FIM702: lecture 7

292 vues

Publié le

Modelling strategies in market finance
Lecture 7: Extensions of the Markowitz model (in French)

Publié dans : Économie & finance
1 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
292
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
23
Actions
Partages
0
Téléchargements
18
Commentaires
1
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

FIM702: lecture 7

  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 12 : Extensions du mod`ele de Markowitz Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 30 mars 2016
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz revisit´ee Extensions du mod`ele de Markowitz Limitations du mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente r´e-´echantillonn´ee
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz revisit´ee Extensions du mod`ele de Markowitz Limitations du mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente r´e-´echantillonn´ee
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Probl`eme d’optimisation sans vente `a d´ecouvert La vente `a d´ecouvert d’actifs risqu´es est souvent interdite o`u compliqu´ee. Le probl`eme d’optimisation sous contraintes σ2 π = ωT Σω → min ω ωT µ = µπ, ωT 1 = 1, ω ≥ 0 La m´ethode des multiplicateurs de Lagrange ne permet que des ´egalit´es dans les contraintes, elle ne fonctionne donc plus.
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : des titres de propri´et´e et de dette 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ SPX TSX FTSE DAX CAC Nkk LTB STB ITB
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Fonction quadprog de Matlab x = quadprog( H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub ); La fonction quadprog permet de trouver la solution d’un probl`eme quadratique d’optimisation 1 2 xT · H · x + f T · x → min x A · x ≤ b, Aeq · x = beq, lb ≤ x ≤ ub Pour plus de d´etails, voir www.mathworks.com/help/optim/ug/quadprog.html
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Solution num´erique en Matlab (1) mu = nanmean( r, 1 )’; N = length( mu ); sigma = nancov( r ); % Minimum global de la variance mu_mgv = mgv( mu, sigma ); Nprtf = 25; % Rendements de la fronti`ere MU = linspace( mu_mgv, max( mu ), Nprtf )’; % ´Ecarts type de la fronti`ere Sf = optnum( mu, sigma, MU );
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Solution num´erique en Matlab (2) function [ S, W ] = optnum( mu, sigma, MU ) N = length( mu ); Nprtf = length( MU ); W = NaN( N, Nprtf ); S = NaN( Nprtf, 1 ); for i = 1:Nprtf [ W(:, i), S(i) ] = quadprog( sigma, ... [], [], [], [ mu’; ones(1, N) ], ... [ MU(i); 1 ], zeros( N, 1 ) ); end S = sqrt( 2 * S ); end
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Solution num´erique en Matlab (3) function [ mu_mgv, S, W ] = mgv( mu, sigma ) N = length( mu ); [ W, S ] = quadprog( sigma, ... [], [], [], ones( 1, N ), ... 1, zeros( N, 1 ) ); S = sqrt( 2 * S ); mu_mgv = W’ * mu; end
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : fronti`ere efficiente 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : fronti`eres efficientes 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Probl`eme d’optimisation avec l’actif sans risque L’actif sans risque peut habituellement ˆetre prˆet´e. Le probl`eme d’optimisation sous contraintes σ2 π = ωT Σω → min ω, ω0 ωT µ + ω0Rf = µπ, ωT 1 + ω0 = 1, ω ≥ 0 Si on exclu ω0 = 1 − ωT1, σ2 π = ωT Σω → min ω ωT (µ − Rf 1) = µπ − Rf , ω ≥ 0
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : des titres de propri´et´e et de dette 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Actif sans risque en Matlab (1) mu = nanmean( r, 1 )’; N = length( mu ); sigma = nancov( r ); Nprtf = 25; % Rendements de la fronti`ere MU = linspace( Rf, 0.01, Nprtf )’; % ´Ecarts type de la fronti`ere Sf = optnumrf( mu - Rf, sigma, MU - Rf );
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Actif sans risque en Matlab (2) function [ S, W ] = optnumrf( mu, sigma, MU ) N = length( mu ); Nprtf = length( MU ); W = NaN( N, Nprtf ); S = NaN( Nprtf, 1 ); for i = 1:Nprtf [ W(:, i), S(i) ] = quadprog( sigma, ... [], [], [], mu’, MU(i), ... zeros( N, 1 ) ); end S = sqrt( 2 * S ); end
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : des titres de propri´et´e et de dette 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Portefeuille de march´e Le probl`eme d’optimisation pour le portefeuille de march´e est non-lin´eaire σπ µπ − Rf = √ ωTΣω ωTµ − Rf → min ω ωT 1 = 1, ω ≥ 0 En Matlab, la fonction fmincon permet de trouver une solution `a partir de certaines valeurs initiales. [ rm, Srm ] = pdm( mu - Rf, sigma ); rm = rm + Rf;
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Portefeuille de march´e en Matlab function [ rm, S, W ] = pdm( mu, sigma ) N = length( mu ); f = @(x) sqrt( x’ * sigma * x ) / ( x’ * mu ); W = fmincon( f, ones( N,1 ) / N, ... [],[], ones(1,N), 1, ... zeros( N, 1 ) ); S = sqrt( W’ * sigma * W ); rm = W’ * mu; end
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : portefeuille de march´e 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz revisit´ee Extensions du mod`ele de Markowitz Limitations du mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente r´e-´echantillonn´ee
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Limitations et extensions du mod`ele de Markowitz Variance n’est pas une bonne mesure de risque : les approches moyenne — semi-variance , moyenne — CVaR etc. Le mod`ele ne tient pas compte des passifs : l’approche moyenne — tracking error ou p´enalisation dans la fonction cible pour l’erreur de suivi Le corr´elations ne sont pas les mˆemes dans une p´eriode de tension : ajustement des corr´elations Les poids r´esultants sont souvent peu intuitifs. De plus, ils sont tr`es sensibles au rendement cible et aux erreurs d’estimation : l’approche des fronti`eres simul´ees de Michaud, mod`ele de Black–Litterman
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Sensibilit´e aux intrants et l’erreur d’´echantillonnage L’optimisation cause des poids positifs pour les actifs les plus avantageux (plus de rendement, moins de risque) et n´egatifs (si permis) pour les pires actifs. Ces extr´emit´es sont probablement les cas avec la pire erreur d’´echantillonnage. L’algorithme a donc une tendance `a amplifier des erreurs. L’erreur peut ˆetre visualis´ee par un r´e-´echantillonnage : par l’entremise d’un tirage avec la remise de l’´echantillon des donn´ees observ´ees, ou bien par la simulation de type Monte-Carlo (tirage de la distribution ajust´ee aux donn´ees observ´ees).
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : sensibilit´e aux param`etres estim´es 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.005 0.01 0.015 0.02 σπ µπ
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Sensibilit´e en Matlab T = 241; Nsim = 500; Wsim = zeros( N, Nprtf, Nsim ); for j = 1:Nsim Rsim = mvnrnd( mu, sigma, T ); mu_sim = mean( Rsim, 1 )’; sigma_sim = cov( Rsim ); mu_mgv = mgv (mu_sim, sigma_sim ); MUsim = linspace( mu_mgv, max(mu_sim), Nprtf )’; [ Ssim, Wsim(:,:,j) ] = optnum( ... mu_sim’, sigma_sim, MUsim ); end
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Table de mati`ere Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente de Markowitz revisit´ee Extensions du mod`ele de Markowitz Limitations du mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente r´e-´echantillonn´ee
  26. 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Portefeuilles ´equivalents En faisant varier les param`etres µ et Σ, pour chaque µπ, nous pourrions trouver plusieurs portefeuilles optimaux. Pour chacun de ces portefeuilles, le rendement et la variance peuvent ˆetre calcul´es selon les µ et Σ observ´es. Ces portefeuilles sont ´equivalent de point de vue statistique au portefeuille correspondant sur la fronti`ere efficiente (α = 5% des portefeuilles avec les rendements minimaux pourraient ˆetre exclus). Dans la fronti`ere efficiente r´e-´echantillonn´ee, les poids sont ´egaux aux moyennes des poids de tous les portefeuilles ´equivalents.
  27. 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : portefeuilles ´equivalents 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ
  28. 28. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Exemple : la fronti`ere r´e-´echantillonn´ee 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σπ µπ
  29. 29. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Conclusion (1) Les portefeuilles de la fronti`ere r´e-´echantillonn´ee sont plus diversifi´es (plus d’actifs sont pr´esents dans la solution). En raison de cela, les portefeuilles de la fronti`ere r´e-´echantillonn´ee ont une meilleure performance hors ´echantillon que ceux de Markowitz. De plus, leur composition varie plus graduellement si le rendement exig´e change. Cependant, l’approche de la fronti`ere r´e-´echantillonn´ee est compl`etement heuristique, il ne se base sur aucun probl`eme d’optimisation.
  30. 30. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Mod`ele de Markowitz Fronti`ere efficiente Extensions Limitations Michaud Conclusion (2) La moyenne de fronti`eres efficientes ne repr´esente pas les portefeuilles optimaux tenant compte de l’incertitude dans les intrants. La fronti`ere r´e-´echantillonn´ee peut ˆetre concave, ce qui n’est pas possible pour une fronti`ere efficiente. Le rendements pour construire la fronti`ere r´e-´echantillonn´ee sont tir´es de la distribution dont les param`etres contient l’erreur. Cette m´ethode est quand mˆeme bonne pour estimation de pr´ecision de l’approche de Markowitz.

×