être
  3. 3. Je remercie aussi vivement à Monsieur M.Azzedine, Chargé de cours au centre universitaire de Mostaganem d’avoir accepter d’examiner ce travail et participer au jury. Je remercie également tous les membres du laboratoire LMCCC qui m’ont apporté une aide spontanée pendant le travail de recherche. Que mes amis et mes collèges trouvent l’expression de mes remerciements pour l’aide et l’amitié qu’ils m’ont apportées. Comme je salue très respectueusement toute personne qui a contribuée de près ou de loin à faire avancer ce travail.
  4. 4. DEDICACES Je dédie ce modeste travail à : Mes très chers parents Mon frère et Mes sœurs Ma belle famille Ainsi qu’à tous mes amis Merci à tous et à toutes K.Larbi
  5. 5. SOMMAIRE Introduction ……………………………………………………………………1 CHAPITRE I Les méthodes Multigrilles linéaires I-Introduction……………………………………………………………………..3 II-Principe des méthodes Multigrilles linéaires…………………………………..3 II-1-Systèmes continus linéaires………………………………………………3 II-2- Systèmes discrets………………………………………………………...4 II-3-Terminologie d’étoile de différence……………………………………...5 II-4-Operateurs d’interpolation et de restriction………………………………6 III-L’idée Miltigrille, composants Multigrille…………………………………..10 III-1-Process de correction d’une grille grossière……………………………11 III-2-Méthodes de relaxation………………………………………………...13 III-3-Structure de deux grilles (h-H)…………………………………………14 IV-Cycle complet de la Multigrille……………………………………………...16 V-Organigramme d’un pas d’itération Multigrille………………………………19 VI-Convergence, coût en calcul, occupation mémoire………………………….21 VI-1-Crirètres de convergence……………………………………………….21 VI-2-Coût en calcul…………………………………………………………..22 VI-3-Occupation mémoire…………………………………………………...23 VII-Conclusion…………………………………………………………………..24 CHAPITRE II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D I-Introduction …………………………………………………………………...25 II- Description de programme (SIM-3D) ……………………………………….25 II-1-Première partie ………………………………………………………….25 II-1-1-Entrée de données ………………………………………………..25 II-1-2-Maillage ………………………………………………………….26 II-1-3-Conditions aux limites …………………………………………...27 II-1-3-a-Conditions de Dirichlet………………………………….28 II-1-3-b-Conditions de Neumann…………………………………29 II-2-Deuxième partie : Résolution numérique……………………………….29 II-2-1-Algorithme de Gummel ………………………………………….29 II-2-1- Algorithme de Newton…………………………………………..32 II-2-1-1-Introduction……………………………………………...32 II-2-1-2-Principe de la méthode Newton Raphson……………….32 1)-Première étape ……………………………………………………….34
  6. 6. 2)-Deuxième étape………………………………………………………34 2)-1-Calcul des matrices U et F…………………………………………34 2)-1-1-La matrice Jacobienne…………………………………………...36 2)-1-1-1-Origine septadiagonale de la Jacobienne………………………36 2)-1-1-2-Méthode de stockage des éléments de la matrice Jacobienne…37 2)-1-2-Le vecteur F………………………………………………….…..39 2)-1-3-Résolution du système U d =-F ………………………………….39 III- Conclusion…………………………………………………………………..40 CHAPITRE III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D I-Introduction……………………………………………………………………41 II-Position du problème…………………………………………………………41 II-1-L’opérateur de lissage…………………………………………………...42 II-2-L’opérateur de restriction R(i)…………………………………………...43 II-3-L’opérateur d’interpolation In(i-1)………………………………………43 III- Algorithme Multigrille V-cycle……………………………………………..43 IV- Description de l’algorithme Multigrille dans le programme SIM-3D………45 V- Organigramme Newton-Multigrille…………………………………………47 VI- Description des opérateurs de restriction et d’interpolation………………...49 VI-1-Opérateur de restriction FW…………………………………………..49 VI-2-Interpolation linéaire………………………………………………….52 VII-Conclusion…………………………………………………………………..54 CHAPITRE IV Résultats et interprétation I-introduction……………………………………………………………………55 II-Structure de test……………………………………………………………….55 II-1-Schéma de la structure…………………………………………………...55 II-2-Choix de maillage………………………………………………………..56 II-3-Paramètres de simulation………………………………………………...56 III-Résultats de simulation………………………………………………………57 III-1-Simulation avec un maillage large (17x17x17 points)………………….58 III-2-Simulation avec un maillage intermédiaire (33x33x33 points)………...65 III-3-Simulation avec un maillage fin (65x65x65 points)…………………...73 IV-Comparaison des résultats et interprétation………………………………….77 V-Conclusion …………………………………………………………………...81
  7. 7. Conclusion générale ………………………………………………………...82 Annexes ………………………………………………………………………85 Références bibliographiques……………………………………………….99
  8. 8. Introduction
  9. 9. Introduction. Le logiciel de simulation numérique SIM-3D des composants à semiconducteurs a été développé au laboratoire de Modélisation des Composants et Conception de Circuits, et permet l’étude du courant, distribution de potentiel et de porteurs libres dans le volume des composants et dispositifs à semiconducteurs. La version actuelle est dédiée aux structures à base de semiconducteurs à relaxation (modèle de piégeage des porteurs inclus). SIM-3D comprend à l’origine l’algorithme de Gummel et celui de Newton pour la résolution du système couplé d’équations non linéaires aux différentielles partielles relatives au modèle physique. La discrétisation des équations physiques a été réalisée par les différences finies et la méthode de résolution est celle des relaxations successives SOR (Successive Over Relaxation). Les calculs numériques à trois dimensions étant souvent très élevés en terme de temps, l’objectif de notre travail est essentiellement l’implémentation d’une méthode Multigrille linéaire rapide dans le logiciel de simulation numérique des composants à semi-conducteurs à relaxation(SIM-3D).Ceci servira éventuellement à activer les temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de point de discrétisation augmente.Cette méthode basée sur l’utilisation de plusieurs niveaux de grilles et faisant appel à des opérateurs de lissage, réduction et interpolation de l ‘erreur, sera partie intégrante dans l’algorithme de Newton. Ce travail est devisé en quatre chapitres : Dans le premier chapitre, les méthodes Multigrilles linéaires sont présentées théoriquement, en énonçant le principe général de résolution d’un système discrétisé par les méthodes Multigrilles, et nous donnons la représentation des différents opérateurs intervenant dans les méthodes Multigrilles. Nous définirons ensuite différentes expressions caractérisant la convergence de la méthode en calculant les coût en calcul et l’occupation mémoire de la méthode. 1
  10. 10. Introduction. Au Chapitre deux, nous décrivons les principales étapes de calcul caractérisant la version initiale du logiciel SIM-3D. Deux algorithmes numériques déjà implémentés dans SIM-3D sont exposés. Le premier est représentatif de l’algorithme de Gummel, et le deuxième est lié à l’algorithme de Newton. Nous présentons dans le troisième chapitre une version améliorée du logiciel SIM-3D, incluant un algorithme de résolution numérique combinant l’algorithme de Newton à la méthode Multigrille rapide dédiée à l’accélération des temps de convergence. Concernant la méthode Multigrille, la configuration V-cycle a été choisie avec le plein poids(Full-Weighting :FW) comme opérateur de restriction, l’interpolation linéaire comme opérateur de prolongation, et la méthode SOR comme lisseur d’erreur. Dans le quatrième et le dernier chapitre, des tests de mesures des temps CPU seront effectués afin de valider l’implémentation de la méthode Multigrille, et comparer son efficacité par rapport à la méthode SOR déjà implémentée dans l’ancienne version du logiciel SIM-3D, et ceci particulièrement dans des conditions défavorables à la convergence (nombre de points de discrétisation important).Nous présentons les résultats obtenus par simulation d’une structure P+n N+ à base de GaAs polarisée en sens direct, calculées par les deux méthodes Multigrille et SOR, en appliquant trois types de maillage différent à pas constant. Enfin, en conclusion, nous résumons les principaux résultats obtenus et leurs interprétations respectives. 2
  11. 11. Chapitre I Les méthodes Multigilles linéaires
  12. 12. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. I-Introduction : Les méthodes Multigrilles jouent un rôle important dans la solution numérique des processus physiques. Des processus de produit chimique, techniques sont souvent mathématiquement modélisés avec les équations partielles (PDE). Les méthodes Multigrilles sont parmi les plus efficaces algorithmes pour la solution numérique de ce type d’équations et ont été présentées par A.Brandt (1970). Il a montré comment une équation partielle (PDE) discrétisée sur N points de grille pourrait être résolue en un temps de O(N) [5] [7] [10]. Dans ce chapitre nous présentons théoriquement les méthodes Multigrilles linéaires, en énonçant le principe général de résolution d’un système discrétisé par les méthodes Multigrilles, et nous donnons la représentation des différents opérateurs intervenant dans les méthodes Multigrilles. Nous définirons ensuite différentes expressions caractérisant la convergence de la méthode en calculant les coûts en calcul et l’occupation mémoire de la méthode. II- Principe des méthodes Multigrilles linéaires [1][11] : II-1-Systèmes continus linéaires: Les problèmes linéaires de valeur de limite sont représentés par le système suivant [1]: = LWU LGU = f W( X f G( X ) ) XÎ W , (I-1) X Î G = dW , Ici X = ( x1, x2, x3,..., xd ) , et W est un domaine donné avec la limite G , LW est un opérateur linéaire différentiel (elliptique) sur W , W = ( 0, A1 )( 0, A2 )( 0, A3 ).....( 0, Ad ) , LG positions pour un ou plusieurs d’opérateurs . . linéaires de limite sur G . f W signifie une fonction donnée sur W . f G une ou plusieurs fonctions sur G . 3
  13. 13. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. II-2-Systèmes discrets: Pour des problèmes discrets nous emploierons la terminologie de fonction de grille, opérateurs de grille et équation de grille (plutôt que la terminologie de matrice). L’analogue discret de (I-1) est donné par [1]: LGU h h Où h = fhW( X = LWUh h = fhG( X ) X Î Wh , ) (I-2) X Î Gh = dWh , ( hx , hx , hx , ..., hxd ) est un paramètre (formel) de discrétisation. La solution 1 2 3 discrète uh est une fonction de grille définie sur W h U Gh . LW et LG sont opérateurs de grille.( LW est appelée un opérateur de différence , LG un h h h h opérateur discret de limite ) . Pour la simplicité, nous supposerons que les équations de limite sont éliminées de (I-2). Nous écrivons simplement : = LhU h ( Wh ) fh (I-3) Ici U h et f h sont fonctions de grille sur Wh , et Lh est un opérateur linéaire. Lh : G( Wh ) ® G( Wh ) (I-4) Où G( Wh ) signifie l’espace linéaire de fonction de grille sur Wh . Clairement, (I-3) représente un système d’équations algébriques linéaires. Nous le considérons, cependant, comme une équation de grille.Et avec : W = ( 0, A )( 0, A )( 0, A )...( 0, A ) et h = ( h , h . . 1 2 3 d où : hx j = Aj / N j , N jÎ N , ( j =1,2,3,...,d ) 4 x1 x2 , hx3 , ..., hxd )
  14. 14. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. II-3- Terminologie d’étoiles de différences [1]: Pour la définition concrète d’opérateurs discrets LW (sur h des grilles rectangulaires) la terminologie d’étoiles de différence est commode [1]. Une approximation générale de différence pour X Î Gh est de la forme suivante : L .U (X )=åS U (X +K.h) W h h K K K K Î V (I-5) V signifie un certain sous ensemble fini de Z2 (contenant (0,0)).Dans la Où terminologie d’étoile de différence [1] ceci s’écrit comme suit : . . . é ù ê ú ê ú . . . ê ú ê ú . . . ê ú ú . . . S -1,1 S0,1 S1,1 . . . ê ê ú ( X + K.h )= ú . . . S -1,0 S0,0 S1,0 . . . ê.U h(X) hU h ê ú ú . . . S -1,-1 S -1,0 S1,-1 . . . ê ê ú ê ú . . . ê ú ê ú . . . ê ú ê ú . . . ë û (I-6) L .U ( X )=[s ] W h h k et avec : LW = [SK ]h . h Les coefficients SK dépendent, bien sur, de h et éventuellement aussi de x .Les opérateurs discrets LW peuvent être décrits sur un domaine rectangulaire, en utilisant h une discrétisation en différence finie ou élément fini, par une étoile de différence de 5 ou 9 points (voir l’exemple suivant) : é ù s0,1 ê ú ês-1,0 s0,0 s1,0 ú ê ú ê ú s0,-1 ë ûh é s-1,1 s0,1 s1,1 ù ê ú ê s-1,0 s0,0 s1,0 ú ê ú ês ú ë -1,-1 s0,-1 s1,-1 û h , 5 (I-7)
  15. 15. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. · Exemple : Prenons comme exemple le cas simple de l’équation de Poisson avec des conditions de Dirichlet sur le carré d’unité, notamment : LWU = -DU f W( X ) = , ( X Î W = ( 0,1) ) 2 (I-8) LGU = U = f G( X ) ( X Î G) , Si ce problème est discrétisé sur une grille carrée( h ) utilisant l’étoile de différence de 5-point, donc : LW h = -D h = -1 é ù ê ú 1 ê-1 4 -1ú h2 ê ú ê ú -1 ë û (I-9) L’opérateur linéaire Lh utilisé dans(I-3) est alors donné dans cet exemple par l’étoile de différence en (I-9). II-4- Opérateurs d’interpolation et restriction[1][12] : A coté des opérateurs discrets Lh , nous requérons des opérateurs d’interpolation et restriction pour le transfert de fonctions de grille. Dans le contexte Multigrille, nous emploierons une terminologie d’étoile aussi. Nous illustrons cela pour le transfert de grille Gh et la grille correspondant à la taille de maille 2h [1]. · Grilles fines : Le domaine W est celui dans lequel l’équation différentielle partielle doit être résolue. Dans le cas de discrétisation sommets centrés, les points discrets de grille sont localisés aux sommets des cellules comme montré dans la Figure (I-1). La grille est donc définie par[8] [12] : 6
  16. 16. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. Gh = {XÎR :X = jh, j =( j1, j2, j3,..., jd ),h=(h1,h2,h3,...,hd ), d ja =0,1,2,3,...,na ,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d na } (I-10) 3 J2 2 J1 1 1 2 3 1 Fig.(I-1) : Grille à 2D, à sommets centrés. Dans le cas de discrétisation cellules centrées, les points de grille sont définis au centre de chaque cellule comme représenté dans la Figure( I-2 ),et la grille Gh est définie par[8] [12] : Gh = {XÎRd:X =(j-s)h, j=( j1, j2, j3,..., jd ),s=(1,1,1,...,1)/2,h=(h1,h2,h3,...,hd ), ja =1,2,3,...,na,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d na } (I-11) J2 1 J1 0 0 1 Fig.( I-2 ) : Grille à 2D,à cellules centrés. · Grilles brutes[8] [12] : Dans le cas de discrétisation sommet centré, la grille brute est définie par : G2h = {XÎR :X =2jh, j=( j1, j2, j3,..., jd ),h=(h1,h2,h3,...,hd ), d 7
  17. 17. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. ja =0,1,2,3,...,na,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d na } (I-12) Dans le cas de discrétisation cellule centré, G2h est défini par : G2h = {XÎR :X =2(j-s)h, j=( j1, j2, j3,..., jd ),s=(1,1,1,...,1)/2,h=(h1,h2,h3,...,hd ), d ja =1,2,3,...,na,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d na } (I-13) Un opérateur de restriction I h2h trace h-fonctions grille en 2h-fonctions grille : 2 Ih h Gh G2h (Ih2h.Uh)(X )= åtˆk.Uh(X +K.h) , (X ÎG2h ) (I-14) KÎN Les coefficients tˆk peuvent dépendre de h et X, cependant, les tˆk sont constantes, pour (I-14) nous écrivons[1] : . ù ú ú . ú ú . ú ú . . . t-1,1 ˆ ú 2h 2 ˆ I h h =[ˆ ] =ú . . . t-1,0 tk h ú ú ˆ ú . . . t-1,-1 ú . ú ú . ú ú . ú û . . . . . . ˆ t0,1 ˆ t1,1 ˆ t0,0 ˆ t1,0 ˆ ˆ t-1,0 t1,-1 . . . . . . 2h é ê ê ê ê ê . . .ê ê . . .ê ê ê . . .ê ê ê ê ê ê êh ë (I-15) L’opérateur de restriction fréquemment le plus employé est l’opérateur de poids plein (Full Weighting FW) : 2h é1 2 1 ù ê ú 1 ê 2 4 2ú 16 ê ú ê1 2 1 ú h ë û (I-16) Parallèlement, une interpolation (prolongation) cartes d’opérateur 8
  18. 18. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. 2h-fonctions grille en h-fonctions grille. Pour la description de tels opérateurs, nous introduisons la notation suivante : . ù ú ú . ú ú . ú ( ú . . . t-1,1 ú ( h ( h I 2h =] tk [2h =ú . . . t-1,0 ú ( ú . . . t-1,-1 ú ú . ú ú . ú ú . û . . . . . ( t0,1 ( t0,0 ( t-1,0 . ( t1,1 ( t1,0 ( t1,-1 . . . . . . h é ê ê ê ê ê . . .ê ê . . .ê ê . . .ê ê ê ê ê ê ê ë2h (I-17) Et avec : h I 2h G2h Gh La signification de cette terminologie d’étoile est que les valeurs de grille brute ( sont « distribuées » à la grille fine lestées par tk . La méthode d’interpolation la plus fréquemment employée est la bilinéaire de G2h à Gh. L’étoile correspondante est donnée par : h ù1 2 1 é ú ê 1 ú 2 4 2ê 4ú ê ú 1 2 1 ê 2h û ë (I-18) Evidement, cet opérateur d’interpolation correspond au (FW) opérateur de restriction (I-16) : Ces deux opérateurs sont adjoints à chacun autre. 9
  19. 19. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. Exemples : J2 Gh J2 G2h 4 2 I 3 2h h 2 1 1 h I 2h J1 J1 0 0 0 1 2 3 4 0 1 2 Fig.(I-3) :Grilles à 2D, à sommets centrés. Gh J2 G2h J2 4 2 Ih h 2 3 2 J1 1 1 2 3 h I 2h J1 1 4 1 2 Fig.( I-4 ) : Grilles à 2D,à cellules centrés. III –L’idée Multigrille, composants Multigrille [1] [10]: Dans cette section nous décrivons l’idée fondamentale Multigrille. Pour cet objet, nous considérons un système elliptique linéaire discrétisé dont la formulation est donnée par : Lh .U h = fh (Wh ) (I-19) Où Lh est un opérateur linéaire, tel que : Lh : G (Wh ) G (Wh ) 10 (I-20)
  20. 20. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. Où G (Wh ) dénote espace linéaire de fonction de grilles sur Wh . Nous prendrons Wh qui consiste en N= Nh points de grille correspondant aux valeurs des inconnus de grille de U h . III-1-Process de correction d’une grille grossière [1] [5]: Soit U hj une approximation de la solution Uh de (I-19), alors : = Uh Vhj - U hj (I-21) Nous dénotons l’erreur de U hj (aussi vu comme correction de U hj ). Et par : dhj = fh - Lh.U hj (I-22) le défaut (ou le résiduel) de U hj . L’équation de défaut et donc : Lh.Vhj = dhj (I-23) L’équation de défaut et les approximations jouent un rôle essentiel dans la description de l’idée Multigrille. Nous débutons la description par le pointage alors que la plus part des méthode itératives classiques de la solution (I-19) peuvent aussi être interprétées comme approximation de (I-23) : ˆ Si dans (I-23) Lh est remplacé par un « simple » opérateur Lh , donc : ˆ ˆ Lh.Vhj = dhj (I-24) donne une nouvelle approximation : U hj +1 = U hj ˆ + Vhj (I-25) A partir d’un certain U h0 , l’application successive de ce process définie une procédure itérative. Clairement, l’opérateur d’itération de cette méthode est donnée par : Ih G(Wh ) - Bh Lh : G(Wh ) 11 (I-26)
  21. 21. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. ˆh Où : Bh = L-1 et I h est dénoté matrice d’identité sur G (Wh ) . Nous avons ( voir la démonstration en Annexe A ) : Vhj+1 = æ Ih - BhLh ö.Vhj ç ÷ è ø , æ j = 0,1,2,3,...ö ç ÷ è ø (I-27) Pour l’erreur, et : dhj +1 = æ I h ç è - Lh Bh ödhj ÷ ø , æ j = 0,1,2,3,....ö ÷ ç ø è (I-28) Pour le défaut. ˆ Un choix tout à fait différent de Lh , consiste en l’utilisation d’une approximation appropriée LH de Lh sur une grille brute G(WH ) .Donc l’équation (I-24) est remplacée par l’équation suivante : ˆ LHVHj j = dH (I-29) et avec : LH : G(WH ) ® G(WH ) (I-30) j ˆ Comme d H et VHj sont fonctions grille sur la grille brute G(WH ) , nous prenons deux opérateurs de transfert (linéaire) : H Ih : G(Wh ) ® G(WH ) , h I H : G(WH ) ® G(Wh ) (I-31) I hH est utilisé pour limiter d hj à la grille brute G(WH ) : j dH = I hH dhj (I-32) h ˆ et I H pour interpoler la correction VHj à la grille fine G(Wh ) : ˆ Vhj h ˆ = I H.VHj (I-33) Un pas d’itération (calcul U hj +1 de Uhj ) s’effectue comme suit : 12
  22. 22. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. 1. Calcul du défaut : dhj = 2. Restriction du défaut (fin – à – brut) : j dH = I hH dhj . 3. Résolution exactement sur G(WH ) : ˆ LHVHj 4. Interpolation de la correction (brut – à – fin) : ˆ Vhj 5. Calcul de la nouvelle approximation : ˆ U hj +1 = U hj + Vhj fh - LhU hj . j = dH . h ˆ = I HVHj . . Ce process est illustré dans la Figure (I-5), l’itération associée est donnée par : Ih U hj - Bh Lh dhj Avec = fh Bh h = I H L-1I hH H ˆ Vhj - LhU hj I hH j dH (I-34) ˆ U hj +1 = U hj + Vhj h IH ˆ LH VHj = j dH Fig.(I-5) : Structure d’un process correction d’une grille grossière. III-2- Méthodes de relaxation : Les méthodes Multigrilles fournissent une manière efficace dans l’espace et le temps pour la résolution des systèmes d’équations linéaires résultant d’une solution numérique d’un système PDE. Une méthode itérative conventionnelle ou la méthode de relaxation est un des composants principaux d’une méthode Multigrille [10]. Les 13
  23. 23. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. méthodes itératives procèdent par affinages successifs d’une approximation jusqu’à ce que celle-ci devienne assez proche de la solution exacte. Les propriétés de convergence des méthodes de relaxation une fois appliquées aux équations elliptiques discrètes (I-19) sont connues pour être très mauvaises si h = 0(nombre de points de discrétisation important). Pour la convenance, nous présentons la notation : Uh ( = RELAX v U h , Lh , fh ) (I-35) Où le résultat dénote U h des étapes de relaxation υ appliquées à (I-19) et commencent par U h en tant qu’à d’abord approximation. III-3-Structure de deux grilles (h-H)[1][5][6] : L’idée principale de la méthode Multigrille peut être comprise en considérant le cas le plus simple d’une méthode de deux niveaux, c’est à dire un algorithme Multigrille avec seulement deux grilles [5]. L’algorithme de deux niveaux est un processus relativement simple de correction de défaut : D’abord une méthode de relaxation telle que Gauss Seidel est appliquée pour lisser l’erreur. Les relaxations atténuent généralement les composantes d’erreur à haute fréquence bien davantage efficacement que les composants d’erreur de basse fréquence. Ensuite, l’erreur (douce) restante est transférée à la grille plus brute près application de l’opérateur de restriction au résiduel. Ainsi le nombre de points de grille est beaucoup plus faible sur la grille plus brute, le système résultant peut être plus facilement approximé par un processus direct de solution ou encore par application d’une méthode de relaxation. (sur la grille plus brute l’erreur a encore des composants à haute fréquence). 14
  24. 24. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. La correction trouvée ainsi est transférée à la grille plus fine au moyen d’un opérateur de prolongation et supplémentaire à l’approximation existante. On peut encore lisser en conclusion, le résultat par une méthode de relaxation [6]. Les trois étapes successives s’appellent respectivement le pré-lissage, correction de grille brute et post-lissage [1] [6], et sont représentées comme suit: (calcul U hj +1 à partir Uhj ) : 1. Pré - lissage : · Calcul U hj par l’application υ1( ³0 )itérations d’une méthode de relaxation donnée à Uhj : U hj ( = RELAX n1 U hj , Lh , fh ) 2. Correction de la grille brute : · Calcul du défaut : dhj = fh - LhU hj · Restriction du défaut (transfert fin –à – brut) : dHj = I hH dhj · Résoudre exactement sur G(WH ) : ˆ LHVHj = d Hj h ˆ ˆ · Interpoler la correction (transfert brut –à –fin) : Vhj = I HVHj · Calcul de l’approximation corrigée: 3. U hj +1 = U hj ˆ + Vhj Post - lissage : · Calcul Uhj+1 par l’application υ2( ³0 ) itérations d’une méthode de relaxation donnée par : U hj +1 = RELAX n 2 æ U hj ç è Ce processus est illustré dans la Figure (I-6) : 15 ˆ + Vhj , Lh , fh ö ÷ ø
  25. 25. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. U hj d hj = f h - LhU hj U hj ˆ Vh j n 1relax I hH U hj +1 ˆ U hj + Vhj n 2relax h IH ˆ LH VHj = d Hj d Hj Fig.(I-6) : Structure d’une méthode de deux grilles (h-H) L’opérateur d’itération M hH de la méthode de deux grilles (h-H) est donnée par : H M h = Sn 2 .KhH .Sn1 h h Avec H Kh = Ih h H - I H.L-1.I h .Lh H (I-36) IV- Cycle complet de la méthode Multigrille : L’algorithme de deux niveaux peut être employé périodiquement pour rapprocher le système sur la grille plus brute qui donne un algorithme Multigrille (stockage de correction).Au lieu de résoudre l’équation de défaut de grille brute (I-29) exactement, nous pouvons en obtenir une solution approximative en présentant une grille plus brute et en employant l’itération de la méthode de deux gilles[1]. Si le facteur de convergence de la méthode de deux grilles est assez petit, nous aurons besoin seulement de quelques étapes de cette itération pour obtenir une bonne solution rapprochée. Nous dénotons le nombre de telles itérations par g [5] . Evidement nous pouvons appliquer cette idée périodiquement vers le bas jusqu’à la grille la plus brute. Une itération d’une méthode Multigrille, de la grille la plus fine à des grilles plus brutes puis du sens opposé de la grille brute aux grilles fines, s’appelle un cycle. Il dépend de la valeur de g , le nombre d’itérations de deux grilles à chaque étape intermédiaire.Le cas g = 1 est appelé un V-Cycle, alors que g = 2 est appelé un W-Cycle (voir les Fig.(I-8) et Fig.(I-9) ).Ceux-ci sont les cas les plus utilisés en pratique[5]. 16
  26. 26. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. Pour une description formelle des méthodes Multigrilles, nous utilisons l’index l (pour grilles, fonctions de grille et opérateur de grille). Dans la suite pour chaque Wl , nous prendrons les opérations linéaires : Lℓ : G(Wl ) ® G(Wl ) Sℓ : G(Wl ) ® G(Wl ) (I-37) Ill -1 : G(Wl ) ® G(Wl-1) Ill-1 : G(Wl-1) ® G(Wl ) et l’équation discrétisée : Ll .U l = (Wl ) fl (I-38) Où G(Wl ) dénote l’espace de fonctions grille sur Wl . L’opérateur Sl comprend les opérateurs linéaires d’itération correspondant aux méthodes de relaxation données. Le résultat U l de pas u de relaxation (appliqué à Ll .U l = fl avec la première approximation U l ) sera dénoté par : Ul ( = RELAX u U l, Ll, fl ) (I-39) Si une certaine approximation U lj de Ul est déterminée, le calcul de la nouvelle approximation Ulj+1 est donnée comme suite : · Si l = 1, le problème est réduit à celui du paragraphe III-3 avec W1 , W0 au lieu de Wh , WH respectivement. 17
  27. 27. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. · Si l >1 : 1. Prè – lissage : · Calcul U l j par l’application u 1 (³0 ) itérations d’une méthode de relaxation donnée à Ulj : Ul j ( ) dl j = fl - LlUl j . = RELAX u1 Ulj ,Ll , fl . 2. Correction de la grille brute : · Calcul du défaut : · Restriction du défaut : dlj-1 = Ill -1dlj . ˆj · Calcul d’une solution approximative Vl -1 de l’équation de défaut sur G(Wl-1 ) : ˆj Ll -1Vl -1 = dlj-1 . · Interpole la correction : · ˆ Vl j Calcul l’approximation corrigée sur G(Wl ) : (I-40) ˆj = Ill-1Vl -1 . Ulj ˆ + Vl j . 3. Post - lissage: · Calcul U lj +1 par l’application u2 (³ 0) itérations d’une méthode ˆ de relaxation donnée à U l j + Vl j : U lj +1 = RELAX u 2 æ U l j ç è ˆ + Vl j, Ll, fl ö ÷ ø Le même processus est décrit dans l’organigramme suivant, un paramètre de commutation 0 £ C(K ) £ g est introduit. 18
  28. 28. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. V-Organigramme d’un pas d’itération Multigrille [1]: Approximation VlK C(K ) = F , K = F,...,l K = l , Vl = VlK dl = f l ( VK = RELAX u1 VK ,LK ,dK ) C(K ) = C(K ) + 1 dK -1 = rK (dK - LKVK ) Non K = F? VK = F Oui Résolution exacte de LKVK = d K C(K ) = 0 VK +1 = VK +1 + PKVK ( VK = RELAX u2 VK ,LK ,dK ) Oui Non C(K ) = 0 C (K ) = g K =l? Oui Non Approximation VlK +1 = Vl Fig.(I-7) Organigramme d’un pas d’itération Multigrille pour la résolution de LlVl = fl , (l ³ 1) 19
  29. 29. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. Niveau 3 P3 R3 P2 R2 R1 Niveau 2 Niveau 1 P1 Niveau 0 Résolution exacte. Grilles intermédiaires. Fig.(I-8) Schéma représentatif de V- cycle pour g = 1 , l = 3 Niveau3 R3 P3 R2 P2 R1 P1 Niveau2 Niveau1 Niveau0 Résolutions exactes. Grilles intermédiaires. Fig.(I-9) Schéma représentatif de W- cycle pour g = 2 , l = 3 20
  30. 30. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. VI- Convergence, coût de calcul, occupation mémoire : VI-1 Théorie de convergence [1][2][4] : La théorie de convergence de la méthode Multigrille classique donnée par Hackbusch [1][3] [4] est basée sur la matrice d'itération M l . Soit M l matrice d’itération d’un cycle Multigrille complet de résolution de Ll.U l = fl avec g ,n 1 et n 2 donnés. M l est donné par la relation récursive suivante : n 1 M1 = S1 2 (I1 - I0 L-1I10 L1 )S1 1 . n 0 n M ll -1 = Sl 2 (Il - Ill-1L-11Ill -1Ll )Sl 1 . n l- , pour : 1£k£l-1 (I-41) Pour une méthode de deux grilles, la norme de la matrice d’itération est définie comme suit (on suppose que n 2 =0, n 1 = n ): l l l n M l -1 £ Ll -Il -1L-11Il -1 . Ll.Sl l- (I-42) La méthode de deux grilles converge quand les conditions suivantes sont vérifies : n Ll Sl £ CS.h( ) h-a , h(n ) ® 0 et comme n ® ¥ , n. (I-43) Ll - I l -1 -1 l l l -1 l -1 L I £ CL .ha . Et donc : l M l -1 £ CL.CS.h( ) . n (I-44) Les constantes CL , CS et la fonction h(n ) sont indépendants de hk . Le paramètre a représente l’ordre de l’équation différentielle à résoudre. La méthode Multigrille obéit aux mêmes propriétés de convergence que pour le cas de deux grilles. 21
  31. 31. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. VI-2 Coût en calculs [1]: De la définition récursive d’un cycle Multigrille comme donnée dans le paragraphe IV, il découle immédiatement que le coût en calculs Wl par cycle Multigrille, est récursivement donné par : W1 = W01 + W0 (I-45) Wk +1 = Wkk+1 + g kWk , pour : (k=1,2,3,… l ) Et avec : · Wkk+1 dénote le coût en calculs de la méthode de deux grilles (hk+1,hk), sans compter le coût de résolution de l’équation de défaut sur Wk , · W0 dénote le coût nécessaire pour calculer la solution exacte sur la grille grossière W0 . Si g est indépendant de k, on obtient de (I-45), le coût en calculs d’un cycle Multigrille : Wl = l åg l-k .Wkk -1 + g l -1.W0 (l ³ 1) (I-46) k =1 Où: Wkk -1 £ c.Nk (I-47) Nk -1 £ 1 .Nk CH ( k =1,2,3,...) Et CH = 4 , pour H = 2h. N k représente le nombre de points de la grille W k au niveau k. A base ces hypothèses, on obtient immédiatement à partir de (I-46) l'évaluation suivante pour tout le coût en calculs Wl d'un cycle Multigrille complet : 22
  32. 32. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. Wl ~ 3/4 C N l pour γ=1 (V-cycle). Wl ~ 2 C N l pour γ=2 (W-cycle). Wl ~4 C N l pour γ=3 (F-cycle). Wl =0 ( N l log ( N l ) ) pour γ=4 Cette estimation du coût, avec le critère de convergence de (VI-1) montre le caractère optimal des méthodes Multigrilles pour 2 £ g £ 3 . VI-3 Occupation mémoire [1][4]: A chaque niveau il faut stocker la solution U et le résiduel d. Il est inutile de stocker l’opérateur de restriction r et l’opérateur d’interpolation p, car ils suivent toujours des lois très simples. De même si L l est simple (par exemple opérateur différences finies) il est inutile de le stocker.[1] Plus nous allons vers un niveau grossier, moins il y a de valeurs à stocker. Ainsi, soit une structure de données qui croit en C N l au niveau l . Le coût total G de stockage vaut donc : l* G =Cå Nl (I-48) 0 si on à une relation de type Nk -1£ 1 Nk est vérifié alors : CH l* åN 0 et l £ Nl*.(1+ 1 +....+ 1 * ) < 11 Nl* l 1- C CH CH H G£C CH Nl* CH -1 (I-49) (I-50) Donc le coût on occupation mémoire du cycle Multigrille est du même ordre de grandeur que le coût de stockage du vecteur solution sur le maillage le plus fin. 23
  33. 33. Chapitre I Les méthod es Multigrilles linéaires. VII-Conclusion : Le principe de la méthode Multigrille est d’estimer une correction de l’erreur de la solution obtenue après quelques relaxations sur la grille fine. Les méthodes de relaxation itératives classiques de Gauss Seidel et Jacobi ont la propriété d’être de bons lisseurs hautes fréquence. Les basses fréquences qui non pas été lissées sur la grille fine seront lissées sur les grilles grossières [9]. Les méthodes Multigrilles sont des méthodes itératives très intéressantes : · Elles ont de bonnes propriétés de convergence (le taux de convergence de la méthode Multigrille linéaire est indépendant de la maille [1][4] ). · Leurs coûts en calculs sont faibles. · L’occupation mémoire nécessaire se réduit à celle du niveau le plus fin, c'est-à-dire l’occupation mémoire de toute méthode itérative classique. 24
  34. 34. Chapitre II Présentation de la version actuelle du logiciel SIM-3D
  35. 35. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. I-Introduction : Ce chapitre contient la description des principales étapes de calcul caractérisant la version actuelle de SIM-3D [13] écrite en langage C++sous Windows version5. Ce dernier offre la possibilité de déclarer des tableaux tridimensionnels de grande taille, et permet une meilleure gestion de l’espace mémoire. SIM-3D intègre deux algorithmes de Gummel et celui de Newton pour la solution du système couplé d’équations non linéaires aux différentielles partielles relatives au modèle physique(voir annexe C)[15]. II- Description de programme (SIM-3D)[13][14] : II-1-Premiere partie : II-1-1-Entree des données : Cette première partie concerne la définition géométrique et physique, le maillage et les conditions aux les limites voir Figure (II-1).Au début chaque dimension de la structure d’étude exprimée en micron est entrée par l’utilisateur. Ainsi la profondeur et la largeur des différentes diffusions sont définies, cette phase est suivie par l’entrée des caractéristiques physiques du composant tel que [13][14] : · Le profil de dopage et le type d’impuretés, N ou P, dans les couches semiconductrices. · Les caractéristiques des diffusions (gradient et type de dopage). Cette étape comprend les procédures suivantes dans l’organigramme de la Figure (II-1) : 25
  36. 36. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. Entrée des dimensions géométriques de la structure Entrée des caractéristiques physiques de la structure et des paramètres de précision Géométr Entrée Des Dimensions Discrétisation de la structure Normalisation des paramètres physiques Entrée des conditions aux limites Fig.(II-1) : Organigramme d’entrée des données. II-1-2-Maillage : Apres que les paramètres géométriques et physiques soient introduits par l’utilisateur, la procédure de maillage est entamée, ce qui représente une étape très délicate puisque les résultats dépendront essentiellement de la discrétisation (voir annexe D) choisie et du pas utilisé (voir Figure (II-2)). 26
  37. 37. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. Entrées des dimensions du domaine à discrétiser, les pas initiaux et le nombre de point représentatifs choisie par l’utilisateur Détermination de la raison de calcul (en partant d’un maillage à pas variable défini par une série géométrique) Calcul des valeurs des pas successifs le long de la structure discrétisée Fig.(II-2) : Discrétisation et détermination des pas de calcul. Après l’étape de discrétisation, la normalisation des paramètres utilisés dans le calcul est effectuée [13][14] .Ceci sert à éviter les écarts importants pouvant surgir entre certaines valeurs ce qui pourrait compromettre les calculs. II-1-3-Conditions aux limites : D’une manière générale, une équation aux dérivées partielles admet une infinité de solutions. La solution particulière désirée est déterminée à partir de conditions supplémentaires. Ces conditions sont appliquées dans la plus part des cas sur la frontière d’un domaine fermé. Soit une structure P+υ représentée par le domaine limité de la Figure (II-3). 27
  38. 38. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. y o D C x B A z υ P+ H G E F Fig.(II-3) : Structure utilisée. Les deux principales conditions aux limites dans le logiciel SIM-3D sont: II-1-3-a-Conditions de Dirichlet : Les conditions de Dirichlet sont établies comme suit : Aux contacts, le modèle utilisé est celui du contact ohmique idéal, c’est a dire un contact parfaitement recombinant et qui ne présente pas de zone de charge d’espace. Les conditions seront définies par l’équation thermodynamique, tel que : n.p = ni2 (II-1) Où ni représente la concentration intrinsèque. Au contact ohmique la valeur de la fonction sera égale a la tension de polarisation. On aura pour le plan ACEH : ψijl = 0 Nijl = (II-2) ni2 NA 28
  39. 39. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. et Pour le plan BDFG: ψijl = log nc.Na ni2 2 Pijl = ni nc (II-3) Où ψijl ,Nijl ,et Pijl sont le potentiel, la concentration en électrons et trous respectivement en tout point (i,j,l) . II-1-3-b-Conditions de Neumann : Les valeurs des dérivées de la fonction sur le long de la normale sont nulles. Ainsi au niveau des frontières ou l’on ne connaît pas les valeurs de N et P, les conditions aux limites sont de type Neumann. Ceci se traduit mathématiquement, en prenant la dérivée de ψ ,N et P par-rapport à la variable d’espace nulle à la limite considérée, par l’expression : dy dn dp = = =0 dm dm dm (II-4) m est le vecteur orienté suivant la direction spatiale choisie, ces conditions s’appliquent dans le cas de la Figure(II-3) sur les plans : (ABEF), (CDHG),(EFGH),(ABCD). II-2-Deuxieme partie : Résolution numérique : II-2-1-Algorithme de Gummel : La méthode de Gummel[12][16][17] consiste en une résolution successive de trois systèmes couplés de N équations à N inconnues.Chaque système d’équations est 29
  40. 40. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. voué à déterminer la valeur d’un seul type d’inconnue. Par exemple l’équation de Poisson fournit les valeurs des potentiels ψ pour des concentrations N et P déjà déterminées. Le principe général de la méthode de Gummel est le suivant : A partir d’une solution initiale estimée (ψ0,N0,P0) l’équation Fψ(ψ,N,P) = 0 (voir annexe D) d’inconnue ψ est résolue en premier. Les valeurs de ψ ainsi déterminées seront reportées dans les systèmes d’équations Fn et Fp (voir annexe D). L’équation Fn (ψ,N,P) = 0 est aussi mise à jour et résolue à son tour pour l’inconnue N .Ce processus de mise à jour et de résolution est répétée par alternance pour Fp,Fn,Fψ jusqu'à convergence complète du système. L’algorithme de Gummel est représenté par l’organigramme de la Figure (II-4) : 30
  41. 41. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. Initialisation des valeurs y ,N,P Résolution en dy de l’équation de Poisson Non Oui Si dy <e1 Mise à jour de y dans l’équation de Continuité Fn Résolution en dn de l’équation de continuité des électrons Fn Oui Non Si dN <e 2 Mise à jour de y et N dans l’équation de continuité des trous Fp Résolution en dp de l’équation de continuité des trous Fp Non Si dP <e 3 Oui Mise à jour de y ,N,P dans l’équation de Poisson Fy Non Si dy , dN , dP Fig.(II-4) Organigramme de la méthode de GUMMEL 31 Oui uggfffdddOui FIN
  42. 42. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. II-2-2-Algotithme De Newton : II-2-2-1-Introduction : L’algorithme de Newton ou méthode couplée est mieux adapté à la résolution des équations fortement couplées liées à la considération des structures à base des semi-conducteurs à relaxation .Cette méthode est très sensible aux valeurs initiales, et sa convergence dépend essentiellement de ces dernières, ce qui nous a mené à tenir en compte des valeurs calculées à l’équilibre thermodynamique comme valeurs initiales . En ce qui concerne la tension de polarisation, et pour toujours, éviter le problème de divergence, on s’est proposé de polariser la structure utilisée, pas à pas. Ce ci consiste à crée un pas de polarisation et injecter a chaque fois les paramètres calculés précédemment dans une prochaine simulation avec un nouvel incrément du pas de polarisation. II-2-2-2- Principe de la Méthode Newton Raphson [18] [19] : La méthode de Newton consiste à effectuer à partir d’un point initial (approximation de la solution) un développement en sérier de Taylor limité d’ordre un, pour chacune des équations du système non linéaire. La résolution du système linéaire obtenu permet d’aboutir à une nouvelle approximation de la solution. Le principe de la méthode Newton Raphson est le suivant : Notons linéaire : * [ * * * x = x 1, x 2, x 3,......., x fi( x )=0 ] le * t n vecteur solution du système non , avec i=1,2,3,…….,n . Si chaque fonction fi est continue et continûment différentiable, alors par développement en série de Taylor dans le voisinage d’un estimé x (k) proche de x * (obtenu à la K-ieme itération), on obtient : 32
  43. 43. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. dfi(x) x =x j =1 dx j n fi( x *)= fi( x (k) +( x *- x (k)))= fi( x (k)) + å n + 1å 2 j =1 d (x ) å(x -x ) (x -x )dx dx (K) (x -x ) * j (K) j 2 n * j (K) j (K) r * r j r =1 x= x K +………..=0. i=1,…….,n. (II-5) r Si x (k) est un estimé proche de x *, les éléments (xi* - xi(K) ) sont négligeables, 2 ainsi que les termes de degrés supérieur. L’équation (II-5) s’écrit donc : n dfi(x) å dx j =1 j = x x (K) (x -x ) = - fi( x (k)) * j (K) j (II-6) Définissons la matrice E (K) des dérivées premières telles que : (K Eij ) = df i ( x ) dx j x = x (K) i=1,2,3,…,n j=1,2,3,…n . (II- 7) Le vecteur d’erreur Dx(K) par : Dx(K) = x*j - x(jK) (II- 8) Puis le vecteur F (K) par : Fi (K) = - fi( x (k)) (II-9) Alors la relation ( II-6) E (K) . Dx(K) = F (K) (II-10) 33
  44. 44. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. Dans ce système d’équations linéaires, toutes les quantités sont connues hormis les Dx(K) , les méthodes classiques de résolution des systèmes linéaires sont applicables pour leur détermination [20]. Par ailleurs si Dx(K) est estimé de l’erreur commise en approximation x *par x (k) on peut donc obtenir un meilleur estimé x (k+1) de x * en écrivant : x (k+1) = x (k) + Dx(K) . Les itérations s’arrêtent lorsque : x* - x(K) ® 0 Les principales étapes de cet algorithme (voir la figure Figure (II-6)) sont les suivantes : 1-Première étape : Les données sont introduites par des fichiers en mode Read, ces fichiers contiennent le nombre de points sur chaque direction, les valeurs de potentiels, des densités de porteurs libres calculées à l’équilibre thermodynamique, et les pas de discrétisation en chaque direction. 2-Deuxième partie : 2-1-Calcul des matrices U et F : L’application de la méthode de Newton dans la simulation numérique des dispositifs conduit à résoudre simultanément Fψ, Fn et Fp. Cela revient à calculer ψ, N et P comme solution d’un système à 3N équations, en chaque point du réseau de discrétisation tridimensionnel. Les trois systèmes d’équations discrétisés (voir annexe D) sont regroupés en un seul système : 34
  45. 45. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. r r r U.d =-F (II-11) Où : r U : La matrice Jacobienne complète du système. r d : Le vecteur de correction. r F : Le vecteur seconde membre. Initialisation des valeurs de :y, NetP V = V +dV Calcul et stockage de U et F Résolution de système U. d =-F Test sur dy ,dN ,dP Mise à jour y, N,P Test sur y, N,P Non Si V=Va Oui FIN Fig.(II-6) Organigramme de résolution par la méthode couplée 35
  46. 46. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. 2-1-1-La matrice Jacobienne : 2-1-1-1-Origine Septadiagonale de la Jacobienne : La résolution du système se fait en trois dimensions ce qui signifie que chaque nœud de discrétisation possède six voisins (deux voisins selon chaque direction).Ainsi on peut distinguer la matrice Jacobienne comme une matrice bande à sept diagonales d’éléments non nuls, dont chaque élément est lui même, une matrice carrée d’ordre trois. Z Y k+1 Dy Dz J+1 i-1 i,j,k X i+1 J-1 k-1 Dx Fig.(II-7) Représentation géométrique d’un ensemble de nœud de discrétisation En tout point de discrétisation, la grandeur physique calculée est déterminée en fonction de la contribution du point lui même plus celles de ses six proches voisins sur les trois directions de calcul X,Y et Z. Le domaine d’étude est composé de m=nX.nY.nZ points avec : nX=NX-1, nY=NY-1, nZ=NZ-1. 36
  47. 47. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. NX, NY et NZ représente respectivement le nombre de nœuds dans les directions X ,Yet Z. Le développement de l’équation (II-6) conduit, pour trois dimensions à l’écriture matricielle suivante : d1 d3 d5 d7 d2 æ Uijl Ui+1jl ç ç Ui1jl . ç ç 0 . ç çUij-1l ç ç . ç 0 ç çUijl-1 ç ç 0 ç è d4 d6 0 Uij+1l 0 Uijl+1 0 ö æ d111 ö æ F111 ö ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç . ÷ ç . ÷ . . . ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç . ÷ ç . ÷ . . . ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ . . . . ÷. . ç ÷ =ç . ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ . . . ÷ ç . ÷ ç . ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ . . . . ÷ ç . ÷ ç . ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ . . ÷ çd nxnynz ÷ ç Fnxnynz ÷ ÷ è ø ø è ø (II-12) Chaque élément de la matrice U et du vecteur d en un nœud quelconque est de la forme:(Le calcul des éléments de la matrice Jacobienne est exposé en Annexe E ). U= æ dFy ç ç dy ç ç dFn ç dy ç ç dFp è dy dFy dFy ö dN dP ÷ ÷ ÷ dFn dFn ÷ dN dP ÷ , et ÷ dFp dFp ÷ dN dP ø æ dy ö ç ÷ ç ÷ d = ç dn ÷ ç ÷ ç ÷ çd p ÷ è ø 2-1-1-2-Méthode de stockage des éléments non nuls de la matrice Jacobienne : Soit M une matrice équivalente à la Jacobienne U et d’ordre nX.nY.nZ.Si on note par R un vecteur mono dimensionnel et qu’on veuille établir une correspondance entre M et R , de manière à ne stocker dans R que les éléments non nuls de M ,il en découle : 37
  48. 48. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. Le tableau suivant nous permet de repérer un élément du vecteur R par-rapport à son équivalent dans la Jacobienne M . Elément de la matrice Jacobienne M [i] [j] [l] M [i+1] [j] [l] M [i-1] [j] [l] M [i] [j+1] [l] M [i] [j-1] [l] M [i] [j] [l+1] M [i] [j] [l-1] Elément du vecteur équivalent R [k] R [K+1] R [K-1] R [K+nX] R [ K-nX] R [ K+nX.nY] R [ K-nX.nY] Tableau (II-1). Pour établir la correspondance entre un élément de la matrice M et son équivalent dans le vecteur R, la formule suivante peut être utilisée, tel que : K=(i-1)+((j-1).nx)+((l-1).nx.ny) (II-13) Dans le sens inverse, la position d’un nœud de cordonnées i,j,l se déduit par les expressions suivantes : i=modulo(k/nx)+1 l=int(k/nx. ny)+1 (II-14) j=(k-(I-1)-((l-1). nx. ny)/ nx. Lors d’un calcul en un nœud en fonction des variables aux nœuds voisins, certains points peuvent ne pas nécessiter la contribution des six nœuds voisins classiques.En considérant le vecteur équivalent R, et pour vérifier l’éventuelle contribution des nœuds voisins pour un point donné, les tests suivants peuvent être effectués : 38
  49. 49. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. 1)-si : k<dim-1 2)-si : k-1>=0 3)-si : k<dim- nx 4)-si : k- nx >=0 5)-si : k<dim-(nx. ny) 6)-si : k-(nx. ny)>=0 d2 existe, d3 existe, d4 existe, d5 existe, d6 existe, d7 existe, 2-1-2-Le vecteur F : Les éléments du vecteur f second membre représentent chacun un vecteur de trois éléments qui sont la fonction de Poisson et celles de continuité (-Fψ,-Fn,-Fp). 2-1-3-Résolution du système Uδ=-F : Une écriture indicée du système linéaire Uδ=-F est donnée par l’expression suivante : Uijl-1. δ ijl-1+ Uij-1l. δ ij-1l +Ui-1jl. δ i-1jl+ Uijl. δ ijl+ Uijl+1. δ ijl+1+ Uij+1. δ ij+1l+Ui+1jl. δ i+1jl= -Fijl-1 (II-15) En passant des cordonnées (i,j,l) à la notation indicée en utilisant k, nous aurons : d7[k-(nx. ny)]. δ[k-(nx. ny)]+ d6[k]. δ[k+(nx. ny)]+ d5[k-nx]. δ[k-nx]+ d4[k]. δ[k+nx]+ d3[k-1]. δ[k-1]+ d2[k+1]. δ[k+1]+ d1[k]. δ[k]= -F[k] 39 (II-16)
  50. 50. Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D. III-Conclusion : L’algorithme le mieux adapté à la résolution des équations non linéaires et fortement couplées découlant du modèle physique en est celui de Newton (voir Annexe C). L’algorithme de Gummel [21] intervient essentiellement lors des calculs de simulation à l’équilibre thermodynamique.Ces derniers résultats pouvant être injectés dans l’algorithme de Newton comme valeurs initiales pour une éventuelle étude de même composant sous polarisation. Dans le chapitre qui suit nous présentons une nouvelle version améliorée du logiciel SIM-3D, incluant un algorithme de résolution numérique combinant l’algorithme de Newton à la méthode Multigrille rapide dédiée à l’accélération des temps de convergence. 40
  51. 51. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D
  52. 52. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D I-Introduction : Les calculs numériques étant souvent prohibitifs en temps, l’implémentation d’une méthode Multigrille rapide permet une amélioration des temps de convergence. Ce chapitre est concerné par la description de l’implémentation de l’algorithme Multigrille dans l’algorithme de Newton. Concernant la méthode Multigrille, la configuration V-cycle est choisi avec le plein poids (Full-Weighting : FW) comme opérateur de restriction, l’interpolation linéaire comme opérateur de prolongation, et la méthode SOR comme lisseur d’erreur. II -Position du problème : Le système d’équations non linéaires résultant est linéarisé a l’intérieur de l’algorithme Newton (voir l‘annexe D) avant l’application de la méthode Multigrille[1][12]. On considère le problème elliptique linéaire avec les conditions aux limites, devant être résolu par la méthode de Multigrille, comme étant le suivant : U .d = - F (sur le domaine W) (III-1) d = - f0 (sur le domaine dW ) Et avec : U : La matrice Jacobienne complète du système. d : Le vecteur de correction. F : Le vecteur seconde membre. 41
  53. 53. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D Il s’avère être commode de considérer une grille de (2 l -1).(2 l -1).(2 l -1) points des inconnus .Nous ajoutons les nœuds à la frontière, pour obtenir la grille G l de (2 l +1).(2 l +1).(2 l +1) points sur laquelle l’algorithme opérera. Nous posons P(i) le problème à résoudre par un système discrétisé à trois équations couplées ( Poisson et continuités) sur une grille Gi de (2i +1).(2i +1).(2i +1) points, avec (2i -1).(2i -1).(2i -1) inconnus. Le problème est indiqué par la taille i de grille, la matrice Jacobienne U(i), et le F(i ) représentant le second membre. Nous produirons un ordre des problèmes relatifs P(i),P(i-1),P(i-2),P(i-3),…,P(1) sur des grilles de plus en plus grossières, où la solution à P(l-1) est une bonne approximation de P(i). Pour déterminer l’erreur de la solution approchée avec un pas h (grille fine), il suffit de trouver la solution pour un pas 2h(grille brute)[22]. Pour expliquer comment l’algorithme fonctionne, nous avons besoin de quelques opérateurs qui posent un problème sur une grille, et l’améliorent ou le transfèrent à un problème relatif sur une autre grille. II-1- L’opérateur de lissage : Il consiste en l’amélioration de la solution approximative par une méthode de relaxation SOR[23]. La méthode (SOR) est une version légèrement modifiée de la méthode Gauss-Seidel. Comme la méthode de Jacobi, la méthode SOR emploie une moyenne pondération de la nouvelle et vieille approximation. 42
  54. 54. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D . II-2- L’opérateur de restriction R(i) : Soit ( F(i), δ(i )), les composants d’un problème P(i) , et (F(i-1), δ(i-1)), un problème plus simple sur la prochaine grille brute, avec la conjecture commençante par δ(i-1 ), tel que: [ F(i-1), δ(i-1 )] =R(i) [ F(i), δ(i )] (III-2) Nous montrons que la restriction est mise en application simplement en calculant une valeur pondérée à chaque point de grille par rapport à ses voisins les plus proches. II-3-L’opérateur d’interpolation In(i-1) : Soit une solution approximative δ(i-1 ) pour P(i-1). Elle et convertie en δ(i ) pour le problème P(i) sur la prochaine grille plus fine, tel que : [F(i), δ(i )] =In(i-1) [ F(i-1), δ(i-1 )] (III-3) Son exécution exige également une moyenne pondérée par rapport aux points voisins les plus proches. III-Algorithme Multigrille V-cycle : L’algorithme mis en place ci-dessous est représentatif d’un V-cycle Multigrille[1][4][6] :(voir Fig.(I-7),et (I-8) du Chapitre I ). 43
  55. 55. Chapitre III Implémentation de U(lmax).δ(lmax) = -F(lmax); d(lmax-1) = R(lmax-1)( d(lmax)) ; d(lmax) =- F(lmax) - U(lmax).δ(lmax) ; l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D Itérations pour la résolution du système linéaire sur la grille la plus fine. Restriction du résidu sur la prochaine grille brute. Calcul du résiduel (d) sur la grille plus fine. for(jj=lmax –1 ;l>=lmin +1;j--) d(lmax-1) = R(lmax-1)( d(lmax)) ; Restriction du résiduel sur la prochaine grille brute. { for(jj=l= δ (jj); min +1;jj--) δ(jj) max –1 ;jj>=l Initialisation de δΨ , δn et δp . in { U(jj).δ(jj) = F(jj); Itérations pour la résolution du système Linéaire sur grille brute. Initialisation de δΨ , δn et δp . δ(jj) = δin(jj); F(jj) =d(jj); d(jj) = F(jj) U(jj).δ(jj) = F(jj); U(jj).δ(jj) ; Calcul du résiduelpour la résolution du système Itérations en le limitant à la prochaine grille brute. brute. linéaire sur grille Calcul du résiduel en le limitant à la prochaine grille brute. d(jj) = F(jj) - R(jj-1)( d(jj-1)) ; d(jj-1) = U(jj).δ(jj) ; d(jj-1) = R(jj-1)( d(jj-1)) ; } } δ(l = ) = δ ); δ(lmin) minδin(lminin(lmin); Initialisation de δΨ de δΨ ,δp surδp sur la Initialisation , δn et δn et la grillegrille grossière. grossière. .δ(lmin) = d(l U(lU(lmin)min) = d(lmin); min); min) .δ(l Résolution sur la sur la grille grossière Résolution grille la plus brute Jusqu’à convergence. Jusqu’à convergence. for(jj=lmin+1 ;jj>=lmax ;jj++) { for(jj=lmin+1 ;l>=lmax +1;j++) { V(jj) = In(jj) (δ(jj-1)) ; Interpolation de l’erreur sur grille plus fine. Interpolation de de la solution . Correction l’erreur sur grille plus fine. Correction de la solution . V(jj) ancie(jj) + V(jj) ; δnouv(jj) ==δIn(jj) (δ(jj-1)) ; if(jj== lmax )= δancie(jj) + V(jj) ; δnouv(jj) d(jj)=-F (jj) ; U(jj).δ(jj) = d(jj); Itérations pour la résolution du système Itérations pour la résolution du système linéaire sur grille fine. Linéaire sur grille fine. U(jj).δ(jj) = F(jj); } } 44
  56. 56. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D IV-Description de l’algorithme Multigrille dans le programme SIM-3D : Dans la partie numérique du logiciel SIM-3D, la méthode de Newton est combinée à une méthode Multigrille linéaire basée sur une configuration V-cycle. Elle emploie plusieurs ordre de grilles au lieu d’une grille simple utilisée dans l’algorithme SOR et déjà implémentée dans l’ancienne version SIM-3D. Un cycle de l’algorithme numérique, qui combine les deux méthodes Newton et Multigrille linéaire, appliqué pour résoudre les équations couplées décrites et discrétisées dans l’annexe D , est le suivant[24][25] : 1. Linéarisation du système non linéaire à équations couplées par une 1ere étape de la méthode de Newton. 2. Résolution du système :U(i).δ(i)=-F(i),en appliquant quelques itérations N 0 . Par la méthode de relaxation SOR.(Sur la grille Gi ). 3. Après quelques étapes de relaxation, les méthodes multigrilles effectuent une opération de transfert inter grille .Pour les méthodes multigrilles qui emploient l’arrangement de correction cette opération implique un calcul de résiduel et la restriction du résiduel à une grille brute .Typiquement ces deux opérations sont combinées dans une seule opération où le résiduel est calculé et immédiatement transféré à la grille brute. Le résiduel est donné par la relation suivante : d(i) = F(i) – U(i).δ(i) (III-4) L’erreur étant : e(i) = δ(i)- δ0(i) (III-5) 45
  57. 57. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D Si δ0(i) :est la conjecture initiale. Cette erreur satisfait l’équation de défaut suivante : U(i).e(i) = d(i) (III-6) L’équation de défaut est projetée sur grille brute en utilisant un opérateur de restriction plein poids (FW) R(i) ,et nous pouvons écrire : U(i-1).δ(i-1) = R(i)( d(i)) (III-7) Cette équation est résolue pour δ(i-1) sur une grille Gi-1.en appliquant un nombre de relaxation N1 d’itérations SOR. L’étape 3 est répétée périodiquement jusqu'au niveau le plus grossier, où l’équation va être résolue jusqu'à convergence. 4. Le résultat obtenu est soumis à une interpolation pour corriger la solution courante sur la grille fine (Voir l’équation (III-8)) suivi par un nombre de relaxation N2 d’itérations SOR .Cette étape peut être utilisée itérativement jusqu'à remonter à la grille réelle (la plus fine). La correction de la solution est donnée par l’équation suivante : δnouv (i)= δanc(i)+V(i) (III-8) V(i)= In(i)( δ(i-1)) (III-9) avec: 5. Mise à jour de la solution du système avant la reprise d’une nouvelle itération de Newton. Remarque : Une itération Multigrille inclut les étapes 3et4. 46
  58. 58. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D V-Organigramme Newton –Multigrille : Initialisation Ψ ,N,et P D V = V + dV C l = l max B Début d’un cycle Résolution du système linéaire : U( l ).δ( l ) = -F( l ) Calcul du résiduel : d( l ) = U( l ).δ( l ) -F( l ) l = l -1 Restriction de résiduel : d( l ) = U( l ).δ( l ) -F( l ) Non Si : l = l min Oui Résolution du système linéaire : U( l min).δ( l min) = -F( l min) jusqu’à convergence U( l ).δ( l ) = -F( l ) A 47
  59. 59. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D A l = l +1 Interpolation de l’erreur : V( l ) = In( V( l -1) ) Correction de la solution courante δ( l ) par : δnouv( l ) = δance( l ) + V( l ) V(l) = In( V(l-1) ) Résolution du système linéaire : U( l ).δ( l ) = d( l ) Si : l = l max Non Oui Non Test de vergence sur : B δΨ , δn, δp Oui Fin de cycle Multigrille Mise à jour de : Ψ ,n,et p Test de convergence sur : δΨ/ Ψ, δn/n, δp/p Oui Fin de programme Non C Non D Si : V=Va Oui Fig.(III-1) Organigramme de calcul par Newton-Multigrille dans SIM-3D 48
  60. 60. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D V-Description des opérateurs de restriction et d’interpolation : VI-1- Opérateur de restriction FW : Après quelques itérations par méthode SOR sur un niveau de grille, et le calcul des résiduels pour l’ensemble des points de grille(excepté les points de frontières), une opération de transfert inter grille va transférer les résiduels à la prochaine grille brute via un opérateur plein poids (FW)[24]. Pour obtenir le second membre de l’équation U(i).δ(i)=F(i) en tout point de grille brute, un opérateur de restriction plein poids R(i) est mis en application. Ce dernier va transférer les résiduels des 27 points de grille fine contribuant au calcul du point de grille brute correspondant. Si R est l’opérateur de restriction et U est le résiduel de ¶ Ψ, ¶ n ou ¶ p alors : UH(x,y,z) = R (Uh(x,y,z)) (III-10) UH(x,y,z) = Uh(x,y,z) + 1 (Uh(F1)+Uh(F2)+………+ Uh(F6) ) + 2 1 (Uh(A1)+Uh(A2)+………+ Uh(A12) )+ 4 1 (Uh(S1)+Uh(S2)+………+ Uh(S8) ) 8 (III-11) Où : Fi : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 1 (entouré par 2 nœuds de GH). 2 Ai : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 1 (entouré par 4 nœuds de GH). 4 Si : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 1 (entouré par 8 nœuds de GH). 8 49
  61. 61. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D Les figures suivantes montrent la représentation géométrique des points (nœuds) de grille fine à pondération déterminée, et leur situation par rapport au point de grille brute correspondant. y 1 2 x 3 U0 4 z 6 5 Les nœuds de Gh Les nœuds de GH Fig.(III-2) : Les points à contribution d’un poids de 1/2, situés dans les axes x,y et z. U(A1) y U(A2) U0 U(A4) z U(A3) Les nœuds de Gh Les nœuds de GH Fig.(III-3) : Les points à contribution d’un poids de 1/4 ,situés dans le plans yoz. 50
  62. 62. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D U(A6) U(A5) x U0 z U(A7) U(A8) Les nœuds de Gh Les nœuds de GH Fig.(III-4) :Les points à contribution d’un poids de 1/4 ,situés dans le plans xoz. U(A10) y U(A11) x U0 U(A12) Les nœuds de Gh Les nœuds de GH Fig.(III-5) : Les points à contribution d’un poids de 1/4 ,situés dans le plans xoy. 51 U(A9)
  63. 63. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D VI-2-Interpolation linéaire : Après que la correction ai été calculée et stockée en tout point de grille brute VH(x,y,z), elle est propagée aux points de grille fine Vh(x,y,z) en effectuant une régénération des 26 (points situés sur les faces, arrêts et sommets) points voisins les plus proches. Un opérateur d’interpolation linéaire est mis en application de la manière suivante[24] : Si V est la valeur de correction de ¶ Ψ, ¶ n ou ¶ p , nous aurons : · Quand les nœuds de GH et Gh sont superposés alors : Vh(x,y,z) = VH(x,y,z) (III-12) · Quand un nœud de Gh est entouré par deux nœuds de GH alors : Sur la direction des x: Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y,z) + VH(x+h,y,z) ) 2 (III-13) Sur la direction des y: Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x,y-h,z) + VH(x,y+h,z) ) 2 (III-14) Sur la direction des z: Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x,y,z-h) + VH(x,y,z+h) ) 2 52 (III-15)
  64. 64. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D · Quand un nœud de Gh est entouré par quatre nœuds de GH alors : Sur le plans xoy: Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y-h,z) + VH(x-h,y+h,z) + VH(x+h,y-h,z) + 4 VH(x+h,y+h,z) ) (III-16) Sur le plans yoz: Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x,y-h,z-h) + VH(x,y-h,z+h) + VH(x,y+h,z-h) + 4 VH(x,y+h,z+h) ) (III-17) Sur le plans xoz: Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y,z-h) + VH(x-h,y,z+h) + VH(x+h,y,z-h) + 4 VH(x+h,y,z+h) ) (III-18) · Quand un nœud de Gh est entouré par 8noeuds de grille GH alors : Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y-h,z-h) + VH(x-h,y-h,z+h) + VH(x-h,y+h,z-h) + 8 VH(x+h,y-h,z-h) + VH(x-h,y+h,z+h) + VH(x+h,y+h,z-h) + VH(x+h,y-h,z+h)+ VH(x+h,y+h,z+h) ) 53 (III-19)
  65. 65. Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D VII-Conclusion : Nous avons mis au point une nouvelle version du logiciel SIM-3D regroupant deux algorithmes combinés, Newton et Multigrille linéaire, adapté à la représentation et simulation des structures à base de semi-conducteurs à relaxation (modèle de piégeage des porteurs inclus). SIM-3D permet l’étude du courant, distribution de potentiel et de porteurs libres dans un espace tridimensionnel. La programmation de deux algorithmes combinés nous a permis de mettre en évidence la grande difficulté mais nécessaire implémentation de l’algorithme Multigrille pour une meilleure optimisation des temps de calcul. Les résultats de simulation découlant de l’utilisation des deux versions du logiciel SIM-3D sont présentés, comparés et discutés dans le chapitre suivant. 54
  66. 66. Chapitre IV Résultats et interprétations
  67. 67. Chapitre IV Résultats et interprétations. I-Introduction : Les résultats de simulation que nous présentons dans ce chapitre ont servi à valider la méthode Multigrille, et comparer son efficacité par rapport à la méthode SOR. Les calculs sont appliqués pour 3 types de maillage différent : 17x17x17, 33x33x33 et 65x65x65, en assurant un nombre de points égal et homogène dans les trois directions de calcul. Le programme SIM-3D a été réalisé en Borland C++ 5.0, sous Windows XP professionnel version 2002,et exécuté sur une machine Intel(R) à base de Pentium (R) 4 CPU, avec une fréquence 2.40Ghz et 128 Mo de RAM, et de 40 Go de disque dur . La nouvelle version SIM-3D a une taille de mémoire 136 Ko, et son exécution nécessite 187 Ko. Nous rappelons que l’algorithme Multigrille a été implémenté dans le but d’activer les temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de point de discrétisation augmente. II-Structure de test : II-1-Schéma de la structure : Le matériau de base étant le GaAs[26][27] nous avons validé nos programmes par l’utilisation d’une structure P+n N+[28]polarisée en sens direct (figure (IV-1)). Le GaAs, étant plus de type N à cause de la forte densité NT, l’ensemble de nos simulations concernent la jonction P+n en présentant différents coups transversales de 55
  68. 68. Chapitre IV Résultats et interprétations. concentrations en porteurs libres et distributions de potentiels. Ces résultats ont déjà du coté physique, fait l’objet de comparaison avec ceux obtenus dans la référence [ 29 ] . XP+ Xn y x Y o z Z P+ υ N+ Fig.(IV-1) :Schéma de la structure de test matériau de base GaAs. II-2-Choix du maillage : Dans le but de valider la méthode Multigrille implémentée dans SIM-3D et ceci particulièrement dans des conditions défavorables à la convergence(nombre de points de discrétisation importante), nous réalisons l’ensemble de nos simulations en appliquant un maillage homogène dans l’ensemble des directions de calcul. II-3-Paramètres de simulation : Nous résumons l’ensemble des grandeurs numériques de paramètres électriques et géométriques relatifs à la structure de test, dans le tableau suivant : 56
  69. 69. Chapitre IV Résultats et interprétations. Paramètres physiques : Paramètres géométriques : KT=26.10-3 ev. Nc =4.43.1017 cm-3. Nv = 8.84.1018 cm-3. εr =12.5. ni =2.106 cm-3. EG =1.432 ev. µn =4000 cm2/v.s. µp=280 cm2/v.s. Longueur de la partie P+ : XP+ =0.15µm. Longueur de la partie ν: X ν =0.15µm. Dimension en largeur : EL2: Nt =2.1016 cm-3. n1t =2.1.106 cm-3. τnt =2.7.10-9s. p1t =1.905.106 cm-3. τpt =1.5.10-6s. Y =2µm. Dimension en profondeur : Z =2µm. Er : n1r =4.45.105 cm-3. τnt =10-10s. p1r =8.989.106 cm-3. τpt =10-10s. Tableau (IV-1) : Paramètres de simulation. III-Résultats de simulation : Les figures (IV-2) à (IV-33) représentant des coupes transversales de la distribution du potentiel et des profils de densités de porteurs libres N et P et leurs erreurs associées, calculées par les deux méthodes Multigrille et SOR, et obtenues avec trois types de maillage différent à pas constants. 57
  70. 70. Chapitre IV Résultats et interprétations. III-1-Simulation avec un maillage (17x17x17 points) : Le tableau ci-dessous sert de récapitulatif le nombre d’itérations et les temps d’exécution obtenus par Multigrille et par SOR. Concernant les résultats obtenus par la méthode Multigrille, le nombre optimum de V-cycle /itération Newton est égal à 2, et le nombre du niveau utilisé est l =4. Multigrille SOR Nombre d’itérations de Newton: 16 24 Le temps d’exécution (s) : 14 339 Tableau (VI-2) : Résultats de simulation avec un maillage de 17x17x17 Points, obtenus par Multigrille et SOR. 58
  71. 71. Chapitre IV Résultats et interprétations. 30 25 psi (kT/q) 20 15 10 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 axe Y 0.5 0 0 axe X Fig.(VI-2) : Distribution de potentiel pour une polarisation de10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille. -3 x 10 7 6 5 4 ¶psi psi 3 2 1 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 0 axe X Fig.(VI-3) : Les erreurs sur le potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 59
  72. 72. Chapitre IV Résultats et interprétations. 30 25 psi (kT/q) 20 15 10 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 axe Y 0 axe X Fig.(VI-4) : Distribution de potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR. 0.05 0.04 ¶psi psi 0.03 0.02 0.01 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 0 axe X Fig.(VI-5) : Les erreurs sur le potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR. 60
  73. 73. Chapitre IV Résultats et interprétations. 7 x 10 4 3.5 3 2.5 -3 2 n(cm ) 1.5 1 0.5 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 axe X 0.5 Fig.(VI-6) :Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille. 2.5 2 ¶n n 1.5 1 0.5 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 0 axe X Fig.(VI-7) :Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 61
  74. 74. Chapitre IV Résultats et interprétations. 7 x 10 4 n(cm-3) 3 2 1 0 2 2 1.5 axe Y 1.5 1 1 0.5 axe X 0.5 Fig.(VI-8) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de 10 kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR. 4.5 4 3.5 3 2.5 ¶n n 2 1.5 1 0.5 0 2 2 1.5 axe Y 1.5 1 1 0.5 axe X 0.5 0 0 Fig.(VI-9) :Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR. 62
  75. 75. Chapitre IV Résultats et interprétations. 17 x 10 10 8 p(cm-3) 6 4 2 0 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 axe Y 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-10) : Distribution de porteurs libres P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille. 4.5 4 3.5 3 ¶p p 2.5 2 1.5 1 0.5 0 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 axe Y 0.5 0 0 axe X Fig.(VI-11) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 63
  76. 76. Chapitre IV Résultats et interprétations. 17 x 10 10 8 p(cm-3) 6 4 2 0 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 axe Y 0 axe X Fig.(VI-12) : Distribution de porteurs libres P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR. 10 8 ¶p p 6 4 2 0 2 2 1.5 axe Y 1.5 1 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-13) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR. 64
  77. 77. Chapitre IV Résultats et interprétations. III-2-Simulation avec un maillage (33x33x33 points) : Le nombre d’itérations et les temps d’exécution pour les deux méthodes sont donnés dans le tableau ci-dessous. Concernant les résultats de simulation calculés par la méthode Multigrille sont obtenus avec un nombre optimum de V-cycle /itération Newton est égal à 2, et un nombre de niveau de grille est l =5. Dans le but de pousser l’efficacité de la méthode Multigrille par rapport à la méthode SOR, nous avons fait deux simulations, sans et avec un critère de convergence sur la grille grossière correspondant à un taux d’erreur supérieur ou égale à 10-10 voir les figures (VI-20) et (VI-21) . Le tableau suivant sert de récapitulatif aux principaux résultats obtenus par SOR et par Multigrille. Multigrille SOR Simulation sans critère de convergence Nombre d’itérations de Newton : Le temps d’exécution (s) : Simulation avec critère de convergence 20 20 40 147 111 584 Tableau (VI-3) : Résultats de simulation avec un maillage de 33x33x33 Points, obtenus par Multigrille et SOR. 65
  78. 78. Chapitre IV Résultats et interprétations. 30 25 psi (kT/q) 20 15 10 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-14) : Distribution de potentiel pour une polarisation de 10 kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille. 0.045 0.04 0.035 0.03 ¶psi psi 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 2 1.5 2 1.5 1 axe Y 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-15) : Les erreurs sur le potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 66
  79. 79. Chapitre IV Résultats et interprétations. 30 25 psi (kT/q) 20 15 10 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-16) : Distribution de potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR. 0.05 0.04 ¶psi psi 0.03 0.02 0.01 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 0 axe X Fig.(VI-17) : Les erreurs sur le potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR. 67
  80. 80. Chapitre IV Résultats et interprétations. 7 x 10 4 3.5 3 n(cm-3) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-18) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille. 9 8 7 6 ¶n n 5 4 3 2 1 0 2 2 1.5 1.5 1 axe Y 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-19) :Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 68
  81. 81. Chapitre IV Résultats et interprétations. 7 x 10 5 4 3 n(cm-3) 2 1 0 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 axe Y 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-20) :Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY,Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille1. 0.7 0.6 0.5 ¶n n 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2 2 1.5 1.5 1 axe Y 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-21):Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille1. 1 : Simulation de la méthode Multigrille avec critère de convergence sur la grille grossière . 69
  82. 82. Chapitre IV Résultats et interprétations. 7 x 10 4 3.5 3 n(cm-3) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-22) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR. 16 14 12 10 ¶n n 8 6 4 2 0 2 2 1.5 1.5 1 axe Y 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-23) :Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR. 70
  83. 83. Chapitre IV Résultats et interprétations. 17 x 10 10 8 p(cm-3) 6 4 2 0 2 2 1.5 1.5 1 1 axe Y 0.5 axe X 0.5 0 0 Fig.(VI-24) : Distribution de porteurs libres P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille. 9 8 7 6 ¶p p 5 4 3 2 1 0 2 2 1.5 1.5 1 axe Y 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-25) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 71
  84. 84. Chapitre IV Résultats et interprétations. 17 x 10 12 10 8 p(cm-3) 6 4 2 0 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 axe Y 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-26) : Distribution de porteurs libres P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR. 18 16 14 12 ¶p p 10 8 6 4 2 0 2 2 1.5 1.5 1 axe Y 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-27) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR. 72
  85. 85. Chapitre IV Résultats et interprétations. III-3-Simulation avec un maillage (65x65x65 points) : Les résultats suivants sont obtenus par la méthode Multigrille, avec un nombre optimum de V-cycle /itération Newton égal à 2, et le nombre du niveau utilisé est l =6, et en appliquant un critère de convergence sur la grille grossière avec un taux d’erreur supérieur ou égale à 10-10 . Multigrille Nombre d’itérations de Newton: 6 Le temps d’exécution 11328 (s) : Tableau (VI-4) : Résultats de simulation avec un maillage de 65x65x65 Points, obtenus par Multigrille . 73
  86. 86. Chapitre IV Résultats et interprétations. 30 25 psi (kT/q) 20 15 10 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 axe Y 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-28) : Distribution de potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille. 0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 ¶psi psi 0.02 0.015 0.01 0.005 0 2 2 1.5 axe Y 1.5 1 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-29) : Les erreurs sur le potentiel pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 74
  87. 87. Chapitre IV Résultats et interprétations. 7 x 10 6 5 4 n(cm-3) 3 2 1 0 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 axe Y 0.5 0 axe X 0 Fig.(VI-30) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille. 30 25 20 ¶n n 15 10 5 0 2 1.5 2 1.5 1 axe Y 1 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-31) :Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 75
  88. 88. Chapitre IV Résultats et interprétations. 17 x 10 10 8 6 p(cm-3) 4 2 0 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 axe Y 0 axe X 0 Fig.(VI-32) : Distribution de porteurs libres P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille. 35 30 25 20 ¶p p 15 10 5 0 2 1.5 2 1.5 1 1 axe Y 0.5 0.5 axe X Fig.(VI-33) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille. 76
  89. 89. Chapitre IV Résultats et interprétations. IV- Comparaison des résultats et interprétation : Lors des simulations que nous avons effectuées, nous avons limité le nombre d’itérations sans pour autant aller jusqu'à convergence. En se fixant dans les mêmes conditions de simulations et en utilisant le taux d’erreur comme critère de comparaison, nous remarquons que les mêmes résultats sont obtenus par Multigrille et par SOR avec un nombre d’itérations Multigrille beaucoup plus faible que celui réaliser par SOR. L’efficacité de la Multigrille devient plus conséquente à mesure que le nombre de point de discrétisation augmente. Ceci revient au fait que la vitesse de lissage d’erreur liée à la Multigrille est beaucoup plus grande que celle liée à la méthode SOR. Le nombre d’itérations affecte évidement le temps de calcul globale qui est beaucoup plus réduit lorsque l’algorithme Multigrille est appliqué. Il est également constate une limite d’application de l’algorithme SOR. En effet, les résultats de comparaisons ont été réalisés avec un certain taux d’erreur, qui peut continuer à être réduit par la méthode Multigrille (voir la Figure (VI-21) ) alors que la méthode SOR diverge en cas de continuité de calculs. La méthode Multigrille est même non seulement plus rapide mais également plus efficace dans la résolution du taux d’erreur, les résultats physiques qui peuvent en découler peuvent être approchées à une excellence précision. Dans le but de pousser l’efficacité de la méthode Multigrille par rapport à la méthode SOR, nous avons appliqué un critère de convergence sur la grille grossière correspondant à un taux d’erreur supérieur ou égale à 10-10, les résultats révèlent observe que la méthode Multigrille continue de lisser l’erreur par rapport la méthode 77
  90. 90. Chapitre IV Résultats et interprétations. SOR qui devient dans ce cas complètement inefficace, comme le montrent les figures (IV-20) et (IV-21). Lors des essais de simulation effectués avec le maillage 65x65x65 points, nous avons confronté des difficultés avec la simulation par la méthode SOR, car l’exécution du programme ne continue pas, et la machine est bloqué après quelques minutes de calcul, par contre la simulation avec la méthode Multigrille n’empêche pas l’exécution du programme comme montrent les figures (VI-28) à (VI-33). On remarque l’indépendance de la méthode Multigrille du nombre de points de discrétisation, par contre la méthode SOR est fortement dépend du nombre de points de maillage, et cette dernière devient inutilisable à mesure que le maillage s’affine. Le tableau suivant sert de récapitulatif aux principaux résultats obtenus par SOR et par Multigrille. Multigrille Simulation sans critère de convergence Nbr itrs 17x17x17 points 33x33x33 points Temps 16 Nbr itrs 147 (s) Temps 14 (s) 40 SOR Simulation avec critère de convergence Nbr itrs 24 40 6 65x65x65 points 111 (s) 20 Temps 339 (s) 11328 (s) 584 (s) Tableau (VI-5) : Tableau récapitulatif de résultats de simulation, obtenus par Multigrille et SOR, avec les différents types de maillage. 78
  91. 91. Chapitre IV Résultats et interprétations. La comparaison des résultats numériques du tableau (IV-5) montre que la méthode Multigrille nécessite moins d’itérations de Newton pour la résolution du système linéaire par rapport à la méthode SOR, et donc un coût de calcul plus petit, par contre la méthode SOR nécessite un coût de calcul assez grand, et montre aussi l’efficacité et l’intérêt de la Multigrille, qui devient plus conséquente à mesure que le nombre de point de discrétisation augmente. V-Conclusion: Les résultats de simulation représentés dans ce chapitre permettrent de valider la méthode Multigrille pour la simulation dans un espace tridimensionnel du potentiel électrostatique et des concentrations en porteurs libres N et P d’une structure P+n N+ polarisée en sens direct . La comparaison entre les deux méthodes Multigrille et SOR, montre l’efficacité de la méthode Multigrille dans la résolution du taux d’erreur et la rapidité de lissage d’erreur pour des résultats physiques qui peuvent être comparables avec des résultats obtenus dans le cas réel[29], et par contre la méthode SOR devient moins performante dans les mêmes conditions. La simulation avec le maillage 65x65x65 montre l’intérêt de la Multigrille à mesure que le maillage s’affine, et on constate une limite d’application de l’algorithme SOR dans ce cas là. 79
  92. 92. Conclusion générale
  93. 93. Conclusion générale. Dans ce travail nous avons réalisé une nouvelle version du logiciel SIM-3D permettant l’intégration de l’algorithme Multigrille à celui de Newton, l’objectif étant une représentation et simulation plus rapide des structures à base de semi-conducteurs à relaxation (modèle de piégeage des porteurs inclus).SIM-3D permet donc l’étude du courant, distribution de potentiel et de porteurs libres dans un espace tridimensionnel. L’étude théorique des méthodes Multigrilles classiques montre généralement que ces méthodes ont de bonnes propriétés de convergence et des coûts de calculs faibles. La description de la version initiale du logiciel SIM-3D est présentée en premier lieu, en donnant les deux algorithmes numériques déjà implémentés dans le logiciel SIM-3D. Les algorithmes de Gummel et de Newton se basent sur une méthode de résolution dite des relaxations successives SOR (Succesive Over Relaxation). Cette méthode bien que relativement rapide n’est pas forcément celle qui mène aux meilleures vitesses de convergences. L’utilisation de méthodes plus rapides tel que la méthode Multigrille pourrait aboutir à des améliorations sensibles en temps de calcul. Donc pour améliorer encore plus les temps de convergence, l’implémentation d’une méthode Multigrille linéaire rapide s’avère nécessaire pour une meilleure optimisation des temps de calcul. Dans la partie numérique du logiciel SIM-3D la méthode de Newton est combinée à une méthode Multigrille linéaire basée sur une configuration V-cycle. Elle utilise le plein poids (Full Weighting : FW) comme opérateur de restriction, l’interpolation linéaire comme opérateur de prolongation et la méthode SOR comme lisseur d’erreur. Cette méthode emploie plusieurs ordre de grilles. Les résultats de simulation découlant de l’utilisation des deux versions du logiciel SIM-3D, ont été obtenus à partir des tests de structures de types P+n N+polarisées en 82
  94. 94. Conclusion générale. sens direct et à base de GaAs. Trois types de maillage différent à pas constant sont appliqués. Les résultats physiques de l’étude d’une diode longue à base de GaAs ont déjà été validés dans un précédent travail, les simulations ont été reprises dans un but unique de valider l’intégration de la méthode Multigrille dans SIM-3D Le but d’implémentation de la méthode Multigrille linéaire est lié à l’activation des temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de point de discrétisation augmente. Les différentes simulations permettent de tester la méthode Multigrille implémentée dans SIM-3D, et ceci particulièrement dans des conditions défavorables à la convergence (nombre de points de discrétisation important), et comparer son efficacité par rapport à la méthode SOR déjà implémentée dans l’ancienne version du logiciel SIM-3D.Nous sommes arrivé aux conclusions suivantes : · L’analyse effectuée sur les résultats obtenus par les deux méthodes, avec un maillage large, montre la nette rapidité des méthodes Multigrille par rapport à la méthode SOR. Néanmoins cette dernière reste efficace dans ce cas de maillage. · En appliquant un maillage intermédiaire, nous avons testé deux configurations(Multigrilles) sans et avec critère de convergence totale sur la grille grossière correspondant à une précision d’arrêt de calcul supérieure ou égale à 10-10. Il a été constaté ce qui suit : La méthode Multigrille a une vitesse de lissage d’erreur plus grande que celle liée à la méthode SOR. Elle se révèle non seulement plus rapide mais également plus efficace dans la réduction du taux d’erreur. Cette efficacité pourrait devenir plus conséquente à mesure que le nombre de points de discrétisation augmente. 83
  95. 95. Conclusion générale. · En troisième lieu, et pour s’assurer encore plus de l’intérêt de la méthode Multigrille sur une discrétisation plus fine, nous appliquons un maillage de 65x65x65 points. Les résultats révèlent l’indépendance de l’efficacité de la méthode Multigrille par rapport au nombre de points de discrétisation, la méthode SOR étant au contraire fortement dépendante du nombre de nœuds du maillage. Cette méthode n’a pu donner de résultats et a complètement divergé dans ce cas de figure. Cette étude a permi l’implémentation d’un code Multigrille dans la version séquentielle du logiciel SIM-3D. En perspective, qui permettrait lors de futures simulations d’obtenir des résultats bien approchés en des temps raisonnables mêmes en procédant à des maillages très fins des grilles de discrétisation. L’utilisation de la méthode Multigrille pourrait également être adaptée à un calcul parallèle. L’idée de son intégration dans la version parallèle s’exécutant sur un réseau de processus est en cours d’étude. Sa mise au point, permettrait de faire chuter considérablement les temps de calcul découlant des simulations à trois dimensions. 84
  96. 96. Annexes
  97. 97. Annexe A Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération. Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération : Soit U hj une approximation de la solution Uh de (I-19), alors : Vhj = Uh (A-1) - U hj Nous dénotons l’erreur de U hj . On peut dénoté la nouvelle approximation Uhj+1 , tel que : U hj +1 = U h ˆ + Vhj (A-2) et donc l’erreur dans ce cas est donnée comme suite : (A-3) Vhj+1 = Uh - Uhj+1 et le défaut donnée par : Lh.Vhj +1 = dhj +1 (A-4) On substitue (A-1) et (A-2) en (A-3), on obtient alors : ˆ Vhj +1 = Vhj - Vhj (A-5) et avec l’équation de défaut donnée par : Lh.Vhj = dhj (A-6) et son approximation donnée par : ˆ ˆ Lh.Vhj = dhj (A-7) ( ) ˆ ˆ -1 (A-7) Û Vhj = Lh .dhj = B.dhj (A-8) On substitue (A-8) en (A-5), on obtiens alors : (A-9) Vhj +1 = Vhj - B.dhj (A-6) et (A-9) Û Vhj +1 = ( I h - B.Lh )Vhj . Et avec : (A-10) I h - B.Lh représente l’opérateur d’itération. (A-4),(A-7) et (A-10) Û dhj +1 = ( I h - B.Lh )dhj . 85 (A-11)
  98. 98. Annexe B La stru cture étudiée(Diode PIN). 1). LA DIODE PIN Une diode PIN[28]est réalisée en empilant une couche P+ très dopée, une zone I très peu dopée (idéalement intrinsèque) et une couche N+ très dopée. La région I est soit P peu dopée, dans ce cas on aura affaire à une diode P+-π-N+, soit N peu dopée dans ce cas on aura affaire à une diode P+-ν-N+. L’empilement peut être réalisé : Soit par diffusion des régions P+ et N+ de part et d’autre d’un substrat de haute q résistivité. Soit par épitaxie d’une couche π ou ν sur un substrat P+ ou N+ suivi d’une q diffusion localisée N+ ou P+ dans la couche épitaxie. Les contacts de la diode sont évidemment pris sur les couches P+ et N+. 2). CARACTERISIQUES DU GaAs SEMI-ISOLANT Le GaAs[26][27]est l’élément représentatif des composés III-V, qui présente une densité de centres profonds importante. Le matériau GaAs préparé par la méthode de Czochralski (Liquid Encapsulated Czochralski : L.E.C ), présente : q Le niveau accepteur peu profond EA (NA) est du au bore et au carbone de l’encapsulant B2O3 . q Le niveau donneur profond EL2, Et (Nt) qui assure la compensation des défauts accepteurs peu profonds présents à l’état naturel (ce niveau occupée est neutre et chargé positivement lorsqu’il est vide). q Un niveau donneur peu profond provenant de la présence de Si. Mais comme nous avons en général NA>ND ; NA sera en fait la densité effective de centres accepteurs peu profonds : avec NA= [ NA(C) – ND(Si) ]. Une condition nécessaire pour que le substrat de GaAs soit semi-isolant est que l’on ait : 86
  99. 99. Annexe B La stru cture étudiée(Diode PIN). Nt > N A q Un centre recombinant efficace Er situé au milieu de la bande interdite dont la densité Nr << Nt. Cela signifie que la capacité à stocker une charge d’espace de ce centre Er est négligeable par rapport à celle du centre Et. ne Ec + EL2 + + EFe Et, Nt Er, Nr EG=1.432 eV _ _ _ pe _ EA, NA Ev Figure (B-1) : Représentation schématique des bandes d’énergie et des niveaux pièges pour le GaAs semi-isolant. 87
  100. 100. Annexe C Le modèle physique. I)-Equations de base des semi-conducteurs : I-1)-Equations électrostatiques : L’équation de Poisson [30] [31] permet de relier le potentiel électrostatique y à la densité formée par les charges dues aux porteurs libres et aux impuretés(supposées totalement ionisées). r ( ) div egrady =-r . Pour les semi-conducteurs supposés homogènes, c’est à dire pour une permittivité e indépendante de la position, on obtient l’équation de Poisson sous la forme : ( r ) e. div grady =-r . où : e = e .e La permittivité diélectrique du semi-conducteur. 0 r r : La densité de charges libres qui s’écrira dans le cas général : r = q.( p - n + N+D - N-A – nr ). q: La charge élémentaire = 1.6.10-19C. p et n : Les densités de trous et d’électrons libres . N+D et N-A : Les densités de donneurs et d’accepteurs ionisées. nr : La charge piégée sur un centre profond. Dans le cas où il existe n centres n profonds on remplace nr par : ånr . i i =1 88
  101. 101. Annexe C Le modèle physique. I-2)-Equations de continuité : Les équations de continuité [31] expriment la conservation des porteurs dans un élément de volume. ¶n = 1 divrn -U + G . j n opt ¶t q r ¶p = - 1 divj p - Up + Gopt . q ¶t Où Un et Up représentent respectivement les taux nets de transports d’électrons sur le centre ER en provenance de la bande de conduction, et de trous vers la bande de valence en provenance de ER . Gopt permet de prendre en compte la génération optique bande à bande. 89

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