Curso : “ Geometría ” Unidad:   “ Cuerpo Geométricos ” Santiago, diciembre de 2009
PRISMAS Y SUS ELEMENTOS <ul><li>Es el cuerpo geométrico cuyas caras son paralelogramos y sus bases son polígonos congruent...
PRISMAS RECTOS Y OBLICUOS  <ul><li>Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En caso co...
PARALELEPIPEDOS RECTOS Y OBLICUOS  <ul><li>Son aquellos que tienen las bases del prisma constituidos por paralelogramos. <...
SECCIÓN TRANSVERSAL Y SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA <ul><li>Una sección transversal de un prisma es la intersección del prism...
SECCIÓN TRANSVERSAL Y SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA <ul><li>Propiedades: </li></ul><ul><li>Todas las secciones transversales ...
ÁREA LATERAL Y ÁREA TOTAL DE UN PRISMA <ul><li>El área lateral de un prisma se obtiene al sumar las áreas de las caras lat...
VOLUMEN DE UN PRISMA <ul><li>El volumen de un prisma cualquiera es igual al producto entre el área de la base y la altura....
Principio de Cavalieri <ul><li>Sean K 1  y K 2  dos cuerpos y  П 0  un plano. Si para todo plano  П  paralelo a  П 0   se ...
Pirámide <ul><li>Es un poliedro que tiene como base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que tienen...
TEOREMA DE LA RAZÓN ENTRE EL ÁREA DE LA BASE Y EL ÁREA DE UNA SECCIÓN TRANSVERSAL <ul><li>En toda pirámide, la razón entre...
TEOREMA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL <ul><li>Si dos pirámides tienen la misma altura y el área de sus bases iguales, entonces...
IGUALDAD DE VOLUMEN DE PIRÁMIDES CON BASES DE IGUAL ÁREA <ul><li>Si dos pirámides de igual altura tienen bases con igual á...
Teorema de Eudoxio <ul><li>Todo prisma triangular se puede descomponer en tres pirámides que tienen el mismo volumen. </li...
Volumen de una Pirámide <ul><li>El volumen de una pirámide cualquiera es igual al producto entre el área de la base y su a...
CUERPOS REDONDOS <ul><li>Los cuerpos redondos están limitados solamente por superficies curvas o bien por superficies plan...
CUERPOS REDONDOS <ul><li>El cilindro recto se genera por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. </l...
CUERPOS REDONDOS <ul><li>Área lateral, área total y volumen del cilindro recto . </li></ul>área lateral cilindro :  área t...
CUERPOS REDONDOS <ul><li>El  CONO RECTO  se genera por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus ca...
CUERPOS REDONDOS <ul><li>Área lateral, área total y volumen del cono recto . </li></ul>área lateral cono :  área total con...
CUERPOS REDONDOS <ul><li>La superficie esférica es el conjunto de todos los puntos que equidistan de uno interior llamado ...
CUERPOS REDONDOS <ul><li>Área y volumen de la esfera. </li></ul>área esfera:  Volumen esfera :
CUERPOS REDONDOS <ul><li>Generación de cuerpos por Traslación y/o Rotación. </li></ul>
Teorema de Pappus -Guldin <ul><li>La superficie de un cuerpo de rotación es igual al producto del perímetro de la figura q...
Teorema de Pappus -Guldin <ul><li>El Volumen de un cuerpo de rotación es igual al producto de la superficie de la figura q...
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  1. 1. Curso : “ Geometría ” Unidad: “ Cuerpo Geométricos ” Santiago, diciembre de 2009
  2. 2. PRISMAS Y SUS ELEMENTOS <ul><li>Es el cuerpo geométrico cuyas caras son paralelogramos y sus bases son polígonos congruentes contenidos en planos paralelos. </li></ul>bases : Δ ABC y Δ A’B’C’, son triángulos congruentes en los planos α y β que son paralelos. caras : los paralelogramos AA’C’C, AA’B’B y CC’B’B. aristas laterales : segmentos común entre dos caras: vértices : los puntos A,B,C, A’, B’ y C’ . Altura : corresponde a las distancia entre las bases o la distancia entre los planos que contienen a sus bases: h=
  3. 3. PRISMAS RECTOS Y OBLICUOS <ul><li>Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En caso contrario se le denomina oblicuo. </li></ul>
  4. 4. PARALELEPIPEDOS RECTOS Y OBLICUOS <ul><li>Son aquellos que tienen las bases del prisma constituidos por paralelogramos. </li></ul><ul><li>Es paralelepípedo recto si sus aristas son perpendiculares a las bases. En caso contrario se le denomina oblicuo </li></ul><ul><li>Paralelepípedo recto rectangular si las bases son rectángulos. </li></ul>
  5. 5. SECCIÓN TRANSVERSAL Y SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA <ul><li>Una sección transversal de un prisma es la intersección del prisma con un plano paralelo a las bases. </li></ul><ul><li>Una sección recta de una prisma es la intersección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales del prisma. </li></ul>polígono HIJK : sección transversal polígono EFGH : sección recta
  6. 6. SECCIÓN TRANSVERSAL Y SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA <ul><li>Propiedades: </li></ul><ul><li>Todas las secciones transversales de un prisma son congruentes con las bases y tienen la misma área. </li></ul><ul><li>Si el prisma es recto, entonces las secciones transversales y rectas son congruentes. </li></ul>
  7. 7. ÁREA LATERAL Y ÁREA TOTAL DE UN PRISMA <ul><li>El área lateral de un prisma se obtiene al sumar las áreas de las caras laterales. </li></ul><ul><li>El área total de un prisma resulta al sumar las áreas de las caras laterales y las de las bases. </li></ul>á lat. prisma = l*p á total prisma = 2B +l*p l : longitud arista lateral p : perímetro de la sección recta. B : área de la base.
  8. 8. VOLUMEN DE UN PRISMA <ul><li>El volumen de un prisma cualquiera es igual al producto entre el área de la base y la altura. </li></ul>V=l*a*h V prisma =área de la base * altura
  9. 9. Principio de Cavalieri <ul><li>Sean K 1 y K 2 dos cuerpos y П 0 un plano. Si para todo plano П paralelo a П 0 se tiene que las áreas de las secciones que П determina tanto en K 1 como en K 2 son iguales, entonces K 1 y K 2 tienen el mismo volumen. </li></ul>Si A1 = A2 = A3, entonces V1 = V2 = V3, para todos los posibles planos paralelos a las bases.
  10. 10. Pirámide <ul><li>Es un poliedro que tiene como base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que tienen un vértice común llamado cúspide o vértice de la pirámide. Dependiendo de la base: triangulares, cuadradas, pentagonales, hexagonales, etc. </li></ul><ul><li>Pirámide Regular: </li></ul>L : vértice o cúspide Polígono ABCD : cuadrado. LK : altura. LE : apotema, ρ Δ ABL, Δ BCL, Δ CDL y Δ DAL : triángulos isósceles congruentes.
  11. 11. TEOREMA DE LA RAZÓN ENTRE EL ÁREA DE LA BASE Y EL ÁREA DE UNA SECCIÓN TRANSVERSAL <ul><li>En toda pirámide, la razón entre el área de la base y el área de una sección transversal es igual a la razón entre los cuadrados de sus distancias al vértice. </li></ul>Si B1 representa el área de la base y B2 el área de la sección transversal, entonces:
  12. 12. TEOREMA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL <ul><li>Si dos pirámides tienen la misma altura y el área de sus bases iguales, entonces las áreas de las secciones transversales que equidistan de los vértices son iguales. </li></ul>SI GK=VW, área polígono ABC =área polígono LMNP y GJ=UV, entonces área polígono DEF= área polígono QRST
  13. 13. IGUALDAD DE VOLUMEN DE PIRÁMIDES CON BASES DE IGUAL ÁREA <ul><li>Si dos pirámides de igual altura tienen bases con igual área, entonces tienen el mismo volumen. </li></ul>SI FI=NO, área polígono ABCDE =área polígono JKLM, entonces vol. polígono DEF= vol. polígono QRST
  14. 14. Teorema de Eudoxio <ul><li>Todo prisma triangular se puede descomponer en tres pirámides que tienen el mismo volumen. </li></ul>Aplicación
  15. 15. Volumen de una Pirámide <ul><li>El volumen de una pirámide cualquiera es igual al producto entre el área de la base y su altura. </li></ul>V pirámide =
  16. 16. CUERPOS REDONDOS <ul><li>Los cuerpos redondos están limitados solamente por superficies curvas o bien por superficies planas y curvas. </li></ul><ul><li>Se pueden considerar como volúmenes o cuerpos de revolución producidos al girar en torno a un eje una determinada figura geométrica. </li></ul>
  17. 17. CUERPOS REDONDOS <ul><li>El cilindro recto se genera por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. </li></ul>: radio : generatriz : altura, eje
  18. 18. CUERPOS REDONDOS <ul><li>Área lateral, área total y volumen del cilindro recto . </li></ul>área lateral cilindro : área total cilindro : Volumen cilindro :
  19. 19. CUERPOS REDONDOS <ul><li>El CONO RECTO se genera por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. </li></ul>: radio, r : generatriz, g : altura, eje C: vértice o cúspide
  20. 20. CUERPOS REDONDOS <ul><li>Área lateral, área total y volumen del cono recto . </li></ul>área lateral cono : área total cono : Volumen cilindro :
  21. 21. CUERPOS REDONDOS <ul><li>La superficie esférica es el conjunto de todos los puntos que equidistan de uno interior llamado centro. </li></ul><ul><li>La esfera está constituida por todos los puntos de la superficie esférica y los interiores. </li></ul>
  22. 22. CUERPOS REDONDOS <ul><li>Área y volumen de la esfera. </li></ul>área esfera: Volumen esfera :
  23. 23. CUERPOS REDONDOS <ul><li>Generación de cuerpos por Traslación y/o Rotación. </li></ul>
  24. 24. Teorema de Pappus -Guldin <ul><li>La superficie de un cuerpo de rotación es igual al producto del perímetro de la figura que la engendra por el camino recorrido por su centro de gravedad. </li></ul>A(Cuerpo de Revolución)= 2π ⋅ d ⋅ P d : distancia del eje de rotación al centro de gravedad de la región generadora. P : perímetro de la región generadora.
  25. 25. Teorema de Pappus -Guldin <ul><li>El Volumen de un cuerpo de rotación es igual al producto de la superficie de la figura que la engendra por el camino recorrido por su centro de gravedad. </li></ul>A(Cuerpo de Revolución)= 2π ⋅ d ⋅ A d : distancia del eje de rotación al centro de gravedad de la región generadora. A : Área de la región generadora.
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