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Ing. En ejecución en Prevención de Riesgos
Curso de Cálculo I
Prof. Alexi Ramírez Escobar
IP. Santo Tomas Concepción
Guía Unidad III Cálculo I
OBJETIVO: CALCULAR DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, UTILIZANDO LAS DISTINTAS REGLAS DE DERIVACIÓN.
DEFINICIÓN DE DERIVADA
La derivada de la función )(xf se define mediante el límite:
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→
1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función:
2
5)( xxf =
DERIVADAS ELEMENTALES
1. Si n
xxf =)( ; 1
)(' −
⋅= n
xnxf
2. Si Cxf =)( , con C una constante ; 0)(' =xf
3. Si x
bxf =)( ; )ln()(' bbxf x
⋅=
4. Si x
exf =)( ; x
exf =)('
5. Si )(log)( xxf b= ;
)ln(
1
)('
bx
xf
⋅
=
6. Si )ln()( xxf = ;
x
xf
1
)(' =
OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA
Si )(xfy = , la deriva de )(xf se puede anotar de las siguientes formas:
)()(' )1(
xf
dx
dy
xf ==
ALGEBRA DE LAS DERIVADAS
1. Derivada de una suma ( diferencia )
[ ] )(')('')()( xgxfxgxf ±=±
2. Derivada de un producto
[ ] )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf ⋅+⋅=⋅
3. Derivada de una división
( )2
)(
)(')()()('
'
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf ⋅−⋅
=





DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sea y = f(x) una función entonces:
)()('' xf
dx
d
xfy ==
es la primera derivada o derivada de primer orden
)()( 2
2
''''
xf
dx
d
xfy ==
es la segunda derivada o derivada de segundo orden
)()( 3
3
''''''
xf
dx
d
xfy ==
es la tercera derivada o derivada tercer orden
.
.
.
.
)()()()(
xf
dx
d
xfy n
n
nn
==
es la enésima derivada o derivada de orden n
EJEMPLO
1. Halle todas las derivadas de orden superior para 223 234
−++= xxxy
0..........................................................00
721272'''21236''2612' 223
===
=+=++=++=
nviv
iv
yyy
yxyxxyxxxy
2. Halle la tercera derivada de x
y
1
=
432
6'''2''' −−−
−==−= xyxyxy
REGLA DE LA CADENA
Si f(u) es derivable en )(xgu = y g(x) derivable en x, entonces la compuesta
))(()( )( xgfgf x =
es derivable en
x. Además:
)(')).((')'( )( xgxgfgf x =
Usando la notación de Leibniz, si )(,)( xguufy == entonces:
dx
du
du
dy
dx
dy
==
REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS
Si )(xu es una función derivable entonces:
dx
du
nuu
dx
d nn 1−
=
EJEMPLOS
Sea
42
)13( +−= xxy halle su derivada
)13()13(4' 32
−+−= xxxy
Sea xxy += 3
calcule dx
dy
xx
x
xxx
dx
dy
xxxxy
+
+
=++=+=+=
−
3
2
22
1
32
1
33
2
13
)13()(
2
1
)(
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Derivada de seno de x
[ ]
)cos()1)(cos()0)((
)(
lim)cos(
1)cos(
lim)(
)cos()(
lim
1))(cos((
lim
)cos()()1))(cos((
lim
)()cos()()cos()(
lim
)()(
lim)(
00
000
00
xxxsen
h
hsen
x
h
h
xsen
h
xhsen
h
hxsen
h
xhsenhxsen
h
xsenxhsenhxsen
h
xsenhxsen
xsen
dx
d
hh
hhh
hh
=+=+
−
=+
−
=
+−
=
−+
=
−+
=
→→
→→→
→→
Derivada de coseno de x
[ ]
)()1)(()0)(cos(
)(
lim)(
1)cos(
lim)cos(
)()(
lim
1))(cos(cos(
lim
)()()1))(cos(cos(
lim
)cos()()()cos()cos(
lim
)cos()cos(
lim)cos(
00
000
00
xsenxsenx
h
hsen
xsen
h
h
x
h
xsenhsen
h
hx
h
xsenhsenhx
h
xxsenhsenhx
h
xhx
x
dx
d
hh
hhh
hh
−=−=−
−
=−
−
=
−−
=
−−
=
−+
=
→→
→→→
→→
Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno
y a coseno.
Derivada de tangente de x
)(sec
)(cos
1
))(cos(
)()(cos
))(cos(
)())(()cos()cos(
)cos(
)(
)tan(
2
2
2
22
2
x
x
x
xsenx
x
xsenxsenxx
x
xsen
dx
d
x
dx
d
=
=
+
=
−−
=





=
Derivadas de las cofunciones trigonométricas
)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2
xxx
dx
d
xxx
dx
d
xx
dx
d
−==−=
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPUESTAS
dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
usenu
dx
d
dx
du
uusen
dx
d
)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot(
)(sec)tan()()cos()cos()(
2
2
−==−=
=−==
EJEMPLOS
1. Derive )( 2
xseny =
)cos(22)cos(' 22
xxxxy ==
2. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) 2
)( xxf = b) 5
)( xxf = c) 2)( =xf
d) xxf =)( e) 3
)( xxf = f) x
exf =)(
g) x
xf 2)( = h) )ln()( xxf = i) )log()( xxf =
3. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) 53)( 2
+−= xxxf b) 656)( 2
−+= xxxf c) 133)( 23
+++= xxxxf d)
xxxf −= 3
4)( e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x
4. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) x
exxf ⋅=)( b) )ln()( 2
xxxf ⋅= c) x
e
x
xf
4
)( =
d)
)ln(
)(
x
e
xf
x
= e)
x
x
xf
)ln(
)( = f) x
xxf 2)( 2
⋅=
5. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f (t) = t2
+ 1( ) × t3
+ t2
+ 1( ) b) f (z) =
1
2z
−
1
3z2
c) f (t) =
t −1
t2
+ 2t +1
d) f (x) =
3x
x3
+ 7x − 5
e) f (x) =
5 − 4x2
+ x5
x3
f) f (x) = 4 x5
+
2
x
6. En cada caso, determine
dx
dy
:
a) 632 23
++= xxy b) cbxaxy −+= 2
c) ( )xxy ln⋅= d)
x
e
x
y
2
= e) x
xy 23
⋅= f)
( )x
y
x
log
6
=
7. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = x2
+ x( )
6
b) f (x) = 2x3
+ 1( )
−5
c) ( )2
3
32)( += xxf
d) f (x) = x3
+1 e) f (t) =
t2
+1
t2
−1
f) f (u) =
1
u +1( )2
8. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) 62
)( +
= x
exf b) t
etf ⋅−
= 53
)( c)
2
2
)( x
exxf −
⋅=
d)
u
e
uf
u2
)( = e) 82
5)( +
= x
xf f) w
wwf 6
22)( ⋅=
9. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) )43ln()( −= xxf b) 





−
+
=
u
u
uf
1
1
ln)( c) ( ) ( )12ln1)( 2
+⋅+= tttf
d) ( )2
1ln)( wwf += e) ( )2log)( 3
+= xxf f) ( )xxxf −= 4
2log)(
10. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = x3
+ ln x2
+ 1( ) b) f (t) = et
× t5
+ 2
c) 3
)ln()( xexf x
+= d) f (u) = ln( u + 2u
)
11. En cada caso, determine 2
2
dx
yd
y 3
3
dx
yd
:
a) 12 25
−+= xxy b) ( ) 2ln6
++= xxy
c) xxey x
−−= d) xey x
⋅=
12. La posición de un móvil en función del tiempo viene dada por la expresión 232)( 2
++= ttte (espacio en m., tiempo
en seg.). Calcular la velocidad instantánea (v) en el instante t = 3 seg.
13. Hallar la derivada de la función f(x)=x2
+x+1 en x0= 1. Determinar la ecuación de la tangente a la función dada en en
punto P(1, f(1)).
14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de cada una de las funciones y en los puntos que se
indican:
a) 123 34
+−+= xxxy ; en x = 1
b) 2−= xy ; en x = 6
c) )cos()( xxseny += ; en x = 0
15. Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites:
xx
xx
x 23
3
lim 4
23
0 −
−
→
b)
675
252
lim 2
2
2 −−
+−
→ xx
xx
x
20
1
lim
x
ex x
x
−+
→
d)
2
)1ln(
lim
2 −
−
→ x
x
x
2
2
0
32
lim
x
ee xx
x
−
→
+−
f)
1
21
lim
1 −
−+
→ x
x
x
2
2
0
32
lim
x
ee xx
x
−
→
+−
f)
1
21
lim
1 −
−+
→ x
x
x

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Guía de derivadas

  • 1. Ing. En ejecución en Prevención de Riesgos Curso de Cálculo I Prof. Alexi Ramírez Escobar IP. Santo Tomas Concepción Guía Unidad III Cálculo I OBJETIVO: CALCULAR DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, UTILIZANDO LAS DISTINTAS REGLAS DE DERIVACIÓN. DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de la función )(xf se define mediante el límite: h xfhxf xf h )()( lim)(' 0 −+ = → 1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función: 2 5)( xxf = DERIVADAS ELEMENTALES 1. Si n xxf =)( ; 1 )(' − ⋅= n xnxf 2. Si Cxf =)( , con C una constante ; 0)(' =xf 3. Si x bxf =)( ; )ln()(' bbxf x ⋅= 4. Si x exf =)( ; x exf =)(' 5. Si )(log)( xxf b= ; )ln( 1 )(' bx xf ⋅ = 6. Si )ln()( xxf = ; x xf 1 )(' = OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA Si )(xfy = , la deriva de )(xf se puede anotar de las siguientes formas: )()(' )1( xf dx dy xf ==
  • 2. ALGEBRA DE LAS DERIVADAS 1. Derivada de una suma ( diferencia ) [ ] )(')('')()( xgxfxgxf ±=± 2. Derivada de un producto [ ] )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf ⋅+⋅=⋅ 3. Derivada de una división ( )2 )( )(')()()(' ' )( )( xg xgxfxgxf xg xf ⋅−⋅ =      DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función entonces: )()('' xf dx d xfy == es la primera derivada o derivada de primer orden )()( 2 2 '''' xf dx d xfy == es la segunda derivada o derivada de segundo orden )()( 3 3 '''''' xf dx d xfy == es la tercera derivada o derivada tercer orden . . . . )()()()( xf dx d xfy n n nn == es la enésima derivada o derivada de orden n EJEMPLO 1. Halle todas las derivadas de orden superior para 223 234 −++= xxxy 0..........................................................00 721272'''21236''2612' 223 === =+=++=++= nviv iv yyy yxyxxyxxxy 2. Halle la tercera derivada de x y 1 = 432 6'''2''' −−− −==−= xyxyxy REGLA DE LA CADENA Si f(u) es derivable en )(xgu = y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ))(()( )( xgfgf x = es derivable en x. Además: )(')).((')'( )( xgxgfgf x = Usando la notación de Leibniz, si )(,)( xguufy == entonces: dx du du dy dx dy ==
  • 3. REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS Si )(xu es una función derivable entonces: dx du nuu dx d nn 1− = EJEMPLOS Sea 42 )13( +−= xxy halle su derivada )13()13(4' 32 −+−= xxxy Sea xxy += 3 calcule dx dy xx x xxx dx dy xxxxy + + =++=+=+= − 3 2 22 1 32 1 33 2 13 )13()( 2 1 )( DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Derivada de seno de x [ ] )cos()1)(cos()0)(( )( lim)cos( 1)cos( lim)( )cos()( lim 1))(cos(( lim )cos()()1))(cos(( lim )()cos()()cos()( lim )()( lim)( 00 000 00 xxxsen h hsen x h h xsen h xhsen h hxsen h xhsenhxsen h xsenxhsenhxsen h xsenhxsen xsen dx d hh hhh hh =+=+ − =+ − = +− = −+ = −+ = →→ →→→ →→ Derivada de coseno de x [ ] )()1)(()0)(cos( )( lim)( 1)cos( lim)cos( )()( lim 1))(cos(cos( lim )()()1))(cos(cos( lim )cos()()()cos()cos( lim )cos()cos( lim)cos( 00 000 00 xsenxsenx h hsen xsen h h x h xsenhsen h hx h xsenhsenhx h xxsenhsenhx h xhx x dx d hh hhh hh −=−=− − =− − = −− = −− = −+ = →→ →→→ →→ Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno y a coseno. Derivada de tangente de x )(sec )(cos 1 ))(cos( )()(cos ))(cos( )())(()cos()cos( )cos( )( )tan( 2 2 2 22 2 x x x xsenx x xsenxsenxx x xsen dx d x dx d = = + = −− =      = Derivadas de las cofunciones trigonométricas )cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2 xxx dx d xxx dx d xx dx d −==−=
  • 4. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPUESTAS dx du uuu dx d dx du uuu dx d dx du uu dx d dx du uu dx d dx du usenu dx d dx du uusen dx d )cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( )(sec)tan()()cos()cos()( 2 2 −==−= =−== EJEMPLOS 1. Derive )( 2 xseny = )cos(22)cos(' 22 xxxxy == 2. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) 2 )( xxf = b) 5 )( xxf = c) 2)( =xf d) xxf =)( e) 3 )( xxf = f) x exf =)( g) x xf 2)( = h) )ln()( xxf = i) )log()( xxf = 3. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) 53)( 2 +−= xxxf b) 656)( 2 −+= xxxf c) 133)( 23 +++= xxxxf d) xxxf −= 3 4)( e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x 4. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) x exxf ⋅=)( b) )ln()( 2 xxxf ⋅= c) x e x xf 4 )( = d) )ln( )( x e xf x = e) x x xf )ln( )( = f) x xxf 2)( 2 ⋅= 5. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (t) = t2 + 1( ) × t3 + t2 + 1( ) b) f (z) = 1 2z − 1 3z2 c) f (t) = t −1 t2 + 2t +1 d) f (x) = 3x x3 + 7x − 5 e) f (x) = 5 − 4x2 + x5 x3 f) f (x) = 4 x5 + 2 x 6. En cada caso, determine dx dy : a) 632 23 ++= xxy b) cbxaxy −+= 2 c) ( )xxy ln⋅= d) x e x y 2 = e) x xy 23 ⋅= f) ( )x y x log 6 = 7. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = x2 + x( ) 6 b) f (x) = 2x3 + 1( ) −5 c) ( )2 3 32)( += xxf d) f (x) = x3 +1 e) f (t) = t2 +1 t2 −1 f) f (u) = 1 u +1( )2
  • 5. 8. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) 62 )( + = x exf b) t etf ⋅− = 53 )( c) 2 2 )( x exxf − ⋅= d) u e uf u2 )( = e) 82 5)( + = x xf f) w wwf 6 22)( ⋅= 9. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) )43ln()( −= xxf b)       − + = u u uf 1 1 ln)( c) ( ) ( )12ln1)( 2 +⋅+= tttf d) ( )2 1ln)( wwf += e) ( )2log)( 3 += xxf f) ( )xxxf −= 4 2log)( 10. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 + ln x2 + 1( ) b) f (t) = et × t5 + 2 c) 3 )ln()( xexf x += d) f (u) = ln( u + 2u ) 11. En cada caso, determine 2 2 dx yd y 3 3 dx yd : a) 12 25 −+= xxy b) ( ) 2ln6 ++= xxy c) xxey x −−= d) xey x ⋅= 12. La posición de un móvil en función del tiempo viene dada por la expresión 232)( 2 ++= ttte (espacio en m., tiempo en seg.). Calcular la velocidad instantánea (v) en el instante t = 3 seg. 13. Hallar la derivada de la función f(x)=x2 +x+1 en x0= 1. Determinar la ecuación de la tangente a la función dada en en punto P(1, f(1)). 14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de cada una de las funciones y en los puntos que se indican: a) 123 34 +−+= xxxy ; en x = 1 b) 2−= xy ; en x = 6 c) )cos()( xxseny += ; en x = 0 15. Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites: xx xx x 23 3 lim 4 23 0 − − → b) 675 252 lim 2 2 2 −− +− → xx xx x 20 1 lim x ex x x −+ → d) 2 )1ln( lim 2 − − → x x x