Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
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Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Document Transcript

  • 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Sea el triángulo rectángulo A B C, en donde A y B son ángulos agudos y elángulo C es recto, y además los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” sellama hipotenusa. En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “bcateto adyacente. B c a b x El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón queexiste entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c). Cat. opuesto a x a Sen x = = hipotyenusa c El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entreel cateto adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo. Cat. adyacente a x b Cos x = = hipotenusa c La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existenteentre el cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo. Cat. opuestoa x a Tag x = = Cat .adyacente a x b
  • 2. La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existenteentre el cateto ayacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x. Cat. adyacente a x b Ctg x = = Cat. opuesto a x a La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa( c ) y el cateto adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo. hipotenusa c Sec x = = Cat. adyacente a x b La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razónentre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x. hipotenusa c Csc x = = Cat. opuesto a x a VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 30º -45º - 60º Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de30º y 60º, usaremos un triángulo equilátero, cuyo lado miden 2 unidades longitud yal cual le trazaremos la altura que calcularemos a través del TEOREMA DE b2 + h2 = c2 30º h2 = c2 - b2 ⇒h = c2 - b2 h2 = 2 2 - 12 = 4 - 1 = 3PITÁGORAS B 2 c =2 h = A C 60º
  • 3. Para el ángulo de 30º, el cateto apuesto (b) mide una (1) unidad delongitud, el cateto adyacente (h) mide 3 unidades de longitud y la hipotenusa (c)mide 2 unidades de longitud. Los valores de las funciones trigonométricas de 30º se obtendrán al aplicarlas definiciones de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Cat. opuesto a 30º 1 Sen 30º = = hipotenusa 2 Cat. adyacente a 30º 3 Cos 30º = = hipotenusa 2 Cat. opuesto a 30º 1 3 Tag 30º = = = (Racionalizando) Cat .adyacente a 30º 3 3 Cat. adyacente a 30º 3 Ctg 30º = = = 3 Cat.opuesto a 30º 1 hipotenusa 2 2. 3 Sec 30º = = = (racionalizando) Cat . adyacente 3 3 hipotenusa 2 Csc 30º = = = 2 Cat. opuesto 1 El triángulo anterior será usado para calcular los valores para 60º, sólo quelos catetos cambian, es decir, opuesto será el adyacente y viceversa. Cat. opuesto a 60º 3 Sen 60º = = hipotenusa 2 Cat. adyacente a 60º 1 Cos 60º = = hipotenusa 2 Cat. opuesto a 60º 3 Tag 60º = = = 3 Cat .adyacente a 60º 1
  • 4. Cat. adyacente a 60º 1 3 Ctg 60º = = = (racionalizando) Cat.opuesto a 60º 3 3 hipotenusa 2 Sec 60º = = = 2 Cat .adyacente a 60º 1 hipotenusa 2 2. 3 Csc 60º = = = (racionalizando) Cat.opuesto a 60º 3 3 Debes observar que los valores de las razones trigonométricas para losángulos de 30º y 60º se intercambian por ser complementarios, es decir la sumade sus medidas es igual a 90º . Los valores de las razones trigonométricas se obtendrán usando uncuadrado cuyos lados miden unas unidades de longitud y a la cual se le Trazaráuna diagonal cuya longitud será calculada mediante el TEOREMA DEPITÁGORAS. B D a=1 c= 2 A b=1 C Cat. opuesto a 45º 1 2 Sen 45º = = = (racionalizando) hipotenusa 2 2 Cat. adyacente a 45º 1 2 Cos 45º = = = (racionalizando) hipotenusa 2 2
  • 5. Cat. opuesto a 45º 1 Tag 45º = = =1 Cat. adyacente a 45º 1 Cat. adyacente a 45º 1 Ctg 45º = = =1 Cat . opuesto a 45º 1 hipotenusa 2 Sec 45º = = = 2 Cat. adyacente a 45º 1 hipotenusa 2 Csc 45º = = = 2 Cat.opuesto a 45º 1 El ángulo de 45º es complementario con él mismo, ya que: 45º + 45º esigual a 90º. EN RESUMEN Ángulos 30º 45º 60º Razones Seno 1 2 2 3 2 2 Coseno 3 1 2 2 2 2 Tangente 3 1 3 3 Cotangente 3 1
  • 6. 3 3 Secante 2 2 2 3 3Cosecante 2 2 2 3 3
  • 7. 3 3 Secante 2 2 2 3 3Cosecante 2 2 2 3 3
  • 8. 3 3 Secante 2 2 2 3 3Cosecante 2 2 2 3 3
  • 9. 3 3 Secante 2 2 2 3 3Cosecante 2 2 2 3 3