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FIM702: lecture 5

  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 10 : Estimation de la V`aR Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 18 mars 2015
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Table de mati`ere Valeur `a risque Approche historique `a l’estimation de V`aR Simulation historique filtr´ee M´ethode de Monte-Carlo de l’estimation de V`aR
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Table de mati`ere Valeur `a risque Approche historique `a l’estimation de V`aR Simulation historique filtr´ee M´ethode de Monte-Carlo de l’estimation de V`aR
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo D´efinition La V`aR historique est un quantile de la distribution empirique des pertes actualis´ees. La s´erie de rendements historiques pour le portefeuille est construite en utilisant les positions du portefeuille actuel et les rendements historiques des actifs d´etenus, si disponibles, les mappages permettant une r´e´evaluation compl`ete et l’historique des facteurs de risque. Le mod`ele n’est donc pas lin´eaire. Aucun matrice de covariance n’est estim´ee.
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : V`aR historique pour l’indice TSX >> alpha = 0.01; >> VaR = - quantile( rts, alpha ) VaR = 3.4496
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : V`aR historique pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆V , $, V0 = 100$ Nombred’observations
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : le portefeuille 50 actions de la Banque Royale du Canada, 75.85$ · 50 ≈ 3783$ 50 obligations US TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020, 92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$ 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$ V π 0 = 9998$
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : V`aR historique pour le portefeuille >> vrbc = rbc * 50; >> vtb = 50*100 * usdcad ./(1 + y5y / 100 ).^T; >> vusd = 300 * usdcad; >> prtf = vrbc + vtb + vusd; >> alpha = 0.01; >> VaR = - quantile( diff( prtf ), alpha) VaR = 108.3509
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Pr´ecision de la V`aR historique Pr´ecision de l’estimation de quantile peut ˆetre calcul´ee en utilisant la m´ethode bootstrap. Pour 10 ans d’observation quotidiennes de l’indice TSX >> VaR =@(x)-quantile(x, alpha); >> CI = bootci(2000, {VaR, rts}, ’alpha’, 0.05) CI = 3.1989 4.0353
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo L’intervalle de confiance pour la V`aR historique 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 50 100 150 200 250 300 VaR, $, V0 = 100$ Nombred’observations
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Difficult´es La queue de distribution doit contenir assez d’observations pour atteindre la pr´ecision requise. L’historique de plusieurs ann´ees de donn´ees quotidiennes est donc utilis´e. Des changements structurels peuvent poser des probl`emes. La r`egle de racine carr´ee du temps ne fonctionne pas. Sous l’hypoth`ese d’une distribution stable VaR1−α,T = T1/ξ VaR1−α,1 Les exposants d’´echelle sont diff´erents pour diff´erents classes d’actifs et facteurs de risque. Une certaine approche est donc n´ecessaire pour recalculer la V`aR `a un autre horizon.
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : S&P 500, 1950–2015 10 0 10 1 10 2 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 2.20 α = 0.010, ξ = 1.76 α = 0.050, ξ = 2.09 α = 0.100, ξ = 2.31
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : 3M TB yield, 1960–2015 10 0 10 1 10 2 10 −2 10 −1 10 0 10 1 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 1.57 α = 0.010, ξ = 1.58 α = 0.050, ξ = 1.60 α = 0.100, ξ = 1.44
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : VIX, 1990–2015 10 0 10 1 10 2 10 −2 10 −1 10 0 T, jours −Quantileα α = 0.001, ξ = 3.63 α = 0.010, ξ = 3.02 α = 0.050, ξ = 2.85 α = 0.100, ξ = 2.79
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo L’effet de l’exposant d’´echelle La diff´erence entre T1/ξ et T1/2 par rapport `a T1/2 : T ξ 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0 2, j 12% 4% −2% −6% −9% −11% 10 47 14 −5 −17 −26 −32 60 98 26 −9 −29 −41 −49 252 151 36 −12 −37 −51 −60
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo L’exposant d’´echelle en Matlab T = 1:100; for i = 1:length(T) P1 = P( 1:T(i):end ); %P contient les prix r = log( P1( 2:end ) ./ P1( 1:(end-1) ); q(i, :) = - quantile( r, alpha ); end for i = 1:length(alpha) lm = fitlm( log( q(:,i) ), log(T) ); xi(i) = lm.Coefficients.Estimate(2); end
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Mod`eles avec pond´eration La pr´ecision de la V`aR historique est d´etermin´ee par le nombre d’observations dans la queue ⇒ l’historique est long. Dans la m´ethode simple, des observations anciennes font la mˆeme contribution que celles plus r´ecentes. Dans le mod`ele lin´eaire, la matrice de covariances peut ˆetre estim´ee en utilisant l’approche EWMA. M´ethodes de pond´eration pour la V`aR historique : pond´eration exponentielle des probabilit´es, ajustement des volatilit´es.
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Pond´eration exponentielle des probabilit´es Assigner les probabilit´es aux rendements observ´es : pt−1 = 1 − λ, pt−2 = (1 − λ) · λ, pt−3 = (1 − λ) · λ2 , . . . Trier les rendements dans l’ordre croissant Calculer la probabilit´e cumulative jusqu’`a l’atteint de α −VaR1−α est entre les dernier et avant-dernier rendements inclus (multiplier par la valeur du portefeuille si en termes mon´etaires). Exemple : V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant 10 ans d’observations (V0 = 100$) VaRλ=0.99 99% = 2.42$, VaRλ=0.995 99% = 2.28$
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX −10 −5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ∆V , $, V0 = 100$ Prob.cumul. 1/N λ = 0.99 λ = 0.995
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo La pond´eration des probabilit´es en Matlab N = length( rts ); prb = zeros( N, 1 ); prb( end ) = 1 - lambda; for i=1:( N - 1 ) prb( end - i ) = prb( end - i + 1 ) * lambda; end [rts, ind] = sort( rts ); prb = cumsum( prb( ind ) ); [~, idx] = max( prb>alpha ); p2 = prb( idx ); p1 = prb( idx - 1 ); VaR = - ( rts( idx ) * ( p2 - alpha ) + ... rts( idx - 1 ) * ( alpha - p1 ) ) / ( p2 - p1 );
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Ajustement des volatilit´es L’id´ee est de pond´erer les rendements historiques pour que leur volatilit´e soit ´egale `a la volatilit´e actuelle. Obtenir les s´eries de volatilit´es en utilisant le mod`ele de GARCH (EWMA est aussi parfois utilis´e) Ajuster les rendements : ˜rt = ˆσT ˆσt rt Estimer la V`aR Exemple : V`aR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant 10 ans d’observations est ´egale `a 2.04$ (V0 = 100$).
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo L’ajustement des volatilit´es en Matlab Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ... ’Variance’, garch(1,1) ); eMdl = estimate(Mdl, rts); [res, V] = infer(eMdl, rts); autocorr(res.^2); parcorr(res.^2);
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo L’effet ARCH pour les rendements TSX 0 10 20 0 0.5 1 ACF 0 10 20 0 0.5 1 PACF 0 10 20 0 0.5 1 0 10 20 0 0.5 1
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo L’ajustement des volatilit´es en Matlab Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ... ’Variance’, garch(1,1) ); eMdl = estimate(Mdl, rts); [res, V] = infer(eMdl, rts); autocorr(res.^2); parcorr(res.^2); rts_n = rts ./ sqrt(V) * sqrt( V(end) ); VaR = -quantile( rts_n, alpha );
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : rendements TSX ajust´es 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 −10 0 10 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 −5 0 5 Date
  26. 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Table de mati`ere Valeur `a risque Approche historique `a l’estimation de V`aR Simulation historique filtr´ee M´ethode de Monte-Carlo de l’estimation de V`aR
  27. 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Simulation par la m´ethode de bootstrap (1) L’emploie de l’exposant d’´echelle introduit l’impr´ecision. Estimer un mod`ele GARCH, disons GARCH(1, 1) : ˆσ2 t = ˆω + ˆαr2 t−1 + ˆβˆσ2 t−1 Pr´edire la variance : ˆσ2 t+1 = ˆω + ˆαr2 t + ˆβˆσ2 t Tirer un ˜r des rendements historiques standardis´es : ˜rt = rt ˆσt
  28. 28. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Simulation par la m´ethode de bootstrap (2) Simuler ˆrt+1 = ˆσt+1˜r Continuer avec de nouveaux ˜r pour l’horizon requis : ˆσ2 t+i+1 = ˆω + ˆαˆr2 t+i + ˆβˆσ2 t+i , ˆrt+i = ˆσt+i ˜r Calculer le rendement compos´e R´ep´eter pour calculer le quantile d´esir´e
  29. 29. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Bootstrap en Matlab Mdl = garch(1,1); eMdl = estimate(Mdl, rts); V = infer(eMdl, rts); tilde_r = rts ./ sqrt(V); rep = 2500; %simulations T = 10; %jours N = length(rts); %dispo pour le tirage tirage = tilde_r( unidrnd(N, T, rep) ); [V_sim, r_sim] = filter( eMdl, tirage, ... ’Z0’, tilde_r(end), ’V0’, V(end) ); r_cum = sum( r_sim, 1 ); VaR = - quantile( r_cum, alpha );
  30. 30. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Exemple : bootstrap pour le rendement TSX 2 4 6 8 10 −5 0 5 Rndmnt 2 4 6 8 10 0.5 1 1.5 Ec.type t, jours
  31. 31. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Bootstrap : conclusion Pour le portefeuille, les rendements standardis´es tir´es pour tous les facteurs de risque doivent correspondre au mˆeme t pour refl´eter les corr´elations empiriques. Pour cela, il faut utiliser le mˆeme ensemble des indices al´eatoires unidrnd(N, T, rep) pour tous les facteurs de risque impliqu´es. Pour plus d’information, voir Alexander, Carol, Market Risk Analysis : Vol. 4, Value-at-risk models, John Wiley & Sons, Ltd., 2008. http://www.mathworks.com/help/econ/examples/ using-bootstrapping-and-filtered-historical- simulation-to-evaluate-market-risk.html
  32. 32. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Table de mati`ere Valeur `a risque Approche historique `a l’estimation de V`aR Simulation historique filtr´ee M´ethode de Monte-Carlo de l’estimation de V`aR
  33. 33. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Simulation par la m´ethode de Monte-Carlo L’historique peut ˆetre insuffisant ou limit´e par les changements structurels. La V`aR lin´eaire n’est pas suffisamment pr´ecise. Construire des mod`eles pour les facteurs de risque distribution multivari´ee (normale ou une autre), mod`eles GARCH etc. Simuler un nombre suffisant de trajectoires pour les facteurs de risque selon les mod`eles choisis pour l’horizon d´esir´e Calculer les rendements pour le portefeuille en utilisant les mappages permettant une r´e´evaluation compl`ete selon chacune des trajectoires simul´ees Calculer le quantile d´esir´e du rendement
  34. 34. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Monte-Carlo en Matlab : TSX Mdl = garch(1,1); eMdl = estimate(Mdl, rts); V = infer(eMdl, rts); rep = 2500; %trajectoires T = 10; %jours [V_sim, r_sim] = simulate( eMdl, T, ... ’NumPaths’, rep, ... ’E0’, rts(end)/sqrt( V(end) ), ’V0’, V(end) ); r_cum = sum( r_sim, 1 ); VaR = - quantile( r_cum, alpha );
  35. 35. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Monte-Carlo en Matlab : portefeuille (1) % fr : 1 - RBC, 2 - taux 5 ans, 3 - taux $/$US dfr = [ fr( 2:end, 1 ) ./ fr( 1:(end-1),1 )-1 ... fr( 2:end, 2:3 ) - fr( 1:(end-1), 2:3 ) ]; sigma = nancov(dfr); V0 = Vprtf( fr(end, :) ); % Mappages function v = Vprtf(f) v = f(1)*50 + ... 50*100 * f(3) /(1 + f(2) / 100 )^T + ... 300 * f(3); end
  36. 36. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque V`aR historique Bootstrap Monte-Carlo Monte-Carlo en Matlab : portefeuille (2) for i=1:2500 % simulations R = mvnrnd( zeros(3,1), sigma, 10 ); fr_sim = zeros(1,3); fr_sim(1) = prod( 1+R(:, 1) ) * fr(end, 1); fr_sim(2:3) = sum( R(:, 2:3) ) + fr(end, 2:3); % profits et pertes dV(i) = Vprtf( fr_sim ) - V0; end alpha = 0.01; VaR = -quantile(dV, alpha);

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