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FIM702: lecture 8

  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 13 : Mod`ele de Black & Litterman Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 6 avril 2016
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Table de mati`ere Fondations th´eoriques du mod`ele de Markowitz Mod`ele d’´evaluation des actifs financiers Extensions du mod`ele de Markowitz Mod`ele de Black & Litterman
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Table de mati`ere Fondations th´eoriques du mod`ele de Markowitz Mod`ele d’´evaluation des actifs financiers Extensions du mod`ele de Markowitz Mod`ele de Black & Litterman
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Probl`eme de consommateur (1) Supposons que le consommateur ne vive que lors 2 p´eriodes : aujourd’hui et demain . L’utilit´e de sa consommation demain est d´ecrite par la fonction suivante : u(c) = 1 − exp (−αc) (noter la d´ecroissance de l’utilit´e marginale) Le consommateur poss`ede aujourd’hui le capital V0 `a investir dans les actifs risqu´es et sans risque. Son probl`eme d’optimisation E u(c) → max ω0, ω c = V0 1 + ω0Rf + ωT R , ω0 + ωT 1 = 1
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Probl`eme de consommateur (2) Supposons que R ∼ N (µ, Σ). La consommation demain est donc distribu´ee selon la loi normale. E [1 − exp (−αc)] = 1 − exp −α E c + α2 2 V c Le probl`eme d’optimisation −α V0 1 + ω0Rf + ωT µ + α2 2 V 2 0 ωT Σω → min ω0, ω ω0 + ωT 1 = 1 α est l’aversion absolue au risque.
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Probl`eme de consommateur (3) δ 2 ωT Σω − ω0Rf + ωT µ → min ω0, ω ω0 + ωT 1 = 1 δ = αV0 est l’aversion relative au risque. En substituant la contrainte, δ 2 ωT Σω − ωT (µ − Rf 1) → min ω δΣω∗ − (µ − Rf 1) = 0 ω∗ = 1 δ Σ−1 (µ − Rf 1)
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple : probl`eme de consommateur, δ = 10 0 0.02 0.04 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 σπ, σc/V0 µπ,µc/V0−1 SPXTSX FTSE DAX CAC Nkk Bonds
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple : probl`eme de consommateur, δ = 20 0 0.02 0.04 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 σπ, σc/V0 µπ,µc/V0−1 SPXTSX FTSE DAX CAC Nkk Bonds
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple : δ = 10, pas de vente `a d´ecouvert 0 0.02 0.04 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 σπ, σc/V0 µπ,µc/V0−1 SPXTSX FTSE DAX CAC Nkk Bonds
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple : δ = 20, pas de vente `a d´ecouvert 0 0.02 0.04 0.06 0 0.005 0.01 0.015 0.02 σπ, σc/V0 µπ,µc/V0−1 SPXTSX FTSE DAX CAC Nkk Bonds
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman CAPM Nous sommes int´eress´es par l’´evaluation d’actifs : quel est le rendement moyen µi ´equilibr´e ? Le consommateur investit dans son portefeuille optimal : µ − Rf = δ Σω∗ , µi − Rf = δ (Σω∗ )i cov R(i) , Rπ = cov R(i) , ωT π R = (Σωπ)i µi − Rf = δ cov R(i) , Rπ Un portefeuille optimal est une combinaison de l’actif sans risque et du portefeuille de march´e : µi − Rf = δ cov R(i) , RM , µM − Rf = δ σ2 M µi − Rf = cov R(i), RM σ2 M (µM − Rf )
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Table de mati`ere Fondations th´eoriques du mod`ele de Markowitz Mod`ele d’´evaluation des actifs financiers Extensions du mod`ele de Markowitz Mod`ele de Black & Litterman
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Probl`emes de l’approche de Markowitz Les r´esultats de l’approche de Markowitz sont souvent peu intuitifs : Positions importantes `a d´ecouvert (si la vente `a d´ecouvert est permise), Poids nuls des nombreux actifs (si la vente `a d´ecouvert est interdite), Poids importants des actifs avec une petite capitalisation. Les raisons : Les rendements moyens sont tr`es difficiles `a estimer et l’investisseur ne peut couvrir que quelques march´es dans son analyse. Le mod`ele exige cependant l’opinion sur le rendement de tous les actifs. Le r´esultat est tr`es sensible aux rendements estim´es.
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Mod`ele de Black & Litterman Le mod`ele de Black & Litterman est une approche Bay´esienne, les rendements moyens ´etant inconnus et al´eatoires. Le point de d´epart est l’´equilibre de march´e. Pour pr´eciser la distribution des rendements moyens, des opinions (partielles ou compl`etes) de l’investisseur sont int´egr´ees dans l’analyse. On va consid´erer l’optimisation sans contraintes sur la vente `a d´ecouvert. Cependant, notre analyse est tr`es facile `a g´en´eraliser : il faut tout simplement utiliser l’optimisation num´erique avec la contrainte correspondant.
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Hypoth`eses Les rendement sont normaux : R ∼ N (µ, Σ) Dans l’´equilibre, tous les investisseurs d´etiennent le portefeuille de march´e ωM. Les rendements ´equilibr´es µeq = Rf + δ ΣωM Supposons que les rendements moyens sont al´eatoires : µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ) ε et R sont suppos´es ind´ependants. τ refl`ete l’incertitude dans l’estimation des rendement moyens.
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Les param`etres du mod`ele La matrice de covariance des actifs Σ peut ˆetre estim´ee `a partir des donn´ees historiques. Dans le mod`ele elle est pr´esum´ee connue. Les poids du portefeuille de march´e refl`etent les capitalisations. δ provient des donn´ees historiques ou de l’exp´erience. Disons, δ = 3. τ doit ˆetre choisi. Disons, τ = 1/T, o`u T est le nombre d’observations.
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Capitalisations des march´es 0 1 2 3 4 x 10 13 US stocks CA stocks UK stocks DE stocks FR stocks JP stocks US bonds Capitalisation en 2012, $ Selon les donn´ees de la Banque Mondiale et SIFMA
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Rendements ´equilibr´es 0 0.02 0.04 0.06 2 4 6 8 10 x 10 −3 σi µi SPX TSX FTSE DAX CAC Nkk Bonds SPX TSX FTSE DAX CAC Nkk Bonds
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Investisseur sans opinions R ∼ N (µ, Σ) , µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ) ´Etant donn´e que ε et R sont ind´ependants, R ∼ N [µeq, (1 + τ)Σ] ω∗ = Σ−1 (µeq − Rf 1) δ(1 + τ) = ωM 1 + τ , ω0 = τ 1 + τ Une partie du capital est investie dans l’actif sans risque en raison de l’incertitude suppl´ementaire li´ee aux rendements moyens.
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman τ = 0 0 0.02 0.04 0.06 0 1 2 3 4 5 x 10 −3 σπ, σc/V0 µπ,µc/V0−1
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman τ = 0.5 0 0.02 0.04 0.06 0 1 2 3 4 5 x 10 −3 σπ, σc/V0 µπ,µc/V0−1
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Opinions L’investisseur suppose que k certains portefeuilles ont les rendements moyens q : P k×N µ = q k×1 +ε , ε ∼ N (0, Ω) Ω est une matrice diagonale k × k, elle est connue et refl`ete l’incertitude de l’investisseur concernant ses opinions. ε et ε sont suppos´es ind´ependants.
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Inf´erence bay´esienne (1) Nous sommes int´eress´es par la distribution de µ ´etant donn´e les opinions de l’investisseur. Supposons que les opinions de l’investisseur son form´ees suite aux observations. Par exemple, il observe les portefeuilles P et trouve que leurs rendements moyens µP ∼ N (q, Ω). On cherche P (µ |µP ) = P (µP| µ) Pµ PµP
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Inf´erence bay´esienne (2) La probabilit´e d’observer µ Pµ ∝ exp − 1 2 (µ − µeq)T (τΣ)−1 (µ − µeq) ´Etant donn´e les rendement des actifs µ, la probabilit´e d’observer les rendements µP P (µP| µ) ∝ exp − 1 2 (Pµ − q)T Ω−1 (Pµ − q)
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Inf´erence bay´esienne (3) Suite `a certaines transformations... P (µ |µP ) ∝ exp − 1 2 (µ − ¯µeq)T H−1 (µ − ¯µeq) Les rendements moyens compte tenu des opinions : ¯µeq = H (τΣ)−1 µeq + PT Ω−1 q La covariance des moyennes compte tenu des opinions : H = (τΣ)−1 + PT Ω−1 P −1
  26. 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Portefeuille optimal R ∼ N ¯µeq, ¯Σ ¯µeq = H (τΣ)−1 µeq + PT Ω−1 q ¯Σ = Σ + H = Σ + (τΣ)−1 + PT Ω−1 P −1 ω∗ = 1 δ ¯Σ−1 (¯µeq − Rf 1)
  27. 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple 1 Supposons que le rendement moyen mensuel de DAX sera 0.5% plus ´elev´e que celui de CAC, le rendement moyen mensuel de TSX sera 1%. P = 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , q = 0.005 0.01 L’incertitude dans notre opinion : Ω = 0.0012 0 0 0.0012 Supposons que δ = 3, τ = 0.01.
  28. 28. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple 1 en Matlab (1) Weq = caps / sum( caps ); delta = 3; mu_eq = sigma * Weq * delta + Rf; P = [0 0 0 1 -1 0 0; 0 1 0 0 0 0 0]; q = [0.005; 0.01]; Omega = [1e-6 0; 0 1e-6]; tau = 0.01; H = inv( inv(tau * sigma) + P’ * inv(Omega) * P ); barmu_eq = H * ( inv( tau * sigma ) * mu_eq ... + P’ * inv( Omega ) * q ); barsigma = sigma + H; W = 1 / delta * inv(barsigma) * ( barmu_eq - Rf );
  29. 29. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple 1 en Matlab (2) >> [mu_eq barmu_eq Weq W] ans = 0.0048 0.0103 0.2775 0.2747 0.0042 0.0098 0.0300 0.8306 0.0041 0.0059 0.0449 0.0444 0.0045 0.0100 0.0221 2.3866 0.0046 0.0057 0.0271 -2.3379 0.0033 0.0044 0.0547 0.0542 0.0018 0.0015 0.5438 0.5384 >> sum(W) ans = 1.7910
  30. 30. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple 2 % Omega = [1e-6 0; 0 1e-4]; >> [mu_eq barmu_eq Weq W] ans = 0.0048 0.0061 0.2775 0.2747 0.0042 0.0048 0.0300 0.2009 0.0041 0.0030 0.0449 0.0444 0.0045 0.0067 0.0221 2.3011 0.0046 0.0024 0.0271 -2.2524 0.0033 0.0029 0.0547 0.0542 0.0018 0.0016 0.5438 0.5384
  31. 31. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Fondations CAPM Extensions Black-Litterman Exemple 3 % q = [0.005; 0]; >> [mu_eq barmu_eq Weq W] ans = 0.0048 0.0043 0.2775 0.2747 0.0042 0.0028 0.0300 -0.0612 0.0041 0.0018 0.0449 0.0444 0.0045 0.0053 0.0221 2.2655 0.0046 0.0010 0.0271 -2.2168 0.0033 0.0023 0.0547 0.0542 0.0018 0.0016 0.5438 0.5384 >> sum(W) ans = 0.8992

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