El documento presenta ejemplos de ejercicios resueltos relacionados con normas de vectores y el teorema de Pitágoras en espacios vectoriales. Incluye la demostración de que la norma de un escalar por un vector es el valor absoluto del escalar por la norma del vector. También presenta cómo probar la ley del paralelogramo y el teorema de Pitágoras para vectores en un espacio vectorial.

1. Ejercicios resueltos y explicados<br />1 ejercicios (de clase) <br />SEA EL CONJUNTO S UNA BASE ORTONORMAL DETERMINAR LA NORMA DE u+ v:<br />S={ u,v } Primeramente los vectores u y v son ortonormales por lo tanto son ORTOGONALES, esto quiere decir que || u/v || = 0, y que:<br /> <br />|| u || = √ (u/u) = 1; entonces, || u || ² = (u/u) = 1<br />|| v || = √ (v/v) = 1; entonces, || v || ² = (v/v) = 1<br />Aplicando la propiedad de productos internos tenemos que:<br />|| u+v || = √(u+v / u+v) = √ (u/u) + (u/v) + (v/u) + (v/v) = √ 2<br />2 ejercicio (folleto) <br />DEMOSTRAR QUE || αu || =|α| || u || ;<br />|| αu || = || αu || ( Tomamos la hipótesis e igualamos ambas expresiones)<br />= √ (αu / αu) (aplicamos definición de norma de vector)<br />= √ α² (u /u) (aplicamos propiedades de producto interno)<br />= |α| √ (u /u) (como α es un escalar aplicamos propiedad del valor absoluto)<br />= |α| || u || ( definición de norma de un vector, y queda demostrada la tesis)<br />A PARIR DE LOS DATOS: = || u || = || v || =1 y v/ (u+ v)= 0 ; CALCULAR u/v <br />|| u || = √ (u/u) = 1; entonces, || u || ² = (u/u) = 1<br />|| v || = √ (v/v) = 1; entonces, || v || ² = (v/v) = 1<br />Aplicando propiedades del producto internos tenemos que:<br /> <br />v/ (u+ v)= (v / u) + (v/v) = 0<br />v/ (u+ v)= (v / u) + 1 = 0 (por hipótesis)<br />(v / u) + 1 = 0 <br />(v / u) = -1 (despejando la ecuación anterior)<br />Ejercicios propuestos<br />2 ejercicios (folleto exámenes)<br />1.- PROBAR LA LEY DEL PARALELOGRAMO PARA DOS VECTORES CUALESQUIERA EN UN ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO:<br /> || u+v || ² + || u-v ||² = 2 || u ||² + 2 || v ||² <br />2.- SEA V UN ESPACIO VECTORIAL DEFINIDO CON PRODUCTO INTERNO, PROBAR QUE SI u, v PERTENECE A V <br />|| u+v || ² = || u ||² + || v ||² SI Y SOLO SI (u / v) = 0 <br />ESTE RESULTADO SE CONOCE COMO TEOREMA DE PITÁGORAS. <br />Evaluación<br />2 preguntas (opción múltiple)<br />1.- A LA NORMA DE UN VECTOE SE LA CONOCE TAMBIEN COMO:<br />A- BASE DE UN VECTOR<br />B- LONGITUD DE UN VECTOR<br />C- AREA DE UN VECTOR<br />D- DIMENCION DE UN VECTOR<br />2.- AL REFERIRSE A LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS R, R², R³, LA NORMA, ES UN NÚMERO REAL QUE REPRESENTA:<br />A-DESIGUALDAD TRIANGULAR<br />B-DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARTZ<br />C-LA DISTANCIA ENTRE EL ORIGEN Y EL EXTREMO DEL VECTOR<br />D-NINGUNA RESPUESTA<br />