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  1. 1. Mécanique desMilieux ContinusGolay Frédéric - Bonelli Stéphane 01/02/2011 ISITV
  2. 2. MMCGolay - Bonelli -2-
  3. 3. Ce cours de mécanique des milieux continus est à la base de l’enseignement de mécanique à l’ISITV. Lesnotions abordées ici, transport de champs, lois de conservation, ..., seront reprises ultérieurement enmécanique des solides et mécanique des fluides. Dans une première partie, nous aborderons les notationstensorielles et vectorielles indispensables à toute étude scientifique, puis dans une deuxième partie, nousétudierons la cinématique des milieux continus. Après avoir introduit la modélisation des efforts et les lois deconservation par le principe des puissances virtuelles, nous appliquerons ces lois de conservation aux lois decomportement de l’élasticité linéaire (en mécanique des solides) et aux lois de comportement des fluidesnewtoniens (en mécanique des fluides). -3- Golay - Bonelli
  4. 4. MMCGolay - Bonelli -4-
  5. 5. Sommaire TABLE DES MATIERESNotations tensorielles ....................................................................................................... 91 Vecteurs et tenseurs ............................................................................................... 9 1.1 Notations ............................................................................................................................................... 9 1.2 Changement de repère ........................................................................................................................ 122 Permutations et déterminants............................................................................... 14 2.1 Les symboles de permutation .............................................................................................................. 14 2.2 Déterminant d’une matrice ................................................................................................................. 14 2.3 Polynôme caractéristique .................................................................................................................... 15 2.4 Adjoint d’un tenseur antisymétrique ................................................................................................... 153 Calcul vectoriel et analyse vectorielle .................................................................... 16 3.1 Calcul vectoriel ..................................................................................................................................... 16 3.2 Analyse vectorielle ............................................................................................................................... 16 3.3 Transformation d’intégrales ................................................................................................................ 174 Formules essentielles en Mécanique des Milieux Continus .................................... 18 4.1 Coordonnées cartésiennes orthonormées .......................................................................................... 18 4.2 Coordonnées cylindriques ................................................................................................................... 19 4.3 Coordonnées sphériques ..................................................................................................................... 20 4.4 Comment retrouver les formules ........................................................................................................ 215 A retenir ............................................................................................................... 23CINEMATIQUE ................................................................................................................. 251 Le mouvement et ses représentations ................................................................... 25 1.1 Configuration ....................................................................................................................................... 25 1.2 Variables de Lagrange et variables d’Euler .......................................................................................... 26 1.3 Dérivées particulaires .......................................................................................................................... 262 Déformation d’un milieux continu ......................................................................... 27 2.1 Notion de déformation ........................................................................................................................ 27 2.2 Tenseur des déformations ................................................................................................................... 28 2.3 Conditions de compatibilité ................................................................................................................. 303 Transport, dérivées particulaires ........................................................................... 30 3.1 Transport d’un volume ........................................................................................................................ 30 3.2 Transport d’une surface orientée ........................................................................................................ 31 3.3 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume .................................................................................. 32 3.4 Dérivée particulaire d’une intégrale de surface .................................................................................. 334 A retenir ............................................................................................................... 35EFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS ........................................................................... 37 -5- Golay - Bonelli
  6. 6. MMC1 Définitions ............................................................................................................ 37 1.1 Forces ................................................................................................................................................... 37 1.2 Vecteur-contrainte et tenseur des contraintes .................................................................................... 372 Equilibre ............................................................................................................... 39 2.1 Le Principe des Puissances Virtuelles (Germain 1972) ......................................................................... 39 2.2 Puissance virtuelle des efforts intérieurs ............................................................................................. 39 2.3 Puissance virtuelle des efforts extérieurs ............................................................................................ 40 2.4 Application du Principe des Puissances Virtuelles ............................................................................... 40 2.5 Equilibre ............................................................................................................................................... 41 2.6 Autre présentation: Principe fondamental de la dynamique............................................................... 423 Quelques propriétés du tenseur des contraintes ................................................... 43 3.1 Symétrie du tenseur des contraintes ................................................................................................... 43 3.2 Contrainte normale et contrainte tangentielle .................................................................................... 44 3.3 Directions principales, contraintes principales .................................................................................... 44 3.4 Invariants .............................................................................................................................................. 44 3.5 Cercles de Mohr ................................................................................................................................... 444 Exemples de tenseur des contraintes .................................................................... 47 4.1 Tenseur uniaxial ................................................................................................................................... 47 4.2 Tenseur sphérique................................................................................................................................ 475 A retenir ............................................................................................................... 48ELASTICITE ...................................................................................................................... 491 Approche expérimentale: essai de traction............................................................ 492 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) .................................................. 50 2.1 Forme générale .................................................................................................................................... 50 2.2 Matériau élastique homogène isotrope............................................................................................... 50 2.3 Matériau élastique homogène orthotrope .......................................................................................... 50 2.4 Matériau élastique homogène isotrope transverse ............................................................................. 51 2.5 Caractéristiques de quelques matériaux .............................................................................................. 51 2.6 Critères de limite d’élasticité ............................................................................................................... 523 Le problème d’élasticité ........................................................................................ 53 3.1 Ecriture générale .................................................................................................................................. 53 3.2 Formulation en déplacement ............................................................................................................... 53 3.3 Formulation en contrainte ................................................................................................................... 53 3.4 Théorème de superposition ................................................................................................................. 53 3.5 Elasticité plane ..................................................................................................................................... 54 3.6 Thermoélasticité .................................................................................................................................. 554 A retenir ............................................................................................................... 58INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES............................................................... 591 Loi de comportement ............................................................................................ 59 1.1 Fluide Newtonien ................................................................................................................................. 59 1.2 Fluide incompressible........................................................................................................................... 60 1.3 Fluide non-visqueux ............................................................................................................................. 60 1.4 Fluide au repos ..................................................................................................................................... 60Golay - Bonelli -6-
  7. 7. Sommaire2 Conservation de la masse ...................................................................................... 603 Equation du mouvement ....................................................................................... 614 A retenir ............................................................................................................... 62Bibliographie ................................................................................................................... 63Annexes: Rappels de mécaniques des solides rigides ....................................................... 651 Cinématiques du solide ......................................................................................... 65 1.1 Description du mouvement ................................................................................................................. 65 1.2 Composition des mouvements ............................................................................................................ 662 Cinétique .............................................................................................................. 68 2.1 Définitions ............................................................................................................................................ 68 2.2 Eléments de cinétique ......................................................................................................................... 68 2.3 Cinétique du solide rigide .................................................................................................................... 693 Equations fondamentales de la mécanique des solides .......................................... 72 3.1 Torseur associé aux efforts externes ................................................................................................... 72 3.2 Loi fondamentale de la dynamique ..................................................................................................... 72 -7- Golay - Bonelli
  8. 8. MMCGolay - Bonelli -8-
  9. 9. Notations tensoriellesNOTATIONS TENSORIELLES1 Vecteurs et tenseursAvertissement: L’objectif de ce chapitre, est de familiariser les étudiants avec les notations tensorielles. Afind’en simplifier le contenu, nous ne considérerons que des bases orthonormées.1.1 Notations1.1.1 VecteurDans un espace euclidien ξ à trois dimensions, soit e1, e2 , e3 une base orthonormée. Un vecteur V estreprésenté par ses composantes V1 , V2 , V3 3 V = V1e1 +V2e2 +V3e3 = ∑Viei i =1 (1.1)En utilisant la convention de sommation, ou convention d’Einstein, on écrit V = Viei (1.2)où, chaque fois qu’un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de 1 à 3 et de faire la somme. Dansl’expression (2) l’indice i est un "indice muet".En notation matricielle on écrira parfois       V     1  {}       V = V = V      2       (1.3)   V     3     et le vecteur transposé {} T T V = V = V = V1 V2 V3 (1.4)1.1.2 Application linéaire de ξ dans ξSoit A une application linéaire, dans la base e1, e2 , e3 . Cette application est représentée par une matrice 3x3notée A :   A A A   11 12 13  A A A   21 22 23     A31 A32 A33  Si W est un vecteur tel que W = AV , alors les composantes de W sont données par W1 = A11V1 + A12V2 + A13V3 W2 = A21V1 + A22V2 + A23V3 W3 = A31V1 + A32V2 + A33V3et en utilisant les conventions de sommation où j est un indice muet -9- Golay - Bonelli
  10. 10. MMC Wi = AijVj (1.5)et en notation vectorielle {W } = A {V }On définit les symboles de Kronecker par 1  si i=j δij =   0  si i≠j (1.6)  En particulier l’application identité 1 est représentée par la matrice δ13  1 0 0    δ  11  δ12 δ23  = 0 1 0    δ δ22  21       δ  31 δ32 δ33  0 0 1    La composition de deux applications linéaires se traduit par le produit de leur matrice représentative, c’est-à-dire C =A B ou encore C  = A B       et en notation indicielle C ij = Aik Bkj (1.7)1.1.3 Formes bilinéairesSoit A une forme bilinéaire sur ξ , c’est-à-dire une application bilinéaire de ξ × ξ dans ℝ . Dans la basee1, e2 , e3 elle est représentée par une matrice Aij telle que ( ) A V ,W = AijVWj i (1.8)ou en notation matricielle ( ) A V ,W = V A {W }  En particulier, la forme bilinéaire représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produitscalaire. Si ( e1, e2 , e3 ) est une base orthonormée, alors ei ⋅ e j = δijet le produit scalaire de deux vecteurs est donné par V ⋅W = Viei ⋅Wje j = VWj ei ⋅ e j = δijVWj = VWi i i iou en notation matricielleV ⋅W = V {W }1.1.4 Tenseurs1.1.4.1 Tenseur du second ordreUn tenseur du second ordre T est un opérateur linéaire qui fait correspondre à tout vecteur V de l’espaceeuclidien un vecteur W de ce même espace.Golay - Bonelli - 10 -
  11. 11. Notations tensorielles W =T V ()  Cet opérateur peut être représenté par une matrice 3x3, notée T  ou T  ou T , telle que     Wi = TijVjou en notation matricielle {W } = T  {V }ou W = TV* Un tenseur est dit symétrique si Tij = Tji* Un tenseur est dit antisymétrique si Tij = − ji T* Un tenseur est dit isotrope si Tij = t δij* On peut toujours décomposer un tenseur en une partie symétrique et antisymétrique S A T = T +T Tij = TijS + TijA ou 1 1 TijS = ( T + Tji 2 ij ) TijA = Tij −Tji 2 ( ) avec et1.1.4.2 Tenseur d’ordre supérieurOn peut définir un vecteur V par ses composantes Vi , ou par les coefficients de la forme linéaireX → X ⋅V = XiVi , car la base choisie est orthonormée (voir les notions de vecteurs covariants etcontravariants).On peut alors considérer le vecteur comme un tenseur du premier ordre.De même, une fonction scalaire peut être considérée comme un tenseur d’ordre zéro.Un tenseur du troisième ordre S est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur Z fait correspondre un tenseurdu second ordre T . T = S (Z ) ou encore Tij = Sijk Z k1.1.4.3 Produit tensorielOn définit le produit tensoriel du vecteur U par le vecteur V , noté U ⊗ V , comme le tenseur d’ordre deux, (défini par la forme bilinéaire qui aux vecteurs X et Y fait correspondre U ⋅ X V ⋅Y )( )Les 9 produits tensoriels ei ⊗ e j définissent une base de l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre deux, si bienque l’on peut écrire un tenseur T comme T = Tijei ⊗ e jou encore, par exemple, - 11 - Golay - Bonelli
  12. 12. MMC    uv 1 1  u1v2 u1v3    u ⊗ v = ui v jei ⊗ e j = u v    2 1 u2v2 u2v3    uv u3v2 u3v3   3 1  1.1.4.4 Contraction et produit contractéSoit le produit tensoriel A ⊗ B ⊗ C , on appelle contraction, l’opération qui lui fait correspondre le vecteurA(B ⋅ C ) . Le produit contracté d’un tenseur d’ordre 4 R et d’un tenseur d’ordre 3 S est défini par le tenseurd’ordre 5 ( )( ) R ⋅ S = Rijklei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el ⋅ S pqrep ⊗ eq ⊗ er = Rijkm Smqrei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ eq ⊗ erLe produit doublement contracté d’un tenseur d’ordre 4 R et d’un tenseur d’ordre 3 S est défini par letenseur d’ordre 3 ( )( ) R : S = Rijklei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el : S pqrep ⊗ eq ⊗ er = Rijnm Smnrei ⊗ e j ⊗ erPar exemple, le produit doublement contracté de deux tenseurs d’ordre 2 T et T ′ est le scalaire ( )( ) T : T ′ = Tijei ⊗ e j : T ′ pqep ⊗ ea = TijTji′1.2 Changement de repère1.2.1 Matrice de passageSoit e1, e2 , e3 une base orthonormée et e1′, e2 , e3 une autre base orthonormée. ′ ′On définit la matrice de passage Q telle que: e1′ = Q11e1 + Q12e2 + Q13e3 e2′ = Q21e1 + Q22e2 + Q23e3 ′ e3 = Q31e1 + Q32e2 + Q33e3ou encore, en notations indicielles ei′ = Qije jet en notation matricielle {e ′} = Q  {e }Les deux bases étant orthonormées, on doit avoir δij = ei′ ⋅ e j′ = Qikek ⋅ Qjlel = QikQjl δkl = QikQjkce qui montre que la matrice inverse de Q est QT . En particulier on tire la relation inverse: ei = Qjie j′1.2.2 VecteursSoit V un vecteur de composantes Vi dans la base e1, e2 , e3 et Vi ′ dans la base e1′, e2 , e3 . ′ ′ V = Viei = Viei′ ′Golay - Bonelli - 12 -
  13. 13. Notations tensoriellesEn utilisant la matrice de passage V = Viei = VQkiek isoit Vk′ = VQki i et i ′ Vk = VQikou encore, en notation matricielle {V ′} = Q  {V } {V } = Q  {V ′} T etRemarque: le produit scalaire est un invariant, c’est à dire que cette fonction est indépendante du repèrechoisi.En notation indicielle V ′. ′ = VkWk′ = VQkiWjQkj = δijVWj = VWi = V . W ′ i i i Wet en notation matricielle { }   {} { } T V ′. ′ = V ′ W ′ =  Q  V  W     Q  W     Q  Q  W = V T = V         { } {W } = V .W1.2.3 Application linéaire ′Soit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base e1, e2 , e3 . et Aij dans la base e1′, e2 , e3 . ′ ′En notation indicielle Wi ′ = AikVk′ = QijWj = Qij AjmVm = Qij AjmQkmVk′ ′d’où ′ Aik = Qij AjmQkmet en notation matricielle {W ′} = A′ {V ′} = Q  {W } = Q  A {V } = Q  A Q  {V } Tsoit A′ = Q  A Q  T        1.2.4 Forme bilinéaire ′Soit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base e1, e2 , e3 . et Aij dans la base e1′, e2 , e3 . ′ ′ A(V ,W ) = AijVWj = AijVWj′ = AijQkiVk′ mjWm i ′ i′ Q ′soit ′ Akm = AijQkiQmjet en notation matricielle { } A(V ,W ) = V A W = V ′ A′  W ′ =     { }   { } { } { } T  Q  V ′  A Q  W ′ = V ′ Q  A Q  W ′ T T T              - 13 - Golay - Bonelli
  14. 14. MMCsoit A′ = Q  A Q  T        1.2.5 Tenseur d’ordre 2Soit T un tenseur d’ordre 2, en notation indicielle T = Tijei ⊗ e j = Tij′ei′ ⊗ e j′ = TijQkiek′ ⊗ Qmjem = TijQkiQmjek′ ⊗ em ′ ′puis ′ Tkm = TijQkiQmj2 Permutations et déterminants2.1 Les symboles de permutationOn introduit les symboles de permutation +1 si i, j , k est une permutation paire de 1, 2, 3    εijk = −1 si i, j , k est une permutation impaire de 1, 2, 3   0   si deux indices sont répétés Ces symboles représentent le produit mixte des vecteurs de base ( εijk = ei , e j , ek )εijk sont les composantes d’un tenseur du troisième ordre, qui représente, par exemple, la forme trilinéaireproduit mixte: (U ,V ,W ) = ε ijk U iVjWkAvec un peu de patience on peut démontrer les résultats suivants      δim δin     δil    εijk εlmn = Det  δjl δjm δjn          δ δkm δkn      kl    ε ε = δ δ −δ δ    ijk imn jm kn jn km   εijk εijn = 2δkm    εijk εijk = 6  2.2 Déterminant d’une matriceLes symboles de permutation permettent le calcul du déterminant d’une matrice par εijk Det(A) = εmnp Aim Ajn Akp (1.9)ou encore 1 Det(A) = ε ε A A A 6 ijk mnp im jn kpOn peut également déterminer l’inverse d’une matriceGolay - Bonelli - 14 -
  15. 15. Notations tensorielles 1 B = A−1 et Bji = ε ε A A 2Det(A) imn jpq mp nq2.3 Polynôme caractéristiqueLes valeurs propres d’un tenseur du second ordre sont obtenues par la résolution de l’équation caractéristique P (λ ) = Det (A − λI )soit en développant 1 ε ε (A − λδim )(Ajn − λδjn )(Akp − λδkp ) = 0 6 ijk mnp imou encore P (λ ) = I 3 − λI 2 + λ 2 I 1 − λ 3avec   1   I 3 = εijk εmnp Aim Ajn Akp = Det(A)   6   I = A A − A A  = 1 (Tr A)2 − Tr A2   2 1                  2  ii jj  ij ji  2     I1 =Aii =Tr A     I 1, I 2 , I 3 sont appelés les invariants fondamentaux du tenseur A.2.4 Adjoint d’un tenseur antisymétriqueSoit un tenseur antisymétrique  0 − 31   12 − =  12 0  23     31 − 23 0  on peut également lui associer le vecteur          ω1                  23          ω = ω2  =              31           ω3               12         soit  0 ω3 −ω2   = −ω3 0 ω1     ω2 −ω1 0  Le vecteur ω est le vecteur adjoint du tenseur antisymétrique . En notation indicielle on a:       ij = εijk ωk       ωi = 1 εijk jk 2   (1.10) - 15 - Golay - Bonelli
  16. 16. MMC3 Calcul vectoriel et analyse vectorielle3.1 Calcul vectorielLe produit vectoriel c = a ∧bs’écrit en notation indicielle ciei = εijk a jbkeiOn peut montrer que (a ∧ b) ∧ c = (a ⋅ c)b − (b ⋅ c)a (a ∧ b) ⋅ (c ∧ d ) = (a ⋅ c)(b ⋅ d ) − (a ⋅ d )(b ⋅ c)3.2 Analyse vectorielleOn note d’une virgule la dérivée partielle, soit , i = ∂ . Les opérateurs exposés dans cette partie seront ∂x iexprimés dans un repère cartésien orthonormé.* Soit f une fonction scalaireLe gradient d’une fonction scalaire est un vecteur  ∂f        ∂x   1    ∂f     grad f = ∇f = f,i ei =      ∂x   2   ∂f       ∂x   3     Le laplacien d’une fonction scalaire est un scalaire ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∆ f = f,ii = + + ∂x 1 2 ∂x 2 2 ∂x 3 2* Soit v un vecteurLa divergence d’un vecteur est un scalaire ∂v1 ∂v2 ∂v3 Div v = vi,i = + + ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3Le rotationnel d’un vecteur est un vecteur  ∂v  3 ∂v 2       ∂x − ∂x   2     ∂v 3  1 ∂v 3   rot v = ∇ ∧ v = εijk vk , j ei =   −    ∂x  3 ∂x 1     ∂v   2 ∂v1    −   ∂x 1 ∂x 2      Le gradient d’un vecteur est une matriceGolay - Bonelli - 16 -
  17. 17. Notations tensorielles  ∂v ∂v1 ∂v1   1  ∂x ∂x 2 ∂x 3   1  ∂v ∂v2 ∂v2  ∇ v = vi, j ei ⊗ e j =  2   ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3   ∂v ∂v 3 ∂v 3   3    ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 Le laplacien d’un vecteur est un vecteur  2     ∂ v1 + ∂ v1 + ∂ v1  2 2   2  2   ∂x 1  ∂x 22 ∂x 3     △v   2       ∂ v2  ∂ v2 2 ∂ v2   1  2  = △v  ∆ v = vi, jj ei =  2 + +   2  ∂x  1 ∂x 22 ∂x 3    2   2   △v        ∂ v3  ∂ 2v 3 ∂ 2v 3   3    2 +  ∂x +   1   ∂x 22 ∂x 3  2   * Soit T un tenseur du second ordreLa divergence d’un tenseur est un vecteur  ∂T  11 ∂T12 ∂T13     + +    ∂x  1 ∂x 2 ∂x 3     ∂T   21 ∂T22  ∂T23    Div T = Tij , j ei =  + +   ∂x  1 ∂x 2 ∂x 3     ∂T   31 ∂T32 ∂T33     + +    ∂x 1  ∂x 2 ∂x 3    * Quelques formules utiles ( ) Div f a = f Div a + a ⋅ grad f Div (a ∧ b ) = b ⋅ rot a − a ⋅ rot b Div (rot a ) = 0 rot (grad f ) = 0 ( ) grad f g = f grad g + g grad f ( ) rot f a = f rot a + grad f ∧ a ( ) Div grad f = ∆ f rot (rot a ) = grad (Div a ) − ∆a3.3 Transformation d’intégralesSoit un domaine borné et ∂ sa frontière, de normale n .Soit φ une fonction scalaire, alors ∫∫∂ φ n dS = ∫∫∫ grad φ dVSoit A un vecteur, alors ∫∫∂ A ⋅ n dS = ∫∫∫ Div(A) dV - 17 - Golay - Bonelli
  18. 18. MMCSoit T un tenseur, alors ∫∫∂ T ⋅ n dS = ∫∫∫ Div(T ) dVSoit ∂ un domaine plan de normale n , de frontière Γ . Soit U un vecteur défini sur ce domaine. Si τ est levecteur unitaire tangent à Γ , alors ∫∫∂ rot(U ) ⋅ n dS = ∫ΓU ⋅ τ dlTous ces résultats sont issus du théorème de la divergence ∫∫∂ t jkl nl dS = ∫∫∫ t jkl ,l dV4 Formules essentielles en Mécanique des Milieux Continus4.1 Coordonnées cartésiennes orthonormées OM = xex + yey + zez* Soit v = vxex + vyey + vzez un vecteur, alors  ∂v ∂vx ∂vx   x  ∂x ∂y ∂z   ∂vi  ∂v ∂vy ∂vy  ∇(v ) = ∇v = ei ⊗ e j = vi, j ei ⊗ e j =   y ∂x j  ∂x ∂y ∂z   ∂v ∂vz ∂vz   z  ∂x ∂y ∂z   et ∂vy divv = ∂vi ∂x i ( ) = vi,i = Tr grad(v) = ∇v : I = ∂vx ∂x + ∂y + ∂vz ∂z ( ) ∆v = div ∇(v ) = ∂2vi ∂x j ∂x j ei = vi, jj ei = ∆vxex + ∆vyey + ∆vzez* Soit f une fonction scalaire, alors  ∂f     ∂x   ∂f  ∂f grad ( f ) = ∇f = ei = f,i ei =  ∂y    ∂x i  ∂f     ∂z       et ( ∆f = div grad (f ) = ) ∂2 f ∂x j ∂x j = f, jj = ∂2 f ∂2 f ∂2 f + 2 + 2 ∂x 2 ∂y ∂z    T  xx  Txy Txz   * Soit T = Tij ei ⊗ e j = T   yx  Tyy Tyz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:   T  Tzy Tzz   zx  Golay - Bonelli - 18 -
  19. 19. Notations tensorielles  ∂T  ∂Txy ∂Txz    xx     + +   ∂x  ∂y ∂z  ∂Tij  ∂T  yx ∂Tyy ∂Tyz   div(T ) = ei = Tij , j  ei =  + +   ∂x j  ∂x  ∂y ∂z    ∂T   zx ∂Tzy ∂Tzz     ∂x + ∂y + ∂z        et  ∆T ∆Txy ∆Txz  ∂ 2Tij  xx ∆T = ei ⊗ e j = Tij ,kk ei ⊗ e j = ∆Tyx ∆Tyy ∆Tyz  ∂x k ∂x k  ∆T  ∆Tzy ∆Tzz  zx 4.2 Coordonnées cylindriques ∂OM 1 ∂OM ∂OM OM = rer + zez et = er , = eθ , = ez ∂r r ∂θ ∂z d(OM ) = erdr + rd θeθ + ez dz ∂er ∂eθ ∂ez =0 , =0 , =0 ∂r ∂r ∂r ∂er ∂eθ ∂ez = eθ , = −er , =0 ∂θ ∂θ ∂θ ∂er ∂eθ ∂ez =0 , =0 , =0 ∂z ∂z ∂z* Soit v = vrer + vθeθ + vzez un vecteur, alors  ∂v     r 1  ∂vr − v  ∂vr       ∂r r  ∂θ   θ  ∂z      ∂v  ∂v   ∂v 1 θ +v   grad (v ) = ∇v =  θ   r θ   ∂r r  ∂θ   ∂z       ∂v ∂vz   z 1 ∂v z   ∂r r ∂θ ∂z   et ( ) div v = Tr ∇(v ) = ∇v : I = vr r + ∂vr ∂r + 1 ∂vθ r ∂θ ∂v + z ∂z  2 ∂vθ vr    ( )   ∆v = div ∇v = ∆vr − 2   r ∂θ     2 ∂v v   − 2 er + ∆vθ + 2 r − θ eθ + ∆vzez r     2 r ∂θ r  * Soit f une fonction scalaire, alors ∂f 1 ∂f ∂f grad( f ) = ∇f = er + eθ + e ∂r r ∂θ ∂z zet ∂2 f 1 ∂f 1 ∂2 f ∂2 f ∆f = div (∇f ) = + + 2 + 2 ∂r 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂z - 19 - Golay - Bonelli
  20. 20. MMC    T  rr  Tr θ Trz   * Soit T = T    θr Tθθ Tθz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:    T Tz θ Tzz   zr    ∂T  rr 1 ∂Tr θ ∂Trz Trr − Tθθ     + + +    ∂r  r ∂θ ∂z r    ∂T  2Tr θ    1 ∂Tθθ ∂Tθz  div(T ) =  θr + + +   ∂r  r ∂θ ∂z r    ∂T  1 ∂Tz θ ∂Tzz Tzr     zr + + +     ∂r r ∂θ ∂z r    4.3 Coordonnées sphériques ∂OM 1 ∂OM 1 ∂OM OM = rer et = er , = eθ , = eφ ∂r r ∂θ rsin θ ∂φ d(OM ) = erdr + rd θeθ + rsin θ d φ eφ ∂ er ∂eθ ∂ eφ =0 , =0 , =0 ∂r ∂r ∂r ∂er ∂eθ ∂ eφ = eθ , = −er , =0 ∂θ ∂θ ∂θ ∂er ∂eθ ∂eφ = sin θeφ , = cos θeφ , = sin θer − cos θeθ ∂φ ∂φ ∂φSoit v = vrer + vθeθ + vφeφ un vecteur, alors           ∂vr 1  ∂vr        1 1 ∂vr               − vθ         − vφ          ∂r r ∂θ         sin θ ∂φ  r                      ∂v θ 1  ∂vθ        1  1 ∂v θ         grad (v ) = ∇v =       + vr         − cotg θvφ           ∂r r  ∂θ         r  sin θ ∂φ                  1 ∂vφ 1  1 ∂v φ       ∂vφ             + cotg θvθ + v    r    ∂r r ∂θ r  sin θ ∂φ           et ∂vr vr 1 ∂vθ 1 ∂vφ v divv = ∇v : I = +2 + + cot g θ θ ∂r r r ∂θ r sin θ ∂φ r      ∆v − 2 v + 1 ∂(sin θvθ ) 1 ∂vφ    r   r +     r2    sin θ ∂θ sin θ ∂φ           ∆v + 2  ∂vr − vθ − cos θ ∂vφ   ( ) ∆v = div ∇(v ) =    θ   r 2  ∂θ   2 sin2 θ sin2 θ ∂φ              2  r  ∂v ∂vθ  vφ     ∆vφ +     + cotg θ −    r 2 sin θ  ∂φ    ∂φ 2 sin θ       Golay - Bonelli - 20 -
  21. 21. Notations tensorielles* Soit f une fonction scalaire, alors   ∂f         ∂r   1 ∂f     grad (f ) =      r ∂θ    1 ∂f       r sin θ ∂φ        et ( ∆f = div grad( f ) = ) ∂2 f ∂r 2 + 2 ∂2 f 1 + 2 cotg θ r ∂θ 2 r ∂f 1 + 2 2 ∂2 f ∂θ r sin θ ∂φ2    T rr  Tr θ Tr φ   * Soit T = T  θr Tθθ Tθφ  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:     T  φr Tφθ Tφφ          ∂Trr ∂Tr θ ∂Tr φ   ( )        +1 + 1 + 1 2Trr − Tθθ − Tφφ + Tr θ cot g θ          ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r         ∂Tθr ∂Tθθ ∂Tθφ   ( )   +1 + 1 + 1 (Tθθ − Tφφ )cotg θ + 3Tr θ   div(T ) =           ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r           ∂Tφr ∂Tφθ ∂Tφφ           ∂r +1 r ∂θ + 1 r sin θ ∂φ + 1 2Tθφcotg θ + 3Tr φ r ( )              4.4 Comment retrouver les formulesNous nous plaçons par exemple en coordonnées cylindriques. On notev = vrer + vθeθ + vzez = viei avec i = r , θ, z et , i = ∂ , 1 ∂ , ∂ ∂r r ∂θ ∂zDonc, avec cette convention eθ er er ,θ = et eθ,θ = − r rChercher le gradient d’un tenseur consiste à augmenter l’ordre de ce tenseur, soit ∇(∗∗) = (∗∗), j ⊗ e jSi on applique cette remarque à un vecteur, on obtient: ∇(v ) = (viei ), j ⊗ e jEn n’oubliant pas de dériver les vecteurs de base, car nous sommes dans un système de coordonnéescylindrique, ∇v = vi, j ei ⊗ e j + vi ei, j ⊗ e j = vi, j ei ⊗ e j + vi ei,θ ⊗ eθ = vi, j ei ⊗ e j + vr er ,θ ⊗ eθ + vθ eθ,θ ⊗ eθ vr vθ = vi, j ei ⊗ e j + eθ ⊗ eθ − er ⊗ eθ r rPour obtenir l’opérateur divergence, il suffit de contracter doublement avec le tenseur unité d’ordre 2, div(∗∗) = ∇(∗∗) : 1soit dans le cas d’un vecteur: - 21 - Golay - Bonelli
  22. 22. MMC vr vr ∂vr 1 ∂vθ ∂v div(v ) = ∇(v ) : 1 = vi,i + = + + + z r r ∂r r ∂θ ∂zet donc l’opérateur Laplacien pour un scalaire ϕ,r ∂ 2ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ = div (∇ϕ) = ϕ,ii + = + + 2 + 2 r ∂r 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂zAppliquons maintenant cette méthodologie à un tenseur d’ordre 2. ∇(T ) = (T e ij i ⊗ ej ) ,k ⊗ ek = Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei,k ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei ⊗ e j ,k ⊗ ek = Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei,θ ⊗ e j ⊗ eθ + Tij ei ⊗ e j ,θ ⊗ eθ Trj Tθ j = Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + eθ ⊗ e j ⊗ eθ − e ⊗ e j ⊗ eθ r r r T T + ir ei ⊗ eθ ⊗ eθ − iθ ei ⊗ er ⊗ eθ r rPour obtenir la trace de ce tenseur d’ordre 3 on contracte les deux derniers indices:   Tr θ Tθθ Tir   div T  = ∇(T ) : 1 = Tij , j ei + eθ − e er +     r r r i  ∂T 1 ∂Tr θ ∂Trz Tθθ Trr   =  rr   ∂r + + − + e   r ∂θ ∂z r   r  r   ∂T 1 ∂Tθθ ∂Tθz Tr θ Tθr   +  θr   + + + + e  θ  ∂r r ∂θ ∂z  r   r   ∂T 1 ∂Tz θ ∂Tzz Tzr   +  zr   + + + e   ∂r  r ∂θ ∂z r  z  On peut donc maintenant retrouver l’opérateur Laplacien d’un vecteur : ∆v = div ∇v( ) vθ vr vr ,θ v θ, θ vr ,θ − v θ, θ + = vi, jjei + eθ − r e + vi,r e er + r e − r r r r r r i θ   2 ∂v θ vr   2 ∂vr v    = ∆vr − 2  − 2 er + ∆vθ + 2  − θ  eθ + ∆vzez      r ∂θ r    r ∂θ r2   Golay - Bonelli - 22 -

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