4. Faktorial
Pengantar :
Jawablah pertanyaan ini : Berapa banyakkah bilangan tiga digit yang dapat anda
susun dengan menggunakan numeral 5, 7 dan 8. masing-masing sekali saja.
Next :
, berapa banyakkah bilangan empat-digit yang dapat di susun dengan
menggunakan numeral 1,2,3,dan 4 sekali dalam setiap bilangan ?
Jadi : Bagaimana kita menentukan banyaknya
bilangan yang dapat di susun dari 5, 6, 7, 9, atau 10 digit
angka ??? Apakah kita akan menuliskan 1 demi 1 angka
dan susunannya itu menghambat waktu
Penyelesaian
5. Kombinasi
Marilah kita anggap bahwa anda memiliki pekerjaan paruh-waktu pada malam-
malam hari kerja dimana anda harus bekerja hanya dua malam dari lima malam
hari-hari kerja tersebut. Marilah kita anggap juga bahwa atasan anda sangat
fleksibel dan memperbolehkan anda memilih malam yang mana anda bekerja
asalkan anda menelpon dan membritahukannya pada hari minggu. Salah satu
pilihan yang mungkin adalah:
Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
- K K - -
Salah satu pilihan yang lain lagi adalah
Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
- - K - K
ada berapa banyak susunan dua malam-kerja di antara lima hari tersebut?
5x4=20
7. Segitiga pascal
Jajaran segitiga dari koefisien kombinatorial berikut dapat dikonstruksi di
mana superskrip di sebelah kiri setiap koefisien menandakan nomor baris dan
subskrip di sebelah kanannya menandakan nomor kolom :
8. Ekspansi Binomial
Binomial adalah pasangan bilangan yang dipangkatkan. Dalam
Program ini kita hanya akan memperhatikan pangkat bilangan
asli,yakni binomial yang berbentuk :
dengan n merupakan bilangan asli. Secara khusus, lihatlah ekspansi di
bawah ini :
Jadi,berapakah ekspansi dan koefisien dari ?
Apa hubungan dari ekspansi binomial dengan segitiga pascal
yang telah di jelaskan di atas ?
9. Suku Umum Ekspansi Binomial
Sebelumnya,kita telah menemukan bahwa ekspansi binomial yang terbentuk
diberikan sebagai berikut :
Setiap suku dari ekspansi ini menyerupai di mana nilai r = 0
sampai r = n (terdapat n+1 suku dalam ekspansi ini).
Karena pernyataan pasti selalu terdapat pada setiap suku
dalam ekspansi tersebut,kita menamainya suku umum ekspansi tersebut.
10. Marilah kita lihat satu contoh.Untuk mencari suku ke-10 dalam ekspansi binomial
berbentuk dari rendah ke tinggi dalam pangkat x dari rendah ke
tinggi,kita perhatikan bahwa a = 1, b = x, n = 15 dan r + 1 = 10 sehingga r = 9. Ini akan
menghasilkan suku ke-10 sebagai berikut :
11. Notasi sigma (∑)
Ekspansi binomial yang berbentuk diberikan sebagai penjumlahan
suku-suku :
Daripada menulis setiap suku dalam penjumlahan ini dengan cara
ini,maka dibuatlah satu notasi yang lebih singkat.Kita menulis suku
umumnya dan kemudian menggunakan huruf Yunani ∑ (Sigma) untuk
menyatakan penjumlahan.Dengan kata lain :
12. Suku-suku umum
Anda harus memiliki kemampuan untuk membentuk suku umum dari suatu
penjumlahan suku-suku khusus dan sesudahnya menulis penjumlahan suku-suku
khusus dengan menggunakan notasi sigma.
Untuk memulainya,perhatikanlah penjumlahan n bilangan yang genap yang
pertama :
2 + 4 + 6 + 8 +. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Setiap bilangan bulat genap dapat dibagi 2 sehingga setiap bilangan bulat
genap dapat ditulis dalam bentuk 2r di mana r merupakan bilangan bulat.
Sebagai contoh :
8 = 2 X 4 Jadi disini 8 = 2r Dimana r = 4
13. Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa kita dapat menggunakan notasi sigma
untuk menyatakan jumlah suku-suku umum.Kita sekarang akan menggunakan
notasi tersebut untuk menyatakan penjumlahan suku-suku yang melibatkan
bilangan bulat.
Sebagai contoh ,dalam penjumlahan bilangan asli ganjil :
1+3+5+7+9+.............
Suku umumnya sekarang dapat dinyatakan dengan 2r - 1 dimana r > 1 .Simbol ∑
kemudian dapat gunakan untuk menandakan penjumlahan suku-suku yang
umumnya berbentuk :
Kita sekarang dapat juga menandakan kisaran suku-suku yang akan kita gunakan
ketika kita ingin menguraikan penjumlahannya dengan menyisipkan nilai-nilai
bilangan cacah r yang sesuai dibawah dan diatas tanda sigma.Sebagai contoh :
14. Penjumlahan Bilangan n Bilangan-bilangan
Asli Pertama
Perhatikan penjumlahan n bilangan asli bukan-0 pertama :
Akan sama dengan jika di tulis :
Berawal dengan n dan
dikerjakan ke arah
belakang.
Jika kedua penjumlahan ini di tambahkan suku demi suku,maka :
15. Dengan kata lain :
ditambahkan n kali
Dengan kata lain :
Penjumlahan n bilangan
asli bukan-0 pertama
16. Aturan – aturan Untuk Memanipulasi
Penjumlahan
Aturan 1
Jika f (r) merupakan suku umum dan k merupakan suatu konstanta,maka
:
Konstanta persekutuan dapat dikeluarkan dari
tanda sigmanya.
Khususnya,jika f (r) = 1 untuk semua nilai r
k yang dikalikan dengan 1 ditambahkan
n kali
18. Bilangan Eksponensial e
Ekspansi Binomial yang berbentuk Diberikan sebagai
Ekspansi ini berlaku untuk sebarang nilai bilangan asli n, besar atau kecil, tetapi
apabila n merupakan bilangan asli yang besar maka 1/n adalah bilangan kecil. Jika
kita sekarang memisalkan nilai n membesar maka, seiring n membesar, nilai 1/n
akan mengecil.
19. Memang semakin nilai n itu membesar, 1/n akan semakin dekat ke nol. Kita
memiliki notasi untuk ini, Kita tulis
Selain itu, ketika , akan semakin dekatlah ekspansi itu ke ekspansi
...
Di sini elips(...) pada akhir ekspansi berarti bahwa ekspansi itu tidak berkesudahan
–kita katakan bahwa ekspansi itu memiliki jumlah suku takterhingga.
20. Sebenarnya kita dapat menggunakan notasi sigma di sini dan menulis :
Perhatikan simbol untuk takterhingga ( di atas tanda sigma; simbol ini
menandakan fakta bahwa penjumlahan tersebut berupa penjumlahan jumlah
suku yang takterhingga. Dapat ditunjukan bahwa penjumlahan ini berupa jumlah
takterhingga yang di nyatakan dengan e, bilangan eksponensial, yang nilainya
ialah 2,7182818
Dengan kata lain:
Pada bagian II kita akan menunjukan bahwa ;
