Este documento introduz os modelos de grafos aleatórios de Erdös-Rényi, discutindo suas premissas, parâmetros-chave e propriedades. Explica que a distribuição de graus segue uma distribuição binomial para grafos de Erdös-Rényi e que a média do grau é igual a (n-1)*p, onde n é o número de nós e p é a probabilidade de uma aresta existir.

1. Introdução a Grafos
Aleatórios
Alexandre Duarte / Alisson Brito

2. Modelos de Rede
Por que modelos?
 Representação simples de redes complexas
 Pode derivar propriedades matemáticas
 Prever propriedades e consequências
Também:
 No que uma rede real é diferente de uma
hipotética?
 Que aprendizados podem ser obtidos dessas
redes?

3. Erdös e Rényi

4. Erdös-Renyi: o mais simples modelo de
rede
 Premissas
 vértices conectados aleatoriamente
 a rede é não-direcional
 Parâmetro chave (número de nós
vizinhos: N) : p ou M
 p = probablidade de dois nós
compartilharem uma aresta
 M = número total de arestas no grafo

5. Com o que elas se parecem
Re-arranjo de
layout

6. Grau de distribuição
 (N,p)-model: para cada aresta potencial,
uma moeda desbalanceada é lançada
 Com probabilidade p a aresta é adicionada
 Com probabilidade (1-p) a aresta não é
adicionada

7. http://ladamic.com/netlearn/NetLogo501/ErdosRenyiDegDist.html

8. Grau de distribuição
Qual a probabilidade de um nó ter 0,1,2,3,…
arestas?
A soma das probabilidades é 1

9. Quantas arestas por nó?
 Cada nó tem (N – 1) tentativas de ter
arestas
Cada tentativa tem prob. p de sucesso
Probabilidade de um nó ter grau k:
æ N -1 ö k
N-1-k
B(N -1;k; p) = ç
÷ p (1- p)
è k ø

10. Sobre distribuição binomial
Grafo de 8 nós, probabilidade p de 2
nós terem uma aresta
 Qual a probabilidade de um dado nó
ter grau 4?
A
B
C
D
G
E
F

11. Coeficiente binomial: escolher 4 de 7
Sejam os 7 nós da rede com os quais nosso nó pode
ter arestas. Azul são aqueles com aresta com nosso
nó e branco aqueles sem.
A
B
C
D
E
F
G
Quantas amostras diferentes podemos ter
contendo os mesmos nós, mas em ordens
diferentes?
G
E
C
D
B
F
A

12. Coeficiente binomial
G
E
C
D
B
F
A
Se a ordem é importante, então há 7! Diferentes
ordens:
Há 7 opções na primeira escolha, 6 para a segunda,
5 para terceira e assim em diante:
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

13. Coeficiente binomial
Suponha que a ordem dos nós que não são conectados (brancos)
não importa
Todas as possíveis combinações de nós brancos são a mesma
coisa para mim.
A
B
F
D
E
C
G
A
B
G
D
E
C
F
A
B
E
D
F
C
G
A
B
G
D
F
C
E
A
B
E
D
G
C
F
A
B
F
D
G
C
E
A
B
D
Ao invés de 7! combinações, temos 7!/3! combinações
C

14. Coeficiente binomial
E
F
G
O Mesmo acontece para os azuis, se não importa a posição que
ocupam, perdemos um fator de 4!

15. Coeficiente binomial
Números de formas de escolher k itens de (n-1)
formas de arranjar n-1 itens
= ----------------------------------------------------------------(formas de arranjar k itens)*(formas de arranjar n-1-k itens)
n-1!
= ----------------k! (n-1-k)!
Note que o coeficiente binomial é simétrico – há um mesmo número de
formas de escolher k ou n-1-k itens de um total de n-1

16. Coeficiente binomial
 De quantas formas podemos de
escolher 2 de 5 itens?
 10
 120
6
5

17. … agora a distribuição
p = probabilidade de haver uma aresta (azul)
(1-p) = probabilidade de não haver aresta
(branco)
 Probabilidade de um nó se conectar a 4 de um total de 7
nós numa ordem particular (2 brancos seguidos por 3
azuis, um branco e um azul) é:
P(white)*P(white)*P(blue)*P(blue)*P(blue)*P(white)*P(blue)
= p4*(1-p)3

18. Distribuição binomial
Se a ordem não importa, precisamos multiplicar a
ordem de um dado arranjo qualquer pela
quantidade de arranjos:
æ 7 ö 4
3
B(7;4; p) = ç
÷ p (1- p)
è 4 ø
+
….

19. Se p = 0,5

20. p = 0,1

21. Qual a média?
Grau médio z = (n-1)*p
= E(X) = x p(x)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
No geral:
0*
+1*
+2*
+3*
+4*
= 3.5
+5*
+6*
+7*

22. Qual a variância?
 Variância em grau
(n-1)*p*(1-p)
 No geral:
2
= E[(X- )2] =
*
(0.5)2 *
0.20
0.25
(-0.5)2
(x- )2 p(x)
0.15
(1.5)2 *
0.00
0.05
0.10
(-1.5)2 *
(-2.5)2 *
(-3.5)2 *
+
+
(2.5)2 *
+
+
+
+
(-3.5)2 *
+

23. Aproximações
pk
n 1
k
p k (1 p) n
1 k
Binomial
Limite p pequeno
pk
zke z
k!
1
pk =
e
s 2p
(k-z)2
2s 2
Poisson
Limite n grande
Normal

24. Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson

25. O que se conclui de redes aleatórias?
 Não esperamos encontrar nós
concentrando um grande número de
conexões