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  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 7 : Anticipations du march´e Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 17 f´evrier 2016
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Table de mati`ere Anticipations du march´e Estimation des rendements Estimation des variances et corr´elations Mod`ele EWMA
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Table de mati`ere Anticipations du march´e Estimation des rendements Estimation des variances et corr´elations Mod`ele EWMA
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Rendement moyen Pour former les anticipations du march´e, nous sommes int´eress´es par l’esp´erance math´ematique du rendement futur Et Rt+1 compte tenu de l’information que nous disposons aujourd’hui. Pour les rendements ind´ependants, Et Rt+1,t = E Rt+1,t. Pour une s´erie stationnaire, E Rt+1,t = µR et la moyenne d’´echantillon des rendements observ´es ˆµR = 1 N N−1 i=0 rt−i repr´esente un estimateur non biais´e pour l’esp´erance math´ematique de la distribution inconditionnelle E ˆµR = µR.
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA L’erreur du rendement moyen L’allocation d’actif est tr`es sensible `a l’estimation du rendement. L’erreur type du rendement moyen : σˆµR = σR √ N o`u N est le nombre d’observations, σR est l’´ecart type du rendement. L’erreur statistique de l’estimation de rendement ±1.96 σˆµR peut ˆetre plus grande que la moyenne du rendement !
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Exemple : l’erreur du rendement mensuel 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Date Rendement
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Comment r´eduire l’erreur ? ´Etendre l’historique N ↑ ⇒ σˆµR = σR √ N ↓, µR σˆµR ↑ Est-ce que les donn´ees pour des p´eriodes ´eloign´ees sont toujours pertinentes ? Changer la fr´equence ? Rτ+T,τ = Rτ+T,τ+T−1 + Rτ+T−1,τ+T−2 + · · · + Rτ+1,τ o`u, par exemple, T = 21 pour jour → mois . E Rτ+T,τ = µR · T, VRτ+T,τ = σ2 R · T, N = N T V ˆµRτ+T,τ = σR · √ T N /T = σˆµR · T
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Exemple : l’erreur du rendement quotidien 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Date Rendement
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Comparaison : rendements mensuels/quotidiens −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Date Rendement −4 −2 0 2 4 x 10 −3 Date
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Chevauchement d’intervalles (1) On cherche l’estimation du rendement mensuel ˆµRT (T = 21 jours) `a partir de N = 2520 observations quotidiennes. Pour les intervalles sans chevauchement, il y a N /T = 120 observations. L’´ecart type du rendement moyen σRτ+T,τ N /T = σR √ T N /T = σR T √ N Pourrait-on profiter du grand nombre (et de la relativement petite variance) des rendements mensuels et du grand nombre d’observations quotidiennes en mˆeme temps ?
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Chevauchement d’intervalles (2) Pour les intervalles avec chevauchement, rt,t−T , rt−1,t−T−1, . . . le nombre d’observations est n = N − T + 1. Cependant, l’´ecart type du rendement moyen n’est pas ´egale `a σR √ T √ n parce que les rendements mensuels ne sont plus ind´ependants. Le vrai ´ecart type du rendement moyen est σRT √ n 1 − T2 − 1 3nT
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA L’estimateur de James-Stein (1) Le choix du portefeuille d´epend des rendements de plusieurs actifs. L’estimateur devrait minimiser une certaine fonction d’erreur totale au lieu des erreurs pour chacun de rendements. L’estimateur de James-Stein ˆµJS pour un vecteur de rendements moyens ˆµ (i) JS = (1 − ˆw) ˆµ (i) R + ˆwµ0 o`u ˆw est un certain poids optimal, ˆµ (i) R est le rendement moyen pour l’actif i, µ0 est une n’importe quelle constante
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA L’estimateur de James-Stein (2) L’estimateur de James-Stein est biais´e, mais plus efficace que ˆµR selon une certaine fonction d’erreur quadratique. Voir P. Jorion. Bayes-Stein Estimation for Portfolio Analysis. Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1986. 21(3). 279–92 pour plus de d´etails.
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Rendement arithm´etique compos´e Si on veut pr´edire des rendements arithm´etiques compos´es (par exemple, un rendement annuel en utilisant les donn´ees mensuelles, T = 12) Et Rt+T,t et les rendements sont ind´ependants et identiquement distribu´es, Et Rt+T,t = [E (1 + Rt+1,t)]T − 1 = (1 + µR)T − 1. Probl`emes : Mˆeme si µR est connu pr´ecis´ement, (1 + µR ) T − 1 ne repr´esente pas bien les rendements observ´es. En raison de l’erreur d’estimation de ˆµR , l’estimateur (1 + ˆµR ) T − 1 est biais´e.
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 1 : p´eriode de composition T = 60 −1 0 1 2 3 4 5 6 0 2000 4000 6000 8000 Rendement, T =60 Nombred’observations,m=500000 N. d’obs. Moyenne Mediane
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 1 : p´eriode de composition T = 120 −1 0 1 2 3 4 5 6 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Rendement, T =120 Nombred’observations,m=500000 N. d’obs. Moyenne Mediane
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 1 en Matlab mu = (1+11.8/100)^(1/12)-1; sigma = 20.3 / 100 / sqrt(12); T = 120; % P´eriode de composition m = 5e5; % Nombre d’essais rT = zeros(m,1); for i = 1:m % T rendements al´eatoires r = normrnd( mu, sigma, 1, T ); % Rendement compos´e rT(i) = prod( 1 + r, 2 )-1; end; ErT = ( 1 + mu )^T - 1; % Moyenne MrT = median(rT); % M´ediane
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 1 : solution approximative ln (1 + Rt+1,t) ∼ N µ, σ2 E Rt+1,t = exp µ + σ2 2 − 1 = µR σ2 R = exp σ2 − 1 (1 + µ)2 σ2 = ln 1 + σR 1 + µ 2 ≈ σ2 R µ = ln (1 + µR) − σ2 2 ≈ µR − σ2 R 2 La m´ediane de exp [ln (1 + Rt+T,t)] est ´egale `a l’exp de la m´ediane de ln (1 + Rt+T,t), c.-`a-d. `a exp (µT). Plus g´en´eralement, le rendement m´edian compos´e ≈ exp [E ln (1 + Rt+T,t) T] − 1.
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 2 : l’estimateur biais´e ˆµR = 1 N N−1 i=0 rt−i , EˆµR = µR E (1 + ˆµR)T = (1 + µR)T
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 2 : p´eriode de composition T = 60 −1 0 1 2 3 4 5 6 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Rendement, T =60 Nombred’observations,m=500000 N. d’obs. M. estim. Vraie m.
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 2 : p´eriode de composition T = 120 −1 0 1 2 3 4 5 6 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Rendement, T =120 Nombred’observations,m=500000 N. d’obs. M. estim. Vraie m.
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 2 en Matlab N = 120; % Nombre de donn´ees T = 120; % P´eriode de composition m = 5e5; % Nombre d’essais % Estimations du rendement compos´e muTe = ( 1 + normrnd( mu, sigma / sqrt( N ),... m, 1 ) ) .^ T - 1; % L’esp´erance math´ematique estim´ee EmuTe = mean( muTe ); % La vraie esp´erance math´ematique muT = ( 1 + mu ) ^ T - 1;
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Probl`eme 2 : le biais Si ˆµR ∼ N µR, σ2 R /N E (1 + ˆµR)T = (1 + µR)T ×   1 + [T/2] k=1 T! 2k (T − 2k)!k!   σR √ N 1 + µR   2k   
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Table de mati`ere Anticipations du march´e Estimation des rendements Estimation des variances et corr´elations Mod`ele EWMA
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Matrice de covariance La variance, la covariance et la corr´elation : σ2 Ri ≡ V Ri ≡ E (Ri − E Ri )2 , σRi Rj ≡ cov (Ri , Rj ) ≡ E (Ri − E Ri ) (Rj − E Rj ) , ρRi Rj ≡ corr (Ri , Rj ) = σRi Rj σRi σRj La matrice de covariance Σ = σRi Rj =      σ2 R1 σR1R2 . . . σR1Rn σR1R2 σ2 R2 . . . σR2Rn ... ... ... ... σR1Rn σR2Rn . . . σ2 Rn      Tout ensemble, elles permettent de quantifier le risque du portefeuille.
  26. 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Covariance vs. corr´elation σRi Rj = (σRi ) ρRi Rj (σRi )T      σ2 R1 σR1R2 . . . σR1Rn σR1R2 σ2 R2 . . . σR2Rn ... ... ... ... σR1Rn σR2Rn . . . σ2 Rn      =      σR1 0 . . . 0 0 σR2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . σRn           1 ρR1R2 . . . ρR1Rn ρR1R2 1 . . . ρR2Rn ... ... ... ... ρR1Rn ρR2Rn . . . 1      ×      σR1 0 . . . 0 0 σR2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . σRn     
  27. 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Variance vs. volatilit´e Volatilit´e est l’´ecart type annualis´e de rendements logarithmiques Si les rendements logarithmiques sont ind´ependants et identiquement distribu´es, Rt+T,t = Rt+T,t+N−1 + Rt+N−1,t+T−2 + · · · + Rt+1,t E Rt+T,t = TµR, E (Rt+T,t − E Rt+T,t)2 = Tσ2 R La moyenne annualis´ee : µR · T La variance annualis´ee : σ2 R · T L’´ecart type annualis´e (volatilit´e) : σR · √ T
  28. 28. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Volatilit´e : exemple Le rendement moyen et l’´ecart type des rendements quotidiens de l’indice S&P/TSX µR = 1.87·10−4 = 0.0187%, σR = 0.0119 = 1.19% La moyenne annualis´ee, T = 252 µa R = µR · T = 1.87 · 10−4 · 252 = 0.0470 = 4.70% La volatilit´e σa R = σR · √ T = 0.0119 · √ 252 = 0.189 = 18.9%
  29. 29. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Variance de rendements compos´es Si les rendements ne sont pas ind´ependants, disons Rt+1,t = α+ρRt,t−1+εt, εt ∼ iid 0, σ2 , |ρ| < 1 V Rt+T,t = = σ2 T + 2ρ (1 − ρ)2 (T − 1) (1 − ρ) − ρ 1 − ρT−1 Exemple : ρ = −0.05, σ = 0.0119, V Rt+T,t = 0.179 On observe une sur-estimation de 5% environs de la volatilit´e si l’autocorr´elation est ignor´ee.
  30. 30. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Estimation de la variance Pour former les anticipations du march´e, nous sommes int´eress´es par la variance du rendement futur Et (Rt+1 − Et Rt+1)2 . compte tenu de l’information que nous disposons aujourd’hui. Pour les rendements ind´ependants Et ≡ E Pour une s´erie stationnaire, la variance est constante. La moyenne ´equipond´er´ee ˆσ2 R = 1 N − 1 N−1 i=0 (rt−i − ˆµR)2 repr´esente un estimateur non biais´e de la variance inconditionnelle E ˆσ2 R = σ2 R.
  31. 31. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Estimation des corr´elations En utilisant la mˆeme logique : ˆσRi ,Rj = 1 N − 1 N−1 k=0 (ri,t−k − ˆµRi ) rj,t−k − ˆµRj Notons que les estimateurs ˆσR = ˆσ2 R, ˆρRi Rj = ˆσRi Rj ˆσRi ˆσRj sont g´en´eralement biais´es, le biais ´etant habituellement petit.
  32. 32. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Erreur d’´echantillonnage Si les observations sont i.i.d., l’estimateur de la variance est non biais´e E ˆσ2 R = σ2 R. L’erreur type de l’estimateur de la variance V ˆσ2 R = σ2 R · 2 N − 1 L’erreur type de l’estimateur de la volatilit´e V ˆσa R σa R ≈ V ˆσ2 R 2σ2 R , V ˆσa R = σa R 2(N − 1) car √ 1 + x ≈ 1 + x/2 quand x est petit.
  33. 33. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Intervalle de confiance (1) Si R ∼ N µR, σ2 R , (N − 1) σ2 R · ˆσ2 R ∼ χ2 N−1 Exemple : N = 252 ; l’intervalle de confiance pour le niveau de confiance 1 − α = 0.95 : χ2 α/2,251 ≈ 209, χ2 1−α/2,251 ≈ 297 (N − 1) ˆσ2 R χ2 1−α/2,N−1 , (N − 1) ˆσ2 R χ2 α/2,N−1 ≈ 0.85 · ˆσ2 R, 1.2 · ˆσ2 R Matlab : N = 252; alpha = 0.05; s2 = nanvar(X); %Calculer la variance de X s2*(N-1)./chi2inv([1-alpha/2 alpha/2], N-1)
  34. 34. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Intervalle de confiance (2) 50 100 150 200 250 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3(N−1)/χ2 ,α=0.05 N
  35. 35. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Intervalle de confiance pour la volatilit´e T (N − 1) ˆσ2 R χ2 1−α/2,N−1 , T (N − 1) ˆσ2 R χ2 α/2,N−1 Exemple : `a partir d’un an des donn´ees quotidiennes, T = 252, N = 252, σR = 0.0119 = 1.19% L’intervalle de confiance pour le niveau de confiance 95% : 252 · 251 297 · 0.0119, 252 · 251 209 · 0.0119 ≈ [0.174, 0.207] = [17.4%, 20.7%]
  36. 36. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Chevauchement d’intervalles (1) L’estimation de la variance n’est donc pas probl´ematique : utiliser la fr´equence maximale disponible, calculer la volatilit´e en utilisant la r`egle de √ T. Si on cherche l’estimation de la variance mensuelle ˆσRT (T = 21 jours) `a partir de N = 252 observations quotidiennes, il faut la calculer comme σR · √ T `a partir de la variance quotidienne. Une approche alternative utilisant les rendements mensuels est moins pr´ecise, parce qu’elle n’implique que 12 observations.
  37. 37. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Chevauchement d’intervalles (2) Une autre alternative existe : pour les intervalles avec chevauchement, rt,t−T , rt−1,t−T−1, . . . le nombre d’observations est n = N − T + 1. Les rendements ne sont plus ind´ependants et l’estimateur de variance est biais´e E ˆσ2 RT = σ2 RT · T · 1 − (T − 1)(3n − T − 1) 3n(n − 1) Pour N = 252, T = 21, le biais est de 8%. Cependant, cette approche est de ∼ 1/3 plus pr´ecise que celle sans chevauchements et peut ˆetre utilis´ee si l’emploi de la r`egle de √ T n’est pas souhaitable.
  38. 38. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Limitations de l’approche ´equipond´er´ee L’estimateur ´equipond´er´e est pour la variance inconditionnelle quand les rendements sont i.i.d. La p´eriode d’observation devrait donc ˆetre longue. Un rendement extrˆeme influence l’estimation lorsqu’il est dans la fenˆetre d’observation. Lorsqu’il quitte la fenˆetre, la volatilit´e diminue, ce qui est compl`etement artificiel.
  39. 39. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Exemple : les rendements de S&P/TSX Composite 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Date Rendement Rend. TSX Ec. type 21j Ec. type 63j Ec. type 1an
  40. 40. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Exemple : la corr´elation entre S&P/TSX Composite et S&P 500 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Date Correlation Corr. 21j Corr. 63j Corr. 1an
  41. 41. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Table de mati`ere Anticipations du march´e Estimation des rendements Estimation des variances et corr´elations Mod`ele EWMA
  42. 42. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Mod`ele EWMA Exponentially weighted moving average ˆσ2 R,t = λˆσ2 R,t−1 + (1 − λ) r2 t−1 = (1 − λ) ∞ k=1 λk−1 r2 t−k ˆσRi Rj ,t = λˆσRi Rj ,t−1 + (1 − λ) ri,t−1rj,t−1 = (1 − λ) ∞ k=1 λk−1 ri,t−krj,t−k Si R ∼ i.i.d 0, σ2 R , les estimations du mod`ele EWMA sont non biais´ees E ˆσ2 R,t = λE ˆσ2 R,t−1 + (1 − λ) E r2 t−1 = σ2 R
  43. 43. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA EWMA : l’erreur d’estimation Si R ∼ N 0, σ2 R V ˆσ2 R,t = 2σ4 R · 1 − λ 1 + λ L’erreur type de la volatilit´e V ˆσR,t ≈ σR 1 − λ 2(1 + λ) Pour λ = 0.96 V ˆσR,t σR,t ≈ 1 − 0.96 2 · (1 + 0.96) ≈ 10% L’erreur r´eelle est plus grande parce que l’historique est limit´ee.
  44. 44. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA EWMA : ´ecart type 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Date Rendement Rend. TSX λ=0.9 λ=0.96 Ec. type 63j
  45. 45. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA EWMA : corr´elation 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ=0.9 λ=0.96 Ec. type 63j
  46. 46. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA EWMA en Matlab N = length(r1); lambda = 0.95; V = zeros(N,3); % Deux variances et la covariance for j = 2:length(r1) % Attention aux NaNs! if(isnan(r1(j))||isnan(r2(j))) V(j,:)= V(j-1,:); else V(j,:) = lambda * V(j-1,:)+ (1-lambda)... *[r1(j-1)^2 r2(j-1)^2 r1(j-1)*r2(j-1)]; end end % Les ´ecarts type et la corr´elation V(:,1:2) = sqrt( V(:,1:2)); V(:,3) = V(:,3)./ V(:,1) ./ V(:,2);
  47. 47. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e Rendements Var. et corr. EWMA Conclusion Les m´ethodes discut´ees ci-dessus d’estimation de la variance se basent sur l’hypoth`ese que les rendements sont i.i.d. La m´ethode equipond´er´ee est fortement influenc´ee par le choix de la fenˆetre d’observation. Le mod`ele EWMA permet d’´eviter la dynamique artificielle apport´ee par des p´eriodes d’ d’une tr`es forte volatilit´e. Cependant, il pr´esume toujours que les rendements sont i.i.d. Nos estimations des erreurs d’´echantillonnage s’appuient sur l’hypoth`ese que les rendements sont distribu´es selon la loi normale.

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