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FIM702: lecture 6

  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 11 : Approche moyenne-variance de Markowitz Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 23 mars 2016
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz Portefeuille optimal Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz Portefeuille optimal Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Portefeuille : le rendement et la variance Rπ t2,t1 = N i=1 ωi R (i) t2,t1 , R (i) t2,t1 = P (i) t2 P (i) t1 − 1, ωi ≡ V (i) t1 V π t1 µπ = N i=1 ωi ER (i) t2,t1 , σ2 π = N i=1 N j=1 ωi ωj cov R (i) t2,t1 , R (j) t2,t1 µπ = ωT 1×N · µ N×1 , σ2 π = ωT 1×N · Σ N×N · ω N×1 , ωT 1×N · 1 N×1 = 1 Pour deux actifs : µπ = ωT µ = ω1µR1 + ω2µR2 , ωT 1 = ω1 + ω2 = 1 σ2 π = ωT Σω = ω2 1σ2 R1 + ω2 2σ2 R2 + 2ω1ω2σR1R2
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : deux actifs 0.0135 0.014 0.0145 0.015 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 x 10 −4 RB CN σπ µπ
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : diversification 0 0.005 0.01 0.015 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 x 10 −4 σπ µπ RB CN
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : trois actifs 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 4 5 6 7 x 10 −4 RB IO CN σπ µπ
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : deux actifs, vente `a d´ecouvert permise 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 5 6 7 8 9 x 10 −4 σπ µπ RB CN
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : trois actifs, vente `a d´ecouvert permise 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −5 0 5 10 x 10 −4 σπ µπ RB IO CN
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Ensemble de portefeuilles en Matlab mu = nanmean(r, 1)’; sigma = nancov(r); g = -1:0.05:2; %g = 0:0.05:1; [w1 w2] = meshgrid( g, g ); w = [ w1(:) w2(:) ]’; w(3, :) = 1 - sum( w, 1 ); %w = w( :, w(3,:) >= 0 ); mu_p = w’ * mu; sigma_p = zeros( size(mu_p) ); for i = 1:length(sigma_p) sigma_p(i) = sqrt( w(:,i)’ * sigma * w(:,i) ); end
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz Portefeuille optimal Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Optimisation sous contraintes Le probl`eme d’optimisation : σ2 π = ωT Σω → min ω ωT µ = µπ, ωT 1 = 1 Le Lagrangien : L = ωT Σω − λ1 ωT µ − µπ − λ2 ωT 1 − 1 → min ω,λ1,λ2 Le gradient : ∂L ∂ωi = 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . . N Le syst`eme d’´equations pour ω, λ1, λ2 :    2Σω − λ1µ − λ21 = 0 ωTµ = µπ ωT1 = 1
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Solution analytique (1) ω∗ = 1 2 Σ−1 (λ1µ + λ21) ω∗T µ = 1 2 λ1µT + λ21T Σ−1 µ = Aλ1 + Bλ2 ω∗T 1 = 1 2 λ1µT + λ21T Σ−1 1 = Bλ1 + Cλ2 A = 1 2 µT Σ−1 µ, B = 1 2 µT Σ−1 1, C = 1 2 1T Σ−1 1 Aλ1 + Bλ2 = µπ Bλ1 + Cλ2 = 1
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Solution analytique (2) Aλ1 + Bλ2 = µπ Bλ1 + Cλ2 = 1 λ1 = Cµπ − B AC − B2 , λ2 = A − Bµπ AC − B2 ω∗ = (Cµπ − B) Σ−1µ + (A − Bµπ) Σ−11 2 (AC − B2) σ2 π = (Cµπ − B)2 2 (AC − B2) + 1 2C
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : la fronti`ere efficiente 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −5 0 5 10 x 10 −4 σπ µπ
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : les portefeuilles efficients −5 0 5 10 x 10 −4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 µπ ω∗ RB IO CN
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Minimum global de la variance ωmgv = Σ−1 1 2C, µmgv = B/ C, σ2 mgv = 1 /2C 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 −5 0 5 10 x 10 −4 σπ µπ
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Solution analytique en Matlab s_inv = inv( sigma ); un = ones( size( mu ) ); A = mu’ * s_inv * mu / 2; B = mu’ * s_inv * un / 2; C = un’ * s_inv * un / 2; W = ( s_inv * mu * ( C * mu_p - B ) + ... s_inv * un * ( A - B * mu_p ) ) / 2 ... / ( A * C - B^2 ); sigma_p = sqrt( ( C * mu_p - B ) .^ 2 / 2 / C ... / ( A * C - B^2 ) + 1 / 2 / C);
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz Portefeuille optimal Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : trois actifs + actif sans risque 0 0.02 0.04 0.06 0.08 −2 −1 0 1 2 3 4 x 10 −3 σπ µπ RB IO CN Rf
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Optimisation sous contraintes Si un des actifs est sans risque, la matrice Σ−1 n’existe pas. σ2 π = ωT Σω → min ω ωT µ + ω0Rf = µπ, ωT 1 + ω0 = 1 L = ωT Σω − λ1 ωT µ + ω0Rf − µπ − λ2 ωT 1 + ω0 − 1 ∂L ∂ωi = 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . . N −λ1Rf − λ2 = 0    2Σω − λ1µ − λ21 = 0 ωTµ + ω0Rf = µπ ωT1 + ω0 = 1 λ1Rf + λ2 = 0
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Solution analytique    Aλ1 + Bλ2 + Rf ω0 = µπ Bλ1 + Cλ2 + ω0 = 1 Rf λ1 + λ2 = 0 λ1 = µπ − Rf A , λ2 = −Rf µπ − Rf A ω∗ = (µπ − Rf ) 1 2Σ−1 (µ − Rf ) A , ω∗ 0 = 1 − (µπ − Rf ) B A A = 1 2 (µ − Rf )T Σ−1 (µ − Rf ) , B = 1 2 1T Σ−1 (µ − Rf ) σ2 π = (µπ − Rf )2 2A , σπ = |µπ − Rf | √ 2A
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : la fronti`ere efficiente 0 0.02 0.04 0.06 0.08 −2 −1 0 1 2 3 4 x 10 −3 σπ µπ RB IO CN Rf
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Exemple : les portefeuilles efficients −2 −1 0 1 2 3 4 x 10 −3 −5 0 5 µπ ω∗ RB IO CN Rf
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Position de la fronti`ere efficiente 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 −5 0 5 10 x 10 −4 σπ µπ
  26. 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Portefeuille de march´e : ω∗ 0 = 0 ωM = 1 2B Σ−1 (µ − Rf ) , µM = Rf + A B , σ2 M = A 2B 2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 −5 0 5 10 x 10 −4 σπ µπ
  27. 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Portefeuilles efficients : la covariance Covariance de deux portefeuilles sur la fronti`ere efficiente cov Rπ , Rπ = ωT Σω = 1 2A (µπ − Rf ) µπ − Rf La formule de CAPM est vraie pour toutes les paires de portefeuilles efficients, y compris celui de march´e βπ,π = cov Rπ, Rπ σ2 π = 1 2A (µπ − Rf ) (µπ − Rf ) 1 2A (µπ − Rf )2 = µπ − Rf µπ − Rf
  28. 28. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Portefeuille optimal Actif sans risque Extensions possibles Contraintes, par exemple la vente `a d´ecouvert n’est pas permise, limites sur l’exposition `a certaines classes d’actifs, . . . Taux d’int´erˆet sans risque sont diff´erents pour le prˆet et le d´epˆot D’autres objectifs pour l’optimisation, par exemple, CVaR Pour plus de possibilit´es en Matlab, voir http://www.mathworks.com/help/finance/asset- allocation-and-portfolio-optimization.html

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