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  1. 1. La Value-at-Risk 1 La Valeur à RisqueI. GENERALITESI.1. Introduction: Le besoin d’une mesure de risque standardisée (VaR) Jusqu’à la fin des années 80, les méthodes utilisées pour détecter et gérer les risques demarché n’étaient adaptées qu’à des produits spécifiques. Il était alors impossible de comparerles mesures de risques entre les différentes « tables » d’une même salle de trading.L’accroissement de la volatilité des marchés financiers, le développement spectaculaire desproduits dérivés et, surtout, une série de désastres (les plus connus étant ceux de la banqueBaring, de Metallgesellschaft, de la banque Daiwa et du Comité d’Orange aux Etats-Unis) ontpoussé les instituts financiers à rechercher un indicateur global et synthétique des risquesfinanciers, à partir d’outils adéquats de contrôle interne qui devront assurer la qualité duprocessus de mesure, de suivi, et de gestion du risque. En juillet 1993, le Groupe des 30 (constitué de représentants de l’industrie financière etdes autorités de surveillance) recommandait de quantifier les risques par une mesure uniformeappelée Value-at-Risk (VaR). Cette recommandation a été très largement suivie puisque laVaR est devenue, en quelques années, un standard pour l’évaluation des risques financiers.Plusieurs évènements ont favorisé son adoption par la communauté financière : Octobre 1994 : la banque d’affaires américaine JP Morgan1 dévoile sa méthodologieRiskMetrics™ et la met gratuitement à disposition sur Internet. Janvier 1996 : le Comité de Bâle adopte l’amendement « Risques de marché » auxAccords de Bâle de 1988. Cet amendement permet aux banques de choisir entre la méthodestandardisée et leur propre modèle pour calculer la consommation en fonds propres de leursactivités de négociation. Contrairement aux méthodes de la VaR, la méthode standardisée netient pas compte des effets de diversification et implique en pratique une plus grandeconsommation de fonds propres.La Capital Adequacy Directive (CAD) a fait de la VaR l’outil privilégié de calcul de laquantité nécessaire de fonds propres pour les activités de marché de la banque.L’objectif de notre étude est d’introduire la notion de VaR, de montrer comment elle secalcule et de discuter ses applications.1 “At the close of business each day, tell me what the market risks are across all business and location.” Dennis Weatherstone, Chairman, JP MorganDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  2. 2. La Value-at-Risk 2 La Valeur à RisqueI.2. Cadre juridique, réglementation comptable et prudentielle de la VaR L’objectif de cette section est de présenter l’intérêt des méthodes d’évaluation desrisques au niveau juridique.Les opérations de marché des établissements de crédit et des entreprises d’investissement onten effet connu un important développement au cours des vingt dernières années, en liaisonnotamment avec la déréglementation et la libéralisation des marchés de capitaux et lalégislation bancaire à tenter de suivre. Des travaux menés dans un cadre international, auComité de Bâle, au niveau communautaire et national, ont permis d’élaborer des normes envue de mieux appréhender les risques de marché. Le but est d’obtenir des normes comptablesprudentielles permettant de contrôler le risque bancaire. Organismes définissant les règles du contrôle bancaire Comité de Bâle Niveau International Etablissements de Comité de Réglementation crédit et entreprises Bancaire (CRB) d’investissement Niveau national Conseil de L’Union Européenne (CAD) Niveau CommunautaireLe dispositif consiste à prévoir une mesure des risques résultant des opérations de marché,ainsi qu’une couverture de ceux-ci par des exigences de fonds propres. L’intérêt de la VaR estqu’elle apporte de nouvelles exigences par rapport aux anciennes méthodes du ratio desolvabilité.Le CRB par la réglementation du 21 juillet 1995 définit quatre risques de marché :Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  3. 3. La Value-at-Risk 3 La Valeur à Risque1. Le risque de taux d’intérêt : Obligations, titres de créances négociables et instruments assimilés2. Le risque de variation du prix des titres de propriété : Actions et instruments assimilés3. Le risque de réglementation contrepartie : Titres de créances ou de propriété, pensions prêts et emprunts de titres, dérivés de gré à gré.4. Le risque de change :Pour les trois premiers types de risques, seuls les éléments du bilan et du hors bilan inclusdans le portefeuille de négociation (titres de transactions et de placements, produits dérivés)sont soumis aux exigences de fonds propres. Pour le risque de change, il a pour assiettel’ensemble des éléments du bilan et du hors bilan.Les établissements doivent déterminer, au sein de leur portefeuille de négociation, lespositions nettes sur chacun des titres ou instruments, c’est-à-dire le solde acheteur ou vendeur.Pour les positions sur dérivés, les banques devaient jusqu’en janvier 1996, les convertir enpositions équivalentes sur le titre sous-jacent ou en positions de change équivalentes.Maintenant, le Comité de Bâle accepte la gestion à partir des coefficients delta gamma etvega.Pour évaluer les risques, les autorités de contrôle acceptent deux types de modèle :I.2.1. L’approche standard : Le modèle est construit par les autorités de contrôle. Dans ce cas, différentes méthodessont proposées pour déterminer la position nette relative à chaque type de risque. Par ailleurs,les établissements peuvent être autorisés à recourir à des algorithmes prédéfinis, pourdéterminer directement le risque afférent à leurs positions sur les dérivés.Pour chaque classe de risque précédemment définie, l’approche standard sépare le risquegénéral du risque spécifique, propre à chaque titre.Il est évident que cette méthode est difficile à mettre en œuvre pour les banques. Ellen’accepte pas le principe de diversification et nécessite une gestion ligne par ligne. Aussi, lesgrandes banques ont fait le forcing auprès des autorités de contrôle pour obtenir le droit dedévelopper des modèles propres.I.2.2. L’approche interneDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  4. 4. La Value-at-Risk 4 La Valeur à Risque Ainsi, le 9 avril 1995 le Comité de Bâle a accepté que les banques développent elles-mêmes des modèles d’évaluation des risques. Les modèles évaluant le risque potentiel depertes maximales : VaR , se sont développés. Ces modèles doivent toujours être soumis aucontrôle des autorités mais surtout, le besoin en fonds propres résultant du modèle estmultiplié par un facteur compris entre 3 et 4.Les modèles doivent répondre à deux types de conditions :• Conditions qualitatives : Il s’agit principalement de conditions destinées à s’assurer del’existence d’un contrôle satisfaisant des risques au sein de l’établissement. Une unitéspéciale de contrôle doit produire des rapports quotidiens d’évaluation du respect deslimites de risques. Elle doit également être chargée de vérifier les résultats et la fiabilité dumodèle et faire rapport à la direction générale, qui doit elle-même être impliquée dans leprocessus de contrôle. Des scénarios de crises doivent impérativement être analysés.• Conditions quantitatives : Si aucun modèle n’est prescrit, la prise en compte desrisques doit être satisfaisante et reposer sur des hypothèses statistiques imposées. Lesmodèles doivent en outre, prévoir l’agrégation par simple somme des risques potentiels depertes maximales pour chaque catégorie de risques. Par ailleurs, une exigence en fondspropres supplémentaire est requise dans le cas où le modèle interne ne prend pas encompte de manière adéquate le risque spécifique associé aux instruments dérivés de tauxet d’actions.La Commission Bancaire peut autoriser un établissement à utiliser son modèle interne pourdéterminer les exigences relatives à l’un des trois types de risques seulement, et à avoirrecours à la méthode standard pour les autres.I.2.3. Le calcul des fonds propres : Les fonds propres éligibles :1. Bénéfices hors activité de négociation.2. Actions, réserves et autres.3. Fonds propres sur-complémentaires : Ce sont les profits effectivement enregistrés surle portefeuille de négociation et non les plus-values latentes. On trouve aussi les empruntssubordonnés à plus de deux ans. Ils ne doivent pas dépasser 250 % des fonds propresclassiques.Par la réglementation 95-02, le CRB en accord avec la CAD de l’Union Européenne, a définila charge de fonds propres nécessaires :Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  5. 5. La Value-at-Risk 5 La Valeur à Risque  VaRt −1.  CFP = Max CFMSt ; CFMSt . t ; m.VaRt −1   VaRt . Le facteur m est compris entre 3 et 4.Il est évident que la complexité grandissante des instruments financiers, ainsi que la taille desgroupes bancaires, rend toute généralisation de ces calculs très difficile. Pour MadameDanièle Novy, Secrétaire générale adjoint du Comité de Bâle, une bonne informationfinancière (disclosure) de chaque groupe sur les opérations et sur les modèles peut remplacerà terme une réglementation trop généraliste.I.3. Le concept de VaR Conceptuellement, la VaR est une notion très simple : l’idée est de résumer en unseul nombre l’ensemble des pertes potentielles que peut subir le portefeuille d’activitésfinancières de la banque en agrégeant toutes ses positions, c’est à dire en une mesurecohérente de risque. La VaR essaie donc de quantifier dans un intervalle de confiance pré-spécifié, la perte potentielle maximum que peut subir une position isolée donnée, ou unportefeuille ou la banque dans son ensemble, sur une courte période de temps (allant de 1 à 10jours ouvrés) dans des conditions de marché normales. Cette mesure basée sur des conditionsde marché normales n’a que très peu de portée dans des périodes de mouvements extrêmes dumarché, il faudra donc recourir à des tests de stress et à des analyses de scénarios afin decompléter cette mesure. Cette mesure appliquée à différents portefeuilles de la banque devraitpermettre d’identifier les activités les plus consommatrices de fonds propres pour le risque demarché, et ainsi d’allouer ces fonds propres aux activités les plus rentables. Car plus la pertepotentielle est importante pour un niveau de rentabilité donné moins l’activité semblerentable. Il faut noter que la CAD laisse le choix aux organismes financiers de la méthodestandard ou alternative pour le calcul de la charge en fonds propres liée aux activités demarchés (ce montant est souvent rapporté aux fonds propres total). La méthode standardconsiste à considérer séparément les différentes catégories d’actifs et de leur attribuerindépendamment un pourcentage de fonds propres nécessaire pour le risque de marché. LaDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  6. 6. La Value-at-Risk 6 La Valeur à Risqueméthode alternative est basée sur le modèle interne de VaR de la banque. Cette méthode doitprendre en compte les effets de diversification entre les différentes catégories d’actifs. Pour introduire l’idée de base, prenons un exemple. Vous avez investi une partie devos économies dans un portefeuille d’actions suisses. Votre conseiller vient de vous informerque la valeur de votre portefeuille a encore baissé le mois dernier et que celui-ci vautmaintenant 50000 francs suisses. Après avoir écouté ses explications sur les raisons de cettemauvaise performance, vous désirerez sûrement avoir une idée de la perte maximale que leportefeuille pourrait enregistrer d’ici la fin du mois. La réponse la plus correcte serait quevous pourriez perdre toutes vos économies. Or cette réponse n’est pas satisfaisante parcequ’elle ne vous apporte rien de nouveau et, surtout, parce que le scénario de perte totale atrop peu de chances de se produire. Il serait plus réaliste et plus professionnel de dire : «Qu’enl’absence d’événements exceptionnels, il y a 95% de chances que le portefeuille reparte à lahausse ou qu’il perde 4000 francs ou moins d’ici la fin du mois. » C’est le genre de réponseque la méthode VaR permet de donner. Par définition, la VaR d’un portefeuille d’actifs financiers correspond au montant depertes maximum sur un horizon de temps donné, si l’on exclut un ensemble d’événementsdéfavorables (worst case scenarios) ayant une faible probabilité de se produire.A l’aide du concept VaR, on peut ainsi exprimer en un seul chiffre le montant à risque d’unportefeuille, même si celui-ci est composé de plusieurs classes d’actifs (actions, obligations,options, devises, etc.). On pourra alors dire si le portefeuille est trop risqué ou non, enfonction du chiffre obtenu, de la valeur du portefeuille et de l’aversion au risque del’investisseur. Reprenons l’exemple précédent. La VaR à 95% et sur un horizon de temps d’un moisde votre portefeuille est égal à 4000 francs. Cela signifie que si le portefeuille ne change pasjusqu’à la fin du mois et que les conditions du marché restent normales, il y a 95% de chancespour que la perte sur tout le mois soit inférieure à 4000 francs. Les événements défavorables(worst case scenarios) ont une probabilité de 5%. Le portefeuille perdrait alors plus de4000 francs si l’un de ces derniers devait se produire. Il faut noter que la perte totale faitpartie des événements défavorables. Bien entendu, ce calcul ne signifie pas que votreportefeuille ne réalisera pas de performance positive sur le mois. Les modèles de VaR développés par les banques essaient de mesurer la perte d’unportefeuille (ou de la banque dans son ensemble) pour une période de détention spécifique quine sera dépassée seulement qu’un certain pourcentage de fois (le plus généralement 1% ouDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  7. 7. La Value-at-Risk 7 La Valeur à Risque5%). Elle est aussi définie comme la perte potentielle maximale pour une probabilité fixée surune période de détention donnée.La VaR d’une position de marché est donc un nombre censé mesurer et résumer le risqueencouru sur cette position. Les risques considérés sont généralement ceux liés aux fluctuationsdes taux d’intérêt, du cours de change des monnaies, du prix des actions et du cours desmatières premières.Si l’on dispose de la distribution de la variation ( ∆P ) de valeur du portefeuille,mathématiquement la VaR est égale à l’inverse de la fonction de répartition de la loi de ∆Pévaluée en p (p=5% ou 1%).Si l’on note X la variable aléatoire représentant la variation de valeur du portefeuille(variation pour un intervalle de temps ∆t = j jours si la période de détention est de j jours),alors on cherche le nombre VaR tel que : P[ X < −VaR] = p ⇔ P[∆P / P < −VaR / P] = p . Eninversant cette équation et en supposant une loi normale N(o;σ) pour ∆P / P , on obtientVaR = −Φ −1 ( p ) × σ × P , ou Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Loi normale centrée réduite: illustration 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 -σ +σ p=68% 0,2 0,15 0,1 -2σ +2σ p=95% 0,05 p=99,8% -3σ +3σ 0-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  8. 8. La Value-at-Risk 8 La Valeur à RisqueCi-dessous, a été donnée une illustration graphique de la densité de probabilité d’une loinormale N(0 ;15) pour 30000 observations ,pour p=0.01 VaR=-2.33*15%*P. 5000 Series: R Sample 1 30000 4000 Observations 30000 Mean 0.029012 3000 Median -0.011326 Maximum 64.55084 Minimum -57.42176 2000 Std. Dev. 14.99157 Skewness 0.005798 Kurtosis 3.001255 1000 Jarque-Bera 0.170071 Probability 0.918480 0 -60 -40 -20 0 20 40 60 VaR p=1%I.4. La démarche générale pour le calcul de la VaR L’approche moderne de la VaR a pour objectif d’évaluer le risque global de la banqueen prenant en compte toutes les interactions possibles entre les différents actifs et passifs.Il existe différentes méthodes de mesure de la VaR, mais elles ont en commun ces différentspoints : La VaR tend à être un outil général de gestion qui quantifie le risque en global,voyant la firme comme un portefeuille géant d’actifs et de passifs avec des valeurs demarché fluctuantes. L’utilisation d’informations statistiques : c’est-à-dire toutes les informationsstatistiques pertinentes à propos des composantes du portefeuille, comme les volatilitéshistoriques et les corrélations entre les différentes sources de risques qui sont utiliséesdans la quantification du risque du portefeuille. La reconnaissance de l’interaction : il faut prendre en compte dans le portefeuilletotal les effets de diversification et de couverture. Par exemple une position couverte estassez peu risquée tandis qu’une position sur un dérivé seul peut se révéler très risquée.Pour cette raison le risque d’un portefeuille n’est généralement pas la simple somme desrisques de ces différentes composantes, et la contribution marginale d’une position aurisque total d’un portefeuille dépend de la composition du portefeuille.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  9. 9. La Value-at-Risk 9 La Valeur à RisqueLe concept de VaR semble plutôt simple, mais sa mise en œuvre pratique ne l’est pas.Il existe différentes mesures qui se différencient par leurs hypothèses et les outils statistiquesutilisés. Cependant, les principes de bases restent les mêmes entre les différentes mesures.Pour commencer, les données concernant l’ensemble des positions de l’institution financièredoivent être réunies dans une base de données centralisée. Cette tâche n’est pas toujoursévidente. Toutes les positions doivent être valorisées à leur valeur de marché. Une fois les données centralisées, le risque global doit être calculé par agrégation desrisques des instruments individuels entrant dans la composition du portefeuille, de sorte queles effets de diversification soient correctement pris en compte. C’est à dire qu’il faut déterminer les facteurs de risque individuels communs auxdifférentes positions comme les principaux indices boursiers, les principaux cours de changeet de matières premières et les taux zéro coupons pour différentes maturités, qui sont censésinfluencer les différentes composantes du portefeuille. Il faut choisir la période de détention, le plus généralement un, cinq ou dix joursouvrés. Il faut déterminer les variations des facteurs de risques individuels pour la période dedétention, basées sur la distribution des changements de prix constatés sur un échantillond’observations historiques prédéterminé. Puis il faut estimer les effets des variations des facteurs de risques individuels sur lavaleur des composantes du portefeuille.La VaR peut ensuite être calculée, une fois que la relation précise entre la variation de lavaleur du portefeuille et les variations de chaque source de risque individuel a été déterminée.Cette dernière étape est sans doute la plus difficile pour le calcul de la VaR, et nécessitecertaines approximations qui peuvent se révéler dangereuses.Il ressort une hypothèse sous-jacente dans l’étape de la détermination des facteurs de risques,et de l’effet de la variation de ces facteurs sur la valeur du portefeuille. C’est à dire que ladistribution des futures variations des facteurs de risques est identique à celle des variationspassées (stabilité de la loi), et que la relation entre la variation de la valeur du portefeuille etles variations des facteurs est stable.Les différentes procédures pour ces deux dernières étapes classifient les méthodes dedétermination de la VaR en différentes catégories.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  10. 10. La Value-at-Risk 10 La Valeur à RisqueI.5. Modélisation des risques de marché A ce stade, nous pouvons nous demander s’il est vraiment nécessaire de faireintervenir des probabilités dans l’évaluation des risques financiers. Pour répondre à cettequestion, il faut observer que la principale cause de ces risques est l’incertitude liée àl’évolution des prix. A l’heure actuelle, la théorie des probabilités est le meilleur outil dont ondispose pour modéliser cette incertitude. Le processus de modélisation se déroule en deuxétapes : description de l’ensemble de tous les événements futurs possible, puis assignationd’une pondération à chacun d’entre eux pour représenter sa probabilité de réalisation. Lemodèle ainsi obtenu est synthétisé par son diagramme de fréquence, appelé loi de probabilitéou distribution du modèle. La distribution la plus connue est la distribution normale (ou deGauss cf. supra représentation graphique): c’est la fameuse courbe en forme de cloche utiliséedans de nombreux domaines scientifiques. Pour déterminer le risque d’un portefeuille, il faut d’abord identifier les différentesvariables de marché, appelées facteurs de risque, susceptibles d’influer sur l’évolution futuredu portefeuille (prix d’actions, taux de change, taux d’intérêt, etc.). Chaque facteur de risqueest ensuite modélisé par une distribution (de probabilité). La distribution des pertes et profitsdu portefeuille résultera d’une combinaison adéquate des choix effectués pour les facteurs derisque. Une question fondamentale demeure : comment choisir un modèle de distribution pourune variable de marché ? Idéalement, il faudrait un modèle qui soit simple et qui « colle » trèsbien aux observations empiriques. Dans notre contexte, le modèle le plus simple est ladistribution normale, une loi très connue et qui est déterminée par deux paramètres : lamoyenne et la volatilité. C’est d’ailleurs la loi qui peut servir de base au CAPM et qui est lepoint de départ du modèle de Black-Scholes. Malheureusement, de nombreuses étudesempiriques ont montré que ce modèle probabiliste « colle » mal aux observations empiriques.Les krachs boursiers boursiers sont les manifestations les plus spectaculaires de cetteinadéquation. Par exemple, les deux plus importantes baisses de l’indice Dow Jones sur uneséance se sont produites le 19 octobre 1987 (-22.61%) et le 28 octobre 1929 (-12.82%), soit àun intervalle de 58 ans. Pour une seconde illustration, la Banque Cantonale Vaudoise aconsidéré les rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001. Lesprincipaux indicateurs de ces rendements sont consignés dans le tableau I ci-dessous. Il fautnoter que le rendement quotidien moyen est très faible par rapport à la volatilité. Tableau I : statistiques des rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  11. 11. La Value-at-Risk 11 La Valeur à Risque Nombres dobservations 500 Rendement moyen 0.0134% Volatilité (écart-type) 0.9984% Rendement minimal (obtenu le 22.03.2001) -5.78% Rendement maximal (obtenu le 16.03.2000) 3.93% Source : Banque Cantonale Vaudoise, DatastreamLe graphique I présente l’histogramme des rendements quotidiens du SMI entre les deux datesmentionnées, c’est-à-dire la distribution empirique des rendements. la distribution normale laplus proche des observations historiques a été superposée.Graphique I : histogramme des rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001 avec sa meilleure approximation normale. Source : Banque Cantonale Vaudoise, DatastreamContrairement à la distribution normale, l’empirique possède une asymétrie entre les gains etles pertes et elle est plus « effilée » autour de la moyenne. On observe aussi beaucoup plus derendements extrêmes que la distribution normale ne le prévoit. Autrement dit, le choix d’unedistribution normale pour modéliser les rendements quotidiens du SMI conduirait à une sous-estimation des risques de pertes (ou de gains) extrêmes. Un test d’adéquation statistiqueDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  12. 12. La Value-at-Risk 12 La Valeur à Risque(appelé test de Jarque-Bera) a été effectué sur les données et le résultat confirme quel’hypothèse de normalité ne « colle » pas avec les observations.Pour améliorer l’adéquation avec les données empiriques, on peut considérer des distributionsplus compliquées ou alors intégrer le fait (observé empiriquement) que la volatilité desrendements varie dans le temps. Les modèles actuellement disponibles combinent ces deuxsolutions. Ces modèles plus compliqués ne sont pas forcément plus efficaces, car ils posent dedélicats problèmes d’identification et d’estimation. Il faut donc chercher un compromis entrel’efficacité et l’adéquation avec les données empiriques.I.6. Les trois paramètres d’une VaR La VaR d’un portefeuille dépend de trois paramètres : Distribution des pertes et profits du portefeuille en fin de période. Niveau de confiance qui est égale à 1 moins la probabilité des événementsdéfavorables. Par exemple, un niveau de confiance de 95% si l’on désire ignorer les 5%relatifs aux événements les plus défavorables. Période de temps sur laquelle sur laquelle on désire mesurer la VaR.Graphique II : représentation graphique de la VaR.Le paramètre le plus important est la distribution des pertes et profits du portefeuille. C’estaussi le paramètre le plus difficile à déterminer. Comme le niveau de confiance dépend del’aversion au risque du propriétaire du portefeuille, plus ce niveau est important et plus laVaR sera élevée. Autrement dit, si le propriétaire craint les risques, il s’arrangera pour que laDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  13. 13. La Value-at-Risk 13 La Valeur à Risqueprobabilité des événements défavorables soit très petite. En ce qui concerne l’horizon detemps, il dépend surtout de la fréquence de recomposition du portefeuille et de la liquidité desactifs financiers qui y sont contenus. Pour les mesures de VaR des portefeuilles denégociation des instituts financiers, la réglementation impose un niveau de confiance de 99%et une période de dix jours ouvrables, soit deux semaines.I.7. Remarques Contrairement à ce que l’on a pu lire ça et là, la notion de VaR n’a été ni inventée parles financiers, ni par la banque américaine JP Morgan. Les actuaires utilisent cette notiondepuis plus d’un siècle pour calculer les probabilités de ruine et de réserves de solvabilité.Dans ce domaine , le niveau de confiance est toutefois plus élevé (99.9%) et l’horizon detemps plus vaste (au moins une année). La méthodologie de la VaR a été étendue à la quantification des risques de crédit etaussi à la mesure des risques de marché d’entreprises non financières. Dans ces deux cas, ilest souvent nécessaire de prendre des horizons de temps plus longs, par exemple un an.I.8. Exemples de mesures de la VaR Rappelons que la « Value at Risk » est la perte potentielle maximale, à l’intérieur d’unintervalle de confiance donnée, supportée par un établissement sur son portefeuille depositions, dans l’hypothèse d’un scénario défavorable de marché sur un horizon déterminé.Exemple1 : Calcul de la VaRSoit le portefeuille suivant : Long 100 USD/FRF spot (Position X1) Long 500 FRF zéro coupon 10 ans (Position X2) Acheteur équivalent 100 FRF CAC 40 (Position X3)Quelle est la Value at Risk de ce portefeuille ?1.Estimation des paramètres (volatilités et corrélations)Hypothèses : volatilité USD/FRF : 9% volatilité taux FRF 10 ans : 14 % volatilité CAC 40 : 26% corrélation USD/FRF et taux FRF 10 ans : +0,071 corrélation USD/FRF et CAC 40 : + 0,39corrélation taux FRF 10 ans et CAC 40 : + 0,11Données de marché :USD/FRF : 5,50Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  14. 14. La Value-at-Risk 14 La Valeur à Risquetaux zéro coupon continu 10 ans : 5%CAC 40 : 40002.Calcul de la variance du portefeuilleVolatilité de la position de change : 100 USD x 5,50 x 9 % x = 9,86 FRFVolatilité de la position de taux : 500e -(10x5%) x 10 x 14 % x 5 % x = 4,23 FRFVolatilité de la position de CAC 40 : 100 FRF x 26 % = 5,18 FRFVariance du portefeuille :[9,86]2 + [4,23]2 + [5,18]2 - 2 x 0,071 x 9,86 x 4,23 + 2 x 0,39 x 9,86 x 5,18 - 2 x 0,11 x 4,23 x 5,18= 171,04 MF²doù volatilité de portefeuille = 171,04 = 13,08 MFd où VaR. (2,33 ρ) = 2,33 x 13,08 = 30,47 MFExemple2:Depuis quelques années, les grands groupes financiers publient des informations sur la VaRde leur portefeuille de négociation. Deux raisons peuvent expliquer une telle démarche :volonté délibérée de transparence (pression concurrentielle ?) et exigence de la SEC (legendarme de la bourse américaine) en matière de communication financière. Le tableau IIprésente des chiffres extraits des rapports annuels 2000 du Credit Suisse Group, de l’UBS etde la Deutsche Bank. Les chiffres pour la Deutsche Bank ont été convertis en francs suissesau taux de change EUR/CHF en vigueur fin 1999 et fin 2000.Tableau II : exemples de mesures de la VaR de portefeuilles de négociation. Le niveau de confianceest de 99% et l’horizon de temps de 10 jours. Source : Rapports annuels 2000 des trois banquesDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  15. 15. La Value-at-Risk 15 La Valeur à RisqueCe tableau montre que les trois banques ont réduit leur exposition au risque de marché entrefin 1999 et fin 2000. Les corrections survenues sur les marchés des actions en 2000 ne doiventpas être étrangères à ces réductions. On aurait aussi envie de déduire de ce tableau que l’UBSa pris plus de risques que les deux autres banques. Une telle déduction n’est malheureusementpas correcte. En effet, on verra que les banques utilisent des méthodes différentes pourcalculer leur VaR et que les résultats de ces dernières ne sont pas directement comparables.II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR La méthode de calcul est déterminée par la distribution choisie pour modéliser les perteset profits du portefeuille. Le calcul de la VaR peut s’effectuer aussi bien pour une positionisolée ou un facteur de risque seul que pour un portefeuille, voire pour la totalité des actifsd’une entreprise. Nous allons donc présenter les méthodes d’estimation de la VaR les plusutilisées.II.1. La méthode de la matrice des variances-covariances estimée On émet l’hypothèse que les rendements du portefeuille et des facteurs de risque ont desdistributions normales. Même si cette hypothèse n’est pas empiriquement justifiée, ellepermet de simplifier énormément les calculs. Voici ses principales étapes : 1. Calculer la valeur actuelle V0 du portefeuille. 2. Estimer la moyenne m et la volatilité2 σ des rendements futurs du portefeuille (à partirde données historiques). 3. La VaR du portefeuille est donnée par la formule suivante : σVaR=V0(-m + zq.σ), où: zq est égal à 1.65 si le niveau de confiance est de 95% et égal à 2.33si ce dernier est de 99%.La méthode de la matrice des variances-covariances estimée suppose que les variations deprix : sont stationnaires dans le temps ; sont conditionnellement distribuées suivant une loi normale ; s’expriment linéairement à partir des facteurs de risque.Pour les produits non linéaires (options), une linéarisation prenant en compte les indicationsdelta, gamma et thêta est appliquée.2 La volatilité décrit la dispersion de la variable « return d’un actif » autour de sa valeur moyenne.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  16. 16. La Value-at-Risk 16 La Valeur à Risque II.2. La méthode RiskMetrics La méthode RiskMetrics est une méthode paramétrique, c’est à dire qu’elle a pourhypothèse que les taux de rentabilité des facteurs de risque appartiennent à une certaine classede loi qui peut être déterminée par ses paramètres. Elle postule donc la forme de ladistribution des taux de rentabilité.Si l’on postule des loi normales pour les taux de rentabilité des facteurs de risque, il estpossible de connaître la variation la plus défavorable qui n’aura que x% de chance d’êtredépassée. Par exemple pour x=1, la rentabilité ne tombera en dessous de µ−2.33σ qu’une foissur cent. Alors pour une position donnée i, connaissant sa valeur de marché(Vi) et sasensibilité à son facteur de risque(Si), il est possible de déterminer la valeur la plusdéfavorable qui n’aura que 1% de chance d’être dépassée en effectuant le calcul :Di=Vi*Si*2.33σ. Les sensibilités sont déterminées par des méthodes d’évaluation locale faisantgénéralement intervenir le premier ordre du développement de Taylor (delta, ou au mieux ledeuxième ordre gamma). Cette méthode d’évaluation locale pose des problèmes lorsque lesvariations sont importantes et lorsque la variation de la valeur du portefeuille n’est paslinéaire pour tous les niveaux de prix (options).Une fois postulée la forme de la distribution pour les facteurs de risque, en l’occurrence la loinormale (ou plus précisément une loi normale multivariée), il est nécessaire de déterminer lamatrice de variance-covariance (m) des facteurs de risque sur la période historiqued’observation. Dans le calcul des variances et des covariances, il est possible de donner lemême poids à toutes les observations ou un poids décroissant en fonction du temps.Connaissant m, et le vecteur D des Di, il est possible de calculer la VaR :VaR = (D tVD * ∆t ) , ou ∆t est la période de détention. 1/ 2L’hypothèse de normalité des distributions des taux de rentabilité de court terme n’est engénérale pas satisfaisante mais permet une grande simplicité dans les calculs. En effet, cesdistributions sont souvent leptokurtiques, ce qui implique des événements extrêmes plusfréquents que pour la loi normale.II.3. L’analyse historique C’est sans doute la méthode la plus simple dans sa conception et sa mise en œuvre.En effet, il suffit des données historiques des gains et pertes journalières du portefeuille dontl’on souhaite calculer la VaR. A partir de ces données, il est possible de reconstituer laDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  17. 17. La Value-at-Risk 17 La Valeur à Risquedistribution empirique des gains et pertes journalières et d’en déduire la VaR en tronquant95% ou 99% de la distribution.Le problème est que si la composition du portefeuille change souvent, cette approche nepermettra pas de composer une VaR qui reflète la situation courante. C’est pour cela que l’onadopte plutôt la méthode de la simulation historique.II.4. La méthode de la simulation historique Supposons que l’on veuille calculer la VaR pour une période de détention de un jour, àpartir des données historiques sur un an. Nous utilisons donc les séries passées journalièresdes facteurs de risques qui influent sur notre portefeuille, et un modèle d’évaluation oufonction de prix qui relie la variation du portefeuille aux variations des facteurs de risque.A partir de ces séries journalières, il faut calculer les variations relatives des facteurs de risquequi tiennent donc compte directement des corrélations entre ces facteurs. On applique ensuiteces variations aux valeurs actuelles des facteurs de risque. Il est ainsi possible à partir de lacomposition actuelle du portefeuille et de la fonction de prix qui relie ∆P aux ∆F de simulerla distribution empirique de la variation de valeur du portefeuille, et donc d’en tirer la VaR.Cette méthode a pour avantage de ne pas supposer la normalité des distributions des taux derentabilité des facteurs de risque. Elle peut donc prendre en compte des queues plus épaissesdans la distribution de la variation de valeur du portefeuille et donc des événements extrêmes. Cependant la distribution simulée est complètement dépendante de la périoded’observation considérée, et donc la prise en compte des événements extrêmes aussi. De plusafin d’avoir une distribution la plus précise possible, il est nécessaire de prendre une longuepériode de données historiques qui n’est pas toujours disponible.Par exemple pour générer 1000 scénarios (un scénario est le calcul de ∆F pour chaquefacteur de risque pour la période ∆t ) pour une période de détention de 10 jours ( ∆t = 10 j ), ilfaut 1000 / (250 / 10) = 40 ans de données. C’est la raison pour laquelle on a souvent recours àla simulation de Monte Carlo.De plus, augmenter la période d’observation pour l’estimation des distributions desrendements des facteurs de risque peut inclure l’erreur de non stationnarité des loisconsidérées.La méthode d’estimation de la VaR par analyse historique est celle qui est prônée par ChaseManhattan3, avec les systèmes Charisma et Risk$.3 CHASE MANHATTAN BANK N.A ; Value at Risk: its measurement and uses, Chase Manhattan Bank N.A; s.d.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  18. 18. La Value-at-Risk 18 La Valeur à RisqueII.5. La méthode de la simulation de Monte Carlo La simulation de Monte Carlo est une méthode paramétrique, c’est à dire que cetteméthode requiert la connaissance de la forme et des paramètres des distributions des facteursde risque. Connaissant ces éléments, il est possible de simuler de nombreuses trajectoires pourchaque facteur de risque, tout en tenant compte des corrélations entre chaque facteur derisque. Comme dans le modèle précédent, il est nécessaire d’avoir un modèle d’évaluation ouune fonction de prix qui relie la variation de la valeur du portefeuille aux variations desfacteurs de risque. A partir de la composition actuelle du portefeuille et des nombreuxscénarios tirés, il est donc possible de simuler la distribution de variation de valeur duportefeuille puis d’en tirer la VaR.Dans le problème de construction de la distribution de la perte et de l’estimation de la VaR, laméthode de simulation de Monte Carlo est prônée par Bankers trust, avec son système RaRoc2020. La simulation de Monte Carlo diffère de la simulation historique sur un aspectprincipal. Tandis que les scénarios des facteurs de risque sont directement pris du passé dansl’approche historique, ils ont à être simulé à travers une modélisation mathématique dansl’approche stochastique. Pour modéliser l’évolution des facteurs de risque, il est nécessaire despécifier un processus stochastique pour chaque facteur, et d’estimer les paramètres de cesprocessus ainsi que les corrélations entre les parties aléatoires des processus.Les avantages et inconvénients des différentes méthodes sont résumés dans le tableau III. Tableau III : comparaison des principales méthodes de calcul de la VaRDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  19. 19. La Value-at-Risk 19 La Valeur à Risque Source : Banque Cantonale VaudoiseUne application de ces différentes méthodes de calcul à un cas simple a été effectuée. Noussommes le 16 mai 2001 et nous avons 50000 francs suisses investis dans l’indice SMI. Onaimerait calculer la VaR de ce portefeuille à l’aide des quatre méthodes que nous venons deprésenter. L’horizon de temps est d’un mois (soit 20 jours ouvrables) et les niveaux deconfiance considérés de 95% et 99%. La série des prix de clôture journaliers du SMI entre le16 juin 1999 et le 15 mai 2001 est utilisée pour les estimations de paramètres et les calculs,soit 500 rendements quotidiens. Pour chaque méthode, on calcule d’abord la VaR sur un jouret on multiplie le résultat par la racine carrée de 20 pour avoir la VaR sur un mois (règle de laracine carrée). Les VaR du portefeuille selon les quatre méthodes sont présentées dans letableau IV.Tableau IV: VaR d’un portefeuille SMI valant 50000 francs au 16 mai 2001 et pour un horizon d’unmois.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  20. 20. La Value-at-Risk 20 La Valeur à Risque Source : Banque Cantonale VaudoisePour un même portefeuille, on obtient donc des mesures VaR différentes. Dans cet exemple,la différence entre les méthodes Variance-Covariance et Monte Carlo s’explique par unproblème d’échantillonnage. L’écart serait moindre si on avait considéré plus de scénariospour Monte carlo. Pour le niveau de confiance de 95%, c’est la méthode historique qui donnela plus petite valeur, alors que pour celui de 99% ce sont les méthodes Variance- Covarianceet Monte Carlo qui la fournissent. Ce qui illustre le fait que la Variance-Covariance sous-estime les événements extrêmes.Dans leurs rapports annuels 2000, les trois banques citées dans le tableau II ont indiqué lesméthodes VaR qu’elles utilisent. La Deutsche Bank effectue ses calculs par simulation MonteCarlo, tandis que l’UBS utilise la méthode historique avec 5 ans de données. Le Credit SuisseGroup emploie la méthode historique avec deux ans de données depuis le deuxième trimestre2000. Cette dernière avait auparavant travaillé avec les méthodes Variance-Covariance etRiskMetrics. La comparaison de chiffres VaR de deux banques différentes est à cet effet, unexercice délicat.II.6. Le Backtesting Les résultats du tableau IV posent clairement la question du choix de la méthode decalcul de la VaR. Tout naturellement, les critères de coûts d’implémentation, de complexitédu modèle et de flexibilité sont déterminants. Cependant, il est aussi très important des’assurer de l’adéquation de la méthode choisie ; on parle de backtesting. Cet exerciceconsiste à confronter la VaR calculée avec les pertes et profits effectivement réalisés. Ainsi,pour un niveau de confiance de 99%, les pertes effectives ne devraient dépasser les prévisionsDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  21. 21. La Value-at-Risk 21 La Valeur à RisqueVaR que dans 1% des cas environ. Sinon, il faut se demander si la méthode de calcul choisieest adaptée au portefeuille considérée. Le régulateur a d’ailleurs prévu des pénalités (sousforme d’augmentation d’exigence de fonds propres) en cas d’inadéquation.On a procédé à titre illustratif, à un backtesting sur l’indice SMI entre le 4 décembre 1991 etle 15 mai 2001. Comme la méthode Monte-Carlo avec l’hypothèse de normalité fournit desrésultats proches de ceux de la méthode Variance-Covariance, on a examiné les troisméthodes suivantes dans le backtesting : Historique, Variance-Covariance, RiskMetrics. Les500 rendements quotidiens entre le 3 février 1990 et le 3 décembre 1991 ont été utilisés pourcalculer les trois prévisions de la VaR pour le 4 décembre 1991. Ces prévisions sont ensuitecomparées au rendement du SMI à cette date. La fenêtre de 500 jours est ensuite décalée d’unjour pour la confrontation des prévisions de la VaR et du rendement effectif pour le 5décembre 1991. De la même façon, on a continué jusqu’au 15 mai 2001. L’exercice debacktesting a, au total, été effectué sur 2465 jours entre le 4 décembre 1991 et le 15 mai2001. Pour mesurer l’adéquation d’une méthode, on calcule son taux d’échec, c’est-à-dire lepourcentage de fois que la VaR a été dépassée. Les résultats sont consignés dans le tableau V.Tableau V : backtesting des méthodes historique, variance-covariance et RiskMetrics pour l’indice SMI entrele 4 /12/ 1991 et le 15 mai 2001. Le taux d’échec représente le pourcentage de dépassement des prévisions VaR. Source : Banque Cantonale VaudoisePar rapport aux valeurs théoriques, on remarque que la méthode variance-covariance secomporte bien pour le niveau de confiance de 95%, mais réalise un résultat médiocre pourcelui de 99%. C’est la méthode historique qui, globalement est la mieux adaptée auportefeuille considéré. La mauvaise performance de la méthode RiskMetrics explique cetétat de fait. Pour un autre portefeuille, les conclusions auraient été probablement différentes.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  22. 22. La Value-at-Risk 22 La Valeur à RisqueIII. UTILISATIONS DE LA VAR La VaR a été développée pour fournir un indicateur simple et global de l’expositiond’un institut financier aux risques de marché. En tant que outil de reporting, elle fournit desinformations sur les concentrations de risques par type de marché, par trader, par produitfinancier, etc. Elle permet aussi de fixer des limites de négociation, d’allouer le capitaldisponible et d’évaluer les performances des différentes « tables » d’une salle de marché.En dehors des salles de marché, la VaR devient de plus en plus populaire auprès desgestionnaires de fortune. La VaR permet d’agréger dans ce domaine, les risques de marché àtravers plusieurs classes d’actifs, mais sur un horizon de temps plus long (un mois, trois moisou un an). Elle permet également de quantifier la performance d’un portefeuille par rapport àun benchmark4 ; on parle dans ce cas de la VaR relative. La performance esttraditionnellement mesurée par le tracking error, c’est-à-dire la volatilité de l’écart derendement entre le portefeuille et son benchmark. Le tracking error ne distingue pas unesous-performance d’une sur-performance par rapport au benchmark. La VaR permet decorriger ce défaut, puisqu’elle est censée mesurer une éventuelle sous-performance. En fait, letracking error s’interprète comme la VaR à un niveau de confiance de 84%, si certaineshypothèses telles de normalité et d’écart moyen nul , sont confirmées.4 prix de référence (en finances)Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  23. 23. La Value-at-Risk 23 La Valeur à RisqueIV. CONCLUSION L’introduction de la VaR a constitué un pas important dans la direction d’une gestioncohérente et adéquate des risques financiers. Comme pour n’importe quel outil, une utilisationefficace de la VaR passe par la bonne compréhension de ses limites. La modélisation de laVaR n’est pas un exercice aisé et les risk managers diront d’ailleurs que les problèmesd’implémentation à savoir la collecte, le nettoyage et le traitement de données sont tout aussiimportants. Une autre limite de la VaR est directement liée au concept lui-même. En fait, laVaR ne fournit aucune indication sur l’ampleur des pertes si un événement défavorable devaitse produire. C’est pour cette raison que le régulateur oblige les banques à compléter leurscalculs de la VaR par des analyses de scénarios catastrophes (stress testing). Dans de tellesanalyses, on calcule la perte que pourrait provoquer une variation extrême du marché,indépendamment de toute hypothèse de modélisation (une baisse brutale de l’indice SMI de10% par exemple). Le choix de scénarios intéressants est souvent un exercice délicat, quirelève plus de l’intuition et de l’expérience. Par ailleurs, des chercheurs ont proposé d’autresmesures de risque proches de la VaR et qui captent mieux le problème des variationsextrêmes. Les scénarios quasi-aléatoires, les scénarios « miroirs », la méthode de Duffie etPan, et les scénarios pondérés en constituent ces nouvelles extensions.Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  24. 24. La Value-at-Risk 24 La Valeur à RisqueV. BIBLIOGRAPHIES Livres Lopez Thierry, Esch Louis, Kieffer RobertValue at Risk. Vers un Risk Management moderne, avec CD-ROM.Edition : De Boeck Université, 1997, ISBN : 2-8041-2496-7 Jacquillart, Bertrand et Bruno SolnikMarchés Financiers: gestion de portefeuille et des risques, Dunod, Paris, 4ème éd., 2002. Bulletin et Revues « Le point sur…la VaR » - P. Poncet - Banque et Marchés n° 37. Nov98 Bulletin de la commission de la réglementation bancaire – Règlement 97-02 Comité de Bâle – M. Novy – Secrétaire Général. Sites Internet http://www.gloriamundi.org (le site le plus complet sur la VaR accessible aussi via http://pw2.netcom.com/~bschacht/varbiblio.html ) http://www.riskmetrics.com (les manuels de RiskMetrics contiennent de nombreuses informations) http://www.bcv.ch (le site de la Banque Cantonale Vaudoise) http://salledem.free.fr/sdmpage/risques/risk30.php (des questions sur la VaR)VI. ANNEXESRAROC : « Risk-Adjusted Return On Capital »SEC: La Securities and Exchange CommissionRAROA: «Risk-Adjusted return on Assets»SMI: Système Monétaire InternationalDossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004
  25. 25. La Value-at-Risk 25 La Valeur à RisqueTable des MatièresI. GENERALITES ................................................................................................................................................. 1 I.1. INTRODUCTION: LE BESOIN D’UNE MESURE DE RISQUE STANDARDISEE (VAR) ........................................ 1 I.2. CADRE JURIDIQUE, REGLEMENTATION COMPTABLE ET PRUDENTIELLE DE LA VAR ................................. 2 I.2.1. L’approche standard : ................................................................................................................... 3 I.2.2. L’approche interne ......................................................................................................................... 3 I.2.3. LE CALCUL DES FONDS PROPRES : ......................................................................................................... 4 I.3. LE CONCEPT DE VAR .................................................................................................................................. 5 I.4. LA DEMARCHE GENERALE POUR LE CALCUL DE LA VAR ........................................................................... 8 I.5. MODELISATION DES RISQUES DE MARCHE................................................................................................ 10 I.6. LES TROIS PARAMETRES D’UNE VAR ....................................................................................................... 12 I.7. REMARQUES .............................................................................................................................................. 13 I.8. EXEMPLES DE MESURES DE LA VAR......................................................................................................... 13II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR ................................................................. 15 II.1. LA METHODE DE LA MATRICE DES VARIANCES-COVARIANCES ESTIMEE .............................................. 15 II.2. LA METHODE RISKMETRICS.................................................................................................................. 16 II.3. L’ANALYSE HISTORIQUE ........................................................................................................................... 16 II.4. LA METHODE DE LA SIMULATION HISTORIQUE ......................................................................................... 17 II.5. LA METHODE DE LA SIMULATION DE MONTE CARLO ............................................................................... 18 II.6. LE BACKTESTING ..................................................................................................................................... 20III. UTILISATIONS DE LA VAR ....................................................................................................................... 22IV. CONCLUSION .............................................................................................................................................. 23V. BIBLIOGRAPHIES ....................................................................................................................................... 24VI. ANNEXES ..................................................................................................................................................... 24Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004

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