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K : capital → pKL : travail → pLΠ = p ×y – (pKK + pLL)Max Π                      (1)sc y = K1/2L1/4            (2)Max Π = ...
Pour avoir K, on remplace L dans :            5K-1/2L1/4 = pK            5K-1/2(625 / 4pK²pL²)1/4 = pK            K = 625 ...
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TMST = αx2 / βx1 = 1/2L / 1/4K = 4/2 L / KTSMT = 2L / K2L / K = pK / pL2L / K = 12L = KContrainte : y = f(K, L) = K1/2L1/4...
2ème programme :             Min CT             TMST = p1 / p2             Sc y = f(x1, x2)III : Les fonctions de coût.   ...
• Si la fonction coût total est concave alors les rendements d’échelle sont  croissants.  • Si la fonction coût total est ...
Propriétés :• Cm coupe la courbe de coût moyen en son minimum.      CM(y) = CT(y) / y      CM’(y) = 0      CM’y = (CT(y) /...
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3) Coût marginal et maximisation du profit.   Objectif du producteur : MAX Π.   Π = RT – CT(y)   Π = py – CT(y)   Max Π = ...
p* → Q* → Max ΠIV : La fonction d’offre du producteur.Définition : la fonction d’offre va exprimer les quantités offertes ...
La fonction d’offre est une droite qui passe par 0 et qui est croissante.   La fonction d’offre est une fonction croissant...
Pour que l’entreprise fasse du profit, il est nécessaire que le prix proposé   par le marché soit supérieur au seuil de re...
CM(y) ≥ CVM      CT(y) = CV(y) + CF      CM(y) = CV(y) + CF / y = CVF(y) + CFM ≥ CVM(y)      CVM(y) = CM(y) : si l’entrepr...
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Chapitre 2 partie-2

  1. 1. Chapitre 2 : Le choix optimal du producteur.Le producteur est rationnel. Un des ses objectifs ça va être de maximiser sonprofit. Minimiser ses coûts pour une production donnée.I : La maximisation du profit. 1) Qu’est-ce que le profit ? Le profit c’est la différence entre la recette totale de l’entreprise et le coût total de cette même entreprise. Hyp : 2 inputs x1 et x2 → p1, p2. 1 output : y → p : prix de vente du produit. Recette totale : RT = prix de vente × quantité produite RT = p × y Le coût d’une entreprise : CT = coût d’utilisation de l’input 1 + coût d’utilisation de l’input 2 CT = p1x1 + p2x2 Profit : Π = py – (p1x1 + p2x2) Π = py – p1x1 – p2x2 2) Maximisation du profit. a) Cas où on a un input x1. Π = py – p1x1
  2. 2. Objectif du producteur : atteindre le profit le plus grand possiblecompte tenu de sa contrainte technologique qui est donnée par safonction de production.MAX Πs.c y = f(x1)MAX Π : Π = py – p1x1 (1)s.c y = f(x1) (2)1→2Max Π = p . f(x1) – p1x1Si on veut le maximum d’une fonction : si Π’x1 = 0dΠ / dx1 = 0 ⇒ df(x1) / dx1 = 0df(x1) / dx1 = Pm1Condition : p × Pm1 = p1p × Pm1 : valeur de la Pmp : valeur du bien 1⇔ Pm1 = p1 / pApproche graphique :Courbe d’iso profit : une courbe d’iso profit c’est l’ensemble descombinaisons d’inputs et de production qui permettent d’atteindrele même profit. Ce sont des droites.On fixe un niveau de profit .
  3. 3. Si on veut atteindre 2 > 1Est-ce que 1 est le profit maximal ? Non, on peut aussi atteindre 2 .
  4. 4. 3 : niveau de profit maximum compte tenu de sa contraintetechnologique.Au point E, la pente de la courbe d’iso profit est égale à la pente dela fonction de production.Pente de la droite d’iso profit : p1 / pPm1 : pente de la fonction de production.Pour atteindre le profit maximum : Pm1 = p1 / p.Que se passe-t-il si le prix de l’input varie ?Si le prix augmente, on aura une modification de la pente de ladroite d’iso profit : p1’ / p > p1 / p. La pente augmente.Si le prix de l’input augmente et si l’entreprise veut conserver lemême profit maximum, alors elle va réduire sa production (y’* <y*) et sa demande d’inputs (x1’* < x1*). 3 3
  5. 5. Si p1 augmente on aura 3 effets : - diminution de la production - diminution de la quantité de facteurs x1 - diminution de profit maximumb) Fonction de demande de facteurs avec un seul facteur. Fonction de demande de facteurs : c’est la quantité optimale demandée en fonction du prix du facteur lorsque l’entreprise maximise son profit. On part de la condition d’optimisation : Pm1 × p = p1 x1 en fonction de p1 ? Ex : y = Pm1 ×p = p1 Pm1 = dy / dx1 = 4 ×1/2 x11/2-1 Pm1 = 2x1-1/2 2 / x11/2 = p1 / p x11/2 ×p1 = 2p x11/2 = 2p / p1 x1 = 4p² / p1² ← fonction de demande de facteur
  6. 6. C’est la quantité d’inputs qui permet d’atteindre le profit maximum. y* = f(x1*) y* = Π* = py* - p1x1* → ΠMaxc) La maximisation du profit avec 2 variables. Π = RT – CT x1 → input 1, p1 x2 → input 2, p2 y = output p = prix output Π = p × y – (p1x1 + p2x2) Objectif : Max Π Sc : y = f(x1, x2) Max py – (p1x1 + p2x2) (1) Sc y = f(x1, x2) (2) (2) → (1) Max Π = pf(x1, x2) – (p1x1 + p2x2) Condition 1er ordre : dΠ / dx1 = 0 dΠ / dx2 = 0 p × df(x1, x2) / dx1 – p1 = 0 p × df(x1, x2) / dx2 – p2 = 0 p × Pm1 – p1 = 0 p ×Pm2 – p2 = 0 2 conditions : p × Pm1 = p1 p × Pm2 = p2 Exemple : y = f(K, L) = K1/2L1/4
  7. 7. K : capital → pKL : travail → pLΠ = p ×y – (pKK + pLL)Max Π (1)sc y = K1/2L1/4 (2)Max Π = p(K1/2L1/4) – (pKK + pLL)p × PmK = pKp × PmL = pLPmK = df(K, L) / dK = (K1/2L1/4)’K = 1/2K1/2-1L1/4PmK = 1/2K-1/2L1/4PmL = df(K, L) / dL = (K1/2L1/4)’L = 1/4K1/2L1/4-1PmL = 1/4K1/2L-3/4On suppose p = 10.10 × 1/2K-1/2L1/4 = pK10 × 1/4K1/2L-3/4 = pL5K-1/2L1/4 = pK (1)5/2K1/2L-3/4 = pL (2)Objectif : trouver les fonctions de demande, de travail et de capital.(1) × (2) :25/2 × 1 × L1/4 – ¾ = pK × pL25/2L-1/2 = pKpLL-1/2 = 2pKpL / 25L = (2pKpL / 25)-2 = (25 / 2pKpL)²L = 625 / 4pK²pL² → fonction de demande de travailC’est l’ensemble des quantités de travail qui permettent demaximiser le profit.
  8. 8. Pour avoir K, on remplace L dans : 5K-1/2L1/4 = pK 5K-1/2(625 / 4pK²pL²)1/4 = pK K = 625 / 2pK3pL → fonction de demande de capital Si on fixe pK = 5 et pL = 5. L=¼ K=½ On va produire y = 1/21/2 × 1/41/4 = ½ Πmax = 10 × ½ - (1/2 × 5 + ¼ × 5) RT CT Πmax = 1,25 umII : Minimisation du coût total pour un niveau de production donnée.Problème : le producteur souhaite atteindre un niveau de production y . Le prix de l’output est donné par le marché : p. Max Π = p y - CT La RT est fixée. A RT fixée, si le producteur veut maximiser son profit, la seule solution est de minimiser son coût total. Min CT(x1, x2) sc f(x1, x2) = y 1) Approche graphique. a) Droite d’iso-coût. Définition : c’est l’ensemble des combinaisons d’inputs qui permettent d’avoir le même coût total. Ce sont des droites qui s’appellent droites d’iso-coût. CT = c c = p1x1 + p2x2 x1 et x2 sont deux inputs. p2x2 = c - p1x1
  9. 9. x2 = c / p2 – (p1 / p2)x1 droites d’iso-coûtOrdonnées à l’origine :x1 = 0 x 2 = c / p2x2 = 0 x 1 = c / p1Pente = -p1 / p2Min CTy = f(x1, x2)
  10. 10. (x1*, x2*) → Min CT ⇒ Max Π Propriété : TMST(x1*, x2*) = pente de la tangente en chaque point de la p1 fonction de production = p2 A l’optimum : TMST = p1 / p2 TMST = Pm1 / Pm2 = p1 / p2 Conclusion : Min CT sc y = f(x1, x2) ⇔ TMST = p1 / p2 sc y = f(x1, x2) ⇒ On atteint le profit maximum.b) Sentier d’expansion. Définition : le sentier d’expansion représente l’ensemble des paniers d’inputs optimaux qui permettent de minimiser le coût total lorsque le niveau de production varie, les prix étant constants.
  11. 11. Pour avoir le sentier d’expansion : TMST = p1 / p2 ⇒ x2 = f(x1) Exemple : x1αx2β = f(x1, x2) TMST = αx2 / βx1 αx2 / βx1 = p1 / p2 ⇒ αx2 = p1/p2 βx1 x2 = (p1 / p2) • (β / α) x1c) Exemple. f(K, L) = K1/2L1/4 pK = 5 pL = 5 Min CT sc y = f(K, L)
  12. 12. TMST = αx2 / βx1 = 1/2L / 1/4K = 4/2 L / KTSMT = 2L / K2L / K = pK / pL2L / K = 12L = KContrainte : y = f(K, L) = K1/2L1/4 1/2 1/4 1/2 3/4 y = 2L L = 2 L L3/4 = y / 21/2 L = ( y / 21/2) 4/3 L = y 4/3 / 21/2×4/3 = y 4/3 / 22/3 L = y 4/3 × 2-2/3 K = 21/3 y 4/3 y =½ L = 1/24/32-2/3 = 2-4/32-2/3 = 2-6/3 = 2-2 = 1 / 2² = ¼ K = 1/2Conclusion :Max Πsc y = f(x1, x2)⇔ Min CT y = f(x1, x2)Dans le 1er programme, on cherche le niveau de production àatteindre alors que dans le 2ème production, on fixe le niveau deproduction à atteindre.Dans les 2 cas, on obtient le profit maximum.1er programme :Conditions de maximisation du profit :p × Pm1 = p1p × Pm2 = p2
  13. 13. 2ème programme : Min CT TMST = p1 / p2 Sc y = f(x1, x2)III : Les fonctions de coût. 1) Fonction de coût total. Définition : on va chercher la fonction de coût total, notée CT(y), qui, pour un ensemble de prix d’inputs donnés et pour tout niveau d’output, fait correspondre le coût minimum pour atteindre le niveau d’output y. y → CT(y) représente le coût minimum pour atteindre y. Min CT Sc y = f(x1, x2) Fonctions de demande de bien 1 et de bien 2 en fonction de y. A partir de CT(x1, x2) : CT = p1x1 + p2x2 CT(y) = p1x1(y) + p2x2(y) Exemple : f(K, L) = K1/2L1/4 L = 24/3y-2/3 K = 21/3y4/3 pK = pL = 5 CT = 5 × 21/3y4/3 + 5 × 2-2/3y4/3 CT = y4/3 (5 × 21/3 + 5 × 2-2/3) CT = 9,48y4/3 Propriétés : • Si on a des rendements d’échelle constants, alors la fonction coût total sera linéaire.
  14. 14. • Si la fonction coût total est concave alors les rendements d’échelle sont croissants. • Si la fonction coût total est convexe alors les rendements d’échelle sont décroissants. Coûts variables : CV(y), c’est l’ensemble des coûts qui dépendent du niveau de production. Coûts fixes : CF qui eux sont indépendants du niveau de production. CT(t) = CV(y) + CF2) Fonction coût moyen et coût marginal. a) Coûts moyens. CM(y) = CT(y) / y ⇒ coût en moyenne d’une unité produite. CT(y) = CF + CV(y) CM(y) = CF + CV(y) / y = CF / y + CV(y) / y CV(y) / y = CVM(y) CF / y = CFM CM(y) = CMV(y) + CFM b) Coût marginal. Définition : le coût marginal, Cm, c’est le coût engendré par la production d’une unité en plus d’output. Cm(y). Cm(y) = ΔCT(y) / Δy → cas discret Cas continu : on connaît les fonctions de coût. Cm(y) = dCT(y) / dy CT = CV(y) + CF ⇒ Cm(y) = CT’(y) = (CV(y) + CF)’y = CV’(y) Cm(y) = CV’(y) Ex : CT(y) = 1/6y3 – 3/2y² + 5y + 10 Cm(y) = 1/2y² - 3y + 5
  15. 15. Propriétés :• Cm coupe la courbe de coût moyen en son minimum. CM(y) = CT(y) / y CM’(y) = 0 CM’y = (CT(y) / y)’y = 0 u = CT(y) v=y u’ = CT’(y) v’ = 1 = Cm(y) (Cm(y) × y – CT(y) × 1) / y² = 0 yCm(y) – CT(y) = 0 yCm(y) = CT(y) Cm(y) = CT(y) / y = CM(y) Conclusion : lorsque le coût moyen est minimum, Cm(y) = CM(y).• Le Cm coupe la courbe de CVM en son minimum. (CVM)’ = 0 (CV / y)’ = 0
  16. 16. (CV’(y) – CVy’) / y² = 0 CV’(y) – CV = 0 Cm × y = CV Cm = CV / y = CVM• CM et économie d’échelle :Lorsque la production augmente, le coût unitaire diminue :économies d’échelle.Lorsque la production augmente, le coût unitaire augmente :déséconomies d’échelle.• Rendements d’échelle et Cm :On peut montrer que lorsque le rendement d’échelle est constant, lecoût marginal est également constant.Lorsque le rendement d’échelle est croissant, le coût marginal estdécroissant.Lorsque le rendement d’échelle est décroissant, le coût marginal estcroissant.
  17. 17. 3) Coût marginal et maximisation du profit. Objectif du producteur : MAX Π. Π = RT – CT(y) Π = py – CT(y) Max Π = py – CT(y) Π’y = 0 (py – CT(y))’y = 0 p – CT’(y) = 0 p – Cm(y) = 0 Le profit sera maximum lorsque p = Cm(y). • Si le prix (ce que rapporte une unité de bien) est inférieur au coût marginal (coût d’une unité supplémentaire produite) ⇒ il faut produire jusqu’à ce que p = Cm
  18. 18. p* → Q* → Max ΠIV : La fonction d’offre du producteur.Définition : la fonction d’offre va exprimer les quantités offertes par l’entreprisepar rapport au prix lorsque l’entreprise maximise son profit. Y = S(p) 1) Détermination de la fonction d’offre. Pour avoir la fonction d’offre du producteur : Max Π ⇒p = Cm(y) ⇒y = S(p) = Cm-1(y) Cm-1(y) : fonction inverse de Cm Ex : CT = 1/4y² + 2 Cm = (1/4y² + 2)’y ⇒ Cm = 1/2y Max Π : Cm = p 1/2y = p ⇒ la fonction d’offre est y = S(p). 1/2y = p ⇒ y = 2p
  19. 19. La fonction d’offre est une droite qui passe par 0 et qui est croissante. La fonction d’offre est une fonction croissante des prix.2) Seuil de rentabilité. Définition : le seuil de rentabilité correspond au prix en dessous duquel le profit de l’entreprise devient négatif ou le prix pour lequel le profit de l’entreprise est nul. On veut le prix de l’output tel que Π = 0. RT – CT = 0 py – CT(y) = 0 py = CT(y) p = CM(y) SR est atteint lorsque le prix de l’output devient égal au coût moyen de l’entreprise. Si pour p = CM(y) ⇒ MAX Π ⇒ p = Cm SR : Cm = CM(y) pour le minimum de CM. Le SR c’est le prix qui égalise le Cm et le CM ou encore c’est le minimum du coût moyen.
  20. 20. Pour que l’entreprise fasse du profit, il est nécessaire que le prix proposé par le marché soit supérieur au seuil de rentabilité.3) Seuil de fermeture. Définition : c’est le prix en dessous duquel l’entreprise décide d’arrêter la production. Π = RT – CT = RT(y) – (CV(y) + CF) = RT(y) – CV(y) – CF = 0 – 0 – CF Π = - CF Il va produire si Π(y, p) > -CF py – CV(y) – CF > -CF py – CV(y) > 0 py > CV(y) p > CV(y) / y p > CVM(y) Le SF est atteint lorsque p = CVM(y) Le profit maximum est atteint pour p = Cm. SF est donné pour Cm(y) = CVM(y) L’offre du producteur est définie à partir du seuil de fermeture. Si p < SF y = S(p) = 0 Si p > SF y = S(p)
  21. 21. CM(y) ≥ CVM CT(y) = CV(y) + CF CM(y) = CV(y) + CF / y = CVF(y) + CFM ≥ CVM(y) CVM(y) = CM(y) : si l’entreprise n’a pas de CF Dans ce cas SF = SR La fonction d’offre c’est la partie croissante de la courbe de coût marginal située au-dessus du seuil de fermeture.V : Exemple.CT(y) = y3 – 8y² + 30y + 5CM(y) = CT(y) / y = y² - 8y + 30 + 5/yy² - 8y + 30 = CVM5/y = CFMCVM = y² - 8y + 30
  22. 22. SF : min CVM ou Cm = CVMCVM’y = 0(y² - 8y + 30)’y = 2y – 8 = 0 ⇔ 2y = 8 ⇔ y = 4 → quantité produite parl’entreprise qui permet d’atteindre le seuil de fermeture.p = Cm(y)p = Cm(4) : SF = CVM(4)CVM(4) = 4² - 8 × 4 + 30 = 16 – 32 + 30 = 14 → prix qui correspond au SF.La fonction d’offre sera définie pour tout p ≥ 14p = Cm(y)Cm(y) = Ct’y = (y3 - 8y² + 30y + 5)’y = 3y² - 16y + 30p = Cm(y) ⇒ y = S(p) ?3y² - 16y + 30 = p3y² - 16y + (30 – p) = 0Δ = 16² - 4 × 3 × (30 - p) = 16² - 12(30 – p)y1 = (16 + sqrt(16² - 12(30 – p)) / 6 = (16 + sqrt(256 – 12(30 – p)) / 6 = (16 + sqrt(256 – 360 + 12p)) / 6 = (16 + sqrt(4(3p – 26))) / 6 = (16 + 2sqrt(3p-26)) / 6y2 = (16 - sqrt(16² - 12(30 – p)) / 6 = (16 - 2sqrt(3p-26)) / 6y = (16 + sqrt(3p – 26)) / 6 → production la plus grandeSi p < 14 y=0Si p ≥ 14 y = (8 + sqrt(3p - 26)) / 3

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