2. Interpolación polinómica
s un método usado para
conocer, de un modo
aproximado, los valores que
toma cierta función de la
cual sólo se conoce su
imagen en un número finito de
abscisas. A menudo, ni siquiera se
conocerá la expresión de la función y
sólo se dispondrá de los valores que
toma para dichas abscisas.
El objetivo será hallar un polinomio
que cumpla lo antes mencionado y
que permita hallar aproximaciones de
otros valores desconocidos para la
función con una precisión deseable
fijada. Por ello, para cada polinomio
interpolador se dispondrá de una
fórmula del error de interpolación que
permitirá ajustar la precisión del
polinomio.
Se llama interpolación polinómica
al proceso de hallar un polinomio
de grado menor o igual a m
E

3. Quien descubre la interpolación
polinómica de Lagrange
ue descubierto
por Edward
Waring en 1779
y redescubierto más
tarde por Leonhard
Euler en 1783.En
análisis numérico.
El polinomio de
Lagrange, llamado así
en honor a Joseph-
Louis de Lagrange, es
el polinomio que
interpola un conjunto
de puntos dado en la
forma de Lagrange.
Aunque el polinomio
interpolador de
Lagrange se emplea
mayormente para
interpolar funciones e
implementar esto
fácilmente en una
computadora, también
tiene otras
aplicaciones en el
campo del álgebra
exacta, lo que ha
hecho más célebre a
este polinomio, por
ejemplo en el campo
de los proyectores
ortogonales:Sea un
espacio vectorial
complejo de dimensión
finita E en el que
definimos un producto
escalar
F

4. Polinomios Interpolantes
de Newton-Gregory y
Gauss
olinomio Interpolante de
Newton-Gregory Cuando la
función ha sido tabulada, se
comporta como un polinomio, se le
puede aproximar al polinomio que se
le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un
conjunto de puntos equiespaciados,
es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Newton-Gregory (en
avance y retroceso).
Polinomio Interpolante de Gauss Hay
una gran variedad de fórmulas de
interpolación además del Método de
Newton-Gregory, difieren de la forma
de las trayectorias tomadas en la
tabla de diferencias; Por ejemplo la
fórmula del Polinomio Interpolante de
Gauss (en avance y retroceso),
donde la trayectoria es en forma de
Zig-Zag, es decir los valores desde el
punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-zag.
P

5. Interpolación De Hermite
La gran ventaja de la
interpolación de
Hêrmite es que al
derivar en ciertos
puntos el polinomio de
interpolación, sus
derivadas valen igual
que las derivadas de la
función original,
además de interpolar.
El precio a pagar es
que el polinomio será
de n grados más alto
de lo necesario.
Las aplicaciones que
puede tener por
ejemplo es si tú tienes
información de la
longitud, velocidad y
tiempo sobre un
vehículo, con el
polinomio de Hêrmite
puedes recoger toda
esa información, sin
perderla. (Las
velocidades serían las
derivadas).Aquí
buscamos un
polinomio por pedazos
Hn(x) que sea cúbico
en cada subintervalo, y
que interpole a f(x) y
f'(x) en los puntos . La
función Hn(x) queda
determinada en forma
única por estas
condiciones y su
cálculo requiere de la
solución de n sistemas
lineales de tamaño 4x4
cada uno. La
desventaja de la
interpolación de
Hermite es que
requiere de la
disponibilidad de los lo
cual no es el caso en
muchas en muchas
aplicaciones.

6. Aplicación De Los Métodos
Numéricos De Interpolación En
La Resolución De Problemas
Una gran cantidad de problemas
físicos están descritos por ecuaciones
diferenciales en las que interviene un
operador Laplaciano (la ecuación de
Laplace, la ecuación de onda, la
ecuación de Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas ecuaciones
corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale
decir, ecuaciones de autovalores para
un operador diferencial autoadjunto.
No entraremos en los detalles de esta
discusión. Sólo diremos que los
polinomios de Hermite son un caso
particular de soluciones a un
problema de Sturm-Liouville. Dichas
soluciones forman un conjunto
completo y ortogonal, con cierta fu
nción de peso.