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  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 8 : Mod´elisation du rendement Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 25 f´evrier 2015
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Table de mati`ere Anticipations du march´e Mod`ele EWMA Mod´elisation du rendement Approche stochastique `a la mod´elisation des rendements Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles ARMA Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles GARCH
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Table de mati`ere Anticipations du march´e Mod`ele EWMA Mod´elisation du rendement Approche stochastique `a la mod´elisation des rendements Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles ARMA Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles GARCH
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Mod`ele EWMA Exponentially weighted moving average ˆσ2 R,t = λˆσ2 R,t−1 + (1 − λ) r2 t−1 = (1 − λ) ∞ k=1 λk−1 r2 t−k ˆσRi Rj ,t = λˆσRi Rj ,t−1 + (1 − λ) ri,t−1rj,t−1 = (1 − λ) ∞ k=1 λk−1 ri,t−krj,t−k Si R ∼ i.i.d 0, σ2 R , les estimations du mod`ele EWMA sont non biais´ees E ˆσ2 R,t = λE ˆσ2 R,t−1 + (1 − λ) E r2 t−1 = σ2 R
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH EWMA : l’erreur d’estimation Si R ∼ N 0, σ2 R V ˆσ2 R,t = 2σ4 R · 1 − λ 1 + λ L’erreur type de la volatilit´e V ˆσR,t ≈ σR 1 − λ 2(1 + λ) Pour λ = 0.96 V ˆσR,t σR,t ≈ 1 − 0.96 2 · (1 + 0.96) ≈ 10% L’erreur r´eelle est plus grande parce que l’historique est limit´ee.
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH EWMA : ´ecart type 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Date Rendement Rend. TSX λ=0.9 λ=0.96 Ec. type 63j
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH EWMA : corr´elation 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ=0.9 λ=0.96 Ec. type 63j
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH EWMA en Matlab N = length(r1); lambda = 0.95; V = zeros(N,3); %Deux variances et la covariance for j = 2:length(r1) %Attention aux NaNs! if(isnan(r1(j))||isnan(r2(j))) V(j,:)= V(j-1,:); else V(j,:) = lambda * V(j-1,:)+ (1-lambda)... * [r1(j-1)^2 r2(j-1)^2 r1(j-1)*r2(j-1)]; end end %Les ´ecarts type et la corr´elation V(:,1:2) = sqrt( V(:,1:2)); V(:,3) = V(:,3)./ V(:,1) ./ V(:,2);
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Conclusion Les m´ethodes discut´ees ci-dessus d’estimation de la variance se basent sur l’hypoth`ese que les rendements sont i.i.d. La m´ethode equipond´er´ee est fortement influenc´ee par le choix de la fenˆetre d’observation. Le mod`ele EWMA permet d’´eviter la dynamique artificielle apport´ee par des p´eriodes d’ d’une tr`es forte volatilit´e. Cependant, il pr´esume toujours que les rendements sont i.i.d. Nos estimations des erreurs d’´echantillonnage s’appuient sur l’hypoth`ese que les rendements sont distribu´es selon la loi normale.
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Table de mati`ere Anticipations du march´e Mod`ele EWMA Mod´elisation du rendement Approche stochastique `a la mod´elisation des rendements Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles ARMA Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles GARCH
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Rendements stochastiques Les rendements sont sens´es d’ˆetre al´eatoires. Par exemple, les rendements logarithmiques sont fr´equemment sens´es d’ˆetre distribu´es selon la loi normale, ce qui donne le mouvement brownien g´eom´etrique pour les prix. Les rendements stochastiques sont utilis´es pour l’´evaluation des produits d´eriv´es (par exemple le mod`ele de Black & Scholes) et pour la mod´elisation de Monte-Carlo.
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Exemple : rendements stochastiques Les estimations de rendement moyen et de la variance µR = 2.7%, σR = 18.7% Le processus pour les rendements et les prix : Rt = µR · ∆t + Wt · σR √ ∆t, Pt = Pt−∆t · exp Rt o`u ∆t est l’incr´ement du temps (disons, 1/252 ans), Wt ∼ N (0, 1). Matlab : m = 100; %nombre de simulations n = 252; %nombre d’incr´ements du temps R = normrnd(mu_R/n, sigma_R/sqrt(n), n, m); P = 100*cumprod(exp(R),1);
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Exemple : Monte-Carlo 50 100 150 200 250 40 60 80 100 120 140 160 180
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Table de mati`ere Anticipations du march´e Mod`ele EWMA Mod´elisation du rendement Approche stochastique `a la mod´elisation des rendements Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles ARMA Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles GARCH
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Mod`eles ARMA Autoregressive – moving average, ARMA(p, q) : rt = µ+ p i=1 θi rt−i +εt + q i=1 αi εt−i , εt ∼ N 0, σ2 La valeur de q peut ˆetre trouv´ee en utilisant la fonction d’autocorr´elation, tandis que pour d´eterminer p, il faut analyser la fonction d’autocorr´elation partielle. Le mod`ele tient compte du fait que les rendements ne sont pas ind´ependants.
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Fonction d’autocorr´elation La fonction d’autocorr´elation ACF(τ) = corr (Rt, Rt−τ ) La fonction d’autocorr´elation partielle est la fonction de corr´elation entre Rt et Rt−τ obtenue lorsque l’influence de Rt−1, Rt−2, . . ., Rt−τ+1 a ´et´e retir´ee. Matlab : autocorr(R); %Attention aux NaNs! parcorr(R);
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Rendements de l’indice S&P 500 : ACF 0 5 10 15 20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag SampleAutocorrelation Sample Autocorrelation Function
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Rendements de l’indice S&P 500 : PACF 0 5 10 15 20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag SamplePartialAutocorrelations Sample Partial Autocorrelation Function
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH ARMA : estimation Essayons ARMA(2, 2) : Mdl = arima(2,0,2); [eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH ARMA(2, 2) ARIMA(2,0,2) Model: -------------------- Conditional Probability Distribution: Gaussian Standard t Parameter Value Error Statistic ----------- ----------- ---------- ---------- Constant 0.0002685 0.0002907 0.9236 AR{1} -0.2359 0.2795 -0.84 AR{2} 0.0231 0.1216 0.1899 MA{1} 0.1226 0.2803 0.438 MA{2} -0.1022 0.1455 -0.7026 Variance 0.0001639 2.04e-06 80.33
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH ARMA : estimation Essayons ARMA(2, 2) : Mdl = arima(2,0,2); [eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R); Le crit`ere d’information d’Akaike : AIC = −14 503. aic = aicbic(logL, 5); Pour ARMA(1, 1) et AR(2), AIC = −14 507, AR(2) ´etant marginalement pr´ef´erable Mdl = arima(2,0,0); [eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH AR(2) ARIMA(2,0,0) Model: -------------------- Conditional Probability Distribution: Gaussian Standard t Parameter Value Error Statistic ----------- ----------- ------------ ----------- Constant 0.000260 0.0002698 0.9638 AR{1} -0.1132 0.0116 -10.15 AR{2} -0.06328 0.008705 -7.269 Variance 0.000164 2.028e-06 80.8
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH ARMA :pr´evisions Mdl = arima(2,0,0); eMdl = estimate( Mdl, R( 1:(end-21) ) ); [Rf,MSE] = forecast(eMdl,21, ’Y0’, R(1:(end-21))); plot([R( (end-20):end ) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)... Rf+1.96*sqrt(MSE) ]); Les pr´evisions convergent tr`es rapidement vers la moyenne. La variance conditionnelle est constante.
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH ARMA : pr´evisions 5 10 15 20 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 Rendement Jours
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Table de mati`ere Anticipations du march´e Mod`ele EWMA Mod´elisation du rendement Approche stochastique `a la mod´elisation des rendements Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles ARMA Mod´elisation ´econom´etrique des rendements : mod`eles GARCH
  26. 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Mod`eles GARCH Le mod`ele GARCH (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) permet d’estimer la variance conditionnelle σ2 t+1 = V (εt+1 |εt, εt−1, . . . ) Le mod`ele GARCH(p, q) : rt = µ + n i=1 θi rt−i + εt εt |εt−1, εt−2, . . . ∼ N 0, σ2 t σ2 t = ω + p i=1 αi ε2 t−i + q i=1 βi σ2 t−i
  27. 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : sp´ecification (1) Pour d´eterminer si l’effet ARCH est pr´esent, il faut analyser les fonctions d’autocorr´elation des r´esidus carr´es du mod`ele ARMA retenu ou effectuer les tests statistiques correspondants. Matlab : Mdl = arima(2,0,0); %Le mod`ele AR(2) retenu eMdl = estimate(Mdl, R); res = infer(eMdl, R); %Les r´esidus autocorr(res.^2); %ACF parcorr(res.^2); %PACF
  28. 28. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : sp´ecification (2) 0 5 10 15 20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag SampleAutocorrelation Sample Autocorrelation Function
  29. 29. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : sp´ecification (3) 0 5 10 15 20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag SamplePartialAutocorrelations Sample Partial Autocorrelation Function
  30. 30. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : estimation (1) Si l’effet ARCH est pr´esent, le mod`ele GARCH(1, 1) est habituellement suffisant. Matlab : Mdl = arima(’ARLags’, [1 2],... ’Variance’, garch(1,1)); eMdl = estimate(Mdl, R); %Les r´esidus et les variances conditionnelles [res, V] = infer(eMdl, R);
  31. 31. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : estimation (2) Standard t Parameter Value Error Statistic ----------- ----------- ------------ ----------- Constant 0.0006578 0.0001682 3.912 AR{1} -0.05994 0.02408 -2.489 AR{2} -0.01947 0.02157 -0.903 ----------- ----------- ------------ ----------- Constant 2.140e-06 5.834e-07 3.668 GARCH{1} 0.8760 0.01090 80.2 ARCH{1} 0.1069 0.009236 11.58
  32. 32. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : estimation (3) 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Date Rendement
  33. 33. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : pr´evisions (1) Les pr´evisions pour les rendements et pour les variances conditionnelles : Mdl = arima(’ARLags’, [1 2], ’Variance’,... garch(1,1)); eMdl = estimate(Mdl, R(1:(end-21))); [Rf, MSE, Vf] = forecast(eMdl,21, ’Y0’,... R(1:(end-21))); plot([R( (end-20): end) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)... Rf+1.96*sqrt(MSE) sqrt(Vf)]); La volatilit´e inconditionnelle ˆσR = ˆω 1 − p i=1 ˆαi − q i=1 ˆβi
  34. 34. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : pr´evisions (2) 5 10 15 20 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 Rendement Jours
  35. 35. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH GARCH : modifications Nombreuses modifications de GARCH existent : Diff´erentes formes fonctionnelles (A-GARCH, E-GARCH. . .) Des distributions des r´esidus autres que la loi normale (t GARCH) Mod`eles GARCH multivari´es permettent de capturer la dynamique de la corr´elation. ´Evidemment, les mod`eles GARCH peuvent ˆetre utilis´es dans les simulations Monte-Carlo. Voir : Alexander, C. Market Risk Analysis : Vol. 2. Practical Financial Econometrics. John Wiley & Sons, Ltd., 2008. Tsay, R.S. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sons, Inc., 2002.
  36. 36. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Anticipations du march´e EWMA Mod´elisation du rendement Stochastique ARMA GARCH Activit´e Construire les mod`eles EWMA et GARCH pour la s´erie de rendement de l’indice S&P/TSX Composite et comparer les r´esultats.

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