1. DERIVACIÓN
Sección 3.1-3.2
Stewart
Cuarta Edición
Tomado de Miriam Benhayón (UNIMED)
Para el curso de Cálculo diferencial UNIANDES
Marcos Alejo Sandoval

2. RECTA TANGENTE A UNA CURVA
y f(x)
f(a+h)
Donde h tiende a cero...
f(a)
a a+h x
f(a + h) − f(a)
msec =
h

3. PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA
f ’(x)
f(x + h) − f(x)
m tang = lim
h →0 h
Este límite representa el valor de la pendiente
de la recta tangente a la curva f(x) en un punto
x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

4. ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO X=a
y − f(a) = f '(a)(x − a)
ejercicio
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la
parábloa y=x2 en el punto (-2,4)

5. TANGENTE VERTICAL
Si una curva f(x) posee una tangente vertical
en x=a de su dominio, entonces se cumple:
lim = f '(x) = ∞
x →a

6. REGLAS DE DERIVACIÓN
• SE UTILIZAN PARA HALLAR LA
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN
NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE
CUANDO h TIENDE A 0….
• Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

7. NOTACIÓN
df(x)
f '(x) = = Dx f(x)
dx

8. REGLAS DE DERIVACIÓN
Derivada de una función de la forma f(x)=xn
n
Si f(x) = x , entonces :
n −1
f' (x) = nx
NOTA :
Si f(x) =x, entonces : f' (x) =1
Si f(x) =N, entonces : f' (x) =0

9. REGLAS DE DERIVACIÓN
Regla del múltiplo constante K ,de la forma:
g(x) = K . f(x)
g(x) =Kf(x)
df(x)
g' (x) =Kf´(x) =K
dx

10. REGLAS DE DERIVACIÓN
Regla de la suma algebraica de funciones:
Sean f(x) y g(x) :
(f(x) ± g(x))' = f ' (x) ± g' (x)

11. PROBLEMA
1
Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x) = x 2 + 4x + 1
5 3 2
b. f(x) = 3 x − 2x +
x2
3 5 6
c. f(x) = x +
5 x

12. PROBLEMA
2
¿En qué puntos la siguiente función tiene una
recta tangente con pendiente horizontal ?
f(x) = x − 3x
3

13. PROBLEMA
3
Halle el punto en el cual la recta tangente a la
curva dada es paralela al eje x
f(x) = x − 2x + 3
2

14. CONSIDERACIÓN
Si la derivada es nula en un punto de un
intervalo (mtan=0), f(x) presentará una
tangente horizontal en ese punto.
Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente
horizontal en x=c

15. TEOREMA
Si f(x) es DERIVABLE en x=a,
entonces necesariamente es
CONTINUA en ese punto
El recíproco no necesariamente es cierto

16. PROBLEMA
4
¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?:
• a. ¿Derivable?
• b. ¿Continua pero no F(x)
derivable?
• c. ¿Ni continua ni
derivable?
x
-3 1 3

17. DERIVADA DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL NATURAL
Si f(x) = ex, entonces
f ´ (x) = ex

18. REGLAS DE DERIVACIÓN PARA
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x) = cosx f' (x) = − senx
g(x) = senx g' (x) = cosx
h(x) = tanx h' (x) = sec x
2
z(x) = secx z' (x) = secx.tanx
G(x) = cotanx G' (x) = − csc 2 x
F(x) = cscx F' (x) = −cscx.cotanx

19. PROBLEMA
5
Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
2 3
a. f(x) = secx- 2 + tanx + 1 − sen x
2
x 5
3
b. f(x) = 6 − 2senx +
x9
2 + cosx 1 x
c. f(x) = + e
senx 3

20. REGLAS DE DERIVACIÓN
Regla del producto de funciones:
Sean f(x) y g(x) :
(f(x) ×g(x))' =
f' (x) ×g(x) + f(x) ×g' (x)
Ejemplo:
f(x)=x 3 cos(x)
F(x)=e x .tanx

21. REGLAS DE DERIVACIÓN
Regla del cociente de funciones:
Sean f(x) y g(x) :
'
 f(x)  f' (x) ×g(x) − f(x) ×g' (x)

 g(x)  =

  ( g(x)) 2
Ejemplos:
f(x)=x3 / cos(x)
F(x)=3ex/(tanx-2)

22. PROBLEMA
6
Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :
a. f(x) = 2xsenx
(3x 3 − 4)
b. f(x) =
senx
x
c. f(x) =
3
2−
x

23. PROBLEMA 6 -RESPUESTAS
a. f´(x) = 2(senx + xcosx)
9x senx − (3x − 4)cosx
2 3
b. f´(x) = 2
sen x
1 -1/2 −1 −2
x (2 − 3x ) − x (3x )
1/2
c. f´(x) = 2 −1 2
(2 − 3x )

24. PROBLEMA
7
Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :
(x − 1)(x + 3)
a. f(x) =
(xsecx)
3tanx 5
b. g(x) = − x senx- -x
2
x e
2 cscx
c. F(x) = + 6e x
3 4x

25. PROBLEMA
8
aplique las reglas de derivación para hallar la
derivada de las funciones dadas :
5xcosx
a. g(x) =
2
x
6xtanx
b. F(x) =
x + 3senx

26. PROBLEMA
9
Un problema interesante…
Dada f(x) y las condiciones que se indican,
encuentre f’(4)
f(x) = x .g(x), g(4) = 2 , g´(4) =3,
f´(4)=?

27. REFLEXIONES
El más preciado derecho en el mundo es
el derecho a estar equivocado.
(Harry Weinberger, 1917)
Caer está permitido, levantarse es
obligatorio...
(Anónimo)