las leyes de los triángulos para resolver problemas de estática y dinámica

1. Geometr´ıa Anal´ıtica I
Lectura 7
Ayudante: Guilmer Gonz´alez D´ıa 30 de septiembre, 2008
El d´ıa de hoy veremos:
0. Sobre el tema de vectores. Comentarios.
1. La ley del tri´angulo.
2. Algunos ejercicios.
1 La ley del tri´angulo
Por tres puntos en el plano, podemos contruir un tri´angulo. Por tres puntos
en el plano podemos contruir dos vectores. Tomemos los puntos A, B y C
construyamos los vectores u y v que parten de A hacia B y C respectivamente,
tracemos el paralelogramo para formar el vector w suma de los dos anteriores
w = u + v. Qui´en es el vector z = u − v?
Figura 1: Suma y diferencia de vectores.
Preguntar a alguien en el sal´on y hacerlo
Ahora observe el tri´angulo ABC formado por esos puntos, y los vectores
AB, BC y CA, observe que se cumple:
1

2. AB + BC + CA = 0
es decir, el tri´angulo se cierra.
Esta propiedad ser´a elementa para muchos ejercicios que usaremos. Por
ejemplo, si tres vectores ocurre que su suma es cero, entonces forman un
tri´angulo. Esta es lo que se conoce como la ley del tri´angulo.
2 Algunos ejercicios
Ejercicio 1: Demuestre que con las medianas de cualquier tri´angulo se puede
construir otro.
Figura 2: Un tri´angulo y sus medianas.
Consideremos el vector a que parte de A hacia el punto medio de su lado
opuesto D, el vector b que parte de B hacia E y el vector c que parte de
C a F. Se forman tres vectores, si con ellos debemos formar un tri´angulo,
atendiendo a la ley del tri´angulo, debemos mostrar que su suma es cero.
Debido a la notaci´on que hemos usado, tenemos que
u + v + w
Observe que
a = u +
1
2
v
2

3. y de manera an´aloga, tenemos que
b = v +
1
2
w
c = w +
1
2
u
haciendo la suma,
a + b + c = u + v + w +
1
2
(u + v + w)
= 0
pues u, v, w, son vectores del tri´angulo ABC. Luego, las medianas forman
un tri´angulo.
Ejercico 2: Consideremos un oct´agono
Encuentre el vector
PQ + QR + RS + ST + TU + UV + V W + WP
Lo anterior se conoce como regla del ciclo, ya que en general, podemos con-
siderar una colecci´on de puntos en el plano que formen o bien un pol´ıgono
convexo o cruzado y poder en ambos casos observar esta propiedad (si la
region poligonal no se cierra, la suma es el vector que une el ´ultimo punto
con el primero).
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4. Encuentre de manera gr´afica (por dibujo) y anal´ıtica el vector
H = PQ + PR + PS + PT + PU + PV + PW
Ejercicio 3: Considere un hex´agono como en la figura
hallar la suma de los vectores
OA + OB + OC + OD + OE + OF.
Observe que se le ha asignado una direcci´on a los vectores en la figura. Si
esto no es as´ı, el resultado puede ser otro.
Como resultado previo, en un hex´agono regular, las diagonales cruzan en
O y parten a la diagonal en dos, por lo que se observa que OA = −OD, por
nombrar una diagonal. Dicutir este punto que ser´a esencial.
De manera an´aloga, observaremos que OC = −OF y OB = −OE. Con
esto, se observa que OA+OD = 0, OC +OF = 0, OB +OE = 0, y entonces
se observa el resultado.
Observe que en el hex´agono regular se cumple
AD + EB + CF = 0
Ejercicio 4: Considere un cuadril´atero ABCD en el espacio o en el plano,
sea M el punto medio del segmento ¯AB, N el punto medio del segmento ¯N.
Sea O el punto medio del segmento ¯MN. Demuestre que:
4

5. a) OA + OB + OC + OD = 0
b) MN + MN = BC + AD
Hacer este ejercicio en la pizarra
Ejercicio 5: Muestre que en cualquier cuadril´atero, si se unen los puntos
medios de los segmentos adyacentes, se forma un paralelogramo.
Figura 3: Un paralelogramo a partir de cualquier cuadril´atero.
Lo interesante de ´este ejercicio, es que no importa si el cuadril´atero es no
convexo, por igual se forma un paralelogramo.
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