20140218090208 modul smu3063 stat asas pjj

MODUL PENDIDIKAN JARAK JAUH
UNIVERSITI PENDIDIKAN SULTAN IDRIS
SMU3063
STATISTIK ASAS
FAKULTI SAINS DAN MATEMATIK

II
SMU3063
Statistik Asas
Zulkifley Mohamed
Sazelli Ab. Ghani
2013

III
PRAKATA
Modul ini dibina untuk membantu pelajar dalam proses pembelajaran dan
pembelajaran bagi kursus statistik asas. Modul ini bukan sahaja dapat
melengkapkan pelajar tentang pengetahuan berkait dengan statistik asas,
ianya juga mampu membantu pelajar untuk mengarap pengetahuan statistik
untuk digunakan di peringkat yang lebih tinggi.

IV
ISI KANDUNGAN
1. Sifat-sifat statistik 5
2. Taburan kekerapan dan graf 15
3. Statistik pemerihalan 35
4. Konsep kebarangkalian 61
5. Pembolehubah rawak diskret dan selanjar 84
6. Teknik pensampelan 97
7. Penganggaran parameter populasi 111
8. Analisis korelasi dan regresi 128

Sifat-sifat Statistik
5
UNIT PELAJARAN 1
SIFAT-SIFAT STATISTIK
HASIL PEMBELAJARAN
Pada penghujung unit ini, pelajar diharap dapat:
1. Menerangkan maksud statistik, jenis-jenis statistik dan istilah-istilah
asas statistik.
2. Menerangkan dan mentakrifkan semula istilah asas statistik seperti
populasi, sampel, parameter populasi dan statistik sampel.
3. Mengenalpasti beberapa jenis pembolehubah dan sumber data.
PENGENALAN
Statistik digunakan sangat meluas bukan sahaja dalam menganalisis data
tetapi bersangkut dengan memberi makna kepada data yang dianalisis.
Statistik digunakan untuk mengumpul, mengatur, meringkaskan,
menganalisis, dan membuat kesimpulan menarik atau memberi pengertian
kepada data secara saintifik. Statistik pada masa kini bukan hanya berdiri
sendiri tetapi ia juga digabungkan dengan bidang ilmu lain seperti ekonomi
yang menjadi ekonometrik. Gabungan antara biologi dan statistik menjadi
biostatistik manakala gabungan antara psikologi dan statistik menjadi
psikometrik.

6
ISI KANDUNGAN
Jenis-jenis statistik
Statistik pada umumnya boleh dibahagikan kepada dua, iaitu statistik
deskriptif dan statistik inferensi.
Statistik deskriptif adalah teknik statistik digunakan bagi merumus dan
menerangkan tentang sesuatu set data. Penjadualan dan persembahan data
adalah contoh statistik deskriptif. Begitu juga perumusan dan penerangan
tentang ukuran kecenderungan memusat dan ukuran serakan termasuk
dalam statistik deskriptif.
Statistik inferensi atau statistik induktif adalah penggunaan statistik dalam
memperihalkan beberapa aspek yang tidak diketahui dalam populasi
berdasarkan sampel. Statistik inferensi digunakan dalam penganggaran,
mengukur selang keyakinan, pengujian hipotesis, analisis regresi dan korelasi
dan lain-lain lagi.
Peranan statistik ditunjukkan pada rajah di bawah:
Istilah asas dalam statistik
Pembolehubah
Pembolehubah adalah satu sifat yang menggambarkan orang, tempat, benda,
atau idea. Nilai pembolehubah boleh berbeza dari satu entiti kepada yang
lain. Dengan kata lain, apa sahaja yang berubah-ubah dikenali sebagai
pembolehubah. Ciri-ciri ahli populasi atau sampel yang dikaji dinamakan
pembolehubah. Pembolehubah adalah sesuatu tatatanda yang diberikan
kepada nilai, bilangan, kategori dan ciri-ciri. Antara contoh pembolehubah
adalah ketinggian seseorang dalam meter, berat dalam kilogram, taburan
Kumpul
data
Persembah
Data
Analisis
Data
Interpretasi

7
hujan di sesebuah negeri, kelajuan kenderaan, jantina pelajar dalam
sesebuah kelas, kelulusan akademik, warna bunga dan sebagainya.
Pembolehubah pula boleh dibahagikan mengikut sifatnya, iaitu
pembolehubah kuantitatif dan kualitatif.
Pembolehubah yang dinyatakan dalam bentuk berangka dikenali sebagai
pembolehubah kuantitatif. Manakala pembolehubah yang dinyatakan dalam
kategori yang berbeza mengikut ciri-ciri atau atributnya dikenali sebagai
pembolehubah kualitatif. Antara contoh pembolehubah kuantitatif adalah
ketinggian seseorang dalam meter, berat dalam kilogram, taburan hujan di
sesebuah negeri, kelajuan kenderaan berat dan ketinggian seseorang, jarak
perjalanan, bilangan kesalahan menaip yang dilakukan oleh seorang jurutaip.
Pembolehubah-pembolehubah seperti jantina (sama ada lelaki atau
perempuan), warna (hitam, putih, kuning, merah dan sebagainya), taraf
pendidikan, status perkahwinan dan sebagainya dikenali sebagai
pembolehubah kualitatif.
Pembolehubah kuantitatif diskret dan delanjar
Pembolehubah kuantitatif seterusnya boleh diklasifikasikan kepada
pembolehubah kuantitatif diskret dan pembolehubah kuantitatif selanjar. Jika
sesuatu pembolehubah boleh mengambil sebarang nilai antara nilai minimum
dan nilai maksimum, ia dikenali sebagai pembolehubah kuantitatif selanjar;
sebaliknya, ia dikenali sebagai pembolehubah kuantitatif diskret. Dengan kata
lain pembolehubah yang boleh diukur secara tepat dikenali sebagai
pembolehubah diskret. Manakala pembolehubah selanjar pula ialah
pembolehubah yang diambil dari nilai-nilai sahih. Pembolehubah selanjar
diperoleh dengan cara mengukur dan mungkin terdiri dari nombor pecahan
dan nombor perpuluhan.
Rajah di bawah adalah ringkasan berkenaan dengan kategori pembolehubah
yang boleh membantu anda untuk memahami lebih lanjut tentang

8
pembolehubah kualitatif, pembolehubah kuantitatif diskret dan pembolehubah
kuantitatif selanjar.
Contoh-contoh berikut dapat membantu anda memahami perbezaan antara
pembolehubah selanjar dan diskret:
Contoh Pembolehubah
kuantitatif
Diskret Selanjar
Berat pelajar √
Ketinggian bangunan di Kuala Lumpur √
Kelajuan kenderaan di litar perlumbaan √
Bilangan peserta di sebuah seminar √
Bilangan kesalahan menaip yang dilakukan
oleh jurutaip
√
Bilangan aduan yang diterima oleh
sesebuah organisasi
√
Populasi dan sampel
Populasi adalah keseluruhan unit-unit lengkap yang hendak dikaji, ia
mengandungi kesemua subjek berdasarkan kepentingan sesuatu kajian.
Kajian yang melibatkan kesemua unit-unit dalam populasi lazimnya besar. Ini
berkemungkinan akan menyebabkan kita gagal untuk mendapatkan data
untuk setiap objek yang dikaji. Semakin banyak unit-unit populasi yang
hendak dikaji, semakin besarlah kos yang perlu ditanggung. Untuk mengatasi
masalah ini, sampel digunakan. Perbezaan utama di antara populasi dan
sampel mempunyai kaitan dengan bagaimana pemerhatian diberikan kepada
Pembolehubah
Kuantitatif Kualitatif
Diskret Selanjar

9
sesuatu set data. Populasi merangkumi setiap unsur daripada set
pemerhatian yang boleh dibuat. Manakala sampel terdiri daripada
pemerhatian yang diambil daripada sebahagian populasi.
Parameter dan statistik
Parameter adalah ciri-ciri yang menerangkan populasi. Ukuran pemerihalan
berangka yang dihitung daripada sesebuah populasi dinamakan parameter.
Manakala statistik adalah ciri-ciri yang menerangkan sampel. Ukuran
pemerihalan yang dihitung daripada sesebuah sampel dinamakan statistik.
Perbezaan antara parameter dan statistik adalah statistik menggambarkan
sampel, manakala parameter menggambarkan keseluruhan populasi.
Sebagai contoh min bagi populasi ditanda sebagai µ dan varians bagi
populasi ditanda sebagai 2
. Kedua-dua ukuran ini dinamakan parameter
populasi. Manakala min bagi sampel pula ditanda sebagai x dan varians bagi
sampel ditanda sebagai s2
. Kedua-dua ukuran ini dinamakan statistik sampel.
Sebagai contoh, rajah di bawah menerangkan tentang parameter dan statistik
min yang dihitung daripada populasi dan sampel.
Populasi
Sampel

10
Sumber-sumber data
Sumber-sumber data boleh dibahagikan kepada dua, iaitu sumber primer
(peringkat pertama) dan sumber sekunder (peringkat kedua). Data mungkin
boleh diperoleh daripada penyelidikan, laporan penyelidikan, laporan tahunan
statistik, laporan tahunan syarikat, laporan terbitan kerajaan, jurnal dan lain-
lain.
Data sumber primer
Data sumber primer adalah data yang belum pernah diterbitkan, iaitu data
yang diperolehi daripada kajian penyelidikan yang baru dan dipungut dari
sumber asalnya, contohnya, dalam pemasaran, ia adalah maklumat yang
diperolehi secara langsung daripada sumber asalnya iaitu melalui kaji selidik,
pemerhatian atau eksperimen. Data yang dipungut oleh penyelidik, badan-
badan kerajaan atau organisasi yang memerlukan data dinamai data primer
atau data peringkat pertama. Data primer belum pernah dikumpul oleh
sesiapa sebelum ini. Kaedah pemerhatian, temuduga berdepan atau melalui
pos boleh digunakan untuk memunggut data primer.
Sampel Rawak
Parameter
populasi, min µ.
Statistik sampel,
min x .
Populasi
Sampel

11
Data sumber sekunder
Data sekunder atau data peringkat kedua adalah data yang telah pun
dikumpulkan sebelum ini dan mudah didapati daripada sumber-sumber lain.
Data sekunder lebih murah dan lebih cepat diperolehi daripada data primer.
Data sekunder kemungkinan boleh didapati apabila data primer tidak boleh
diperolehi. Data sekunder adalah data yang telah diterbitkan bertujuan untuk
kegunaan orang perseorangan atau sesebuah organisasi. Data sekunder
boleh didapati daripada laporan statistik, laporan penyelidikan, laporan
daripada terbitan kerajaan, jurnal, laporan syarikat dan seumpamanya.

12
PENILAIAN KENDIRI
1. Terdapat dua jenis pembolehubah yang dikenali sebagai:
A. Sampel dan populasi
B. Kualitatif dan kategori
C. Kuantitatif dan kualitatif
2. Antara yang berikut, yang mana merupakan pembolehubah kualitatif?
A. Siaran TV kegemaran remaja
B. Markah ujian IQ
C. Bilangan ternakan di sebuah ladang
3. Subset bagi satu populasi dikenali sebagai:
A. Statistik
B. Sampel
C. Populasi
4. Satu set unit (cth: pelajar) yang berpotensi untuk dikaji dikenali sebagai:
A. Statistik
B. Sampel
C. Populasi
5. Antara berikut, yang manakah pembolehubah kuantitatif selanjar?
A. Jantina seseorang
B. Jarak (KM) antara Tanjong Malim dan Kuala Lumpur
C. Bilangan pemilikan kenderaan sesebuah keluarga

13
6. Satu kajian telah dilakukan terhadap 200 orang pelajar yang dipilih secara
rawak daripada pelajar fakulti Sains dan Matematik, UPSI. Apakah
populasi bagi kajian ini?
A. 200 pelajar yang terpilih
B. Pelajar fakulti Sains dan Matematik
C. Pelajar UPSI
7. Satu kajian telah dilakukan terhadap 50 pelajar yang dipilih secara rawak
daripada fakulti Sains dan Matematik UPSI. Apakah sampel bagi kajian
ini?
A. 50 pelajar yang terpilih
B. Pelajar fakulti Sains dan Matematik
C. Pelajar UPSI
8. 100 batang pen telah dipilih secara rawak daripada simpanan pen yang
dikeluarkan oleh sebuah syarikat pengeluar pen. 100 batang pen ini
dikenali sebagai:
A. Parameter
B. Statistik
C. Sampel
9. 100 batang pen telah dipilih secara rawak daripada simpanan pen yang
dikeluarkan oleh sebuah syarikat pengeluar pen. Simpanan pen yang
dikeluarkan oleh sebuah syarikat pengeluar pen dikenali sebagai:
A. Parameter
B. Populasi
C. Sampel

14
10.Min dan sisihan piawai dikenali sebagai statistik jika ia dihitung daripada:
A. Sampel
B. Populasi
C. Parameter
11.Min berkemungkinan adalah:
A. Parameter sahaja
B. Statistik sahaja
C. Parameter dan statistik
RUJUKAN
Bluman, A.G.(2009). Elementary Statistics: A Step by Step Approach (7th
ed). New
York: McGraw Hill.
Johnson, R. & Kuby, P. (2004). Elementary Statistics (9th
ed). Boston: Duxbury
Press.

Taburan Kekerapan dan Graf
15
UNIT PELAJARAN 2
TABURAN KEKERAPAN DAN GRAF
HASIL PEMBELAJARAN
1. Menentukan taburan kekerapan dan membina taburan kekerapan.
2. Membina dan mempersembahkan data dalam bentuk bergraf yang
melibatkan histogram dan graf ogif, carta bulatan dan carta bar;
3. Membezakan antara persembahan data berbentuk kuantitatif dan
kualitatif.
PENGENALAN
Topik ini mendedahkan kepada pelajar tentang teknik-teknik bagi merekod
dan mempersembahkan data pembolehubah kuantitatif dan kualitatif dalam
bentuk yang sistematik dan tersusun. Topik-topik yang akan dibincangkan
merangkumi jadual taburan kekerapan, jadual taburan kekerapan selanjar,
jadual taburan kekerapan melonggok, jadual taburan kekerapan relatif,
histogram, poligon kekerapan, graf kekerapan melonggok (ogif), carta
bulatan, carta palang ringkas, carta palang berganda, carta palang
berkomponen dan carta palang berkomponen berperatusan.

16
ISI KANDUNGAN
Jadual taburan kekerapan
Pelajar boleh menggunakan beberapa kaedah dalam menghimpunkan data
supaya mudah difahami. Antara kaedah yang sering digunakan adalah
taburan kekerapan. Taburan kekerapan boleh dibentuk menjadi jadual. Ini
dikenali sebagai jadual taburan kekerapan. Jadual yang menghimpunkan
data dengan nilai yang sama atau hampir-hampir sama ke dalam satu
kumpulan dinamai jadual taburan kekerapan.
Berikut adalah contoh bagaimana kita boleh membina jadual taburan
kekerapan berdasarkan maklumat yang diberikan.
Contoh 1
Satu kajian telah dilakukan di sebuah kawasan perumahan untuk mengetahui
pemilikan telefon bimbit bagi setiap keluarga. Data pemilikan telefon bimbit
bagi 20 keluarga yang dikaji adalah seperti berikut:
2, 3, 2, 1, 4, 5, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 1, 1
Data di atas boleh dipersembahkan dalam jadual taburan frekuensi dengan
menggunakan langkah-langkah berikut:
(i) Bahagikan nilai pembolehubah (x) kepada selang, kemudian hitung
bilangan nilai bagi setiap selang. Bagi contoh ini, selang diwakili oleh
bilangan keluarga dengan 1, 2, 3, 4, dan 5 telefon bimbit.
(ii) Bina jadual dengan tiga jalur, iaitu nombor bagi selang (x), tally
(bilangan yang dihitung) dan frekuensi.

17
Jadual Taburan Frekuensi
Bilangan Telefon Bimbit (x) Tally Frekuensi (f)
1 |||| 4
2 |||| | 6
3 |||| 5
4 ||| 3
5 || 2
Jumlah 20
Jadual di atas juga dikenali sebagai jadual taburan diskret kerana
pembolehubah bilangan telefon bimbit mengambil nilai diskret. Satu lagi
contoh jadual taburan frekuensi yang mengambil nilai diskret adalah seperti
berikut.
Contoh 2
Markah ujian statistik Frekuensi (f) /Bilangan pelajar
60 5
65 11
70 20
75 25
80 15
85 10
90 4
Jumlah 90
Jadual taburan frekuensi selanjar
Jika kita menghimpunkan data berdasarkan pembolehubah selanjar dengan
nilai yang sama atau hampir-hampir sama ke dalam satu kumpulan, maka
jadual ini dikenali sebagai jadual taburan frekuensi selanjar.
Langkah-langkah berikut boleh digunakan bagi membina jadual taburan
frekuensi selanjar jika kita dihidangkan dengan data mentah:

18
(i) Tentukan selang kelas, kebiasaannya dalam gandaan 5, 10, 15,…
(ii) Kirakan bilangan selang kelas, iaitu
SK
NRNT
BSK


(iii) Hitungkan “tally” dan frekuensi (f).
Contoh 3
Markah yang diperoleh oleh 40 pelajar yang menduduki peperiksan kursus
statistik asas adalah seperti berikut:
51 62 72 80 87 66 73 83 74 65
78 88 53 75 92 76 82 93 77 84
89 65 81 68 75 58 94 79 67 86
69 71 77 98 81 79 64 70 85 71
Data di atas boleh dipersembahkan dalam jadual taburan frekuensi dengan
menggunakan langkah-langkah berikut:
(i) Katakan kita mengambil selang kelas 10.
(ii) Kirakan bilangan selang kelas, iaitu 5
10
5198


BSK
(iii) Hitungkan tally dan frekuensi (f).
Markah (y) Tally Frekuensi (f)
50-59 ||| 3
60-69 |||| ||| 8
70-79 |||| |||| |||| 14
80-89 |||| |||| | 11
90-99 |||| 4
Jumlah 40

19
Jadual taburan frekuensi melonggok
Jadual taburan frekuensi melonggok boleh dibentuk dengan mengumpulkan
(menjumlahkan) frekuensi pada setiap selang dengan selang sebelumnya.
Jadual taburan frekuensi melonggok dibina bertujuan untuk memperlihatkan
jumlah yang telah terkumpul pada sesuatu selang tertentu. Cuba kita rujuk
contoh 2 dan 3 di atas, dengan kedua-dua contoh ini kita cuba membina
jadual taburan kekerapan melonggok.
Contoh 4
Markah ujian
statistik
Frekuensi (f)/
Bilangan pelajar
Frekuensi
Melonggok
60 5 5
65 11 5  1116
70 20 16  2036
75 25 36  2561
80 15 61  1576
85 10 76  1086
90 4 86  490
Contoh 5
Markah (y) Tally Frekuensi (f) Frekuensi
Melonggok
50-59 ||| 3 3
60-69 |||| ||| 8 3  811
70-79 |||| |||| |||| 14 11  1425
80-89 |||| |||| | 11 25  1136
90-99 |||| 4 36  440

20
Jadual taburan frekuensi relatif
Jadual taburan frekuensi yang dinyatakan dalam nilai nisbah atau peratus
dinamakan jadual taburan frekuensi relatif. Sila rujuk Contoh 2 dan 3 bagi
jadual frekuensi diskret dan jadual frekuensi selanjar di atas. Jadual-jadual
tersebut boleh ditokok menjadi jadual frekuensi relatif seperti berikut:
Contoh 6
Markah Ujian
Statistik
Frekuensi (f) /Bilangan
Pelajar
Frekuensi Relatif
60 5
5.56100
90
5

65 11
12.22100
90
11

70 20
22.22100
90
20

75 25
27.78100
90
25

80 15
16.67100
90
15

85 10
11.11100
90
10

90 4
444.100
90
4

Jumlah 90
100.00100
90
90

Histogram
Maklumat-maklumat daripada jadual yang telah dibina sebelum ini boleh kita
persembahkan dalam bentuk graf. Histogram boleh dilukis dengan
menggunakan maklumat yang diperoleh daripada jadual frekuensi dan
frekuensi relatif. Histogram juga boleh digunakan untuk menunjukkan bentuk
taburan sesuatu data kuantitatif. Selain daripada itu mod boleh dianggar

21
daripada histogram. Di dalam Contoh 7, kita ditunjukkan bagaimana melukis
histogram daripada jadual taburan frekuensi.
Contoh 7
Kelajuan kenderaan yang dicatatkan di sebuah lebuh raya adalah seperti
berikut:
Kelajuan kenderaan
(KM/Jam)
95-
99
100-
104
105-
109
110-
114
115-
119
120-
124
125-
129
Bil. Kenderaan/ Frekuensi 2 5 7 11 6 3 1
Histogram:
Bilangan Kenderaan Mengikut Kelajuan (KM/Jam)
0
2
4
6
8
10
12
Kelajuan (KM/Jam)
BilanganKenderaan
Poligon Frekuensi
Graf poligon frekuensi diperolehi dengan melakarkan garis yang
menyambungkan titik tengah setiap palang histogram. Bentuk taburan
sesuatu data dapat dilihat dengan lebih jelas apabila terbinanya poligon
frekuensi. Contoh di bawah dipetik daripada Contoh 7 yang menunjukkan
bagaimana graf poligon frekuensi dibentuk daripada histogram.
94.5 99.5 104.5 109.5 114.5 119.5 124.5 129.5

22
Contoh 8
Kelajuan kenderaan yang dicatatkan di sebuah lebuh raya adalah seperti
berikut:
Kelajuan kenderaan
(KM/Jam)
95-
99
100-
104
105-
109
110-
114
115-
119
120-
124
125-
129
Bil. Kenderaan/ Frekuensi 2 5 7 11 6 3 1
Poligon:
Bilangan Kenderaan Mengikut Kelajuan (KM/Jam)
0
2
4
6
8
10
12
Kelajuan (KM/Jam)
BilanganKenderaan
Graf frekuensi melonggok (ogif)
Jika pelajar melakar graf daripada jadual frekuensi melonggok, graf yang
diperolehi dinamakan ogif. Terdapat dua bentuk ogif yang boleh dibentuk,
iaitu ogif “kurang daripada” dan ogif “lebih daripada”. Bagi ogif “kurang
daripada” paksi-x diwakili oleh had bawah data dan paksi-y mewakili frekuensi
melonggok. Manakala bagi ogif “lebih daripada” paksi-x diwakili oleh had atas
data dan paksi-y mewakili frekuensi melonggok. Daripada ogif yang diperoleh,
pelajar boleh menganggar nilai median. Perhatikan contoh di bawah, iaitu
data berkenaan taburan hujan di bandar Tanjong Malim yang dicatatkan pada
bulan Disember 2012.
94.5 99.5 104.5 109.5 114.5 119.5 124.5 129.5

23
Contoh 9
Taburan hujan (mm) Bilangan Hari/ Frekuensi Frekuensi
Melonggok
300 3 3
400 6 3+6=9
500 7 9+7=16
600 8 16+8=24
700 3 24+3=27
800 2 27+2=29
900 1 29+1=30
Jumlah 30
0
5
10
15
20
25
30
35
300 400 500 600 700 800 900
KekerapanMelonggok
Taburan hujan (mm)
Ogif Kurang Daripada
Satu lagi ogif yang boleh dibina adalah Ogif “lebih daripada”. Iaitu ogif yang
menggunakan frekuensi melonggok “lebih daripada” sebagai paksi-y. Contoh
10 menunjukkan bagaimana Ogif “lebih daripada” dibina.

24
Contoh 10
Taburan Hujan (mm) Bilangan Hari/ Frekuensi Frekuensi Melonggok
300 3 27+3=30
400 6 21+6=27
500 7 14+7=21
600 8 6+8=14
700 3 3+3=6
800 2 1+2=3
900 1 1
Jumlah 30
0
5
10
15
20
25
30
35
300 400 500 600 700 800 900
KekerapanMelonggok
Taburan hujan (mm)
Ogif Lebih Daripada
Carta bulatan
Sebelum ini kita telah mempelajari bagaimana mempersembahkan data
kuantitatif dalam bentuk bergraf. Seterusnya kita akan mempelajari
bagaimana untuk mempersembahkan data kualitatif dalam bentuk bergraf.

25
Data kualitatif boleh dipersembahkan dalam bentuk carta bulatan dan carta
palang.
Carta bulatan sesuai digunakan jika kita ingin membuat perbandingan
beberapa sektor yang dibentuk. dalam sesuatu bulatan, maka carta yang
paling sesuai digunakan adalah carta bulatan. Sebagai contoh jika kita ingin
membanding penduduk bagi negara-negara Malaysia, Thailand dan Filipina.
Ini boleh dilakukan dengan mempersembahkan data penduduk dalam bentuk
carta bulatan. Perbandingan penduduk bagi negara-negara ini dilakukan
dengan membahagikan sektor-sektor mengikut Negara.
Contoh 12
Bilangan program yang ditawarkan di sebuah universiti tempatan.
Negara Bilangan penduduk Sudut sector
Malaysia 29 oo
53.6360
195
29

Thailand 70 oo
129.2360
195
70

Filipina 96 oo
177.2360
445
96

Jumlah 195
Setiap sudut sektor dalam carta bulatan dihitung seperti berikut:
Sudut sektor = (Jumlah item / jumlah keseluruhan)

26
Carta Bulatan:
Penduduk di Negara Asean Terpilih
Malaysia 29
Thailand 70
Filipina 96
Carta Palang
Carta yang sering digunakan untuk mempersembahkan data kualitatif adalah
carta palang. Terdapat beberapa jenis carta palang yang boleh digunakan.
Antaranya carta palang ringkas; carta palang berganda; carta palang
berkomponen; dan carta palang berkomponen berperatusan. Carta-carta
palang yang dinyatakan digunakan untuk mempersembahkan data begantung
kepada kesesuaiannya.
Carta palang ringkas digunakan untuk membanding beberapa perkara atau
pembolehubah secara serentak. Setiap komponen diwakili oleh hanya satu
pembolehubah atau perkara sahaja.

27
Contoh 13
Jadual di bawah menunjukkan bilangan pelajar Ijazah Sarjana Muda yang
mendaftar di Fakulti Sains dan Matematik, UPSI mengikut program pada
Semester 1 Sesi 2012/2013.
Pelajar boleh menggunakan carta palang ringkas untuk membentangkan
maklumat seperti Rajah di bawah.
0
50
100
150
200
250
Sarjana Muda
Pendidikan
(Biologi)
Sarjana Muda
Pendidikan
(Fizik)
Sarjana Muda
Pendidikan
(Kimia)
Sarjana Muda
Pendidikan
(Matematik)
Sarjana Muda
Sains
(Matematik)
BilanganPelajar
Program
Carta Palang:
Pendaftaran Pelajar Mengikut Program di FSM, UPSI
Carta palang berganda pula digunakan untuk membanding beberapa perkara
atau pembolehubah dalam sesuatu kelompok. Setiap kelompok diwakili oleh
perkara atau pembolehubah yang sama.
Program Bilangan
Pelajar
Sarjana Muda Pendidikan (Biologi) 150
Sarjana Muda Pendidikan (Fizik) 70
Sarjana Muda Pendidikan (Kimia) 80
Sarjana Muda Pendidikan
(Matematik)
200
Sarjana Muda Sains (Matematik) 150
Jumlah 650

28
Contoh 14
Jadual di bawah menunjukkan jualan minyak di dua buah stesyen minyak di
sebuah bandar dalam masa sehari.
Carta palang berganda boleh digunakan untuk mempersembahkan data di
atas. Carta palang berganda yang dihasilkan daripada maklumat di atas
adalah seperti berikut:
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Ron 95 Ron 97 Diesel
Jualan(Liter)
Jenis Minyak
Carta Palang Berganda:
Jualan Minyak di Stesyen Minyak A dan Stesyen Minyak B
Stesyen Minyak A
Stesyen Minyak B
Carta palang berkomponen mempunyai cara yang sama pembinaannya
seperti carta palang berganda. Perbezaannya hanyalah dari segi bentuk.
Carta palang berkomponen berbentuk bertingkat.
Minyak Jualan (Liter)
Stesyen
Minyak A
Stesyen
Minyak B
Ron 95 7000 6000
Ron 97 8000 7000
Diesel 4000 7000
Jumlah 19000 20000

29
Contoh 15
Dengan menggunakan data daripada Contoh 14, lakarkan carta palang
berkomponen.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Jualan(Liter)
Jenis Minyak
Carta Palang Berkomponen:
Stesyen Minyak B
Stesyen Minyak A
Carta
palang berkomponen berperatusan mempunyai bentuk yang sama dengan
carta palang berkomponen. Walau bagaimanapun nilai palang bagi setiap
komponen dihitung dalam bentuk peratus.
Minyak Jualan (Liter)
Stesyen
Minyak A
Stesyen
Minyak B
Ron 95 7000 6000
Ron 97 8000 7000
Diesel 4000 7000
Jumlah 19000 20000

30
Contoh 16
Cuba kita perhatikan contoh di bawah. Untuk melakarkan carta palang
berkomponen berperatusan kita perlu menukarkan setiap nilai komponen
kepada nilai peratus.
Minyak Hasil Jualan
Stesyen
Minyak A
Peratus Stesyen
Minyak B
Peratus
Ron 95 7000 36.8100
19000
7000

6000 30100
20000
6000

Ron 97 8000 42.1100
19000
8000

7000 35100
20000
7000

Diesel 4000 21.1100
19000
4000

7000 35100
20000
7000

Jumlah 19000 100 20000 100
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Jualan(Peratus)
Jenis Minyak
Carta Palang Berkomponen Berperatusan:
Stesyen Minyak B
Stesyen Minyak A

31
PENILAIAN KENDIRI
1. Senaraikan graf dan carta yang sesuai digunakan bagi
mempersembahkan data kuantitatif dan data kualitatif, mengikut jenis data
masing-masing.
2. Bayaran bil letrik (RM) yang dicatatkan oleh sebuah keluarga setiap bulan
dalam tempoh 36 bulan adalah seperti berikut:
191 162 143 150 175 154 167 146 129
170 133 122 185 135 151 108 111 169
148 152 115 102 183 168 124 149 155
198 125 131 174 144 112 157 166 137
Bina jadual taburan frekuensi dengan mengambil nilai 10 sebagai selang
kelas.
3. Sekumpulan pelajar ditanya tentang minuman kegemaran mereka.
Maklum balas adalah seperti di bawah:
Minuman Kegemaran “Tally” Frekuensi
Kopi |||| ||||
Teh |||| |||| ||
Coklat |||| ||||
Bijirin |||| ||
Berkarbonat |||| |||| |||| ||||
(a) Lengkapkan jadual di atas.
(b) Lakarkan carta palang.
(c) Lakarkan carta bulatan.
4. Lakarkan carta yang sesuai bagi data di bawah untuk mengambarkan
rancangan TV kegemaran remaja.

32
Rancangan TV Remaja lelaki Remaja perempuan
Komedi |||| |||| |||| |||| |||| |||| ||
Nyayian |||| |||| ||| |||| |||| ||||
Drama |||| |||| |||| |||| ||
Berita |||| ||| |||| |
Dokumentari |||| |||| |||| |
5. Bilangan pinjaman buku yang dibuat oleh pelajar yang mengikuti program
PhD di sebuah IPTA dalam masa satu semester dicatatkan seperti di
bawah:
Bil. Pinjaman Buku 1 2 3 4 5 6 7
Bil. Pelajar 6 10 12 15 13 11 5
Bina jadual frekuensi melonggok.
6. Pendaftaran pelajar tempatan dan luar negara di sebuah IPTA adalah
seperti di bawah:
Program Bilangan
Tempatan Luar negara
BSc 3000 1000
BEd 5000 1500
MSc 400 200
MEd 600 200
PhD 200 100
Jumlah 9200 3000
Lakarkan carta yang sesuai bagi mempersembahkan maklumat di atas.
7. Jumlah masa yang dihabiskan oleh pelajar bagi menganalisis data projek
tahun akhir adalah seperti berikut:
Masa (Jam) 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15
Bil. Pelajar 5 10 13 25 8 6 4
Lakar histogram dan poligon frekuensi.

33
8. Pinjaman peribadi yang diluluskan oleh sebuah bank komersial setiap
bulan adalah seperti berikut:
Nilai Pinjaman (RM) Bilangan
20,000-39,999 3
40,000-59,999 5
60,000-79,999 7
80,000-99,999 9
100,000-119,999 11
120,000-139,999 8
140,000-159,999 6
160,000-179,999 4
Jumlah 53
Lakarkan ogif kurang daripada bagi maklumat di atas.
9. Pecahan bajet bagi perbelanjaan operasi bagi sebuah negara dicatatkan
seperti berikut:
Perbelanjaan Operasi Bilangan
(‘000,000,000)
Emolumen 50
Perkhidmatan dan
bekalan
30
Pemberian dan kenaan
bayaran tetap
100
Pembelian asset 10
Lakar carta yang sesuai bagi maklumat di atas.

34
10. Paparan carta di bawah menunjukan bilangan pekerja tempatan dan
asing bagi sebuah negeri.
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
Pertanian Pengilangan Pembinaan Perkhidmatan
Bilangan
Carta Palang Berkomponen:
Bilangan Pekerja Tempatan dan Asing Mengikut Sektor
Asing
Tempatan
(a) Berapa ramaikah pekerja tempatan yang bekerja di sektor
perkhidmatan?
(b) Berapa ramaikah pekerja asing yang bekerja di sektor pengilangan
dan pembinaan?
(c) Dalam sektor apakah pekerja tempatan banyak bekerja?
(d) Berapakah nisbah pekerja tempatan dan asing dalam semua
sektor?
RUJUKAN
ed).
New York: McGraw Hill.
ed). Boston:
Duxbury Press.

Statistik Pemerihalan
35
UNIT PELAJARAN 3
STATISTIK PEMERIHALAN
HASIL PEMBELAJARAN
1. Menguasai konsep kecenderungan memusat iaitu min, median dan
mod.
2. Mengaplikasikan min, median dan mod.
3. Menguasai konsep ukuran serakan iaitu julat, sisihan kuartil, sisihan
piawai dan sukatan kepencongan bagi menerangkan sesuatu data.
PENGENALAN
Ukuran kecenderungan memusat banyak digunakan dalam kehidupan harian.
Purata taburan hujan, purata kelajuan kenderaan di sebuah lebuhraya, purata
perbelanjaan isi rumah dalam sebulan, purata markah kursus statistik yang
diperolehi oleh sekumpulan pelajar dan sebagainya adalah antara contoh
ukuran kecenderungan memusat yang melibatkan min. Purata atau min
merupakan salah satu ukuran kecenderungan memusat. Selain daripada min
kita juga akan mempelajari median dan mod yang juga merupakan ukuran
kecenderungan memusat yang terkandung dalam ukuran memusat yang
akan diterangkan.
Ukuran kecenderungan memusat hanya mengukur satu nilai yang mewakili
sekumpulan data. Jika kita ingin mengetahui lebih lanjut mengenai sesuatu
data, kita bolehlah menghitung sisihan atau serakan data tersebut. Selain
daripada ukuran kecenderungan memusat, pelajar juga akan diterangkan
mengenai ukuran serakan yang melibatkan julat, sisihan kuartil dan sisihan

36
piawai. Seterusnya daripada nilai-nilai ukuran kencenderungan memusat dan
ukuran serakan pelajar akan didedahkan kaitan antara kedua-dua ukuran ini.
ISI KANDUNGAN
Min aritmetik
Satu nilai yang mewakili sekumpulan data dinamakan ukuran memusat. Min
aritmetik adalah salah satu ukuran memusat. Min diperoleh dengan
menjumlahkan keseluruhan data, kemudian dibahagikan dengan bilangan
data yang dijumlahkan tadi. Sebagai contoh, katakan markah yang diperoleh
oleh sepuluh (10) orang pelajar dalam ujian statistik adalah seperti berikut:
5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.
Nilai min dihitung seperti berikut:
6.7
10
67
10
9887766655


Bagi menghitung min, pelajar terlebih dahulu perlu mengenal pasti jenis data
kuantitatif. Jenis data yang dimaksudkan adalah data tak terkumpul dan data
terkumpul. Kaedah menghitung min bagi data tak terkumpul dan data
terkumpul ditunjukkan seperti di bawah:
Menghitung min aritmetik daripada data tak terkumpul
Rumus bagi menghitung min aritmetik bagi data tak terkumpul adalah seperti berikut:
n
x
x
n
i
i
 1
Dengan xi ialah cerapan ke-i; dan n ialah bilangan data.

37
Contoh 1
Markah matematik bagi ujian percubaan PMR yang diperoleh oleh tujuh (7) orang
pelajar di sebuah sekolah adalah seperti berikut:
50, 65, 78, 73, 75, 84, 90
Min dihitung seperti berikut.
73.3
7
513
7
90827875736550





n
x
x
n
i
i
1
Menghitung min aritmetik daripada data terkumpul
Bagi menghitung min yang melibatkan data terkumpul, rumus berikut digunakan:




n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
Dengan xi ialah nilai tengah; dan fi ialah frekuensi.
Contoh 2
Sekumpulan pelajar diberi ujian matematik. Markah yang diperoleh dikumpulkan
dalam bentuk jadual seperti di bawah:
Markah Matematik 55 65 75 80 85 90 95
Bilangan pelajar 5 10 15 20 14 12 6
Nilai min bagi taburan data di atas dihitung dengan menggunakan rumus:





n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1

38
xi 55 65 75 80 85 90 95
fi 5 10 15 20 14 12 6
fi xi 275 650 1125 1600 1190 1080 570
79.1
82
6490
612142015105
5701080119016001125650275








7
1
7
1
i
i
i
ii
f
xf
x
Nilai di atas juga dikenali sebagai min berpemberat. Dengan fi sebagai
pemberat. Seterusnya Contoh 3 dan Contoh 4 dapat memahirkan pelajar
dalam menghitung min bagi data terkumpul.
Contoh 3
Taburan hujan yang dicatatkan pada bulan tertentu di sebuah daerah di
Malaysia adalah seperti berikut:
Taburan Hujan (mm) Bilangan Hari
300 – 349 3
350 – 399 5
400 – 449 7
450 – 499 9
500 – 549 3
550 – 599 2
600 – 649 1
Jumlah 30
Nilai min taburan hujan (mm) dihitung menggunakan rumus yang berikut:





n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
Taburan Hujan (mm) fi xi fi xf
300 – 349 3 324.5 973.5
350 – 399 5 374.5 1872.5

39
400 – 449 7 424.5 2971.5
450 – 499 9 474.5 4270.5
500 – 549 3 524.5 1573.5
550 – 599 2 574.5 1149.0
600 – 649 1 624.5 624.5
Jumlah 30 13435
447.8
30
13435





n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
Contoh 4
Seorang pegawai statistik ingin menghitung min pendapatan isi rumah bagi
sebuah bandar. Maklumat yang telah dikumpul adalah seperti berikut:
Pendapatan Isi rumah (RM’000) Frekuensi
10 dan kurang daripada 20 5
Rumus yang digunakan ialah:





n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1
Pendapatan Isi rumah (RM’000) fi xi fi xf
10 dan kurang daripada 20 5 15 75

40
Jumlah 162 9230
57
162
9230





n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
1
1 (RM’000)
Median
Selain daripada min, ukuran kecenderungan memusat yang sering digunakan
ialah median. Nilai yang berada di kedudukan tengah bagi sekumpulan data
dinamakan median dengan syarat data tersebut telah disusun sama ada
mengikuti turutan menaik atau menurun.
Menghitung median daripada data tak terkumpul
Bagi menghitung nilai median bagi data tak terkumpul, kita hanya perlu
menyusun data sama ada mengikut turutan menaik atau menurun. Dengan
kata lain tiada rumus khusus bagi menghitung median bagi data tak
terkumpul.
Contoh 5
Wang saku (RM) yang dibawa oleh tujuh (7) pelajar ke sekolah setiap hari
4.00, 2.00, 2.50, 1.50, 3.50, 3.00, 4.50
Bagi menghitung nilai median, pelajar perlu menyusun mengikut turutan
menaik, diberikan seperti berikut:
1.50, 2.00, 2.50, 3.00, 3.50, 4.00, 4.50 (susunan menaik)

41
Maka median ialah 003.~ x
Contoh 6
Katakan wang saku (RM) yang dibawa oleh lapan (8) pelajar semasa ke
sekolah adalah seperti berikut:
4.00, 2.00, 2.50, 1.50, 3.50, 3.00, 4.50, 3.50
1.50, 2.00, 2.50, 3.00, 3.50, 3.50, 4.00, 4.50 (susunan menaik)
Maka median ialah 253
2
506
2
503003
.
...~ 

x
Menghitung median daripada data terkumpul
Bagi menghitung median untuk data terkumpul, kita memerlukan maklumat
tentang kekerapan dan kekerapan melonggok. Rumus yang boleh digunakan
bagi menghitung median bagi data terkumpul adalah seperti berikut:
c
f
F
Lx
m
m
f
m
n
1i
i




















12~
Dengan:
mL had bawah kelas median;
1mF kekerapan melonggok kelas sebelum kelas median;
mf kekerapan kelas median;
c selang kelas.

42
Contoh 7
Bayaran penggunaan air bagi sebuah keluarga besar di bandar Kuala Lumpur
untuk tempoh dua (2) tahun dicatatkan seperti berikut:
Bayaran
Penggunaan Air (RM)
100-149 150-199 200-249 250-299 300-349
Bilangan Bulan 2 4 8 6 4
Median bayaran penggunaan air (RM) dihitung dengan menggunakan rumus
seperti berikut:
c
f
F
Lx
m
m
f
m
n
1i
i




















12~
Had bawah 99.5 149.5 199.5 249.5 299.5
if 2 4 8 mf 6 4
iF 2 6
1mF
14 20 24
23750
8
612
5.199~ 12





 




















c
f
F
Lx
m
m
f
m
n
1i
i
Contoh 8
Markah yang diperoleh oleh tiga puluh (30) pelajar Program Matematik yang
mengambil kursus Fizik adalah seperti berikut:
Markah Fizik Bilangan Pelajar
Kelas median

43
Jumlah 30
Median markah Fizik dihitung dengan menggunakan rumus seperti berikut:
c
f
F
Lx
m
m
f
m
n
1i
i




















12~
Had bawah if iF
30 3 3
40 4 7
50 5 12 1mF
60 mL 7 mf 19
70 5 24
80 4 28
90 2 30
Jumlah 30
3.6410
7
1215
60~ 12





 




















c
f
F
Lx
m
m
f
m
n
1i
i
Menganggar median dengan menggunakan ogif
Salah satu cara untuk mengganggar median adalah dengan menggunakan
Ogif. Median boleh dianggar sama ada dengan menggunakan ogif “kurang
daripada” atau “lebih daripada”.
Contoh 9
Dengan merujuk pada Contoh 8, data adalah seperti berikut:
Markah Fizik Bilangan Pelajar
Kelas median

44
Jumlah 30
Anggaran median markah Fizik dengan menggunakan ogif “kurang daripada”
dilakukan seperti berikut:
Had atas if iF
40 3 3
50 4 7
60 5 12
70 7 19
80 5 24
90 4 28
100 2 30
Jumlah 30
0
5
10
15
20
25
30
35
0 40 50 60 70 80 90 100
KekerapanMelonggok
Markah Fizik (Had Atas)
Ogif "Kurang daripada"
Nilai median bagi contoh di atas ialah 64.
Anggaran nilai median

45
Mod
Mod ialah nilai yang paling kerap berlaku dalam sesuatu kumpulan data. Mod
juga boleh diperolehi jika data tersebut adalah data kualitatif.
Menghitung mod daripada data tak terkumpul
Bagi data tak terkumpul mod diperoleh dengan memilih cerapan yang paling
kerap berlaku.
Contoh 10
Harga tiket yang dibeli oleh sepuluh orang pengunjung bagi satu perlumbaan
kereta adalah seperti berikut:
200, 150, 100, 50, 100, 300, 100, 50, 300, 200
Nilai yang paling kerap berlaku bagi contoh ini ialah 100. Ini bermaksud nilai
mod bagi harga tiket ialah 100.
Contoh 11
Program yang diminati oleh sepuluh orang pelajar untuk kemasukan ke
universiti adalah seperti berikut:
Matematik, Pengurusan, Perakaunan, Perakaunan, Matematik, Kejuruteraan,
Sains, Matematik, Pengurusan
Maka mod bagi program yang diminati pelajar ialah Matematik.
Contoh 12
Jumlah bulan yang dihabiskan oleh penyelidik-penyelidik di sebuah universiti
untuk melengkapkan projek mereka adalah seperti berikut:
Jumlah Bulan 6 7 8 9 10 11 12
Bilangan Projek 2 5 7 13 4 3 1
Daripada jadual di atas didapati nilai yang mempunyai kekerapan tertinggi
ialah 9 dengan kekerapan sebanyak 13. Maka nilai mod ialah 9 bulan.

46
Menghitung mod daripada data terkumpul
Pelajar boleh menggunakan rumus seperti di bawah dalam menghitung mod
daripada data terkumpul.
cLx m 








21
1ˆ
Dengan
mL had bawah kelas mod;
;11  mm ff
;12  mm ff
c selang kelas;
mf kekerapan kelas mod;
1mf kekerapan sebelum kelas mod;
1mf kekerapan selepas kelas mod.
Contoh 13
Jangka masa menunggu pelanggan yang dicatatkan di sebuah bank
komersial sebelum mendapat perkhidmatan di kaunter bank adalah pada hari
Isnin minggu pertama adalah seperti berikut:
Jangka Masa
Menunggu (Minit)
0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29
Bilangan Pelanggan 10 15 20 7 6 2
Nilai mod dihitung seperti berikut:
8910
39159
5
135
5
59
21
1
.
..
.
ˆ
















 cLx m
Mod bagi jangka masa menunggu ialah 10.89 minit.
Kelas mod

47
Menganggar mod daripada histogram
Pelajar juga boleh memperoleh mod dengan menganggar daripada
histogram. Bagi menganggar mod dari histogram, pelajar boleh menggunakan
contoh seperti di bawah.
Contoh 14
Jangka masa menunggu pelanggan yang dicatatkan di sebuah bank
komersial sebelum mendapat perkhidmatan di kaunter bank adalah pada hari
Isnin minggu pertama adalah seperti berikut:
Jangka Masa
Menunggu (Minit)
0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29
Bilangan Pelanggan 10 15 20 7 6 2
Anggaran mod daripada histogram dilakukan seperti berikut:
0
5
10
15
20
25
BilanganPelanggan
Jangka Masa Menunggu
Histogram
Nilai mod yang dianggarkan daripada histogram di atas ialah 11 minit.
Anggaran nilai mod
4.5 9.5 14.5 19.5 24.5 29.5
Kelas mod

48
Kebaikan dan kelemahan min, median dan mod
Kebaikan dan kelemahan min, median dan mod boleh disenaraikan seperti
berikut:
Kebaikan min
1. Min merupakan pengukur yang sesuai digunakan jika kesemua
cerapan perlu diambil kira dalam menghitung ukuran kecenderungan
memusat
2. Min merupakan pengukuran yang baik jika terdapat bilangan data yang
besar
3. Min memberi pemberat yang seragam secara relatif mengikut saiz data
4. Min sering digunakan dalam analisis lanjutan
Kelemahan min
1. Min tidak dapat dianggarkan secara bergraf
2. Min tidak boleh digunakan bagi mengukur data kualitatif
3. Min dipengaruhi oleh nilai melampau
Kebaikan median
1. Median tidak dipengaruhi oleh nilai melampau
2. Median sesuai digunakan dalam ukuran kecenderungan memusat
yang melibatkan data yang berkelas terbuka
3. Median boleh dianggarkan daripada ogif
Kelemahan median
1. Median tidak seuai digunakan sebagai ukuran kecenderungan
memusat jika kesemua nilai termasuk yang terkecil dan terbesar dalam
sesuatu kumpulan data perlu diambil kira
2. Median tidak mengambil kira kesemua cerapan dalam kumpulan data
Kebaikan mod
1. Mod tidak dipengaruhi oleh nilai melampau

49
2. Mod boleh diperolehi jika data melibatkan dalam selang terbuka
3. Mod boleh dianggarkan dari histogram
Kelemahan Mod
1. Mod tidak boleh dihitung jika melibatkan data berbentuk bi-modal
2. Mod tidak mengambil kira kesemua cerapan dalam kumpulan data
Serakan berasaskan julat
Julat merupakan salah satu ukuran serakan yang mengambil perbezaan
antara nilai kecil dan nilai terbesar bagi sesuatu data.
Contoh 15
Markah matematik yang diperoleh oleh sekumpulan sepuluh orang pelajar
85, 92, 70, 68, 60, 65, 75, 62, 73, 64
Julat = 92 – 62=30
Serakan berasaskan sisihan kuartil
Dalam penghitungan julat, pelajar akan berhadapan dengan masalah nilai
ekstrim. Sebagai contoh jika kita diberi data seperti di bawah :
2, 2, 4, 5, 6, 100
Nilai julat bagi data in ialah julat=100-2=98 walaupun kebanyakan data
berada dalam lingkungan 2 dan 6. Untuk mengatasi masalah ini kita gunakan
sisihan kuartil. Sebelum pelajar dapat mengira nilai sisihan kuartil, pelajar
perlu terlebih dahulu mengira kuartil atau penyuku bagi sesuatu data.
Kuartil bagi data tak terkumpul
Untuk mengira kuartil, perhatikan bentuk data yang telah disusun mengikut
jujukan menaik seperti di bawah

50
. . . k1 . . . k2 . . . k3 . . .
25% 25% 25% 25%
k1, k2 dan k3 mewakili kuartil pertama kuratil kedua (median) dan kuartil
ketiga.
Kuartil pertama boleh dihitung dengan mula-mula mencari kedudukan kuartil
tersebut. Rumus yang digunakan adalah seperti berikut:
4
)1(
Kedudukan 1


n
k
4
)1(3
Kedudukan 3


n
k
Seterusnya dapatkan nilai kuartil pertama dan ketiga pada kedudukan
tersebut.
Contoh 16
Markah diperolehi oleh 9 orang pelajar dalam satu ujian matematik adalah
seperti berikut:
55, 57,70, 73,74, 77,81, 84,85
5.2
4
)19(
4
)1(
Kedudukan 1 




n
k
Maka nilai 5.635.657)5770(5.0571 k
5.7
4
)19(3
4
)1(3
Kedudukan 3 




n
k
Maka nilai 5.825.181)8184(5.0813 k
Sisihan kuartil kita boleh menggunakan rumus seperti berikut:
.5.9
2
5.635.82
2
13





kk
sk

51
Kuartil bagi data terkumpul
Pelajar boleh menggunakan rumus berikut bagi menghitung nilai kuartil
pertama dan kuartil ketiga bagi data terkumpul:
Rumus kuartil pertama
c
f
F
Lk
k1
k1
f
k1
n
i
i




















14
1
1
dengan k1L had bawah kelas kuartil pertama; 1k1F kekerapan melonggok
kelas sebelum kelas kuartil pertama; k1f kekerapan kelas kuartil pertama; c
selang kelas.
Rumus kuartil ketiga
c
f
F
Lk
k3
k3
f
k3
n
i
i




















14
3
3
1
Dengan k3L had bawah kelas kuartil ketiga; 1k3F kekerapan melonggok kelas
sebelum kelas kuartil ketiga; k3f kekerapan kelas kuartil ketiga; c selang
kelas.

52
Contoh 17
Bayaran bulanan sewa premis perniagaan di sebuah kompleks membeli
belah adalah seperti berikut:
Bayaran Bulanan (RM) Bilangan Premis
Jumlah 50
Kuartil pertama, kuartil ketiga dan sisihan kuartil dihitung seperti berikut:
(1) Dapatkan kedudukan kelas
4
1

f
k
(2) Dapatkan kedudukan kelas 4
3
3

f
k
(3) Seterusnya pelajar dikehendaki membina jadual kekerapan bagi
menentukan nilai-nilai yang akan digunakan dalam rumus kuartil.
Jadual kerapan adalah seperti berikut:
Had Bawah if iF
999.5 2 2
1999.5 4 6 1k1F
k1L 2999.5 8 k1f 14
3999.5 12 26 1k3F
k3L 4999.5 14 k3f 40
5999.5 8 48
6999.5 2 50
Jumlah 50
Kelas k1
Kelas k3

53
38121000
8
65.12
5.2999
14





 




















c
f
F
k
k1
k
f
k1
n
1i
i
1
1 L
58211000
14
265.37
5.4999
14
3
n
1i





 




















c
f
F
Lk
k3
k3
f
k33
i
Maka sisihan kuartil ialah 51004
2
38125821
2
.


 13 kk
Sisihan piawai
Antara ukuran serakan yang kerap digunakan dalam statistik adalah sisihan
piawai. Pelajar boleh mendapatkan sisihan piawai dengan mengira punca
kuasa dua min perbezaan kuasa dua antara nilai sesuatu cerapan dan min.
Sisihan piawai bagi data tak terkumpul
Rumus berikut digunakan bagi menghitung nilai sisihan piawai data tak
terkumpul.
Sisihan piawai berdasarkan data populasi:
 
2
1i1i
2
1i
2
μ

















 
N
x
N
x
N
x
nn
i
n
i
Dengan
xi cerapan ke-i;
N ialah bilangan data.
Sisihan piawai berdasarkan data sampel:

54
 
1
2
1i
1i
2
1i
2
-n
n
x
x
1-n
xx
s
n
n
i
n
i













 

Dengan
xi cerapan ke-i;
n ialah bilangan data.
Contoh 18
Berat badan (kg) yang diperoleh daripada sampel yang terdiri daripada enam
orang pelajar adalah seperti berikut:
50, 55, 60, 70, 80, 85
Sisihan piawai boleh dihitung seperti berikut:
   
02.14
5
6
858070605550
858070605550
1
2
222222
1
1
2
















 

n
n
x
x
s
2
n
i
n
i
i
Sisihan piawai bagi data terkumpul
Sisihan piawai bagi data terkumpul daripada populasi dihitung dengan
menggunakan rumus berikut:
  2
1i
2
1i1i
2





















 

N
xf
N
xf
n
ii n
ii
n
ii
N
xxf
Dengan xi titik tengah ke-i; dan fi ialah kekerapan ke-i.

55
Contoh 19
Catatan masa yang dibuat oleh 20 orang atlet dalam saringan larian 100
meter adalah seperti berikut:
Catatan Masa (Minit) 8 8.5 9.0 9.5 10
Bilangan Atlet 2 5 6 4 3
Sisihan piawai dihitung seperti berikut:
ix 8 8.5 9.0 9.5 10 
if 2 5 6 4 3 20
ii xf 16 42.5 54 38 30 180.5
2
ii xf 128 361.25 486 361 300 1636.25
6016.03619.0
20
5.180
20
25.1636
2
2
NN
1i1i
2

































6
ii
6
ii xfxf
Jika data yang diperoleh adalah daripada sampel, rumus sisihan piawai di
atas menjadi
 
11
2
1
1
2
1
2















n
n
xf
xf
n
xxf
s
n
iin
ii
n
ii
i
ii
Contoh 20
Masa (saat) yang diambil oleh seorang telefonis di sebuah syarikat untuk
menjawab panggilan telefon dicatatkan seperti berikut:
Masa(saat) Bilangan Panggilan
10 – 14 3
15 – 19 6
20 – 24 8
25 – 29 7
30 – 34 4
35 – 39 2
Jumlah 30

56
Maklumat di atas diambil daripada sampel 30 panggilan telefon. Sisihan
piawai dihitung seperti berikut:
ix 12 17 22 27 32 37 
if 3 6 8 7 4 2 30
ii xf 36 102 176 189 128 74 705
2
ii xf 432 1734 3872 5103 4096 2738 17975
 
976
29
30
705
17975
1
2
2
1
1
2
.














n
n
xf
xf
σ
n
i
iin
i
ii

57
PENILAIAN KENDIRI
1. Dalam ukuran kecenderungan memusat, nyatakan perbezaan antara min,
median dan mod.
2. Dapatkan min, median bagi cerapan berikut:
10, 13, 35, 17, 10, 15, 32.
3. Bilangan komputer riba yang dimiliki penduduk di sebuah bandar
dicatatkan seperti berikut:
Bilangan Komputer Riba 1 2 3 4
Bilangan Keluarga 60 150 50 5
Kira nilai min, median dan mod bilangan komputer riba.
4. Seorang pegawai pemasaran syarikat minyak telah mengumpul maklumat
tentang pembelian petrol di sebuah pinggir bandar dalam masa sehari.
Maklumat yang diperoleh adalah seperti berikut:
Pembelian Petrol (RM) Bilangan Kenderaan
30-<50 20
50-<70 25
70-<90 35
90-<110 40
110-<130 50
130-<150 70
150-<170 50
170-<190 40
190-<210 30
210-<230 50

58
Kira min, median dan mod pembelian petrol.
5. Anggarkan nilai median dan mod dengan menggunakan graf yang sesuai
daripada soalan 4.
6. Ketua sebuah kesatuan kakitangan menjangkakan nilai median dapat membantu
bagi menentukan tuntutan kenaikan gaji bulanan yang dicadangkan terhadap
organisasinya. Maklumat gaji bulanan yang diperoleh adalah seperti berikut:
Gaji Bulanan (RM) Bilangan Kakitangan
Jumlah 45
Kira nilai median gaji bulanan (RM) kakitangan.
7. Harga jualan ikan bawal yang dicatatkan oleh pegawai LKIM di sebuah pasar
runcit dalam masa sebulan adalah seperti berikut:
Harga (RM) Bilangan Hari
10-<12 2
12-<14 4
14-<16 7
16-<18 8
18-<20 6
20-<22 3
Jumlah 30
Kira nilai median jualan ikan kembong.
8. Lebihan potongan besi yang dilakukan oleh sebuah syarikat kejuruteraan dalam
penghasilan cerucuk besi bagi tujuan pembinaan dicatatkan seperti berikut:
Lebihan Potongan Besi (cm) Bilangan Batang Besi
0.95-<1.45 210
1.45-<1.95 160

59
1.95-<2.45 240
2.45-<2.95 120
2.95-<3.45 50
Jumlah 780
Kira nilai min lebihan potongan besi.
9. Hitung nilai julat dan sisihan kuartil bagi data di bawah:
22, 15, 47, 19, 22, 17, 35
10. Bilangan motosikal yang dimiliki penduduk di sebuah bandar dicatatkan seperti
berikut:
Bilangan Motosikal 1 2 3 4 5
Bilangan keluarga 10 150 50 7 3
Kira sisihan piawai.
11. Seorang pegawai pemasaran syarikat minyak telah mengumpul maklumat
tentang pembelian petrol di sebuah pinggir bandar dalam masa sehari. Maklumat
yang diperoleh adalah seperti berikut:
Pembelian Petrol (RM) Bilangan Kenderaan
30-<50 20
50-<70 25
70-<90 35
90-<110 40
110-<130 50
130-<150 70
150-<170 50
170-<190 40
190-<210 30
210-<230 50
Jumlah 410
Kira nilai sisihan kuartil.

60
12. Perbelanjaan bulanan daripada sampel 40 keluarga di sebuah taman perumahan
Perbelanjaan
bulanan(RM)
1000-
1099
1100-
1199
1200-
1299
1300-
1399
1400-
1499
1500-
1599
Bilangan Keluarga 1 4 12 7 6 10
Hitung min, mod, sisihan piawai dan tentukan bentuk taburan data ini.
13. Maklumat tentang gaji bulanan yang diperoleh oleh kakitangan awam di sebuah
organisasi adalah seperti berikut:
Gaji Bulanan (RM) Bilangan Kakitangan
1000-<1250 5
1250-<1500 7
1500-<1750 12
1750-<2000 8
2000-<2250 7
2250-<2500 6
Jumlah 45
Tentukan bentuk taburan data di atas.
RUJUKAN
ed). New
York: McGraw Hill.
Press.

Konsep Kebarangkalian
61
UNIT PELAJARAN 4
KONSEP KEBARANGKALIAN
HASIL PEMBELAJARAN
Pada akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Memahami dan menerangkan konsep asas kebarangkalian.
2. Memahami aksiom kebarangkalian, petua-petua kebarangkalian,
ruang kebarangkalian terhingga dan tak terhingga.
3. Memahami dan mengaplikasi kebarangkalian bersyarat.
PENGENALAN
Peluang, kemungkinan dan kebarangkalian terjadinya sesuatu perkara dan
peristiwa sering kita dengar dalam kehidupan harian. Kadangkala kita lebih
lebih suka menyebutnya sebagai kebarangkalian. Kebarangkalian terjadinya
sesuatu perkara amat menarik untuk kita ketahui kerana dengan berbuat
demikian kita mampu membuat perancangan. Umpamanya jika kita
mengetahui bahawa kemungkinan hari ini akan berlaku kesesakan disebuah
lebuhraya, sudah pasti kita akan mengelak daripada melalui lebuhraya seperti
berikut. Begitu juga, jika seorang penganalisis pemasaran merasakan
sesuatu produk tidak lagi diterima oleh penggunaan, sudah pasti beliau akan
memikirkan produk yang disukai oleh pelanggan.
Contoh yang diberikan ialah beberapa keadaan yang melibatkan
kemungkinan atau dengan istilah matematiknya ia disebut sebagai
kebarangkalian.

62
Kebarangkalian boleh ditakrifkan sebagai kajian secara rawak atau
kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa yang dikaitkan dengan
ujikaji.
Jika kita ambil contoh mudah iaitu melambung duit syiling (ujikaji), kesudahan
ujikaji ini adalah sama ada mendapat bunga (X) atau sen (Y). Ini dikenali
sebagai ruang sampel S{X, Y}.
Maka kebarangkalian untuk mendapatkan bunga, K(X) pada lambungan itu
adalah:
[(Bilangan bunga pada lambungan n(X)]/ [(Jumlah keseluruhan n(S)] atau ia
boleh ditulis sebagai:
.
2
1
)(
)(
)( 
Sn
Xn
XK
Perlu diingat lambungan dilakukan secara adil, di mana peluang untuk
berlakunya sesuatu peristiwa sama ada bunga (X) atau sen (Y) adalah
saksama.
Sebelum ini kita telah ditunjukkan peristiwa dan ujikaji dalam sesuatu
kebarangkalian, seterusnya kita akan diterangkan mengenai ruang sampel.
ISI KANDUNGAN
Ruang sampel
Ruang sampel ialah set yang mengandungi kesudahan yang mungkin dari
sesuatu ujikaji. Simbol yang biasa digunakan bagi ruang sampel ialah S.
Setiap kesudahan dalam sesuatu ruang sampel dikenali sebagai unsur atau
elemen atau titik sampel. Sebagai contoh dalam lambungan sebiji buah dadu,
ruang sampel bagi kesudahan lambungan ini boleh ditulis sebagai:

63
}6,5,4,3,2,1{S .
Ruang sampel juga boleh dinyatakan dalam bentuk pernyataan. Sebagai
contoh:
S { x | x ialah kesudahan mendapat nombor ganjil dalam lambungan sebiji
buah dadu}.
Ruang sampel juga boleh ditulis seperti berikut:
 4,2,01  xxS
ialah set nombor ganjil dalam lambungan sebiji buah dadu.
Aksiom kebarangkalian
Ukuran kebarangkalian atau taburan kebarangkalian K bagi ujikaji rawak
adalah nilai nyata ditakrifkan ke atas himpunan peristiwa yang mematuhi
aksiom berikut:
a) Bagi setiap peristiwa .1)(0,  XKX
b) 1)( SK di mana S ialah ruang sampel.
c) Jika peristiwa X dan Y adalah saling eksklusif maka,
).()()( YKXKYXK 
d) Jika ,...,, 321 XXX adalah jujukan terhingga atau tak terhingga peristiwa
saling eksklusif maka,
...)()()(...)( 321321  XKXKXKXXXK

64
Hukum asas kebarangkalian
Jika X dan Y ialah dua peristiwa dari satu ujikaji rawak dengan ruang sampel
S, maka hukum asas kebarangkaliannya adalah:
a) K(Xc
)  1 – K(X).
Pembuktian
S= X  Xc
dan X  Xc
 ,
maka dari aksiom (b) dan (d),
1 K(X) + K(Xc
), maka
K(Xc
)  1 – K(X)
b) K() 0.
Pembuktian
Jika X   maka Kc
 S. Maka
K()  1 - K(S)  1 - 1 0.
c) K(Y  Xc
)  K(Y) – K(X  Y).
Pembuktian
X  Y = X  (Y  Xc
), dan dari aksiom (d)
K(X  Y) = K(X) + K(Y  Xc
), walaubagaimanapun
Y = (X  Y)  (Y  Xc
), dan
K(Y) = K(X  Y) + K(Y  Xc
), maka
K(Y  Xc
)  K(Y) – K(X  Y).
d) Jika X  Y, maka K(Y  X c
)  K(Y) – K(X).

65
Pembuktian
Y = X  (Y  Xc
), daripada aksiom (d),
K(Y) = K(X) + K(Y  X c
), maka
K(Y  X c
)  K(Y) – K(X).
e) Jika X  Y, maka K(X)  K(Y).
Pembuktian
Y = X  (Y  X c
) dan X  (Y  X c
) ,
daripada aksiom (d),
K(Y) = K(X) + K(Y  X c
)  K(X),
disebabkan aksiom (a) maka,
K(Y  X c
)  0.
f) Jika X dan Y ialah dua peristiwa, maka
K(X Y) = K(X) + K(Y) – K(X  Y )
Pembuktian
(X Y) boleh diwaklili oleh kesatuan bagi peristiwa saling eksklusif,
iaitu,
X  Y = X  (X c
 Y), dan dari aksiom (d),
K(X  Y) = K(X) + K(X c
 Y),
walaubagaimanapun,
Y = (X  Y)  (X c
 Y) iaitu kesatuan bagi peristiwa saling eksklusif.
Maka
K(Y) = K(X  Y) + K(X c
 Y), dan
K(X c
 Y)  K(Y) – K(X  Y). Jika ini digantikan ke dalam (1),
memberikan hasil
K(X  Y) = K(X) + K(Y) – K(X  Y ).
(1)

66
g) Jika X, Y dan Z ialah tiga peristiwa, maka
K(X  Y  Z) = K(X) + K(Y) + K(Z) – K(X  Y )
- K(X  Z ) - K(Y  Z ) + K(X  Y  Z )
secara umumnya untuk sebarang peristiwa
X1 , X2 , X3 , …, Xn petua berikut boleh digunakan:
         ni
kji
kji
ji
Ji
i
in XXKXXXKXXKXKXXK   
.........1
Pembuktian
K(X  Y  Z) = K(X) + K(Y)+ K(Z) – K(X  Y )
- K(X Z ) - K(Y Z ) + K(X  Y Z )
Biar WY  Z, maka X  W X  (Y  Z)  (X  Y)  (X  Z) dan
K(X  W)  K(X Y)  K(X Z) - K(X Y X Z)
= K(X Y) + K(X  Z) - K(X Y Z) maka,
K(X  Y  Z ) K(X W)
=K(X) + K(W) - K(X W)
=K(X) + K(Y) + K(Z) - K(Y Z)
-[K(X Y) + K(X Z) - K(XY Z)]
K(X  Y  Z) = K(X) + K(Y)+ K(Z) – K(X  Y )
- K(X Z ) - K(Y Z ) + K(X Y Z ).

67
Ruang kebarangkalian terhingga dan tak terhingga
Ruang kebarangkalian diperolehi dengan menguntukkan kebarangkalian
nombor nyata ki bagi setiap titik xi  S di mana ruang sampel S { x1, x2 ,…,
xn } yang memenuhi syarat:
a) 0ik
b) 1321  nk...kkk
Jika ruang sampel S { x1, x2 ,…, xn }, maka ia dikenali sebagai ruang sampel
terhingga dan akan menghasilkan ruang kebarangkalian terhingga. Manakala,
jika ruang sampel S { x1, x2 ,…, ∞} maka ia dikenali sebagai ruang sampel
tak terhingga dan akan menghasilkan ruang kebarangkalian tak terhingga.
Ruang kebarangkalian sama terhingga
Ruang kebarangkalian sama terhingga adalah ruang kebarangkalian
terhingga dengan setiap titik sampel mempunyai kebarangkalian yang sama.
Jika ruang S mengandungi N titik (unsur), maka setiap titik mempunyai
kebarangkalian .1
N
Seterusnya jika peristiwa X mengandungi n titik, maka kebarangkaliannya
adalah:
N
n
N
n 1
. atau
.
)( .
.
N
n
XK Ndalamunsurbil
ndalamunsurbil


Pembuktian
Katakan nXXX ,...,, 21 mewakili kesudahan dari ruang sampel S dengan
kebarangkalian setiap satu ialah N
1
. Jika peristiwa X ialah kesatuan bagi
kesudahan saling eksklusif peristiwa nXXX ,...,, 21 maka,

68
.
...
)(...)()(
)...()(
111
21
21
N
n
NNN
n
n
XKXKXK
XXXKXK




Contoh 1
Jika X dan Y ialah dua peristiwa dengan
3
1
2
1
)(,)(  YKXK dan .)( 4
1
YXK
Kira nilai bagi:
a) )( c
XK e) )( c
YXK 
b) )( c
YK f) )( cc
YXK 
c) )( YXK  g) )( cc
YXK 
d) )( YXK c

Penyelesaian:
a) 2
1
2
1
1)(1)(  XKXK c
b) 3
2
3
1
1)(1)(  YKYK c
c)
12
7
4
1
3
1
2
1
)()()()(


 YXKYKXKYXK
d)
12
1
4
1
3
1
)()()(


 YXKYKYXK c
e)
4
1
4
1
2
1
)()()(


 YXKXKYXK c

69
f)
 
12
5
12
7
1
)(1
)()(




YXK
YXKYXK ccc
g)
 
4
3
4
1
1
)(1
)()(




YXK
YXKYXK ccc
Contoh 2
Katakan ruang sampel S terdiri daripada 3 unsur iaitu S{x,y,z}. Bagi setiap
yang berikut tentukan sama ada ia merupakan fungsi bagi ruang
kebarangkalian S.
a) 10
3
2
1
5
1
)(,)(,)(  zKyKxK
b) 7
2
7
1
3
1
)(,)(,)(  zKyKxK
c) 7
6
7
2
7
1
)(,)(,)(  zKyKxK
d) 0)(,)(,)( 8
7
8
1
 zKyKxK
Penyelesaian:
Dengan menggunakan aksiom (a) dan (b), fungsi bagi ruang kebarangkalian
S adalah seperti berikut:
a) 1)()()( 10
3
2
1
5
1
 zKyKxK
Merupakan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.
b) 21
16
7
2
7
1
3
1
)()()(  zKyKxK
Ia bukan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.
c) Disebabkan 7
1
)( xK
Ia bukan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.

70
d) 10)()()( 8
7
8
1
 zKyKxK
Merupakan fungsi bagi ruang kebarangkalian S.

71
PENILAIAN KENDIRI
1. Ruang sampel S mengandungi 4 unsur iaitu S{w,x,y,z}. Fungsi berikut
yang manakah merupakan ruang kebarangkalian S.
a) 4
1
4
1
4
1
4
1
 )()()()( zK,yK,xK,wK
b) 003
1
3
2
 )()()()( zK,yK,xK,wK
c) 3
1
12
1
12
5
6
1
 )()()()( zK,yK,xK,wK
d) 7
2
7
3
7
1
7
3
 )()()()( zK,yK,xK,wK
2. Diberi 5
4c
)( YK , 7
1
)( YXK dan 55
23
)( YXK , kira
a) )(YK
b) )(XK
c) )( cc
YXK 
d) )( cc
YXK 
e) )( c
YXK 
3. Jika X dan Y ialah dua peristiwa dengan 7
1
5
1
)(,)(  YKXK dan
9
1
)( YXK .
Kira nilai bagi:
a) )( c
XK
b) )( c
YK
c) )( YXK 
d) )( YXK c

e) )( c
YXK 
f) )( cc
YXK 
g) )( cc
YXK 

72
4. Diberi 3
1
)( XK , 5
4
)( c
YK , 7
1
)( YXK dan 9
1
)(  ZYXK
kira
a) )( cc
YXK 
b) )( ccc
ZYXK 
c) )( c
YXK 
5. Kirakan K(X  Y  Z) jika K(X)  0.3, K(Y)  0.4, K(Z) 0.5 dan ruang
sampel S X  Y  Z.
6. Senaraikan ruang sampel S bagi ujikaji melambung dadu adil sebanyak
dua kali.
7. Satu ujikaji melambung syilling adil sebanyak tiga kali telah dilakukan.
Katakan X adalah kesudahan mendapat bunga pada lambungan pertama,
Y mendapat sekurang-kurangnya satu bunga dan Z mendapat bunga
pada lambungan terakhir. Dapatkan K(Xc
), K(X  Y) dan K(X  Z).
8. Lokman, Mizah dan Hanim menyertai satu pertandingan berpidato.
Kebarangkalian Lokman memenangi pertandingan berpidato adalah tiga
kali berbanding Hanim. Kebarangkalian Mizah memenangi pertandingan
berpidato adalah dua kali berbanding Lokman. Kira kebarangkalian:
a) Lokman memenangi pertanding berpidato.
b) Mizah atau Hanim memenangi pertandingan berpidato.
Kebarangkalian bersyarat
Dalam situasi tertentu, kebarangkalian terjadinya sesuatu peristiwa berkait
atau bergantung kepada sesuatu peristiwa yang lain. Umpamanya
kemampuan menjawab soalan peperiksaan bergantung kepada persediaan

73
sebelum peperiksaan. Serangan jantung berkait dengan amalan hidup.
Kebarangkalian bersyarat akan dihasilkan apabila kebarangkalian bagi
peristiwa-peristiwa di atas dihitung.
Katakan X Berlaku kemalangan jalanraya , dan Y Berlakunya kehilangan
jiwa
Kebarangkalian bersyarat K(Y | X) bermaksud “berlakunya kehilangan jiwa
diberi berlakunya kemalangan jalanraya”. K(Y | X) boleh ditulis seperti
berikut:
)(
)(
)()(
)()(
)(
XK
XYK
SnXn
SnXYn
XYK




Daripada kebarangkalian bersyarat
)(
)(
)(
XK
YXK
XYK

 , kita akan perolehi:
K(X  Y)  K(X )  K(Y | X).
begitu juga jika
)(
)(
)(
YK
XYK
YXK


maka:
K(X  Y)  K(Y )  K(X | Y).
Dalam teorem pendaraban, untuk setiap peristiwa X1, X2 ,…, Xn
K(X1  X2  X3 … Xn)K(X1) K(X2 | X1) P(X3) K(X3 | X1  X2)…
K(Xn | X1  X2 …  Xn-1 )
Kebarangkalian bersyarat juga membabitkan beberapa aksiom, iaitu:
a) K(X | Y)  0.
b) K(Y | Y)  1.
c) Jika X1, X2, X3,…, Xr adalah peristiwa saling eksklusif, maka:
K(X1  X2  X3  … X v | Y)K(X1 | Y)+ K(X2 | Y) +…+ K(Xr | Y),

74
untuk semua integer positif r, dan
K(X1  X2  X3  … | Y )  K(X1 | Y) + K(X2 | Y)+…
untuk peristiwa tak terhingga.
Pembuktian
 
 
)(
)()(
)(
)(
YK
...YXYXK
K(Y)
Y...XXK
Y...XXK




21
21
21
disebabkan (X1Y ), (X2  Y),… ialah peristiwa saling eksklusif, maka:
...YXKYXK
...
K(Y)
YXK
K(Y)
YXK
K(Y)
...YXKYXK
Y...XXK








)()(
()(
)()(
)(
21
21
21
21
Contoh 3
Jika kebarangkalian untuk dua peristiwa X dan Y adalah seperti berikut:
,XK
5
2
)( ,YK
4
1
)( dan .)(
2
1
YXK
Kira
a) K(X  Y)
b) K(X | Y)
c) K(Y | X)
d) K(Xc
| Y c
)
e) K(Yc
| Xc
)

75
Penyelesaian:
a) ,)()()()( YXKYKXKYXK  maka:
20
3
2
1
4
1
5
2


 )()()()( YXKYKXKYXK
b) .
/
/
)(
)(
)(
5
3
41
203



YK
YXK
YXK
c) .
/
/
)(
)(
)(
8
3
52
203



XK
YXK
XYK
d)
3
2
43
21
1
1
1










/
/
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
YK
YXK
YK
YXK
YK
YXK
Y|XK
c
c
cc
cc
e)
18
5
53
61
1
1
1










/
/
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
XK
YXK
XK
YXK
XK
YXK
X|YK
c
c
cc
cc

76
Persitiwa merdeka
Dua peristiwa X dan Y dikatakan merdeka jika kebarangkalian terjadinya
peristiwa X tidak mempengaruhi kebarangkalian terjadinya peristiwa Y. Ia
ditulis sebagai:
K(X  Y)  K(X) K(Y|X)
 K(X) K(Y)
Peristiwa-peristiwa,
a) Xc
dan Y
b) X dan Yc
c) Xc
dan Yc
merupakan peristiwa merdeka jika X dan Y ialah peristiwa merdeka.
Pembuktian
a)
)()(
)]([)(
)()(
)()(
c
c
cc
XKYK
YXK1YK
YXKYK
XYKYXK




maka Xc
dan Y ialah peristiwa merdeka.
b)
)()(
)]([)(
)()()(
c
cc
YKXK
XYK1XK
XYKXKYXK



maka X dan Yc
ialah peristiwa merdeka.

77
c)
  
)()(
)()(
)()()(
)(
)()(
cc
ccc
YKXK
YK1XK1
YXKYKXK1
YXK1
YXKYXK





maka Xc
dan Yc
ialah peristiwa merdeka.
Jika terdapat tiga peristiwa X, Y dan Z. Peristiwa-peristiwa ini ialah peristiwa
saling merdeka jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut:
a) K(X  Y)  K(X) K(Y)
K(X  Z)  K(X) K(Z)
K(Y  Z) K(Y) K(Z)
b) K(X  Y  Z)  K(X) K(Y) K(Z).
Jika terdapat X1, X2, … , Xn peristiwa merdeka, maka:
K(X1  X2  … Xn)  K(X1)K(X2) … K(Xn).
Contoh 4
Katakan X dan Y ialah dua peristiwa merdeka dengan
4
1
)( XK dan
,
5
1
)( YK kira
a) K(X  Y)
b) K(X  Y)
c) K(Xc
 Yc
)

78
d) K(Xc
 Yc
)
e) K(Xc
 Y)
f) K(Xc
 Y)
Penyelesaian:
a)
20
1
5
1
4
1
 )(()( YX)KKYXK
b)
20
8
5
1
4
1
5
1
4
1
 )()()()()( YKXKYKXKYXK
c)
20
12
20
8
11  )()()( YXKYXKYXK ccc
d)
20
19
20
1
11  )()()( YXKYXKYXK ccc
e)  
20
3
5
1
4
3
 )()()()()( YKXK1YKXKYXK cc
f)
20
16
5
1
4
3
5
1
4
3
 )()()()()( YKXKYKXKYXK ccc
Gambarajah pokok
Gambarajah pokok amat sesuai digunakan dalam menyelesaikan masalah
kebarangkalian bersyarat. Untuk memahami pengunaan gambarajah pokok
dalam menyelesaikan masalah kebarangkalian, cuba kita perhatikan contoh
berikut.
Contoh 5
Katakan kebarangkalian berlaku kemalangan di sebuah lebuh raya pada hari
tertentu ialah 0.30. Jika kemalangan berlaku, kebarangkalian akan
menyebabkan lebuh raya sesak adalah 0.50. Manakala jika kemalangan tidak
berlaku, kebarangkalian akan lebuh raya sesak 0.05.

79
Lukiskan gambarajah pokok bagi situasi di atas dan kira kebarangkalian
kemalangan tidak berlaku.
Penyelesaian:
Katakan X = peristiwa berlaku kemalangan.
Y = peristiwa berlakunya kesesakan lebuh raya.
Daripada gambarajah pokok, kita telah diperlihatkan dua peristiwa saling
eksklusif iaitu berlaku kemalangan dan tidak berlaku kemalangan.
Kebarangkalian berlakunya kesesakan lebuh raya boleh dihitung seperti
berikut:
185.0
05.070.050.030.0


 )()()()()( cc
XYKXKXYKXKYK
Manakala kebarangkalian tidak berlaku kemalangan adalah seperti berikut
815.0
95.070.050.030.0


 )()()()()( ccccc
X|YKXKX|YKXKYK
atau
815.0185.011  )()( YKYK c
K(Xc
)= 0.70
K(Yc
| X)=0.50
K(Y |X)=0.50
K(X)= 0.30
K(Y | Xc
)=0.05
K(Yc
| Xc
)=0.95

80
Contoh 6
Kebarangkalian seorang perlumba kereta memenangi perlumbaan dalam
setiap perlumbaan ialah 0.20. Perlumba berkenaan telah berlumba dalam tiga
perlumbaan.
a) Lukiskan gambarajah pokok bagi situasi di atas.
b) Kira kebarangkalian perlumba tersebut memenangi dalam kesemua
perlumbaan.
c) Kira kebarangkalian perlumba memenangi dalam perlumbaan kedua
sahaja.
d) Kira kebarangkalian perlumba memenangi dalam perlumbaan dalam
sekurang-kurang dua perlumbaan.
Penyelesaian:
Katakan X = peristiwa perlumba memenangi perlumbaan.
a)
b) K(X  X  X )  K(X)× K(X) × K(X)  (0.20)3
 0.008

81
c) K(Xc
 X  Xc
)  K(Xc
)×K(X)×K(Xc
)
=0.80  0.20  0.80=0.128
d) Katakan
K(0)  kebarangkalian tiada menangi perlumbaan.
K(1)  kebarangkalian menang dalam satu perlumbaan.
K(2)  kebarangkalian menang dalam dua perlumbaan.
K(3)  kebarangkalian menang dalam tiga perlumbaan.
Di mana berdasarkan hukum kebarangkalian:
K(0)+ K(1) + K(2) + K(3)  1
maka kebarangkalian perlumba memenangi dalam sekurang-kurang dua
perlumbaan adalah seperti berikut:
K(2) + K(3)  1 - K(0) - K(1)
 1 - K(Xc
 Xc
 Xc
) -
[ K(X  Xc
 Xc
)+ K(Xc
 X  Xc
)+ K(Xc
 Xc
 X )]
 1 - (0.80)3
- 3(0.2) (0.80)2
 1- 0.896
 0.104.

82
PENILAIAN KENDIRI
1. X dan Y ialah dua peristiwa dengan
K(X)  0.35 , K(Y)  0.55 dan K[(X  Y)c
]  0.15. Kira
a) K(X  Y)
b) K(X | Y)
c) K( Xc
| Y)
2. X dan Y ialah dua peristiwa dengan
K(X)  5
2
, K(Y)  3
2
dan K[(X  Y)]  5
1
. Kira
a) K(X  Y)
b) K(Y | X)
c) K( Yc
| X)
3. Kebarangkalian pelajar di sebuah universiti dapat menamatkan pengajian
peringkat doktor falsafah ialah 0.55. Jika pelajar berjaya menamatkan
pengajian, kebarangkalian pelajar dapat menamatkan pengajian dalam
masa yang ditetapkan ialah 0.6.
a) Lukis gambarajah pokok bagi situasi ini.
b) Kira kebarangkalian pelajar berjaya menamatkan pengajian dalam
masa yang ditetapkan.
c) Jika pelajar tidak berjaya menamatkan pengajian dalam masa yang
ditetapkan, kira kebarangkalian ia dapat menamatkan pengajian.
4. Seorang calon guru dikehendaki menduduki tiga ujian dan perlu lulus
sekurang-kurangnya dua ujian sebelum boleh menjadi guru. Ujian-ujian
tersebut adalah ujian emosi, ujian ketrampilan diri dan ujian pengucapan
awam. Kebarangkalain calon guru berjaya dalam setiap ujian ialah 0.80.

83
a) Lukis gambarajah pokok bagi situasi ini.
b) Kira kebarangkalian calon guru layak menjadi guru.
5. X dan Y ialah dua peristiwa merdeka dengan
K(X )  0.2 dan K(Y)  0.5. Kira
a) K(X  Y)
b) K(Xc
 Y)
c) K(X  Yc
)
d) K(Xc
 Yc
)
e) K[(X  Y)c
]
6. K(X)  0.2, K(Y)  0.5 dan K(Z)  0.7 ialah kebarangkalian bagi ujikaji
peristiwa-peristiwa merdeka X, Y dan Z. Kira kebarangkalian:
a) Satu peristiwa berlaku.
b) Sekurang-kurangnya dua peristiwa berlaku.
c) Kesemua peristiwa tidak berlaku.
7. X dan Y ialah dua peristiwa merdeka dengan
K(X) = 3
1
dan K(X  Y) = 5
4
. Kira
a) K(Y)
b) K(X|Y)
c) K(Y|X)
d) K(Yc
|X)
RUJUKAN
Seymour, L. & Schiller, J. (1998). Introduction to Probability and Statistics. San
Francisco: McGraw-Hill.
Jusoh, M. (1986). Kebarangkalian dan Statistik. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan
Pustaka.

Pembolehubah Rawak Diskret dan Selanjar
84
UNIT PELAJARAN 5
PEMBOLEHUBAH RAWAK DISKRET DAN SELANJAR
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir topik ini, anda diharap dapat:
1. Memahami apakah yang dikatakan pembolehubah rawak diskret dan
selanjar.
2. Mendapatkan fungsi kebarangkalian sesuatu pembolehubah rawak diskret
dan selanjar.
PENGENALAN
Bahagian ini akan membincangkan fungsi kebarangkalian pembolehubah
rawak diskret dan selanjar. Selain daripada itu fungsi taburan kebarangkalian
pembolehubah rawak diskret dan selanjar turut dibincangkan.
ISI KANDUNGAN
Pembolehubah rawak diskret
Pembolehubah rawak ialah kesudahan bagi ruang sampel S dari satu ujikaji
rawak dengan fungsi X yang memetakan setiap unsur s dalam S bagi
nombor nyata X(s) x. Ia ditulis sebagai {x: X(s) x, s S} yang mana sS
bermaksud unsur s dipunyai oleh set S. Bagi pembolehubah rawak diskret X,
kebarangkalian K(Xx) kebiasaanya ditulis sebagai f(x). f(x) dikenali sebagai
fungsi kebarangkalian.

85
Teorem 1
Sifat-sifat bagi fungsi kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak diskret adalah
seperti berikut:
a) f(x)  0, x  R.
b) xR f(x)  1.
c) K(XA)  xA f(x) , yang mana A  R.
Contoh 1
Katakan
15
)(
x
xf  untuk x1,2,3,4, 5 merupakan fungsi pembolehubah rawak
diskret X. Ia dikatakan fungsi kebarangkalian kerana memenuhi Sifat-sifat
bagi fungsi kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak diskret seperti berikut:
(i) f(x)  0, x  R iaitu:
0
15
5
)5(,
15
4
)4(,
15
3
)3(,
15
2
)2(,
15
1
)1(  fffff
(ii) xR f(x)  1 iaitu:
.1)5()4()3()2()1(  fffff
(iii) K(XA)  xA f(x) , yang mana A  R.
Contoh 2
Sebiji buah dadu adil dilambung. Ruang sampel yang terbentuk dalam
lambungan dadu ini adalah seperti berikut:
S{1,2,3,4,5,6}
Kebarangkalian bagi setiap titik sampel pula adalah seperti berikut:
K(1)  ;
6
1
K(2)  ;
6
1
K(3)  ;
6
1

86
K(4)  ;
6
1
K(5)  ;
6
1
K(6)  .
6
1
Contoh 3
Katakan X ialah pembolehubah rawak dalam ruang sampel S mendapat
nombor ganjil dalam lambungan dadu. Maka
Jika sekeping siling dilambung sebanyak dua kali. Ruang sampel yang
terbentuk daripada dua lambungan ini ialah:
S{KK, KB,BB, BK}.
Manakala kebarangkalian bagi setiap titik sampel ialah:
K(KK) ;
4
1
K(KB) ;
4
1
K(BB) ;
4
1
K(BK)  .
4
1
Katakan X ialah pembolehubah rawak dalam ruang sampel S mendapat
kepala dalam lambungan siling. Maka
X(BB)0, tiada kepala,
X(KB)1, X(BK)1 mendapat satu kepala,
X(KK)2, mendapat dua kepala.
Set imej bagi X ialah X(S){0,1,2}. Maka fungsi kebarangkalian bagi X ialah:
f(0) K(BB)
4
1
f(1)  K(KB,BK)
4
1
+
4
1

4
2
f(2)  K(KK)
4
1

87
Dalam bentuk jadual, fungsi kebarangkalian bagi X dipersembahkan seperti
berikut:
xi 0 1 2
f(xi) 4
1
4
2
4
1
Dengan menggunakan sifat-sifat yang terdapat dalam fungsi kebarangkalian
kita boleh mendapat nilai pekali atau konstan yang tidak diketahui dalam
dalam sesuatu fungsi kebarangkalian. Cuba kita lihat contoh di bawah:
Contoh 4
Katakan beberapa fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak X adalah
seperti berikut:
a) qxxf )( x1, 2, 3.
b) 2
)2()(  xqxf x 1, 2, 3.
c)
1
4
3
)(








x
qxf x0, 1, 2.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan syarat fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak X,
xR f(x)  1. Nilai-nilai q di atas diperoleh seperti berikut:
a) 1)3)2)1  ((( fff
.
6
1
16
132



q
q
qqq
b) 1)3)2)1  ((( fff

88
.
50
1
150
125169
1)23()22()21( 222




q
q
qqq
qqq
c) 1)3)2)1  ((( fff
.
37
16
1
1
1)()()(
16
37
16
9
4
3
2
4
31
4
30
4
3




q
q
qqq
qqq
Fungsi taburan atau taburan melonggok pembolehubah rawak diskret
Fungsi taburan atau taburan melonggok bagi pembolehubah rawak X dengan
F: R R ditakrifkan seperti berikut:
     

xx
i
i
xfxXKxF - x 
Teorem 2
Jika F(x) ialah fungsi taburan pembolehubah rawak X, maka ia perlu
memenuhi syarat-syarat seperti di bawah:
1. F(-)0;
2. F()1;
3. Jika v  w, maka F(v)  F(w) untuk sebarang nombor nyata v dan w.
Contoh 6
Jika fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak X diberi seperti berikut:

89
X 1 2 3 4
f(x) 10
1
10
2
10
3
10
4
Maka fungsi kebarangkalian melonggok pembolehubah rawak X yang
dihasilkan adalah seperti berikut:
X 1 2 3 4
F(x) 10
1
10
3
10
6
10
10
Contoh 7
Tunjukkan fungsi
20
42


x
xF )( untuk x1, 2, 3, 4 memenuhi syarat fungsi
taburan pembolehubah rawak diskret X.
Penyelesaian:
,)(
20
5
1 F ,)(
20
8
2 F ,)(
20
13
3 F .)( 14 F
F(-)0;
F()1;
F(1) F(2) F(3) F(4).
Teorem 3
Bagi pembolehubah rawak diskret X dengan fungsi kebarangkalian dan fungsi
taburan masing-masing f(x) dan F(x), begitu juga ,x.xxx n321  .. maka
)() 11 xFf(x  dan      i1i1i xFxFxf   untuk i  1, 2, 3, …, n.

90
Contoh 8
Katakan fungsi taburan pembolehubah rawak X diberi seperti berikut:

















1071
75
7
6
53
7
3
31
7
1
10
x
x
x
x
x
xF )(
Dapatkan fungsi kebarangkalian X, K(X=5) dan K(3 X  5)
Penyelesaian:
Fungsi kebarangkalian X adalah seperti berikut:
X 1 3 5 7
f(x)
7
1
7
2
7
3
7
1
.)()(
7
3
5
5
5
 x
xfXK
.)()()()()(
7
5
7
3
0
7
2
54353
5
3
 
fffxfXK
x
Fungsi ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar
Fungsi pembolehubah rawak selanjar f(x) bagi set nombor nyata R dikenali
sebagai fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak
selanjar X jika dan hanya jika

b
a
dxxfbXaK .)()(

91
yang mana a  b.
Sifat-sifat bagi fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak
selanjar adalah seperti berikut:
a) f(x)  0, x  R.
b) 


 1)dxxf( .
Contoh 9
Tunjukkan fungsi kebarangkalian yang berikut merupakan fungsi ketumpatan
kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar X.









sebaliknya
)(
0
103
7
1
x
xf
Penyelesaian:
Fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak selanjar di atas
mempunyai sifat-sifat berikut:
a) f(x)  0, x  R.
b) 


 1dxxf )( iaitu:
.1
10
37
1
10
3 7
1
 xdx
maka pembolehubah rawak selanjar X merupakan fungsi ketumpatan
kebarangkalian.
Contoh 10
Fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) pembolehubah rawak selanjar X
diberi sebagai:

92


 

sebaliknya0
31
)(
xqx
xf
dapatkan nilai q dan K(X2)
Penyelesaian:
1
2
8
22
9
2
3
1
2
3
1

qqq
x
q
dxqx
maka .
4
1
q
.)2( 8
5
8
4
8
9
3
28
x
3
2 4
1 2
  dxxXK
Fungsi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar
Bagi pembolehubah rawak selanjar X, fungsi taburan kebarangkalian atau
taburan melonggok F(x) ditakrifkan sebagai:
 

x
f(x)dxF(x) - x 
Syarat-syarat bagi fungsi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak X
adalah seperti di bawah:
a) F(-)0;
b) F()1;
c) Jika v  w, maka F(v)  F(w) untuk sebarang nombor nyata v dan w.
Contoh 11
Fungsi ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar X diberi
seperti berikut:

93
sebaliknya
30
0
)(
6
7





 

xx
xf
Fungsi taburan kebarangkalian F(x) diperolehi dengan mengkamilkan fungsi
ketumpatan kebarangkalian f(x).
Untuk x  0,
  x.
x
x
x
dxxdxxfxF 6
7
2
0
6
7
2
0 6
7
22
 
x
xx
-
)()(
Fungsi taburan kebarangkalian F(x) ditulis sebagai:









sebaliknya0
30
2
)(
6
7
2
xx
x
xF
Teorem 4
Bagi pembolehubah rawak selanjar X dengan fungsi ketumpatan
kebarangkalian f(x) dan fungsi taburan kebarangkalian F(x), nilai
kebarangkalian di antara 1x dan 2x ialah:
     2121 xFxFxXxK 
untuk nilai sahih 1x dan 2x dengan 21 xx  ,
dan perlu wujudnya pembezaan bagi
dx
xdF
xf
)(
)( 

94
PENILAIAN KENDIRI
1. Tunjukkan bahawa
 
50
2
2


x
xf )( untuk x1,2,3 merupakan fungsi
kebarangkalian pembolehubah rawak diskret dengan menggunakan
syarat-syarat fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak diskret.
2. Tunjukkan bahawa
x
xf
25
12
)( untuk x1,2,3,4 merupakan fungsi
kebarangkalian pembolehubah rawak diskret dengan menggunakan
syarat-syarat fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak diskret.
3. Fungsi kebarangkalian pembolehubah rawak diskret X diberi sebagai
14
2
x
xf )( untuk x1,2,3. Dapatkan fungsi taburan kebarangkalian
fungsi kebarangkalian ini.
4. Dapatkan nilai k yang memenuhi syarat fungsi kebarangkalian
pembolehubah rawak X.
a) kxxf )( x 1, 2, 3, 4, 5.
b) 






2
1
xkxf )( x  2, 3, 4.
c)
3
3







x
kxf )( x  1, 2, 3.
5. Fungsi taburan pembolehubah rawak X diberi seperti berikut:

95

















1191
97
5
4
75
5
3
53
5
1
30
)(
x
x
x
x
x
xF
Dapatkan fungsi kebarangkalian X, K(X=3) dan K(5 X  9)
6. Fungsi ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar X
ialah seperti berikut:


 

sebaliknya0
51
)(
xqx
xf
Dapatkan:
a) Nilai q,
b) K(X<3).
 


 

sebaliknya0
507x2
)(
xq
xf
Dapatkan:
a) Nilai q,
b) Fungsi taburan kebarangkalian,
c) K(X < 3).


 

sebaliknya0
30)3(
)(
2
27
4
xxx
xf

96
Dapatkan:
a) Fungsi taburan kebarangkalian,
b) K(1<X<2).


 

sebaliknya0
41)2(
)( 3
2
x-x
xf
Dapatkan:
a) Fungsi taburan kebarangkalian,
b) F(x=2).
RUJUKAN
ed). New
York: McGraw Hill.
Press.

Teknik Pensampelan
97
UNIT PELAJARAN 6
TEKNIK PENSAMPELAN
HASIL PEMBELAJARAN
1. Menerangkan maksud pensampelan dan mengapa pensampelan
diperlukan
2. Menerangkan teknik-teknik pensampelan rawak dan teknik-teknik
pensampelan bukan rawak dalam pengambilan sampel
3. Menerangkan maksud ralat pensampelan dan ralat bukan
pensampelan atau ralat sistematik
PENGENALAN
Dalam Unit Pelajaran 1, telah dibincang tentang populasi dan sampel. Dalam
melakukan sesuatu kajian atau penyelidikan, proses mendapatkan data yang
tepat daripada populasi atau sampel adalah penting bagi menerbitkan hasil
yang boleh dipercayai serta boleh membuat keputusan yang jitu. Daripada
manakah data ini diperolehi? Data bagi sesuatu penyelidikan itu boleh
diperolehi melalui tinjauan, melakukan eksperimen, meneliti dokumen atau
cara-cara yang lain.
Dalam tinjauan dan melakukan eksperimen, data diperolehi daripada sampel
sesuatu populasi itu atau keseluruhan populasi. Jika tinjauan itu melibatkan
keseluruhan populasi, proses pengumpulan data itu dipanggil banci. Tinjauan
sampel pula melibatkan satu sampel yang dipilih secara rawak atau atidak
rawak. Pemilihan sampel ini melibatkan teknik-teknik pensampelan tertentu.

Teknik Pensampelan
98
Ada tiga sebab utama mengapa teknik pensampelan digunakan dalam
memilih sampel dan bukannya banci apabila melakukan sesuatu kajian
terutamanya yang berkenaan dengan tinjauan dan kajian eksperimen:
a) Dalam kebanyakan kes, saiz populasi adalah agak besar. Oleh itu
penglibatan keseluruhan populasi mungkin mengambil masa yang lama.
Sebaliknya, jika sampel digunakan akan mengambil masa yang lebih singkat.
Menemubual atau menghubungi ratusan atau ribuan orang sudah tentu
memerlukan masa yang panjang. Di akhir proses yang panjang ini, mungkin
hasil dapatan kajian yang diperolehi tidak berguna lagi bagi penyelidik
tersebut.
b) Kos untuk mengumpul maklumat bagi semua ahli dalam sesuatu
populasi itu mungkin melebihi bajet yang terhad bagi kebanyakan kajian. Oleh
sebab ltu, maka mengambil sampel adalah opsyen yang paling sesuatu
dalam menangani masalah bajet yang terhad ini
c) Adakalanya amat mustahil sekali untuk melakukan sesuatu banci atas
sebab-sebab berikut: (1) seseorang penyelidik itu mungkin tidak boleh
mengenal pasti atau mendekati setiap ahli bagi sesuatu populasi. Sebagai
contoh seorang penyelidik itu ingin mengkaji tentang orang-orang yang
merempat di bandaraya Kuala Lumpur mungkin tidak tahu lokasi setiap ahli
bagi golongan tersebut. (2) Kadang-kadang dalam melakukan sesuatu kajian
atau tinjauan mungkin terpaksa menghapuskan item-item yang berharga.
Sebagai contoh untuk mengkaji tentang purata hayat mentol lampu
terpaksalah pengkaji menyalakan mentol-mentol tersebut sehingga malap.
Bolehkah anda fikirkan sebab-sebab lain mengapa teknik pensampelan perlu
digunakan?

Teknik Pensampelan
99
ISI KANDUNGAN
Jenis-jenis sampel
Bergantung kepada cara sampel diambil, sampel-sampel itu mungkin sampel
rawak atau tidak rawak. Sampel rawak adalah sampel di mana
pengambilannya adalah dengan cara setiap ahli dalam populasi mempunyai
peluang yang sama untuk dipilih dalam sampel itu. Sebaliknya sampel bukan
rawak adalah sampel di mana pengambilannya mungkin tidak melibatkan
peluang yang sama bagi setiap ahli dalam populasi itu.
Katakan kita mempunyai satu senarai nama 100 orang pelajar dan kita
berhasrat memilih 10 orang pelajar sahaja. Jika kita menulis setiap satu nama
itu di atas secebis kertas dan kemudian memasukkannya ke dalam satu
kotak, goncangkan kotak itu dan seterusnya mengambil 10 nama daripada
kotak itu, maka ini dipanggil pengambilan sampel secara rawak. Sebaliknya,
jika kita menyenaraikan 100 nama mengikut abjad dan kemudian memilih 10
nama teratas, maka pengambilan sampel ini bukan secara rawak kerana 90
nama yang lain di bawah senarai itu langsung tidak berpeluang untuk dipilih.
Bolehkah anda memberi contoh yang lain bagi pengambilan secara rawak
dan bukan rawak?
Tujuan pengambilan sampel secara rawak adalah untuk membuat kesimpulan
umum bagi sesuatu populasi itu berdasarkan kepada maklumat yang
diperolehi daripada data sampel. Persoalannya sekarang adalah sampel
hanya merupakan sebahagian kecil sampel daripada populasi. Jadi,
bagaimanakah sampel itu boleh dibebankan sebagai asas untuk membuat
satu kesimpulan umum bagi populasi tersebut?
Bagi menjawab soalan di atas, seseorang penyelidik itu mestilah memastikan
dua perkara berikut apabila mengambil secara rawak sesuatu sampel
daripada sesuatu populasi:

Teknik Pensampelan
100
i) Sampel yang dipilih mestilah mewakili ciri-ciri populasi asalnya dengan
jelas. Dalam erti kata yang lain, sampel mestilah semirip mungkin dengan
populasi asal.
ii) Sampel yang dipilih mestilah saksama. Sebagai contoh, jika kita ingin
meninjau pilihan rakyat tentang parti politik mana yang sesuai untuk
mentadbir Malaysia dan kita hanya memilih rakyat yang tinggal di bandar-
bandar besar sahaja, maka ini tidak mencerminkan keseluruhan rakyat
Malaysia kerana tidak ada penglibatan rakyat di luar bandar. Sudah tentu
data yang dperolehi itu pincang dan tidak saksama.
Untuk pengambilan sampel secara rawak, ada empat teknik pensampelan
yang boleh kita gunakan berdasarkan kepada kehendak kajian kita dan
populasi itu sendiri. Empat teknik pensampelan rawak itu adalah
i) Pensampelan rawak mudah
ii) Pensampelan rawak sistematik
iii) Pensampelan rawak berstrata
iv) Pensampelan rawak berkelompok (kluster)
Pensampelan rawak mudah
Pensampelan rawak mudah adalah satu teknik pengambilan sampel yang
dipilih dengan cara setiap ahli dalam sesuatu populasi mempunyai peluang
yang sama untuk dipilih sebagai ahli sampel. Begitu juga bagi setiap
gabungan sampel rawak yang mungkin wujud mempunyai peluang yang
sama untuk dipilih.
Untuk mendapatkan sampel rawak mudah, biasanya kesukaran dihadapi bagi
mencapai keadaan untuk memenuhi syarat bagi mewujudkan peluang yang

Teknik Pensampelan
101
sama. Ahli statistik selalunya menggunakan jadual sifir nombor rawak bagi
mengatasi kesukaran ini. Jadual sifir nombor rawak adalah adalah satu jadual
dengan senarai digit dari 0 sehingga 9 yang diperolehi dengan syarat setiap
digit wujud dengan peluang yang sama. Jadual sifir ini amat berguna apabila
kita hendak membentuk suatu sampel rawak daripada suatu populasi.
Cara yang biasa digunakan dalam menggunakan jadual sifir ini ialah setiap
ahli dalam satu populasi itu diberi satu nombor. Nombor-nombor ini mestilah
berbeza di antara satu sama lain dn digit-digitnya mestilah berturutan.
Kemudian kita pilih nombor daripada jadual sifir nombor rawak.
Ada banyak langkah memilih nombor daripada jadual sifir rawak. Di antaranya
adalah:
a) Memilih baris mana yang perlu dilihat dahulu.
b) Memilih lajur mana untuk mula-mula dibaca.
c) Memilih digit dan padankannya dengan nombor yang diberi kepada ahli
-ahli populasi.
Contoh 1
Katakan kita hendak memdapatkan satu sampel rawak mudah seramai 50
orang pelajar daripada 1000 orang pelajar di sebuah fakulti di UPSI untuk
meninjau sama ada mereka memiliki komputer riba atau sebaliknya.
Mula-mula setiap 1000 orang pelajar dari fakulti itu diberi satu nombor yang
berlainan dari 000 sehingga 999. Kemudian kita pilih mana-mana baris
katakan baris ke-10, dan lajur pertama untuk memulakan bacaan.
Jadi, nombor yang didapati daripada jadual sifir adalah seperti berikut:
32 70 17 72 03 61 66 26 24 71 22 77 88 33 17 78 08 92 73 49…

Teknik Pensampelan
102
Didapati, sampel kita terdiri daripada pelajar-pelajar dengan nombor-nombor
berikut:
327 017 720 361 662 624 712 277 883 317 780 892 734 ...
Nombor-nombor yang wujud lebih daripada sekali, misalnya nombor 327,
akan digunakan sekali sahaja. Nombor-nombor di luar julat ini tidak akan
dipertimbangkan. Proses ini diteruskan sehingga diperolehi saiz sampel yang
dikehendaki (dalam contoh di atas seramai 50 orang pelajar).Kaedah ini
dianggap mudah oleh kerana berpandukan jadual sifir nombor rawak sahaja.
Pensampelan rawak sistematik
Pensampelan rawak sistematik adalah satu teknik pengambilan sampel di
mana ahli-ahli sampel dipilih daripada populasi pada jarak selang yang
teratur. Jika satu populasi bersaiz N dan kita bertujuan untuk memilih satu
sampel bersaiz n, maka saiz jarak selangnya k = N/n. Dengan demikian ada n
selang yang masing-masing mempunyai k ahli dan daripada setiap selang
diambil satu ahli.Pemilihan ahli yang pertama dari selang pertama dilakukan
secara rawak manakala ahli-ahli selanjutnya dipilih pada setiap jarak selang
k.
Satu kelebihan menggunakan teknik pensampelan sistematik adalah kosnya
yang rendah dan tidak memerlukan usaha yang berat untuk mengendalikan
teknik ini. Namun demikian terdapat satu kelemahan dalam menggunakan
teknik ini di mana hanya k ahli populasi yang pertama sahaja yang
mempunyai yang sama untuk dipilih. Selepas pemilihan k ahli populasi yang
pertama ini, ahli-ahli yang lain tidak mempunyai peluang untuk dipilih lagi.

Teknik Pensampelan
103
Contoh 2
Katakan kita hendak menguji kualiti bateri kecil yang dikeluarkan oleh sebuah
kilang. Jadi kita mengambil satu sampel bersaiz 100 daripada 3000 bateri
kecil yang dikeluarkan oleh kilang tersebut setiap hari.
Oleh itu N = 3000 dan n = 100. Maka k = 3000/100 = 30.
Pada mulanya, kita pilih sebiji bateri kecil secara rawak daripada 30 biji bateri
kecil yang pertama dihasilkan. Jika bateri kecil yang terpilih adalah bateri ke-
7, bateri yang seterusnya ialah bateri yang mempunyai selang 30, iaitu ke-37,
ke-67, ke-97, ke-127 dan seterusnya sehinggalah 100 bateri kecil diperolehi.
Pensampelan rawak berstrata
Pensampelan rawak berstrata adalah satu teknik pengambilan sampel di
mana populasi dibahagikan kepada beberapa strata atau lapisan mengikut
syarat-syarat yang ditetapkan oleh penyelidik seperti umur, etnik, pekerjaan
dan sebagainya. Jika sampel rawak dipilh daripada setiap stratum ini, maka
sampel yang terkumpul adalah sampel yang berstrata. Untuk mendapatkan
sampel rawak daripada setiap stratum menggunakan jadual sifir nombor
rawak atau dengan cara lain.
Hasil keputusan yang diperolehi daripada sampel satu stratum akan
digabungkan dan dihitungkan bersama dengan hasil keputusan sampel strata
yang lain untuk mendapatkan hasil keputusan keseluruhan.
Kelebihan pensampelan rawak berstrata adalah ahli daripada setiap stratum
akan diwakili dalam sampel yang diambil. Seterusnya ini akan memberi satu
gambaran yang lebih bersifat realiti. Kelemahan bagi teknik pensampelan ini
adalah ianya melibatkan kos yang agak tinggi dan perlu usaha yang gigih dari
pihak penyelidik untuk mengendalikan teknik pensampelan ini.

Teknik Pensampelan
104
Contoh 3
Jadual menunjukkan pendapatan bulanan 1000 orang pekerja di dalam satu
zon industri bebas.
Strata Pendapatan Bilangan pekerja
1 < RM 1000 600
2 RM 1000 – RM 3000 300
3 > RM 3000 100
Jumlah 1000
Katakan seorang penyelidik ingin mengkaji mengenai pendapatan minimum
bagi pekerja-pekerja di zon industri bebas itu. Diketahui pendapatan
meningkat dari golongan kolar biru ke golongan staf sokongan dan golongan
eksekutif. Setiap golongan mempunyai bilangan pekerja yang berlainan. Oleh
itu, setiap golongan pekerja membentuk satu strata yang berlainan dan
populasi pekerja di zon industri bebas ini dikatakan terdiri daripada 3 strata.
Jika kita ingin mengambil satu sampel rawak bersaiz 50 orang daripada
populasi keseluruhan pekerja di zon industri bebas ini, maka saiz sampel
daripada setiap strata adalah seperti berikut:
Strata Pendapatan Populasi
setiap strata
Saiz sampel
1 < RM 1000 600 600 × 50/1000 = 30
2 RM 1000 – RM 3000 300 300 × 50/1000 = 15
3 > RM 3000 100 100 × 50/1000 = 5
Jumlah 1000 50
Pensampelan rawak berkelompok
Kadang-kadang populasi yang ingin diselidiki adalah bertaburan pada satu
kawasan geografi yang luas.Akibatnya, jika digunakan pensampelan rawak
mudah mungkin melibatkan kos yang tinggi untuk mendapatkan setiap ahli
bagi sampel tersebut. Dalam situasi sebegini, kita bahagikan populasi kepada

Teknik Pensampelan
105
kumpulan-kumpulan geografi yang berbeza. Kumpulan-kumpulan ini dipanggil
kelompok atau kluster. Sebagai langkah pertama, pilih secara rawak
beberapa kelompok. Kemudian kita pilih secara rawak satu sampel yang
terdiri daripada ahli-ahli tertentu bagi setiap kelompok yang terpilih itu.
Contoh 4
Katakan kita ingin meninjau tentang keberkesanan metodologi pengajaran
yang baru di sekolah-sekolah dalam satu negeri yang besar. Mula-mula kita
bahagikan negeri itu kepada katakan 20 buah daerah yang kita rujukkan
sebagai kelompok-kelompok. Pastikan kesemua 20 daerah ini adalah hampir
serupa dan oleh itu adalah mewakili ciri-ciri populasi. Kemudian kita pilih
secara rawak katakan 4 daerah daripada 20 daerah tersebut. Selepas itu kita
pilih pula beberapa sekolah secara rawak daripada setiap kelompok untuk
meninjau tentang keberkesanan kaedah pengajaran yang baru itu.
Keseluruhan sekolah yang dipilih daripada kelompok yang terpilih itu
dipanggil sampel kelompok.
Ralat pensampelan dan ralat bukan pensampelan
Hasil dapatan kajian daripada tinjauan atau melakukan eksperimen mungkin
mengandungi dua jenis ralat: ralat-ralat pensampelan atau bukan
pensampelan. Ralat pensampelan juga dikenali sebagai ralat peluang dan
ralat bukan pensampelan dipanggil juga ralat sistematik.
Ralat pensampelan adalah perbezaan antara hasil kajian yang diperolehi
dengan hasil kajian yang mungkin diperolehi jika keseluruhan populasi
digunakan. Misalnya perbezaan antara min sampel dan min populasi. Apabila
kita membuat tinjauan atau sebagainya, ralat ini tidak dapat dielakkan.
Ralat bukan pensampelan atau ralat sistematik berlaku disebabkan oleh
penyelidik sendiri semasa melakukan pengumpulan dan penganalisisan data.
Sebagai contoh, soalan-soalan yang dikemukakan oleh penyelidik dalam soal
selidik atau dalam temubual mungkin tidak difahami oleh reponden,

Teknik Pensampelan
106
responden mungkin memberi maklumat palsu atau penyelidik membuat
kesilapan apabila memasuki data ke dalam komputer dan sebagainya.
Teknik pensampelan bukan rawak
Dalam menjalankan sesuatu tinjauan atau kajian, bukan semua sampel boleh
diperolehi secara rawak oleh sebab-sebab tertentu. Dalam sesuatu populasi
itu, tidak semua ahli mempunyai peluang untuk dipilih menganggotai ssesuatu
sampel. Jadi, pengambilan sampel tidak dapat dilakukan secara rawak.
Misalnya seorang penyelidik ingin mengkaji sikap pelajar tingkatan 4 terhadap
pembelajaran statistik dan pengetua hanya membenarkan kajian dijalankan
ke atas sebuah kelas sahaja. Penyelidik tidak dapat mendapatkan sampel
secara rawak.
Antara teknik-teknik pensampelan bukan rawak adalah seperti berikut:
(a) Teknik pensampelan keselesaan (convenience)
(b) Teknik pensampelan pertimbangan (judgment)
(c) Teknik pensampelan kuota
Teknik pensampelan keselesaan
Dalam teknik pensampelan keselesaan, pengambilan sampel dilakukan
terhadap ahli-ahli yang senang didekati atau dicapai dalam sesuatu populasi
itu bagi mendapatkan hasil kajian dengan cepat. Misalnya satu tinjauan
pendapat umum (opinion poll) boleh dilakukan dalam masa yang singkat
dengan mendapatkan maklumat daripada pengunjung-pengunjung di sebuah
kompleks membeli-belah.

20140218090208 modul smu3063 stat asas pjj

20140218090208 modul smu3063 stat asas pjj

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à 20140218090208 modul smu3063 stat asas pjj

Similaire à 20140218090208 modul smu3063 stat asas pjj (20)

Plus de Aminah Rahmat

Plus de Aminah Rahmat (20)

20140218090208 modul smu3063 stat asas pjj