ความน่าจะเป็น
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

ความน่าจะเป็น

on

  • 9,824 vues

ความน่าจะเป็น การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

ความน่าจะเป็น การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

Statistiques

Vues

Total des vues
9,824
Vues sur SlideShare
8,971
Vues externes
853

Actions

J'aime
1
Téléchargements
92
Commentaires
0

3 Ajouts 853

http://ampmaths.wordpress.com 850
https://ampmaths.wordpress.com 2
http://webcache.googleusercontent.com 1

Accessibilité

Catégories

Détails de l'import

Uploaded via as Adobe PDF

Droits d'utilisation

© Tous droits réservés

Report content

Signalé comme inapproprié Signaler comme inapproprié
Signaler comme inapproprié

Indiquez la raison pour laquelle vous avez signalé cette présentation comme n'étant pas appropriée.

Annuler
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Êtes-vous sûr de vouloir
    Votre message apparaîtra ici
    Processing...
Poster un commentaire
Modifier votre commentaire

ความน่าจะเป็น Document Transcript

  • 1. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com ความน่าจะเป็นกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับกฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทางานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทาได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สองได้อีก n2 วิธี จานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1n2 วิธีกฎข้อที่ 2 การทางานหลายอย่าง ถ้าทางานอย่างแรกมีวิธีทาได้ n1 วิธี ซึ่งในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกมีวิธีที่จะทางานอย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกและงานอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สามได้อีก n3 วิธีเป็นดังนี้ต่อๆ ไป จานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทางาน k อย่างจะเท่ากับ n1n2n3…nk วิธีการคูณ มักมีคาว่า “และ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมี k ขั้นตอนต่อเนื่องกัน ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี ขั้นตอนที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธีขั้นตอนที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธีดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมดเท่ากับ m1m2m3…mk วิธีการบวก มักมีคาว่า “หรือ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมีหลายแบบ และในแต่ละแบบไม่ต่อเนื่องกัน แบบที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี แบบที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี แบบที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธีแบบที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธีดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมด = m1+m2+m3+…+mk วิธีตัวอย่างที่ 1 นาย ก มีกางเกง 2 ตัว เสื้อ 4 ตัว และถุงเท้า 3 คู่ อยากทราบว่าเขาจะมีจานวนการแต่งกาย ด้วยกางเกง เสือ และถุงเท้าได้กีชุด ้ ่วิธีทาตัวอย่างที่ 2 ในการรับประทานอาหารครั้งหนึ่ง มีอาหารคาว 5 อย่าง ของหวาน 3 อย่าง และเครื่องดื่ม 4 ชนิด อยากทราบว่า พี่แอมจะรับประทานอาหารชนิดละ 1 อย่าง พี่แอมจะรับประทานอาหารในครั้งนี้ได้กี่วิธีวิธีทาตัวอย่างที่ 3 เป้ มีกางเกง 2 สี คือสีเขียวและสีแดง มีเสื้อ 4 สี คือสีขาว, สีแดง, สีเหลือง, และสีชมพู 3.1 เป้จะเลือกแต่งตัวได้กี่แบบโดยสามารถใส่เสื้อและกางเกงคู่ไหนก็ได้ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3.2 ถ้าเป้ไม่ใส่เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน เป้จะแต่งตัวได้กี่แบบ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 1
  • 2. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comตัวอย่างที่ 4 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 6 ถ้านามาจัดเป็นเลข 4 หลัก จะมีกี่จานวนที่เป็นจานวนคู่ (ใช้ตัวเลขไม่ซ้ากัน)………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………ตัวอย่างที่ 55.1 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่ง ได้กี่วิธี 5.2 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่งได้กี่วิธี………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………5.3 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี 5.4 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………ตัวอย่างที่ 6 ให้ S = {0, 1, 2, 3, …, 9} จะสร้างจานวนเต็มบวก โดยใช้ตัวเลขจากเซต S ได้กี่จานวน6.1 จานวนเต็มบวก 4 หลัก 6.2 จานวนเต็มบวก 4 หลัก เป็นจานวนเต็มหลักสิบ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………6.3 จานวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก 6.4 จานวนเต็มคู่บวก 4 หลัก………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………ตัวอย่างที่ 7 มีเรือโดยสารข้ามฟากระหว่างท่าคลองสานกับท่าสี่พระยา 2 ขนาด คือ เรือขนาดใหญ่ 3 ลา และเรือขนาดเล็ก5 ลา ถ้าดารงซึ่งพักอยู่ทางฝั่งคลองสานต้องใช้เรือข้ามฟากจากคลองสานไปสี่พระยาทั้งไปและกลับทุกวัน ดารงจะเลือกลงเรือโดยสารไปและกลับได้กี่วิธี ถ้า7.1. ไปและกลับด้วยเรือขนาดใหญ่ 7.2 ไปและกลับด้วยเรือขนาดเล็ก 7.3 ไปด้วยเรือขนาดใหญ่ และกลับ…………………………………………………………….. ………………………………………………. ด้วยเรือขนาดเล็ก…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. 2
  • 3. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comทดสอบฝีมือ จ้ะ1. จะจัดชาย 4 คน และหญิง 4 คน เข้าแถวตรงได้กี่วิธี ถ้าให้ชายและหญิงยืนสลับกัน2. จากคา “CHULA” ถ้านาตัวอักษรจากคานี้มาจัดเป็นคาใหม่ (โดยไม่คานึงถึงความหมาย) จะได้กี่คา (ไม่นับคาเดิม)3. ต้องการสร้างคาจากตัวอักษรของคาว่า mathematics โดยสร้างคาที่ประกอบไปด้วยตัวอักษร 4 ตัว ไม่ซ้ากัน และคาที่สร้างขึ้นมาไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จงหาจานวนคาทั้งหมดเมื่อ 3.1 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวจะเป็นตัวใดก็ได้ 3.2 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวเป็นพยัญชนะล้วน…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. 3.3 คาที่สร้างขึ้นต้นด้วยสระและลงท้ายด้วยพยัญชนะ 3.4 คานั้นต้องมีสระอย่างน้อย 1 ตัว…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….แฟกทอเรียล (Factorial) คือผลคูณของเลขจานวนเต็มบวกที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า “แฟกทอเรียล n” หรือ “n แฟกทอเรียล”ข้อสังเกต อาจเขียน n! ในรูปผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 1 หรือ จานวนเต็มทีมากกว่า 1 ก็ได้ ่นั่นคือ n! = 1 x 2 x 3 x … x n หรือ n! = n(n-1)(n-2)…321 หรือ n! = n(n-1)(n-2)…(n-r)! เมื่อ r < nเช่น 7! = 1234567 หรือ 7! = 7654321 หรือ 7! = 765!ตัวอย่าง 8 จงเขียนแฟกทอเรียลต่อไปนี้ในรูปผลคูณ1. 0! = 12. 1! = 13. 2! = 2x1 =24. 3! = 3x2x1 =65. 4! = 4x3x2x1 = 246. 5! =………………………………………………………………………………………………………………………6. n! =………………………………………………………………………………………………………………………7. (n+1)! = ………………………………………………………………………………………………………………8. (n-2)! = ………………………………………………………………………………………………………………9. (n+r)! = …………………………………………………………………………………………………………….. 3
  • 4. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าแฟกทอเรียลต่อไปนี้ 4! 12! 9.1 = 9.2 = 3! 10! 5! 11! 9.3 = 9.4 = 6! 12! n! n+1 ! 9.5 = 9.6 = n-1 ! n-3 ! 41! 6! n-3 ! n-5 ! 9.7 + = 9.8 = 39! 2!3! n-4 ! n-6 !ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้ n! n! 10.1 = 10 10.2 = 72 n-1 ! n-2 !…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n! n+1 !10.3 =156 10.4 =420 n-2 ! n-1 !…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n+2 ! n+1 n! 10.5 10(n - 3)!n! = (n - 2)!(n + 1)! 10.6 =4! n-1 ! (n+1)!…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. วิธีเรียงสับเปลี่ยน 4
  • 5. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) หมายถึง การเรียงลาดับสิ่งของจานวนหนึ่งโดยเรียงครั้งละกี่สิ่งก็ได้ ขึ้นอยู่กับรูปแบบการจัดเรียงสิ่งของ 1. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรงกฎข้อที่ 3 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด n! วิธี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, n= n!ตัวอย่างที่ 9 มีนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงเป็นแถวตรง จงหาจานวนวิธีจัดนักเรียนทั้งหมด โดยที่ 9.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 9.2 เพศเดียวกันยืนติดกัน 9.3 ชายและหญิงยืนสลับที่ทีละ 1 คนข้อสังเกต ชาย n คน หญิง n คน นามาจัดสลับแนวตรงทีละ r คน (จะจัดได้เมื่อ r หาร n ลงตัว) จานวนวิธีจดเท่ากับ 2n!n! หรือ 2(n!)2 วิธี ั 2. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง n!กฎข้อที่ 4 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด วิธี n-r ! n! เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, r = n-r !ตัวอย่างที่ 10 กาหนดเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะสร้างจานวนที่มี 5 หลัก โดยที่แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ากันจะสร้างได้ทั้งหมดกี่จานวน โดยที่ 10.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 10.2 แต่ละหลักสลับเลขคี่และเลขคู่ 3. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด 5
  • 6. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comกฎข้อที่ 5 มีสิ่งของ n สิ่ง แบ่งเป็น k กลุ่ม ในแต่ละกลุ่มมีสิ่งของเหมือนกัน ดังนี้ กลุ่มที่ 1 มีของเหมือนกัน n1 สิ่ง กลุ่มที่ 2 มีของเหมือนกัน n2 สิ่ง กลุ่มที่ 3 มีของเหมือนกัน n3 สิ่ง . . . . . . กลุ่มที่ k มีของเหมือนกัน nk สิ่ง โดยที่ n1 + n2 + n3 + … + nk = n n! จะได้จานวนวิธีจัด n1 !n2 !n3 !…nk !ตัวอย่างที่ 11 ต้องการสร้างคาจากคาว่า “fibonacci” โดยไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คา โดยที่ 11.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 11.2 อักษร c อยู่ติดกัน 11.3 อักษร c อยู่ริม 4. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลมกฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นามาจัดเรียงเป็นวงกลม (พลิกไม่ได้) จะจัดได้ทั้งหมด (n-1)! วิธีตัวอย่างที่ 12 ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูกอีก 4 คน นามาจัดให้ยืนเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี โดยที่ 12.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 12.2 พ่อและแม่ยืนติดกัน และลูกทั้งสี่คนยืนติดกัน 12.3 พ่อและแม่ยืนไม่ติดกัน (n-1)!ตัวอย่างที่ 13 มีมีดของ n สิ่งที่ต่างกันดอกละ ด1เรีสีงเป็ามาร้อยเป็นพวงมาลัย ดได้ทั้งกี่วิธี โดยที่ หมายเหตุ ถ้า สิ่ง อกไม้ 10 ดอก นามาจั ย น นวงกลม (ที่พลิกได้) จะจั จะได้ หมด 2 6
  • 7. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com 13.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 13.2 ดอกไม้สีชมพูและสีเหลืองอยู่ติดกัน วิธีจัดหมู่หรือวิธีการเลือกกฎข้อที่ 7 ถ้ามีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นามาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง (0  r  n) จะจัดได้ n n! Cn, r = = r n-r !r!ตัวอย่างที่ 14 กาหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหา 14.1 จานวนส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมระหว่าง 2 จุด 14.2 จานวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม 14.3 จานวนเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม ความน่าจะเป็นการทดลองสุ่ม (random experiment) คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้นแซมเปิลสเปซ (sample space) คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม โดยจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน แทนด้วย n(S)เหตุการณ์ (event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ หรือ คือเหตุการณ์ที่เราสนใจตามเงื่อนไข โดย จานวนสมาชิกของเหตุการณ์ แทนด้วย n(E)ตัวอย่างที่ 15 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมของของลูกเต๋าทั้งสองลูก จงเขียน 15.1 แซมเปิลสเปซ และ n(S) 15.2 E1 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคี่ 15.2 E2 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมีค่าน้อยกว่า 7ความน่าจะเป็น (Probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจานวนสมาชิก 7
  • 8. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน ให้ n(E) แทนจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ n(S) แทนจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E n(E) จะได้ P(E) = n(S)ตัวอย่างที่ 16 ต้องการสร้างคาที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จากคาว่า “lofrance” โดยไม่คานึงถึงความหมายจงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 16.1 อักษรตัวแรกเป็นสระ 16.2 อักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายเป็นพยัญชนะ 16.3 คาที่ประกอบด้วยสระ 2 ตัวอยู่ติดกันตัวอย่างที่ 17 ถ้าสุ่มหยิบลูกปิงปอง 3 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีส้ม 4 ลูก และสีขาว 7 ลูกความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกปิงปองสีส้มทั้ง 3 ลูก เป็นเท่าใด 8