FIM702: lecture 6

Modélisation de
stratégies en
finance de marché
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Frontière efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Modélisation de stratégies en finance de
marché
Séance 11 : Approche moyenne-variance de Markowitz
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD
alexander.surkov@usherbrooke.ca
École de gestion
Université de Sherbrooke
Le 29 mars 2017

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Table de matière
Modèle de Markowitz
Frontière efficiente de Markowitz
Portefeuille optimal avec l’actif sans risque

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Portefeuille : le rendement et la variance
Rπ
t2,t1
=
N
i=1
ωi R
(i)
t2,t1
, R
(i)
t2,t1
=
P
(i)
t2
P
(i)
t1
− 1, ωi ≡
V
(i)
t1
V π
t1
µπ =
N
i=1
ωi ER
(i)
t2,t1
, σ2
π =
N
i=1
N
j=1
ωi ωj cov R
(i)
t2,t1
, R
(j)
t2,t1
µπ = ωT
1×N
· µ
N×1
, σ2
π = ωT
1×N
· Σ
N×N
· ω
N×1
, ωT
1×N
· 1
N×1
= 1
Pour deux actifs :
µπ = ωT
µ = ω1µR1 + ω2µR2 , ωT
1 = ω1 + ω2 = 1
σ2
π = ωT
Σω = ω2
1σ2
R1
+ ω2
2σ2
R2
+ 2ω1ω2σR1R2

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : deux actifs
0.0135 0.014 0.0145 0.015
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
x 10
−4
RB
CN
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : diversification
0 0.005 0.01 0.015
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
x 10
−4
σπ
µπ
RB
CN

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : trois actifs
0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019
4
5
6
7
x 10
−4
RB
IO
CN
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : deux actifs, vente à découvert permise
0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019
5
6
7
8
9
x 10
−4
σπ
µπ
RB
CN

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : trois actifs, vente à découvert permise
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ
RB
IO
CN

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Ensemble de portefeuilles en Matlab
mu = nanmean(r, 1)’;
sigma = nancov(r);
g = -1:0.05:2;
%g = 0:0.05:1;
[w1 w2] = meshgrid( g, g );
w = [ w1(:) w2(:) ]’;
w(3, :) = 1 - sum( w, 1 );
%w = w( :, w(3,:) >= 0 );
mu_p = w’ * mu;
sigma_p = zeros( size(mu_p) );
for i = 1:length(sigma_p)
sigma_p(i) = sqrt( w(:,i)’ * sigma * w(:,i) );
end

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Optimisation sous contraintes
Le problème d’optimisation :
σ2
π = ωT
Σω → min
ω
ωT
µ = µπ, ωT
1 = 1
Le Lagrangien :
L = ωT
Σω − λ1 ωT
µ − µπ − λ2 ωT
1 − 1 → min
ω,λ1,λ2
Le gradient :
∂L
∂ωi
= 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . . N
Le système d’équations pour ω, λ1, λ2 :



2Σω − λ1µ − λ21 = 0
ωTµ = µπ
ωT1 = 1

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Solution analytique (1)
ω∗
=
1
2
Σ−1
(λ1µ + λ21)
ω∗T
µ =
1
2
λ1µT
+ λ21T
Σ−1
µ = Aλ1 + Bλ2
ω∗T
1 =
1
2
λ1µT
+ λ21T
Σ−1
1 = Bλ1 + Cλ2
A =
1
2
µT
Σ−1
µ, B =
1
2
µT
Σ−1
1, C =
1
2
1T
Σ−1
1
Aλ1 + Bλ2 = µπ
Bλ1 + Cλ2 = 1

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Solution analytique (2)
Aλ1 + Bλ2 = µπ
Bλ1 + Cλ2 = 1
λ1 =
Cµπ − B
AC − B2
, λ2 =
A − Bµπ
AC − B2
ω∗
=
(Cµπ − B) Σ−1µ + (A − Bµπ) Σ−11
2 (AC − B2)
σ2
π =
(Cµπ − B)2
2 (AC − B2)
+
1
2C

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : la frontière efficiente
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : les portefeuilles efficients
−5 0 5 10
x 10
−4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
µπ
ω∗
RB
IO
CN

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Minimum global de la variance
ωmgv = Σ−1
1 2C, µmgv = B/ C, σ2
mgv = 1 /2C
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Solution analytique en Matlab
s_inv = inv( sigma );
un = ones( size( mu ) );
A = mu’ * s_inv * mu / 2;
B = mu’ * s_inv * un / 2;
C = un’ * s_inv * un / 2;
W = ( s_inv * mu * ( C * mu_p - B ) + ...
s_inv * un * ( A - B * mu_p ) ) / 2 ...
/ ( A * C - B^2 );
sigma_p = sqrt( ( C * mu_p - B ) .^ 2 / 2 / C ...
/ ( A * C - B^2 ) + 1 / 2 / C);

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : trois actifs + actif sans risque
0 0.02 0.04 0.06 0.08
−2
−1
0
1
2
3
4
x 10
−3
σπ
µπ
RB
IO
CN
Rf

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Optimisation sous contraintes
Si un des actifs est sans risque, la matrice Σ−1 n’existe pas.
σ2
π = ωT
Σω → min
ω
ωT
µ + ω0Rf = µπ, ωT
1 + ω0 = 1
L = ωT
Σω − λ1 ωT
µ + ω0Rf − µπ − λ2 ωT
1 + ω0 − 1
∂L
∂ωi
= 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . . N
−λ1Rf − λ2 = 0



2Σω − λ1µ − λ21 = 0
ωTµ + ω0Rf = µπ
ωT1 + ω0 = 1
λ1Rf + λ2 = 0

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Solution analytique



Aλ1 + Bλ2 + Rf ω0 = µπ
Bλ1 + Cλ2 + ω0 = 1
Rf λ1 + λ2 = 0
λ1 =
µπ − Rf
A
, λ2 = −Rf
µπ − Rf
A
ω∗
= (µπ − Rf )
1
2Σ−1 (µ − Rf 1)
A
, ω∗
0 = 1 − (µπ − Rf )
B
A
A =
1
2
(µ − Rf 1)T
Σ−1
(µ − Rf 1) , B =
1
2
1T
Σ−1
(µ − Rf 1)
σ2
π =
(µπ − Rf )2
2A
, σπ =
|µπ − Rf |
√
2A

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : la frontière efficiente
0 0.02 0.04 0.06 0.08
−2
−1
0
1
2
3
4
x 10
−3
σπ
µπ
RB
IO
CN
Rf

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Exemple : les portefeuilles efficients
−2 −1 0 1 2 3 4
x 10
−3
−5
0
5
µπ
ω∗
RB
IO
CN
Rf

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Position de la frontière efficiente
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Portefeuille de marché : ω∗
0 = 0
ωM =
1
2B
Σ−1
(µ − Rf 1) , µM = Rf +
A
B
, σ2
M =
A
2B 2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Portefeuilles efficients : la covariance
Covariance de deux portefeuilles sur la frontière
efficiente
cov Rπ
, Rπ
= ωT
Σω =
1
2A
(µπ − Rf ) µπ − Rf
La formule de CAPM est vraie pour toutes les paires de
portefeuilles efficients, y compris celui de marché
βπ,π =
cov Rπ, Rπ
σ2
π
=
(µπ − Rf ) (µπ − Rf ) /(2A )
(µπ − Rf )2
/(2A )
=
µπ − Rf
µπ − Rf

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Actif sans risque
Extensions possibles
Contraintes, par exemple
la vente à découvert n’est pas permise,
limites sur l’exposition à certaines classes d’actifs, . . .
Taux d’intérêt sans risque sont différents pour le prêt et
le dépôt
D’autres objectifs pour l’optimisation, par exemple,
CVaR
Pour plus de possibilités en Matlab, voir
http://www.mathworks.com/help/finance/asset-
allocation-and-portfolio-optimization.html

FIM702: lecture 6

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (19)

FIM702: lecture 6