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FIM702: lecture 5

  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 10 : Estimation de la V`aR Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 16 mars 2016
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Table de mati`ere Valeur `a risque Simulation historique filtr´ee M´ethode de Monte-Carlo de l’estimation de V`aR
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Table de mati`ere Valeur `a risque Simulation historique filtr´ee M´ethode de Monte-Carlo de l’estimation de V`aR
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Simulation par la m´ethode de bootstrap (1) L’emploie de l’exposant d’´echelle introduit l’impr´ecision. Estimer un mod`ele GARCH, disons GARCH(1, 1) : ˆσ2 t = ˆω + ˆαr2 t−1 + ˆβˆσ2 t−1 Pr´edire la variance : ˆσ2 t+1 = ˆω + ˆαr2 t + ˆβˆσ2 t Tirer un ˜r des rendements historiques standardis´es : ˜rt = rt ˆσt
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Simulation par la m´ethode de bootstrap (2) Simuler ˆrt+1 = ˆσt+1˜r Continuer avec de nouveaux ˜r pour l’horizon requis : ˆσ2 t+i+1 = ˆω + ˆαˆr2 t+i + ˆβˆσ2 t+i , ˆrt+i = ˆσt+i ˜r Calculer le rendement compos´e R´ep´eter pour calculer le quantile d´esir´e
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Bootstrap en Matlab Mdl = garch(1,1); eMdl = estimate(Mdl, rts); V = infer(eMdl, rts); tilde_r = rts ./ sqrt(V); rep = 2500; % simulations T = 10; % jours N = length(rts); % dispo pour le tirage tirage = tilde_r( unidrnd(N, T, rep) ); [V_sim, r_sim] = filter( eMdl, tirage, ... ’Z0’, tilde_r(end), ’V0’, V(end) ); r_cum = sum( r_sim, 1 ); VaR = - quantile( r_cum, alpha );
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Exemple : bootstrap pour le rendement TSX 2 4 6 8 10 −5 0 5 Rndmnt 2 4 6 8 10 0.5 1 1.5 Ec.type t, jours
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Bootstrap : conclusion Pour le portefeuille, les rendements standardis´es tir´es pour tous les facteurs de risque doivent correspondre au mˆeme t pour refl´eter les corr´elations empiriques. Pour cela, il faut utiliser le mˆeme ensemble des indices al´eatoires unidrnd(N, T, rep) pour tous les facteurs de risque impliqu´es. Pour plus d’information, voir Alexander, Carol, Market Risk Analysis : Vol. 4, Value-at-risk models, John Wiley & Sons, Ltd., 2008. http://www.mathworks.com/help/econ/examples/ using-bootstrapping-and-filtered-historical- simulation-to-evaluate-market-risk.html
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Table de mati`ere Valeur `a risque Simulation historique filtr´ee M´ethode de Monte-Carlo de l’estimation de V`aR
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Simulation par la m´ethode de Monte-Carlo L’historique peut ˆetre insuffisant ou limit´e par les changements structurels. La V`aR lin´eaire n’est pas suffisamment pr´ecise. Construire des mod`eles pour les facteurs de risque distribution multivari´ee (normale ou une autre), mod`eles GARCH etc. Simuler un nombre suffisant de trajectoires pour les facteurs de risque selon les mod`eles choisis pour l’horizon d´esir´e Calculer les rendements pour le portefeuille en utilisant les mappages permettant une r´e´evaluation compl`ete selon chacune des trajectoires simul´ees Calculer le quantile d´esir´e du rendement
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Monte-Carlo en Matlab : TSX Mdl = garch(1,1); eMdl = estimate(Mdl, rts); V = infer(eMdl, rts); rep = 2500; % trajectoires T = 10; % jours [V_sim, r_sim] = simulate( eMdl, T, ... ’NumPaths’, rep, ... ’E0’, rts(end)/sqrt( V(end) ), ’V0’, V(end) ); r_cum = sum( r_sim, 1 ); VaR = - quantile( r_cum, alpha );
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Monte-Carlo en Matlab : portefeuille (1) % fr : 1 - RBC, 2 - taux 5 ans, 3 - taux $/$US dfr = [ fr( 2:end, 1 ) ./ fr( 1:(end-1),1 )-1 ... fr( 2:end, 2:3 ) - fr( 1:(end-1), 2:3 ) ]; sigma = nancov(dfr); V0 = Vprtf( fr(end, :) ); % Mappages function v = Vprtf(f) v = f(1)*50 + ... 50*100 * f(3) /(1 + f(2) / 100 )^T + ... 300 * f(3); end
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Monte-Carlo en Matlab : portefeuille (2) for i=1:2500 % simulations R = mvnrnd( zeros(3,1), sigma, 10 ); fr_sim = zeros(1,3); fr_sim(1) = prod( 1+R(:, 1) ) * fr(end, 1); fr_sim(2:3) = sum( R(:, 2:3) ) + fr(end, 2:3); % profits et pertes dV(i) = Vprtf( fr_sim ) - V0; end alpha = 0.01; VaR = -quantile(dV, alpha);
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo L’estimateur de quantile (1) S’il y a N observations i.i.d. R1, . . . , RN, pour estimer le quantile qα = F−1 R (α), on peut utiliser la statistique d’ordre ˆqα = R([nα]). Consid´erons une variable al´eatoire YN(q) YN(q) = 1 N N i=1 1Ri ≤q, 1Ri ≤q ≡ 1, Ri ≤ q 0, Ri > q E1Ri ≤q = FR(q), V1Ri ≤q = FR(q) [1 − FR(q)] Notons qu’asymptotiquement, YN R([nα]) ≈ FR R([nα]) = FR(ˆqα)
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo L’estimateur de quantile (2) Selon le th´eor`eme central limite, asymptotiquement YN(q) ∼ N FR(q), FR(q) [1 − FR(q)] N Selon la m´ethode delta , si YN(q) ∼ N µ, σ2 , pour une fonction monotone g(·), asymptotiquement g [YN(q)] ∼ N g(µ), σ2 g (µ) 2 Prenons g(y) = F−1 R (y), g (y) = 1 fR F−1 R (y) : FR [YN(q)] ∼ N q, FR(q) [1 − FR(q)] Nf 2 R (q) or pour quantile ˆqα ∼ N qα, α(1 − α) Nf 2 R (qα)
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Pr´ecision de la simulation de Monte-Carlo Si la pr´ecision exig´ee est p (en %) 1.96 fR(qα) α(1 − α) N ≤ p|qα| le nombre minimal de simulations est Nmin = 1.962α(1 − α) [p|qα|fR(qα)]2 Si α = 0.01, la loi est normale et p = 5% : q0.01 = −2.33, fR(q0.01) = 0.0267, Nmin ≈ 4 · 103
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Pr´ecision de la simulation de Monte-Carlo -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 Quantile, , =0.01 0 20 40 60 80 Nombred'estimations,N=4000
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo ´Echantillonnage pr´ef´erentiel L’id´ee est de remplacer la distribution `a la base de simulation de Monte-Carlo par une autre, biais´ee pour souligner les valeurs d’int´erˆet : P (L > x) = +∞ x fL(L) dL = +∞ x fL(L) g(L) g(L) dL La loi biais´ee peut ˆetre d´ecal´ee, avoir une matrice de corr´elation diff´erente ou une toute autre forme. Exemple : si les rendements sont distribu´es selon la loi normale standard N (0, 1), on peut choisir g(L) : L ∼ N (2, 1) , fL(L) g(L) = e−L2/2+(L−a)2/2 Dans un cas multivari´e, la matrice de corr´elation peut ˆetre ajust´ee pour accentuer des combinaisons de facteurs de risque qui influencent le plus le rendement du portefeuille.
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Exemple : ´echantillonnage pr´ef´erentiel -6 -4 -2 0 2 4 Rendement, r 0 0.1 0.2 0.3 0.4 PDF fR(r) g(r)
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo Example : ´echantillonnage pr´ef´erentiel 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 Quantile, , =0.01 0 20 40 60 80 100 120 Nombred'estimations,N=1000 q1 q2
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Valeur `a risque Bootstrap Monte-Carlo ´Echantillonnage pr´ef´erentiel en Matlab Nest = 500; Nsim = 1000; alpha = 0.01; a = -2; for i = 1:Nest x = normrnd( 0,1, Nsim, 1 ); q1(i) = - quantile(x,alpha); y = normrnd( a, 1, Nsim, 1 ); y = sort(y); prb = cumsum( 1/Nsim * exp( - y .^2 /2 +... ( y - a ) .^2 /2 ) ); [~,idx] = max( prb > alpha ); p2 = prb( idx ); p1 = prb( idx - 1 ); q2(i) = - ( y( idx ) * ( alpha - p1 ) +... y( idx-1 ) * ( p2 - alpha ) ) / ( p2-p1 ); end

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