Bahan ajar matematika dasar universitas

1
EDISI REVISI
BAHAN AJAR
Matematika Dasar
Disusun oleh
Tim Dosen
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2012

2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Mata kuliah ini membahas tentang sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar
kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear, fungsi
dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral.
B. Prasyarat
-
C. Petunjuk Belajar
Dalam perkuliahan ini, beberapa metode akan digunakan yaitu ceramah, tanya jawab,
dan diskusi. Metode ceramah dan tanya jawab akan digunakan dalam penyajian materi.
Sedangkan untuk meningkatkan pemahaman materi mahasiswa dibentuk kelompok.
Mahasiswa diberikan soal-soal latihan untuk diselesaikan dan ada soal yang dikerjakan
secara individu dan ada pula soal yang dikerjakan dengan berdiskusi bersama teman dalam
kelompoknya.
D. Kompetensi Dasar dan Indikator
D.1 Kompetensi
Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak,
akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear,
fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral dan dapat
mengerjakan soal atau permasalahan yang relevan.
D.2 Indikator
a. Mahasiswa memahami materi sistem bilangan real
b. Mahasiswa memahami materi ketaksamaan
c. Mahasiswa memahami materi nilai mutlak
d. Mahasiswa memahami materi akar kuadrat dan kuadrat
e. Mahasiswa memahami materi koordinat kartesius
f. Mahasiswa memahami materi koordinat kutub
g. Mahasiswa memahami materi sistem persamaan linear
h. Mahasiswa memahami materi fungsi

3
i. Mahasiswa memahami materi limit dan kekontinuan fungsi
j. Mahasiswa memahami materi turunan
k. Mahasiswa memahami materi aplikasi turunan
l. Mahasiswa memahami materi integral
m. Mahasiswa memahami materi penggunaan integral
D.3 Tujuan Penulisan Bahan Ajar
Dengan ditulisnya bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar Untuk Fisika ini
diharapkan dapat membantu mahasiswa di dalam mempelajari materi sistem bilangan real,
ketaksamaan, nilai mutlak, akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik,
sistem persamaan linear, fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan
integral.

4
BAB II
SISTEM BILANGAN REAL
A. Kompetensi dan Indikator
A.1 Standar Kompetensi
Menggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.
A.2 Kompetensi Dasar
Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak,
akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem persamaan
linear
A.3 Indikator Pembelajaran
Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal
B. Uraian Materi
BILANGAN REAL
Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan
bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional
Bilangan Rasional
Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk di mana p, q Z, dengan q
0.
Notasinya: Q = {x|x = dengan p, q Z, dengan q 0}
contoh :
Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan bilangan rasional :
Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}
Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}
Bilangan Irrasional (Tak Rasional)
Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .
Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }
contoh : , e, log 5.
1 4 57
, ,
3 9 1
p
q
p
q
p
qp
q

5
Jika Bilangan Real dinyatakan dalam suatu diagram dapat berbentuk sebagai berikut:
Desimal Berulang dan Tak Berulang
Desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama.
contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….
13/11 =1.1818181818…
Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya
contoh : x = 0.136136136….
y = 0.271271271…..
Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional !
Desimal bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya,
contoh : 0.101001000100001….
Garis Bilangan
Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis
bilangan, yang disebut garis bilangan real.
SISTEM BILANGAN REAL
Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan
real. Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi : * Sifat-sifat aljabar; * Sifat-sifat urutan; dan
* Sifat-sifat kelengkapan
0-1 1 2-4 2
5
2 3 5
N
Z
Q
R

6
Sifat-sifat Aljabar Bilangan Real
Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan,
dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.
contoh:
2 + 5⅛ = 7⅛
5-0,4 = 4,6
4 x ¾= 3
3 : 4 = ¾
Sifat-sifat Lapangan (field) :
Hukum Komutatif :
x+y = y+x ; xy=yx
Hukum Assosiatif :
x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz)=(xy)z
Hukum Distributif :
x(y+z) = xy+xz
Elemen-elemen identitas :
x + 0 = x ; x ·1 = x
Balikan (Invers) :
x+(-x) = 0 ; x·x-1
= 1
Sifat-sifat Urutan Bilangan Real
Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih dari 0, ditulis a > 0.
Contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0
Bilangan real a kurang dari b, ditulis a < b, jika b – a positif
Contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0
Untuk setiap bilangan real a, b, c berlaku sifat-sifat sebagai berikut
Trikotomi :
x < y atau x = y atau x > y
Ketransitifan :
Jika x < y dan y < z maka x < z
Penambahan :
x < y jika dan hanya jika x + z < y + z
Perkalian :
Bila z positif, x < y jhj xz < yz
Bila z negatif, x < y jhj xz > yz

7
Sifat-sifat Kelengkapan Bilangan Real
Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat
cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap
sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya
Contoh :
Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah!
a. -2 < -5
b.
INTERVAL BILANGAN REAL
Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling
sedikit 2 bilangan real yang berbeda dari semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.
Untuk setiap x, a, b R,
1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup
2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup atau terbuka
3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka atau tertutup
4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka
Selain interval-interval di atas juga terdapat interval-interval tak hingga
1. (–∞, b] = {x | x ≤ b}
2. (–∞, b) = {x | x < b}
3. [a, ∞) = {x | x ≥ a}
4. (a, ∞) = {x | x > a}
5. (–∞, ∞) = {x | x R}
PERTIDAKSAMAAN
Menyelesaikan pertidaksamaan dalam x berarti mencari interval atau interval-interval dari
bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Cara menyelesaikan pertidaksamaan:
1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama
2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif
3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah
6 34
7 39

8
Contoh:
Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan
real!
a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x
b.
x
x
2
4
2
c. (x – 1)2
≤ 4
NILAI MUTLAK
Definisi nilai mutlak :
Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan
|x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.
|x| dapat juga didefinisikan sebagai:
Secara Geometri:
|x| menyatakan jarak dari x ke titik asal.
|x – y| = jarak diantara x dan y
Sifat-sifat Nilai Mutlak
|-a| = |a|
|ab| = |a||b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
|x|2
= x2
|x| < a jika dan hanya jika - a < x < a
|x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a
|x| < |y| jika dan hanya jika x2
< y2
Contoh:
1. |x+5| < 6
0,
0,
xx
xx
x
2
x x

9
SISTEM KOORDINAT CARTESIUS (PERSEGI PANJANG)
Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Ada
beberapa macam sistem koordinat yaitu:
Sistem Koordinat Cartesius;
Sistem Koordinat Kutub;
Sistem Koordinat Tabung, dan
Sistem Koordinat Bola.
Sistem Koordinat Cartesius
Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang
lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut
sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O.
Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real
positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif.
Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing
dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar
(bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II,
kwadran III, dan kwadran IV
Gambar Koordinat Cartesius dan kwadrannya
1 . 5 2 6x x
2 . 2 1 1 1x x
3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan
?t a a t

10
Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik
P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x|.
Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O
dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik
asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.
Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)
Definisi
Y Perhatikan di samping.
A(x,y) Gambar di samping adalah sebuah
lingkaran pada bidang Cartesius yang
X berpusat di O(0,0) dan barjari-jari r
satuan. Titik A(x,y) adalah sebarang
titik yang terletak pada lingkaran.
r
O
Lingkaran adalah tempat titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tetap.
Titik tetap itu disebut titik pusat lingkaran, dan jarak titik-pada lingkaran ke pusat adalah jari-
jari lingkaran.
r
O(0,0)

11
Berdasarkan Definisi 1, titik A(x,y) berjarak r satuan dari titik O(0,0).
Jarak A(x,y) ke O(0,0) adalah
|AO| = r
22
)0()0( yx = r
22
yx = r
22
yx = r 2
.
Contoh 1:
Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalah
22
yx = 5 2
atau 22
yx = 25.
Contoh 2.
Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya 22
yx = 27.
Jawab:
Pusat lingkaran 22
yx = 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = 27 = 3 3 satuan.
Contoh 3
Y Tulislah persamaan lingkaran yang
A(12,5) berpusat di titik O(0,0) dan melalui titik
A(12,5)
O X
Persamaan 22
yx = r 2
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik
O(0,0) dan berjari-jari r.

12
Jawab:
Jarak AO sama dengan jari-jari lingkaran, sebut r.
r = 22
)05()012(
= 22
512
= 25144
= 169
= 13 satuan.
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 13 satuan adalah
22
yx = 13 2
atau 22
yx = 169.
Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b)
Y Perhatikan Gambar di samping.
A(x,y) Sebuah lingkaran pada bidang
Cartesius dengan pusat P(a,b) dan
berjari-jari r. Titik A(x,y) adalah
sebarang titik yang terletak pada
lingkaran.
O X
Berdasarkan Definisi 1, pada Gambar 4, sebarang titik A(x,y) pada lingkaran berjarak r satuan
dari titik tetap P(a,b). Jarak A(x,y) ke P(a,b) adalah
r = 22
)()( ybxa
= 22
)()( byax
r 2
= 22
)()( byax .
r
P(a,b)
Persamaan 22
)()( byax = r 2
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik
P(a,b) dan berjari-jari r.

13
Catatan: Untuk a = 0 dan b = 0, titik P(a,b) adalah titik P(0,0). Persamaan lingkarannya
menjadi 2
x + 2
y = r 2
, yakni persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan
berjari-jari r.
Contoh:
Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik (2,4).
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah
22
)4()2( yx = 5 2
atau 22
)4()2( yx = 25.
Persamaan Lingkaran 2
x + 2
y + A x + B y + C = 0.
Perhatikan persamaan
2
x +
2
y + A x + B y + C = 0
2
x + A x + 2
y + B y = - C
2
x + A x + 4
1
A 2
+ 2
y + B y + 4
1
B 2
= 4
1
A 2
+ 4
1
B 2
- C
2
2
12
2
1
)()( ByAx = 4
1
A 2
+ 4
1
B 2
- C.
Ini adalah persamaan lingkaran dengan
Pusat : P(- 2
1
A, - 2
1
B)
Jari-jari : r = CBA 2
4
12
4
1
satuan.
Contoh:
Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya
2
x + 2
y - 6 x + 4 y - 12 = 0.
Jawab:
Pada persamaan 2
x + 2
y - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12.
Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.
Pusat lingkaran : P(- 2
1
A, - 2
1
B) atau P(3,-2)
Jari-jari : r = CBA 2
4
12
4
1
= 1216.36. 4
1
4
1
= 25 = 5 satuan.

14
Latihan
1. Lingkaran L1 = x2
+ y2
+ 2x -4y – 4, lingkaran L2 mempunyai pusat di (3,5) serta
menyinggung lingkaran L1. Tentukan persamaan lingkaran L2.
2. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung garis y = 3 x dan
sumbu X di titik (4,0).
3. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran x2
+ y2
-10x – 14y -151 = 0.
4. Diketahui titik P(5,-2) dan lingkaran x2
+ y2
-3x +y – 4 = 0. Melalui P dibuat garis
sehingga menyinggung lingkaran di T, hitung panjang PT.
5. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran (x+3)2
+ (y-4)2
= 16. Hitung jarak terdekat P ke
lingkaran.
Garis Lurus
Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah
Ax + By + C = 0,dengan A, B tak keduanya nol.
Jika B ≠ 0, persamaan tadi dapat dinyatakan sebagai
y = mx + c, dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis tersebut.
Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0) dengan gradien m adalah
y – yo = m(x – xo).
KOORDINAT KUTUB
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan
koordinat kutub.
Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray)
yang diberikan dan berpangkal pada O.
Titik P dengan koordinat kutub (r, ) berarti berada diposisi:
- derajat dari sumbu-x (sb. polar)
( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.
O (the pole) ray (polar axis)

15
Perhatian:
jika r < 0, maka P berada di posisi yang
berlawanan arah.
r: koordinat radial
: koordinat sudut
Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat kutub
(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil
= ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap
Example:
the following polar coordinates represent the same point
(2, /3), (-2, 4 /3), (2, 7 /3), (-2, -2 /3).
Konversi koordinat kutub kedalam koordinat kartesius. Gunakan relasi:
x = r cos , y = r sin
Maka r2
= x2
+ y2
,
tan = y/x, jika x 0
Catt. menentukan
Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi - /2 < < /2 = arctan(y/x).
Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,
= + arctan(y/x).
Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a
Untuk lingkaran berjari a,
- berpusat di (0,a): r = 2a sin
- berpusat di (a,0): r = 2a cos

16
Konversikan persamaan kutub r = 2 sin kedalam sistem koordinat kartesius:
Kalikan kedua sisi dengan r:
r2
= 2r sin
x2
+ y2
= 2y
x2
+ y2
- 2y = 0
Jadi persamaan tsb. dalam koordinat kartesius adalah x2
+ (y -1)2
= 1
Cari titik potong antara 2 persamaan kutub berikut:
r = 1 + sin and r2
= 4 sin .
Solusi:
(1 + sin )2
= 4 sin
1 + 2 sin + sin2
- 4 sin = 0
sin2
- 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2
= 0 sin = 1
Jadi sudut = /2 + 2n , dimana n = 0,1,…
Jadi salah satu titik potong: (2, /2)
Grafik Persamaan Kutub
Cardioid:
Contoh : r = sin θ + 1
Limaçon:
r = a + b cos , r = a + b sin
contoh : r = 3 – 5 sin θ
)cos1()sin1( ardanar

17
Mawar (Rose)
Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose);
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,
2n jika n genap
Contoh : r = cos θ
Lemniscate:
Contoh: untuk
)2sin(atau)2cos( 22
arar
)2sin(42
r

18
Spiral:
Persamaan berbentuk r = n
Contoh : r =
Grafik dari “butterfly curve”
r( ) = exp(cos( ))- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3

20
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Bentuk umum:
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
Penyajian SPL dalam Bentuk Grafik
SPL BENTUK MATRIKS
Strategi Menyelesaikan SPL
Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen)
tetapi bentuk yang lebih sederhana.
kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

21
Tiga Operasi Yang Mempertahankan Penyelesaian SPL
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak
nol pada suatu baris.
Contoh:
DIKETAHUI
…………(i)
…………(ii)
…………(iii)

22
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan
representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI
GAUSS.
Bentuk Echelon-Baris
Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
DIKETAHUI
…………(i)
…………(ii)
…………(iii)

23
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
Bentuk Umum Echelon-Baris

24
Bentuk Umum Echelon-Baris Tereduksi
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
Latihan:
Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:
Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas!
Metoda Gauss-Jordan
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris
tereduksi.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:

25
Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian:
Di mana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak
penyelesaian.
Metode Substitusi Mundur
Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
61808400
0000000
1-3-02-1-00
00202-31
⇄
-3B3+B2 B2
2B2+B1 B1

26
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi
selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya
diperoleh:
Eliminasi Gaussian
Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan
substitusi mundur.
CONTOH:
Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

27
PENYELESAIAN:
Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

28
BAB III
FUNGSI DAN LIMIT
Menggunakan konsep Fungsi dan Limit dalam soal dan permasalahan yang relevan.
Memahami matematika pada materi fungsi dan limit
B. Uraian Materi
FUNGSI DAN OPERASI PADA FUNGSI
Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek
x di suatuhimpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah hasil).
Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.
Lambang f : D → E berarti f adalah fungsi dari D ke E.
Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal D R dan daerah hasil
E R, yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti
y = x2
atau f(x) = x2
, x є R.
Contoh 1.
Fungsi f(x) = x2
memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya, yakni x2
. Daerah asalnya
adalah R dan daerah hasilnya adalah [0,∞).
Contoh 2.
Fungsi g(x) = 1/x memetakan setiap bilangan real x ≠ 0 ke kebalikannya, yakni 1/x. Daerah
asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x є R | x ≠ 0 }.

29
Operasi pada Fungsi
Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian,
dan pembagian pada fungsi, sebagai berikut:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f.g)(x) = f(x).g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan
daerah asal g, yakni {x є R | x ≠ 0 }.
Contoh
jika f(x) = x2 dan g(x) = 1/x, maka f + g
adalah fungsi yang memetakan x ke x2 + 1/x, yakni (f + g)(x) = x2 + 1/x.
Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yakni
f p
(x) = [f(x)]p
, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.
KOMPOSISI FUNGSI
Aturan fungsi komposisi
Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikut
mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan
x ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C
adalah komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.
A B C
g h
f
Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus
f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.
x
y z

30
adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.
f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.
Perhatikan bahwa h g g h.
(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).
h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g
h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.
Contoh :
Misalkan dua fungsi g : R R dan h : R R, keduanya berturut-turut ditentukan oleh
rumus:
g(x) = 2x + 1 dan h(x) = x 2
a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.
b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g.
Jawab:
a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2
= 49.
(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = (-9) 2
= 81.
(iii) Misalkan f = h g.
f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = (2x + 1) 2
untuk semua x R.
Jadi Rf = {x R/ x 1}.
b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100.
Berdarkan a(iii);
(2x + 1) 2
= 100
2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10
x = 4 2
1
atau x = - 5 2
1
.
FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Menentukan Rumus untuk cos (α ± β)
Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif
membentuk sudut α . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut β.
AOC = α dan BOC = β.

31
Dengan demikian koordiant titik A (cos α , sin α) dan B (cos β, sin β).
Dengan rumus jarak antara dua titik, maka jarak AB adalah:
AB2
= (xA – xB )2
+ (yA – yB )2
= (cos α – cos β )2
+ (sin α – sin β)2
= cos2
α – 2cosα cos β + cos 2
β + sin2
α – 2sinα sinβ + sin2
β
= cos2
α + sin2
α + cos2
β + sin2
β – 2cos α cos β – 2sin α sin β
= 1 + 1 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )
= 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )........................( 1 )
Perhatikan AOB, AOB = α – β dengan aturan cosinus, diperoleh
AB2
= OA2
+ OB2
– 2.OA.OB cos AOB
= 1 + 1 – 2.1.1.cos (α – β)
= 2 – 2 cos (α – β)............................................................( 2 )
Dari ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh:
2 – 2 cos (α – β) = 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )
-2 cos (α – β) = – 2 (cos α cos β + sin α sin β )
cos (α – β) = (cos α cos β + sin α sin β )
Dengan mengubah α + β menjadi α – (– β) diperoleh :
cos (α + β) = cos (α – (– β))
= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)
= cos α cos β – sin α sin β
Ingat !
sin (-
O
A
B
C
X
Y

32
Contoh:
Tuliskan rumus cosinus sudut jumlah atau selisih berikut ini!
a. cos (2a – b)
b. cos (2p + 3q)
Jawab:
a. cos (2a – b) = cos 2a cos b + sin 2a sin b
b. cos (2p + 3q) = cos 2p cos 3q - sin 2p sin 3q
Buktikan bahwa:
a. cos(
2
- A) = sin A
b. cos
8
5
cos
8
1
- sin
8
5
sin
8
1
= 2
2
1
c. cos p
2
cos p
6
+ sin p
2
sin p
6
=
2
1
d. cos A cos A - sin A sin A = cos 2
Bukti:
a. cos(
2
- A) = cos
2
. cos A + sin
2
. sin A
= 0. cos A + 1 . sin A
= sin A (terbukti)
b. cos
8
5
cos
8
1
- sin
8
5
sin
8
1
= cos
8
1
8
5
= cos
4
3
= 2
2
1
(terbukti)
c. cos p
2
cos p
6
+ sin p
2
sin p
6
= cos pp
62
= cos
3
=
2
1
(terbukti)
d. cos A cos A - sin A sin A = cos { A + A }
= cos 2 (terbukti)

33
2. Menentukan rumus sin
Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.
sin = cos 0
90
= cos 0
90
= cos 0
90 cos + sin 0
90 sin
= sin cos + cos sin
Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin kita dapat menentukan rumus selisih
dua sudut sebagi berikut:
sin = sin
= sin cos + cos sin
= sin cos + cos sin
= sin cos - cos sin
3. Menentukan rumus untuk tan
Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan
rumus tan (α+β) sebagai berikut :
tan (α+β) =
)cos(
)sin(
=>ingat! tan α =
cos
sin
=
sinsincoscos
cossincossin
=
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
Ingat !!
sin 0
90 = cos
cos 0
90 = sin
α β

34
=
cos
sin
.
cos
sin
1
cos
sin
cos
sin
=
tantan1
tantan
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
1. Menentukan Sudut Rangkap
a. Menentukan rumus sin 2α
Dengan rumus sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α
didapat sin 2α = sin(α + α)
= sinα cosα + cosα sinα
= 2 sinα cosα
b. Menentukan rumus cos 2α
Dengan rumus cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α
didapat cos 2α = cos(α + α)
= cosα cosα – sinα sinα
= cos2
α – sin2
α
Rumus cos 2α = cos2
α – sin2
α
dapat dinyatakan dalam bentuk lain
cos 2α = cos2
α – sin2
α
= cos2
α – (1 – cos2
α)
= cos2
α – 1 + cos2
α
= 2 cos2
α – 1
Jadi:
tan (α+β) =
tantan1
tantan
Jadi:
sin 2α = 2 sinα cosα
Jadi:
cos 2α = cos2
α – sin2
α
Ingat !!
cos2
α + sin2
α = 1
sin2
α = 1 – cos2
α
cos2
α = 1 – sin2
α

35
cos 2α = cos2
α – sin2
α
= (1 – sin2
α )– sin2
α
= 1 – sin2
α - sin2
α
= 1 – 2 sin2
α
2. Identitas Trigonometri
Rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama
dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari
suatu identitas trigonometri
Contoh:
Buktikan identitas berikut!
a. (sin α + cos α)2
= 1 + sin 2α
b. sin 3α = 3 sinα – 4 sin3
α
c. 4
4
44
cos
tan1
sincos
Bukti:
a. (sin α + cos α)2
= sin2
α + 2 sin α cos α + cos2
α
= sin2
α + cos2
α + 2sin αcos α
= 1 + sin2 α
(terbukti)
b. 3 α dapat dinyatakan 2 α + α, sehingga :
sin 3 α = sin (2 α + α)
= sin 2 α cos α + cos 2 α sin α
= (2 sin α cos α)cos α + (1 – 2 sin2
α)sin α
= 2 sin α cos2
α + sin α – 2 sin3
α
= 2 sin α (1 – sin2
α) + sin α – 2 sin3
α
= 2sin α – 2 sin3
α + sin α – 2sin3
α
= 3 sin α – 4 sin3
α
(terbukti)
Jadi:
cos 2α = 2cos2
α – 1
Jadi:
cos 2α = 1 – 2 sin2
α

36
c. 4
44
tan1
sincos
=
)tan1)(tan1(
)sin)(cossin(cos
22
2222
=
)
cos
sincos
(
cos
1
)sin.(cos1
2
22
2
22
=
)
cos
sincos
(
cos
1
sincos
2
22
2
22
=
)sin(cos
cos
1
sincos
22
4
22
=
4
cos
1
1
= cos4
α
(terbukti)
Latihan
a. Jika sin x cos x = a untuk 0 x
4
, tentukan tan 2x.
b. Nilai maksimum dari
25cos8sin15 xx
m
adalah 25. Tentukan nilai m
c. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga.
Tentukan nilai tan .tan jika tan .+ tan =2 tan
d. Dalam segitiga lancip ABC, sin C =
13
2
, tan A tan B = 13, tentukan tan A + tan B.
e. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2
= 1 + 2 sin 2 , tentukan nilai tan .

37
LIMIT FUNGSI
Konsep Limit
Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I
kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh
terdefinisi boleh juga tidak
Limit fungsi di satu titik
Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat ke
nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan
cara memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam
daerah asal fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x)
untuk x mendekati a sama dengan L, ditulis
ax
lim f(x) = L.
Dengan ungkapan lain:
ax
lim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| <
.
Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada
nilai x = a tidak dipersoalkan.
Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk =
0,003. Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini
adalah =
3
untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.
Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan
ax
lim f(x) = L
tidak ada.

39
LIMIT SEPIHAK
Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1
Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:

40
Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5
Definisi Limit Kanan
Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)
untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan
εLxfδcx0δ0,εLxlimf
cx
Definisi Limit Kiri
Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)
untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan
εLxfδx-c0δ0,εLxlimf
cx

41
KEKONTINUAN FUNGSI
Kekontinuan Sepihak
Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila
Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila
Kekontinuan Pada Interval
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b)
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a
dan kontinu kiri di b

42
2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh
3. Misalkan fungsi f diberikan oleh
Tunjukkan
4. Hitunglah
0x
0x
,
1
x
xsin
xf
12xxxf
16xflim0,xflim
5x1x
xtan2x
xsinx
lim0x

43
BAB IV
TURUNAN
Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah
a. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi
b. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan
memecahkan masalah
c. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
d. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim
fungsi dan penafsirannya
B. Uraian Materi
Laju Perubahan Nilai Fungsi; Ide Turunan pada x = a.
Jika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki kecepatan. Pada bagian B, telah
diuraikan makna kecepatan rata-rata gerak benda. Yaitu:
kecepatan rata-rata =
diperlukanyangwaktu
ditempuhyangjarak
=
waktuperubahan
jarakperubahan
.
Jika benda tersebut bergerak sepanjang lintasan y = f(x), maka perbandingan di atas
menunjukkan perubahan nilai rata-rata:
perubahan nilai rata-rata =
xiabelperubahan
fungsinilaiperubahan
var
.

44
Misalkan fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f: x f(x).
Y y = f(x) Gambar di samping adalah
f(a+h) B sketsa suatu kurva y = f(x).
Titik A(a,f(a)) dan B(a+h,f(a+h))
f(a) A adalah dua titik yang terletak pada
kurva.
Apa yang terjadi jika h mendekati
O a a+h X nilai nol?
Perhatikan perubahan dari A ke B. Untuk daerah asal dalam interval a x a + h, nilai
fungsi berubah dari f(a) pada x = a sampai f(a + h) pada x = a + h.
Perbandingan selisih nilai fungsi dan selisih nilai variabel merupakan perubahan rata-
rata nilai fungsi dalam interval a x a + h untuk h 0, yakni:
Perubahan rata-rata =
iabelnilaiperubahan
fungsinilaiperubahan
var
=
aha
afhaf
)(
)()(
=
h
afhaf )()(
.
Untuk nilai h mendekati nol, perubahan rata-rata nilai fungsi itu di sebut laju
perubahan nilai fungsi pada x = a.
Laju perubahan nilai fungsi (pada x = a) =
0
lim
h h
afhaf )()(
.
Lambang turunan fungsi yang rumusnya f(x) di titik x = a, adalah f (a) (dibaca: f aksen a).
f (a) =
0
lim
h h
afhaf )()(
.
Jika
0
lim
h h
afhaf )()(
ada, maka dikatakan f terturunkan (terdiferensialkan) di a.
f (a) adalah turunan fungsi f di x = a.
Contoh :
Misalkan f(x) = 18x 2
+ 19. Carilah turunan fungsi f di x = 4.
Jawab:
Turunan fungsi f(x) = 18x 2
+ 19x di x = 4 adalah f (4).

45
f (4) =
0
lim
h h
fhf )4()4(
=
0
lim
h h
hh )4.194.18())4(19)4(18( 22
=
0
lim
h h
hhh )4.194.18()194.19184.2.184.18( 222
=
0
lim
h h
hh 2
18163
=
0
lim
h
(163 + 18h)
= 163.
Turunan dari fungsi f
Misalkan f : A R dengan A R suatu fungsi dan untuk setiap anggota A fungsi f
memiliki turunan. Misalnya untuk a, b, … A,
f (a) =
0
lim
h h
afhaf )()(
, f (b) =
0
lim
h h
bfhbf )()(
, … ada nilainya;
maka dikatakan f terturunkan (diferensiable) pada A.
Perhatikan untuk setiap anggota A kita memperoleh nilai baru di bawah f . Jadi kita
memperoleh fungsi baru yang diturunkan dari f, yaitu.
f : A R dengan A R.
Fungsi f ini disebut turunan f pada A, dan ditentukan oleh rumus:
f (x) =
0
lim
h h
xfhxf )()(
.
Contoh:
Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x3
.
Jawab:
Turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x3
adalah
f (x) =
0
lim
h h
xfhxf )()(
=
0
lim
h h
xhx 33
3)(3
=
0
lim
h h
xhxhhxx 33223
3)33(3

46
=
0
lim
h h
xhxhhxx 33223
33993
=
0
lim
h h
hxhhx 322
399
=
0
lim
h
(9x 2
+ 9xh + 3h 2
)
= 9x 2
.
Turunan Beberapa Fungsi Khusus
(1) Turunan fungsi konstan, yaitu f(x) = a, a konstanta.
f (x) =
0
lim
h h
xfhxf )()(
=
0
lim
h h
aa
= 0.
(Lihat latihan 7 nomor 1)
Jika f(x) = a, a konstanta; maka f (x) = 0.
(2) Turunan fungsi pangkat positif dari x, yaitu f(x) = x n
.
Contoh pada Latihan 7, nomor 2 sampai 6. Hasilnya masukkan tabel:
f(x) x x 2
x3
x 4
… x n
f (x) 1 2x 3x 2
4x3
… ……
Perhatikan baik-baik tabel di atas, apakah kamu menemukan pola sehingga kamu
dapat mengisi …… di bawah x n
?
Jika f(x) = x n
, maka f (x) = nx 1n
.
(3) Turunan f(x) = ax n
dengan a konstanta; n bilangan positif atau rasional.
Dengan cara serupa dengan (2); ternyata berlaku:
Jika f(x) = ax n
, maka f (x) = anx 1n

47
(4) Turunan pangkat negatif dari x, yaitu f(x) = n
x
1
Jika kita lihat kembali Latihan 7, nomor 7 dan dimasukkan ke table, akan terlihat
polanya turunannya, yaitu:
Jika f(x) = n
x
1
, maka f (x) = - 1n
x
n
.
Karena n
x
1
= x n
, maka pernyataan di atas setara dengan:
Jika f(x) = x n
, maka f (x) = -nx )1(n
.
Turunan f(x) yaitu f (x) dalam proses pencariannya menggunakan konsep limit, yakni
f (x) =
0
lim
h h
xfhxf )()(
.
Sifat-sifat turunan berikut penting dalam mencari turunan:
1. Jika fungsi f dan g keduanya fungsi yang terdefinisi pada selang I, maka turunan (jika
ada) dari f dan g juga merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang I. Demikian juga
fungsi-fungsi f + g, f - g, cf, f g, dan f/g (khusus untuk f/g perlu tambahan syarat g
0) adalah juga fungsi-fungsi juga memiliki turunan yang terdefinisi di I.
2. Rumus turunan f + g, f - g, cf, f g, dan f/g berturut-turut adalah:
a. (f + g) (x) = f (x) + g (x).
b. (f - g) (x) = f (x) - g (x).
c. (cf) (x) = cf (x), c konstanta.
d. (f g) (x) = f(x)g (x) + g(x) f (x)
e. (f/g) (x) = 2
)]([
)(')()(')(
xg
xgxfxfxg
, g(x) 0.
Notasi yang juga sering digunakan adalah:
a. Jika y = u + v, maka y = u + v .
b. Jika y = u - v, maka y = u - v .
c. Jika y = cu, maka y = c u , c konstanta.
d. Jika y = uv, maka y = uv + vu .

48
Latihan
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva x3
– y3
=2xy di titik (-1,1)
2. Akan dibuat persegi panjang ABCD dengan titik sudut A(0,0), B di sumbu X, D di
sumbu Y dan C pada kurva y = a2
– x2
. Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang
tersebut agar luasnya maksimum
3. Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3
+ 3x2
pada [-
2
1
,2]
4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi
bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan
tersebut agar :
- jumlah seluruh luasnya minimum
- jumlah seluruh luasnya maksimum
5. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum

49
BAB V
INTEGRAL
1. Konsep Anti Turunan Fungsi
a. Pengertian Anti Turunan
Teorema 1.1
Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada selang buka I. Jika 0)(' xf pada selang I, maka
f(x) = k untuk suatu konstanta k.
Teorema 1.2
Dipunyai fungsi f dan g mempunyai turunan pada selang buka I. Jika )(')(' xgxf pada
selang I, maka
f(x) = g(x) + k untuk suatu konstanta k.
Definisi 1.1
Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) pada
selang I disebut anti turunan
b. Integral Tak Tentu
Pada bagian ini diawali dengan pengertian anti deferensial suatu fungsi yang merupakan
bentuk paling umum dari suatu anti turunan.
Definisi 1.2
Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi. Jika
F’(x) = f(x) pada selang buka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada selang I adalah
CxFy )( untuk sembarang konstanta C.
Selanjutnya pengertian tentang integral tak tentu didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.3
Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F adalah suatu anti turunan f pada selang
I. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada I,
ditulis dengan lambang
CxFdxxf )()(
dengan C sembarang konstanta dan dibaca integral tak tentu dari f terhadap variabel x.
Contoh 1.1
Dipunyai xxf 2sin)( , xxF 2cos)( 2
1
1 , xxF 2
2 sin)( , dan xxF 2
3 cos)( .
Periksa apakah )(1 xF , )(2 xF , dan )(3 xF semuanya merupakan suatu anti turunan dari f(x).
Pemeriksaan:
)(2sin2)2sin(
2
1)2(
)2(
)2(cos
2
1]2cos[)]([ 2
1
1
xfxx
dx
xd
xd
xd
dx
xd
dx
xFd

50
)(2sincossin2
)(sin
)(sin
)(sin][sin)]([ 22
2
xfxxx
dx
xd
xd
xd
dx
xd
dx
xFd
, dan
)(2sin)sin(cos.2
)(cos
)(cos
)(cos]cos[)]([ 22
3
xfxxx
dx
xd
xd
xd
dx
xd
dx
xFd
Jadi )(1 xF , )(2 xF , dan )(3 xF semuanya merupakan suatu anti turunan dari f(x).
Contoh 1.2
Tentukan dxx2 .
Penyelesaian:
Tulis xxf 2)( dan 2
)( xxF .
Jelas )(2
)()]([
)('
2
xfx
dx
xd
dx
xFd
xF .
Jadi )(xF adalah suatu anti turunan f(x).
Jadi Cxdxx 2
2 .
c. Rangkuman
1. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) pada selang terbuka I disebut anti turunan.
2. Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi.
3. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada selang
buka I, ditulis dengan lambang CxFdxxf )()( , dengan C
konstanta.
d. Latihan
Periksa kebenaran pernyataan berikut.
1. 2
0 )( xxF adalah anti turunan dari xxf 2)( .
2. xxF 1)( merupakan anti turunan dari
x
xf
12
1
)(
3. xxxF 2cos)( merupakan anti turunan dari xxxxf 2sin22cos)(
4. xxxF )( merupakan anti turunan dari xxxf )( .
2. Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, Integral Parsial, dan Beberapa Rumus
Teknis Integral
a. Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, dan Integral Parsial
Teorema 2.1 (Kelinearan)
(a) dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ dan
(b) dxxfKdxxfK )()( , dengan K suatu konstanta.

51
Teorema 2.2 (Penggantian)
Dipunyai )(xgy mempunyai turunan pada Dg dan Rg I dengan I adalah suatu selang. Jika
)(xfy terdefinisi pada selang I sehingga F’(x) = f(x), maka
CxgFdxxgxgf )]([)(')]([
Teorema 2.3 (Integral Parsial)
Jika )(xuu dan )(xvv adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I,
maka
duvuvdvu .
b. Beberapa Rumus Teknis Integral
Berikut ini disajikan beberapa rumus teknis integral.
1. Cxdx
2. C
x
dxx
2
2
3. 1,
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
4. Cxdxx cossin
5. Cxdxx sincos
6. Cxdxx tansec2
7. dxxdxx cotcsc2
8. Cxdxxx sectansec
9. Cxdxxx csccotcsc
10. CxCx
x
dx 11
2
cossin
1
11. CxCx
x
dx 11
2
cottan
1
12. CxCx
xx
dx 11
2
cscsec
1
13. C
a
u
C
a
u
ua
du 11
22
cossin
14. C
a
u
a
C
a
u
aua
du 11
22
cot
1
tan
1
.
15. C
a
u
a
C
a
u
aauu
du 11
22
csc
1
sec
1

52
Contoh 2.1
Tentukan
(a) dxxx )cos2(
(b) dxxxx )23()62( 263
(c) dxxx sin2
Penyelesaian:
(a) dxxdxxdxxx cos2)cos2(
= )(sin)( 21
2
CxCx
= )(sin 21
2
CCxx
= Cxx sin2
.
(b) )62()62()23()62( 363263
xxdxxdxxxx
= C
xx
7
)62(( 73
.
(c) dxxx sin2
= dxxx sin2
= )](coscos[ 22
xdxxx
= dxxxxx cos2cos2
= )(sin2cos2
xdxxx
= )sinsin(2cos2
dxxxxxx
= Cxxxxx cos2sin2cos2
.
Contoh 2.2
Tentukan
(a)
522
xx
dx
(b)
2
4 xx
dx
Penyelesaian:
(a)
522
xx
dx
= 22
2)1(x
dx
= C
x
2
1
tan
2
1 1
.
(b)
2
4 xx
dx
=
22
)2(2 x
dx
= C
x
2
2
sin 1
.

53
c. Rangkuman
Teorema kelinearan, teorema penggantian, dan teorema integral parsial merupakan teorema
integral yang mendasar dan harus dikuasai. Banyak soal integral yang bisa dibawa ke dalam
bentuk integral seperti yang tercantum dalam beberapa rumus teknis integral.
d. Latihan
Tentukan integral berikut.
1. dxxx 4
2. dxxx sin1cos
3. dx
x
x
1
2
4.
942
xx
dx
5. dxxx cos2
3. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN
Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 10 bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + …+ 10. Bentuk ini dapat ditulis
dengan
10
1
10321
i
i
yang dibaca “sigma i, i dari 1 sampai 10”. Dengan cara serupa, dapat dinyatakan:
(a)
40
1
22222
40321
s
s
(b)
n
j jn 1 12
1
12
1
152
1
142
1
132
1
Teorema
(a) ncc
n
i 1
untuk sembarang konstanta c,
(b)
n
i
i
n
i
i acac
11
, dan
(c)
n
i
i
n
i
ii
n
i
i bdacbdac
111
)(

54
Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) benar untuk
setiap bilangan asli atau bilangan cacah n. Dua langkah baku dalam induksi matematika,
yaitu:
(i) pertama P(1) benar dan
(ii) kedua P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Dengan demikian dapat dinyatakan:
benarP(k)apabilabenar)1(
benar)1(
benar)(
kP
P
nP
Jumlah Riemann
Pada bagian ini akan disajikan pengertian jumlah Riemann suatu fungsi yang merupakan
dasar pendefinisian integral tentu.
Definisi
Dipunyai [a,b] suatu selang tutup. Suatu partisi Pn untuk selang [a,b] adalah sembarang
himpunan yang terdiri (n+1) bilangan
},,,{ 21,0 nxxxx
dengan bxxxxa n210 .
Catatan:
Panjang subselang ke-i, dinyatakan dengan xi , yaitu 1iii xxx , i = 1, 2, 3, …, n
Panjang subselang terbesar dari partisi Pn dinyatakan dengan nP dibaca dengan “norm Pn”.
Definisi
Dipunyai ],[: baf suatu fungsi, Pn suatu partisi untuk selang [a,b], dan titik sampel
],[ 1 iii xxt . Bangun
n
i
iin xtfR
1
)( .
Bangun Rn disebut Jumlah Riemann untuk f pada selang [a,b].
Integral Tertentu
Pada bagian ini didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann.
Definisi
Dipunyai fungsi ],[: baf .
Jika
n
i
ii
oP
xtf
1
)(lim ada, maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada
selang [a,b].
Selanjutnya ditulis
b
a
n
i
ii
oP
dxxfxtf )()(lim
1
disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi f dari a ke b.

55
Catatan:
1) Definisi formal integral tertentu diberikan dengan - .
2) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka
nP 0 .
3) Pada bentuk
b
a
dxxf )( , f disebut integran, a disebut batas bawah, dan b disebut batas
atas.
4) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan 0)(xf pada [a,b],
b
a
dxxf )(
menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis x = b, dan sumbu
X.
5) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol, dan negatif.
Teorema-teorema Integral Tertentu
Definisi integral tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus b = a atau
b < a yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi
(a) Jika f(a) terdefinisi maka 0)(
b
a
dxxf .
(b) Jika a > b dan
b
a
dxxf )( terdefinisi, maka
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( .
Teorema
Jika fungsi f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegral secara Riemann pada selang [a,b].
Teorema
(a) abxdx
n
i
i
P
b
a 1
0
lim .
(b) )(lim
1
0
abKxKdxK
n
i
i
P
b
a
.
Teorema
Jika fungsi-fungsi f dan g terintegral pada selang [a,b], maka fungsi-fungsi (f+g) dan Kf
dengan K konstanta teintegralkan, yaitu:
(1)
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ dan
(2)
b
a
b
a
dxxfKdxxfK )()( .

56
Teorema
Jika D adalah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi f, garis x = a, x = b, dan sumbu X,
maka
dxxfL
b
a
)( .
Teorema
Jika fungsi f kontinu pada suatu selang yang memuat a, b, dan c, maka
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
tanpa memperhatikan urutan a, b, dan c.
Teorema
Jika f terintegral pada selang [a,b] dan 0)(xf pada [a,b], maka
0)(
b
a
dxxf .
Teorema
Jika f dan g terintegral pada selang [a,b] dan )()( xgxf pada [a,b], maka
b
a
b
a
dxxgdxxf )()( .
Teorema
Jika f kontinu pada selang [a,b], )(min xfm
bxa
, dan )(xfmaksM
bxa
, maka
)()()( abMdxxfabm
b
a
.
4. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Luas Daerah
Pada bagian ini dibicarakan tentang penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas
daerah pada bidang datar.
Definisi
Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dengan 0)(xf untuk semua
x [a,b], x = a, x = b, dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka
b
a
dxxfA )( .
Definisi
Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi dua grafik fungsi f dan g dengan )()( xgxf untuk
semua x [a,b], x = a, dan x = b. Jika A adalah luas daerah D, maka
b
a
dxxgxfA )]()([ .

57
Teorema
Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang kontinu pada [a,b]
dan 0)(xf untuk semua x [a,b], sumbu X, x = a, dan x = b. Jika A adalah luas daerah D,
maka
b
a
dxxfA )( .
Volum Benda Putar
Suatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akan
menghasilkan suatu benda putar. Volum benda putar tersebut dapat dihitung dengan
menggunakan integral tertentu.
1) Metode Cakram
Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [a,b]. Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik f,
sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X akan membangun suatu
benda putar. Volum benda putar tersebut akan dicari dengan menggunakan metode
cakram sebagai berikut.
Gambar??
Buat partisi untuk selang [a,b]. Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt .
Volum cakram ke-i adalah
xtfV iii
2
)(
Jadi dxxfxtfV
n
i
b
a
ii
P
1
22
0
)()(lim .
2) Metode Cincin
Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi g dan h dengan )()( xhxg pada [a,b],
x = a, dan x = b. Akan ditentukan volum benda yang terjadi jika daerah D diputar
terhadap sumbu X.
Gambar??
Buat partisi untuk selang [a,b] pada sumbu X.
Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt .
Tulis Vi : volum cincin ke-i
Jelas xthxtgV iiiii
22
)()(
= xthtg iii
22
)()(
Jadi
n
i
iii
P
xthtgV
1
22
0
)()(lim
=
b
a
dxxhxg
22
)()(
3) Metode Sel Silinder (Kulit Tabung)
Dipunyai daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f dengan 0)(xf pada
selang [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu X. Akan ditentukan volum benda yang
terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu Y.

58
Bangun partisi untuk selang [a,b].
Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt dengan ti berada tepat di tengah sub selang ],[ 1 ii xx .
Jadi
2
1ii
i
xx
t atau 12 iii xxt .
Tulis Vi : volum silinder ke-i.
Jelas )()( 2
1
2
iiiii tfxtfxV
= ))(( 2
1
2
iii xxtf
= ))()(( 11 iiiii xxxxtf
= xtft ii )(2
Jadi
n
i
ii
P
xtftV
1
0
)(lim2
=
b
a
dxxfx )(2
5. TEKNIK PENGINTEGRALAN
Pada bab ini disajikan beberapa teknik pengintegralan yang penting. Strategi yang ditekankan
di sini adalah dalam setiap menyelesaikan masalah integral perlu keterampilan dalam
menentukan teorema yang akan dipakai.
Teorema-teorema Integral yang Diperoleh Langsung dari Turunan
No Teorema
1 Cxdx
2 CxKdxK , dengan K suatu konstanta
3 dxxfKdxxfK )()(
4 dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
5
1,
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
6
xCCx
x
dx
lnln
7 Cedxe xx
8
C
a
a
dxa
x
x
ln
dengan a>0, dan a 1
9 Cxdxx cossin
10 Cxdxx sincos
11 Cxdxx tansec2
12 Cxdxx cotcsc2
13 Cxdxxx sectansec

59
14 Cxdxxx csccotcsc
15 CxCxdxx seclncoslntan
16 Cxdxx sinlncot
17 Cxxdxx tanseclnsec
18 Cxxdxx cotcsclncsc

60
DAFTAR PUSTAKA
1. Purcell, dkk. 2004. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga
2. Howard Anton, 1994, Elementary Linear Algebra 7th edition, New York: John
Wiley & Sons, Inc.
3. Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika Dasar untuk Perguruan
Tinggi, Ghalia Indonesia, 1994.
4. Moch. Chotim. 2007. Kalkulus I. Semarang: Jurusan Matematika UNNES.
5. Moch. Chotim. 2005. Kalkulus 2. Semarang: Jurusan Matematika UNNES.
6. GCE A Level. 2002. Mathematics (Yearly). 1991/2002. Redspot Publising.
Singapore
7. M. Asikin H, Nuriana RDN. 2009. Telaah Kurikulum Matematika 3. Bahan Ajar
Perkuliahan. Semarang: Jurusan Matematika FMIPA UNNES
8. Michael Evans dkk. 1999. Essential Mathematics Methods. Cambridge University
Press
9. Scottish Mathematics Group. 1992. Modern Mathematics fos Schools. Nelson
Blackie Ltd London

Bahan ajar matematika dasar universitas

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Bahan ajar matematika dasar universitas

Similaire à Bahan ajar matematika dasar universitas (20)

Bahan ajar matematika dasar universitas