ความน่าจะเป็น
Prochain SlideShare
Loading in...5
×

Vous aimez ? Partagez donc ce contenu avec votre réseau

Partager

ความน่าจะเป็น

  • 10,234 vues
Uploaded on

ความน่าจะเป็น การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

ความน่าจะเป็น การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Êtes-vous sûr de vouloir
    Votre message apparaîtra ici
    Be the first to comment
No Downloads

Vues

Total des vues
10,234
Sur Slideshare
9,370
From Embeds
864
Nombre d'ajouts
3

Actions

Partages
Téléchargements
101
Commentaires
0
J'aime
1

Ajouts 864

http://ampmaths.wordpress.com 853
https://ampmaths.wordpress.com 10
http://webcache.googleusercontent.com 1

Signaler un contenu

Signalé comme inapproprié Signaler comme inapproprié
Signaler comme inapproprié

Indiquez la raison pour laquelle vous avez signalé cette présentation comme n'étant pas appropriée.

Annuler
    No notes for slide

Transcript

  • 1. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com ความน่าจะเป็นกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับกฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทางานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทาได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สองได้อีก n2 วิธี จานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1n2 วิธีกฎข้อที่ 2 การทางานหลายอย่าง ถ้าทางานอย่างแรกมีวิธีทาได้ n1 วิธี ซึ่งในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกมีวิธีที่จะทางานอย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกและงานอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สามได้อีก n3 วิธีเป็นดังนี้ต่อๆ ไป จานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทางาน k อย่างจะเท่ากับ n1n2n3…nk วิธีการคูณ มักมีคาว่า “และ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมี k ขั้นตอนต่อเนื่องกัน ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี ขั้นตอนที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธีขั้นตอนที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธีดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมดเท่ากับ m1m2m3…mk วิธีการบวก มักมีคาว่า “หรือ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมีหลายแบบ และในแต่ละแบบไม่ต่อเนื่องกัน แบบที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี แบบที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี แบบที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธีแบบที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธีดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมด = m1+m2+m3+…+mk วิธีตัวอย่างที่ 1 นาย ก มีกางเกง 2 ตัว เสื้อ 4 ตัว และถุงเท้า 3 คู่ อยากทราบว่าเขาจะมีจานวนการแต่งกาย ด้วยกางเกง เสือ และถุงเท้าได้กีชุด ้ ่วิธีทาตัวอย่างที่ 2 ในการรับประทานอาหารครั้งหนึ่ง มีอาหารคาว 5 อย่าง ของหวาน 3 อย่าง และเครื่องดื่ม 4 ชนิด อยากทราบว่า พี่แอมจะรับประทานอาหารชนิดละ 1 อย่าง พี่แอมจะรับประทานอาหารในครั้งนี้ได้กี่วิธีวิธีทาตัวอย่างที่ 3 เป้ มีกางเกง 2 สี คือสีเขียวและสีแดง มีเสื้อ 4 สี คือสีขาว, สีแดง, สีเหลือง, และสีชมพู 3.1 เป้จะเลือกแต่งตัวได้กี่แบบโดยสามารถใส่เสื้อและกางเกงคู่ไหนก็ได้ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3.2 ถ้าเป้ไม่ใส่เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน เป้จะแต่งตัวได้กี่แบบ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 1
  • 2. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comตัวอย่างที่ 4 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 6 ถ้านามาจัดเป็นเลข 4 หลัก จะมีกี่จานวนที่เป็นจานวนคู่ (ใช้ตัวเลขไม่ซ้ากัน)………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………ตัวอย่างที่ 55.1 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่ง ได้กี่วิธี 5.2 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่งได้กี่วิธี………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………5.3 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี 5.4 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………ตัวอย่างที่ 6 ให้ S = {0, 1, 2, 3, …, 9} จะสร้างจานวนเต็มบวก โดยใช้ตัวเลขจากเซต S ได้กี่จานวน6.1 จานวนเต็มบวก 4 หลัก 6.2 จานวนเต็มบวก 4 หลัก เป็นจานวนเต็มหลักสิบ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………6.3 จานวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก 6.4 จานวนเต็มคู่บวก 4 หลัก………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………ตัวอย่างที่ 7 มีเรือโดยสารข้ามฟากระหว่างท่าคลองสานกับท่าสี่พระยา 2 ขนาด คือ เรือขนาดใหญ่ 3 ลา และเรือขนาดเล็ก5 ลา ถ้าดารงซึ่งพักอยู่ทางฝั่งคลองสานต้องใช้เรือข้ามฟากจากคลองสานไปสี่พระยาทั้งไปและกลับทุกวัน ดารงจะเลือกลงเรือโดยสารไปและกลับได้กี่วิธี ถ้า7.1. ไปและกลับด้วยเรือขนาดใหญ่ 7.2 ไปและกลับด้วยเรือขนาดเล็ก 7.3 ไปด้วยเรือขนาดใหญ่ และกลับ…………………………………………………………….. ………………………………………………. ด้วยเรือขนาดเล็ก…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….…………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. 2
  • 3. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comทดสอบฝีมือ จ้ะ1. จะจัดชาย 4 คน และหญิง 4 คน เข้าแถวตรงได้กี่วิธี ถ้าให้ชายและหญิงยืนสลับกัน2. จากคา “CHULA” ถ้านาตัวอักษรจากคานี้มาจัดเป็นคาใหม่ (โดยไม่คานึงถึงความหมาย) จะได้กี่คา (ไม่นับคาเดิม)3. ต้องการสร้างคาจากตัวอักษรของคาว่า mathematics โดยสร้างคาที่ประกอบไปด้วยตัวอักษร 4 ตัว ไม่ซ้ากัน และคาที่สร้างขึ้นมาไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จงหาจานวนคาทั้งหมดเมื่อ 3.1 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวจะเป็นตัวใดก็ได้ 3.2 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวเป็นพยัญชนะล้วน…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. 3.3 คาที่สร้างขึ้นต้นด้วยสระและลงท้ายด้วยพยัญชนะ 3.4 คานั้นต้องมีสระอย่างน้อย 1 ตัว…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….แฟกทอเรียล (Factorial) คือผลคูณของเลขจานวนเต็มบวกที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า “แฟกทอเรียล n” หรือ “n แฟกทอเรียล”ข้อสังเกต อาจเขียน n! ในรูปผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 1 หรือ จานวนเต็มทีมากกว่า 1 ก็ได้ ่นั่นคือ n! = 1 x 2 x 3 x … x n หรือ n! = n(n-1)(n-2)…321 หรือ n! = n(n-1)(n-2)…(n-r)! เมื่อ r < nเช่น 7! = 1234567 หรือ 7! = 7654321 หรือ 7! = 765!ตัวอย่าง 8 จงเขียนแฟกทอเรียลต่อไปนี้ในรูปผลคูณ1. 0! = 12. 1! = 13. 2! = 2x1 =24. 3! = 3x2x1 =65. 4! = 4x3x2x1 = 246. 5! =………………………………………………………………………………………………………………………6. n! =………………………………………………………………………………………………………………………7. (n+1)! = ………………………………………………………………………………………………………………8. (n-2)! = ………………………………………………………………………………………………………………9. (n+r)! = …………………………………………………………………………………………………………….. 3
  • 4. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าแฟกทอเรียลต่อไปนี้ 4! 12! 9.1 = 9.2 = 3! 10! 5! 11! 9.3 = 9.4 = 6! 12! n! n+1 ! 9.5 = 9.6 = n-1 ! n-3 ! 41! 6! n-3 ! n-5 ! 9.7 + = 9.8 = 39! 2!3! n-4 ! n-6 !ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้ n! n! 10.1 = 10 10.2 = 72 n-1 ! n-2 !…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n! n+1 !10.3 =156 10.4 =420 n-2 ! n-1 !…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n+2 ! n+1 n! 10.5 10(n - 3)!n! = (n - 2)!(n + 1)! 10.6 =4! n-1 ! (n+1)!…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. วิธีเรียงสับเปลี่ยน 4
  • 5. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) หมายถึง การเรียงลาดับสิ่งของจานวนหนึ่งโดยเรียงครั้งละกี่สิ่งก็ได้ ขึ้นอยู่กับรูปแบบการจัดเรียงสิ่งของ 1. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรงกฎข้อที่ 3 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด n! วิธี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, n= n!ตัวอย่างที่ 9 มีนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงเป็นแถวตรง จงหาจานวนวิธีจัดนักเรียนทั้งหมด โดยที่ 9.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 9.2 เพศเดียวกันยืนติดกัน 9.3 ชายและหญิงยืนสลับที่ทีละ 1 คนข้อสังเกต ชาย n คน หญิง n คน นามาจัดสลับแนวตรงทีละ r คน (จะจัดได้เมื่อ r หาร n ลงตัว) จานวนวิธีจดเท่ากับ 2n!n! หรือ 2(n!)2 วิธี ั 2. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง n!กฎข้อที่ 4 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด วิธี n-r ! n! เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, r = n-r !ตัวอย่างที่ 10 กาหนดเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะสร้างจานวนที่มี 5 หลัก โดยที่แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ากันจะสร้างได้ทั้งหมดกี่จานวน โดยที่ 10.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 10.2 แต่ละหลักสลับเลขคี่และเลขคู่ 3. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด 5
  • 6. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comกฎข้อที่ 5 มีสิ่งของ n สิ่ง แบ่งเป็น k กลุ่ม ในแต่ละกลุ่มมีสิ่งของเหมือนกัน ดังนี้ กลุ่มที่ 1 มีของเหมือนกัน n1 สิ่ง กลุ่มที่ 2 มีของเหมือนกัน n2 สิ่ง กลุ่มที่ 3 มีของเหมือนกัน n3 สิ่ง . . . . . . กลุ่มที่ k มีของเหมือนกัน nk สิ่ง โดยที่ n1 + n2 + n3 + … + nk = n n! จะได้จานวนวิธีจัด n1 !n2 !n3 !…nk !ตัวอย่างที่ 11 ต้องการสร้างคาจากคาว่า “fibonacci” โดยไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คา โดยที่ 11.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 11.2 อักษร c อยู่ติดกัน 11.3 อักษร c อยู่ริม 4. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลมกฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นามาจัดเรียงเป็นวงกลม (พลิกไม่ได้) จะจัดได้ทั้งหมด (n-1)! วิธีตัวอย่างที่ 12 ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูกอีก 4 คน นามาจัดให้ยืนเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี โดยที่ 12.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 12.2 พ่อและแม่ยืนติดกัน และลูกทั้งสี่คนยืนติดกัน 12.3 พ่อและแม่ยืนไม่ติดกัน (n-1)!ตัวอย่างที่ 13 มีมีดของ n สิ่งที่ต่างกันดอกละ ด1เรีสีงเป็ามาร้อยเป็นพวงมาลัย ดได้ทั้งกี่วิธี โดยที่ หมายเหตุ ถ้า สิ่ง อกไม้ 10 ดอก นามาจั ย น นวงกลม (ที่พลิกได้) จะจั จะได้ หมด 2 6
  • 7. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com 13.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 13.2 ดอกไม้สีชมพูและสีเหลืองอยู่ติดกัน วิธีจัดหมู่หรือวิธีการเลือกกฎข้อที่ 7 ถ้ามีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นามาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง (0  r  n) จะจัดได้ n n! Cn, r = = r n-r !r!ตัวอย่างที่ 14 กาหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหา 14.1 จานวนส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมระหว่าง 2 จุด 14.2 จานวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม 14.3 จานวนเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม ความน่าจะเป็นการทดลองสุ่ม (random experiment) คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้นแซมเปิลสเปซ (sample space) คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม โดยจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน แทนด้วย n(S)เหตุการณ์ (event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ หรือ คือเหตุการณ์ที่เราสนใจตามเงื่อนไข โดย จานวนสมาชิกของเหตุการณ์ แทนด้วย n(E)ตัวอย่างที่ 15 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมของของลูกเต๋าทั้งสองลูก จงเขียน 15.1 แซมเปิลสเปซ และ n(S) 15.2 E1 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคี่ 15.2 E2 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมีค่าน้อยกว่า 7ความน่าจะเป็น (Probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจานวนสมาชิก 7
  • 8. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.comของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน ให้ n(E) แทนจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ n(S) แทนจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E n(E) จะได้ P(E) = n(S)ตัวอย่างที่ 16 ต้องการสร้างคาที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จากคาว่า “lofrance” โดยไม่คานึงถึงความหมายจงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 16.1 อักษรตัวแรกเป็นสระ 16.2 อักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายเป็นพยัญชนะ 16.3 คาที่ประกอบด้วยสระ 2 ตัวอยู่ติดกันตัวอย่างที่ 17 ถ้าสุ่มหยิบลูกปิงปอง 3 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีส้ม 4 ลูก และสีขาว 7 ลูกความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกปิงปองสีส้มทั้ง 3 ลูก เป็นเท่าใด 8