Dokumen tersebut membahas tentang persamaan trigonometri. Secara singkat, dibahas mengenai definisi persamaan trigonometri, contoh persamaan trigonometri identik dan bersyarat, bentuk dasar persamaan trigonometri untuk sinus, kosinus dan tangen, rumus-rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang mengandung jumlah, selisih, dan kuadrat dari sinus dan kosinus.

2. Kelompok 8
Pendidikan Matematika 1 B

3. Andina Aulia Rachma
1113017000054
Aenul Huspiah
1113017000046
Adinda Rizzalti
1113017000034
HarunMustofa
1113017000033

4. PERSAMAAN
TRIGONOMETRI

5. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan Trigonometri yaitu persamaan yang mengandung
fungsi-fungsi trigonometri dari sudut-sudut yang tidak
diketahui, dibagi menjadi 2, yaitu:
a) Persamaan Identik atau identitas, jika persamaan ini dipenuhi oleh
semua nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui dimana fungsi-fungsi
tersebut terdefinisi.
b) Persamaan bersyarat, atau persamaan, jika persamaan ini hanya
dipenuhi oleh bebrapa nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui.

6. Contoh
a. sin x csc x = 1 adalahidentitas,
Karenadipenuhiolehsemuanilaix,
dimanacscx terdefinisi
b. sin x = 0
adalahpersamaanbersyaratkarenatid
akdipenuhiolehx = 1
4∏ atau½∏
Dalam bahasan ini kita akan menggunakan
“persamaan” bukan “persamaan identik”

7. Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri
Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri
Persamaan Kuadrat Perbandingan
Trigonometri
Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c

8. Sebelum kita menggunakan rumus ..
Yuk kita latih dulu kemampuan kita…!
Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana berikut ini :
2 sin x = 1 untuk 0 < x < 360o
Jawab:
2 sin x = 1
sin x = ½
sin x = sin 30o
sudut x adalah sudut istimewa dan jelas x = 30o adalah penyelesaiannya.
Karena sin x juga positif di kuadran II, maka x = 180 – 30 = 150 juga
merupakan solusi persamaan diatas . Jadi , solusinya adalah 30o dan 150o.
Bentuk Dasar Persamaan
Trigonometri

9. 1. Pada bagian sebelumnya kita dapatkan bahwa fungsi sinus bernilai positif
di kuadran I dan II serta periode dasarnya adalah 360’.
Dengan demikian, penyelesaian dari persamaan
sin x = sin a adalah….
atau
Dengaan k = 0, ± 1, ± 2, …. K € bilangan bulat
2. Fungsi kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV serta mempunyai
periode dasar 360o , sehingga penyelesaian dari
cos x = cos a adalah….
atau
Dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….. K € bilangan bulat
x = a + k. 360o
x = (180-a) + k. 360o
x = a + k. 360o
x = (-a) + k. 360o

10. 3. Fungsi tangen bernilai positif di kuadran I dan kuadran III, dan periode
dasarnya adalah 180’, sehingga penyelesaian dari
tan x = tan a adalah….
Dengaan k = 0, ± 1, ± 2, …. K € bilangan bulat
x = a + k. 180o

11. 11

12. 12
Contoh soal
Tentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut,
untuk 00  x  3600 :
a. sin xo = 3
2
1
 b. sin (x+30)o – 1 = 0
Jawab
a. sin xo = 3
2
1

sin x = - sin 600
x1 = (– 600 )+ k. 3600
atau
x2 = 2400 + k. 3600
Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 240o atau 300o
x2 = 1800 –(– 600 )+ k. 3600
x1 =  + k. 3600
K = 0  x = -600
K = 1  x = 3000
K = 2  x = 6600
x2 = (1800– ) + k. 3600
K = 0  x = 2400
K = 1  x = 6000

13. Contoh soal
b. sin (x+30)o – 1 = 0
Jawab
b. sin (x+30)-1 = 0
sin (x+30) = 1
sin (x+30) = sin 90
x1 =  + k. 3600
X1+30= 90+k. 3600
K = 0  x = 600
K = 1  x = 4200
atau
x2 = (1800 – ) + k. 3600
X2+30 = (1800 – 90) + k.3600
X+30 = 90 + k. 3600
K = 0 x = 60
K = 1  x = 420
Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 60o

14. 14
Jika Cos xo = Cos o (xR)
Maka : x1 =  + k. 3600 atau
x2 = (– ) + k. 3600
k  Bilangan Bulat
2.
Contoh soal:
TentukanHimpunanPenyelesaiannya:
cos 3xo =
1
2
3untuk 00 x  3600
Jawab:
cos3xo =
1
2
3
cos 3x = cos 300
3x1 = 300 + k. 3600
x1 = 100 + k. 1200
k = 0  x =100
k = 1  x = 1300
k = 2  x = 2500
3x2 = –300 + k. 360
x2 = –100 + k. 1200
K = 0  x = -100
K = 1  x = 1100
K = 2  x = 2300
K = 3  x = 3500
atau
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah =
{100 , 1100 , 1300 , 2300, 2500, 3500 }

15. 15
Jika tan xo = tan o (x R)
Maka : x1.2 =  + k. 180
k  Bilangan Bulat
3.
Contoh Soal :
TentukanHimpunanPenyelesaiannya:
tan2xo = 3 untuk00  x  3600
Jawab:
tan2xo = 3
tan 2x = tan 600
2x1.2 = 600 + k. 1800
x1.2 = 300 + k. 900
k= 0  x = 300
k = 1 x = 1200
k = 2  x = 2100
k = 3  x = 3000
k = 4  x = 3900
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah =
{300 , 1200 , 2100 , 3000 }

16. Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan
Trigonometri
Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus
jumlah dan selisih dua sudut untuk memperoleh rumus perkalian sinus
dan kosinus. Pada bagian sebelumnya kita memperoleh :
Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b ......... (1)
Sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b ..........(2)
Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :
* 2 sin a cos b = Sin (a + b) + Sin (a - b)
Pengurangan persamaan 1 oleh persamaan 2 menghasilkan :
* 2 cos a sin b = Sin (a + b) - Sin (a - b)

17. Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh :
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b ......(3)
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b ......(4)
Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :
*2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
Pengurangan persamaan 3 oleh persamaan 4 menghasilkan :
* -2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)
Identitas yang kita peroleh di atas di sebut sebagai
“rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus “
dan kita rangkum sebagai berikut:
2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)
2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)

18. Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita
dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebaliknya yaitu
menyatakan jumlah atau selisih sinus dan kosinus sebagai perkalian
sinus dan kosinus. Untuk hal tersebut kita lakukan sebagai berikut:
Misal a + b = A dan a - b= B, maka
½ (A + B) = ½ (a + b + a - b) = ½ (2a) = a
½ (A - B) = ½ (a + b – a - b) = ½ (2b) = b
Jika hasil di atas kita substitusikan ke rumus trigonometri untuk perkalian
sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi maka diperoleh :
sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A ̶ B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)

19. 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)
2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS
sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A ̶ B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)
RUMUS UNTUK 2 SIN α COS β DAN 2 COS α SIN β
Untuk menyelesaikan Persamaan
trigonometri yang memuat jumlah
, selisih sinus
atau kosinus. Maka kita dapat
menggunakan rumus jumlah dan
selisih dalam trigonometri.
Untuk lebih jelas
perhatikan contoh
berikut….

20. Contoh
1. 2 cos 75 cos 15 = cos (75+15) + cos (75-15)
= cos 90 + cos 60
= 0 + ½
= ½
2. Cos 105 cos 15 = ½ cos (105+15) +
½ cos (105-15)
= ½ cos 120 + ½ cos 90
= ½ (-½) + 0
= -¼

21. 0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 5x + sin 3x = 0, dalam interval
0≤ x ≤ 360°.
Jawab:
Sin 5x + sin 3x = 0
⇔ 2 sin ½ (5x + 3x) cos ½ (5x ̶ 3x)
⇔2 sin 4x cos x = 0
sin 4x cos x = 0/2
sin 4x cos x = 0
⇔ sin 4x = 0 atau cos x = 0
Dari persamaan itu diperoleh :
sin 4x = 0 = sin 0°
⇔ 4x = k × 360° atau 4x = 180° + k. 360°
⇔ x = k × 90° atau x = 45° + k. 90°
⇔ untuk k = 0, x = 0° atau x = 45°
k = 1, x = 90° atau x = 135°
k = 2, x = 180° atau x = 215°
k = 3, x = 270° atau x = 315°
k = 4, x = 360° atau x = 405°
Jadi Hp = {0°,45°,90°, 180°, 135°, 215°, 270° ,315°, 360°}
Dari persamaan itu diperoleh :
Cos x = 0 = cos 90°
⇔ x = ± 90° + k . 360°
⇔ x = 90° +k . 360° atau x = - 90° +k . 360°
⇔ untuk k = 0 x = 90° atau x = - 90°
k = 1, x = 470° atau x = 270°

22. Persamaan Kuadrat Perbandingan
Trigonometri
Persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus, dan tangen.
Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen
akar-akarnya dapat ditentukan
dengan cara:
1.Dengan memfaktorkan
2.Dengan melengkapi kuadrat sempurna
3.Dengan menggunakan rumus ABC

23. Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat umum.
2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah ditentukan
3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.
a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0
(D=b²- 4ac)
b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}.
Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi, maka
persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau
himpunan penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).

24. Contoh 1:
Tentukan Hp dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0≤ x ≤ 360°
Jawab !
2 sin²x = 3 sin x - 1
2 sin²x – 3 sin x + 1 = 0
2p² - 3p + 1 = 0
(2p- 1) (p -1) = 0
p = ½ p = 1
a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½
sin x = sin 30°
x = 30° + k . 360° x = (180°- 30°) + k . 360°
k=0  x = 30° k = 0  x = 150°
k=1  x= 390° k = 1  x = 510°
b. Dari persamaan diperoleh sin x =1
sin x = sin 90°
x= 90 + k . 360° atau x = (180 – 90) ° + k.360 °
k= 0  x = 90° k= 0  x = 90o
k= 1  x = 450° k=1  x = 450o
misal sin x = p
Maka Hp = {30°, 90°,150°}

25. Contoh.2
Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x adalah……..
Jawab !
2 sin²x – 7 sin x + 3 =0
⇔2p² - 7xp+3 = 0
⇔ (2p – 1)(p – 3)=0
⇔ p = ½ atau p = 3 (ditolak)
Maka, sin x =½ dan sin x = 3
Sin x = ½ = sin 30°
x = 30° + k . 360° atau x = 150° + k . 360°
Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150°
dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30°

26. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0
untuk 0o ≤ x ≤ 180o
Penyelesaian :
Cos2 2x + sin 2x – 1 = 0
(1-sin2 2x) + sin 2x – 1 = 0
- sin2 2x + sin 2x = 0
Sin2 2x – sin 2x = 0
Sin 2x (sin 2x - 1) = 0
Sin 2x = 0 atau sin 2x = 1
a. Sin 2x = 0 = sin 0o b. Sin 2x = 1 = sin 90o
Penyelesaiannya : Penyelesaiannya :
1. 2x = 0o + k.360 2x = 90o + k.360o
x = 0o + k.360 x = 45o + k.180
k = 0 --> x = 0o k = 0 --> x = 45o
k = 1 --> x = 360o
2. 2x = 180o + k . 360
x = 90o + k . 180o
k = 0 --> x = 90o
k = 1 --> x = 270o
Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 0o
45o 90o 180o

27. Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8
Missal cos 2x = q
3q2 + 2q – 8 = 0
(3q-4) (q+2)
q = 4/3 atau q = -2
syarat akar-akar yang ditentukan :
D ≥ 0
D = b2 – 4ac
D = 22 – (4.3.-8)
D = 4 – (-96)
D = 100  Memenuhi
Nilai cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}
q1 = 4/3 > 1
q2 = -2 < -1
Keduanya tidak memenuhi
Karna salah satu syarat
tidak terpenuhi maka
HP = { }

28. Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat
Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudut
rangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan.
Perhatikan contoh dibawah ini.
1.Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2x – 10 sin x = - 11 dalam interval
0 ≤ x ≤ 360°
solusi !
Cos 2x – 10 sin x = -11
⇔1- 2 sin²x – 10 sin x = -11
⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0
⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0
⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima)
⇔sin x = 1 = 90°
x = 90° + k . 360°
Untuk k = 0 maka x = 90°
Jadi penyelesaianya adalah 90°
Ingat cos 2x = 1 – 2sin²x
Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat
dalam Sinus, cosinus dan tangen.

29. Persamaan berbentuk : a cos x + b sin
x = c
Bentuk a cos x + b sin x dapat diarahkan ke bentuk k cos (x-α).
Perlu diketahui bahwa cos (x-α) = cos x cos α + sin x sinα
Sehingga a cos x + b sin x = k. cos ( x – α )
= k (cos x cos α + sin x sin α)
= ( k.cos α ) cos x + ( k.sin α ) sin x
Hal ini sama artinya dengan a = k cos α dan b = k sin α
Ingat!
Oleh sebab itu, a2 + b 2 = (k.cos α) 2 + (k.sin α) 2
= k2 (cos 2 α + sin2 α) = k2
Dengan syarat k2 ≥ c 2
Cos 2α + sin2α = 1
a 2 + b 2 = k 2

30. Contoh 1 :
Nilai x yang memenuhi persamaan
-√2 cosx° + √2 sinx° = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…
jawab:
a = -√2 dan b = √2
k =
tanα =
→ α = 135 → cos(x – 135) = ½
▪ 2cos(x – 135) = 1 x – 135 = -60 + k.360
→ cos(x – 135) = ½ x = 75 + k.360
x – 135 = 60 + k.360 k = 0 → x = 75
x = 195 + k.360
k = 0 → x = 195
22
)2()2(  222 
II)kuadrandi(1
2
2


Jadi, Harga x yang
memenuhi adalah 75 o
atau 195 o

31. Contoh 2:
Himpunan penyelesaian persamaan
2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah….
jawab:
▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2
2√3cos2x – 2.sin2x = 2
√3cos2x – sin2x = 1
▪ √3cos2x – sin2x = 1
a = √3, b = -1 → k =
= 2
tan α =
α = 360° – 30° = 330°
▪ 2cos(2x - 330°) = 1
cos(2x – 330°) = ½
2x – 330 = 60 + k.360
22
1)3( 
IV)kuadrandiα(3
3
1
3
1



32. ▪ 2x – 330°= 60° + k.360°
2x = 390° + k.360°
x = 195° + k.180°
k = -1 → x = 15° → x =
k = 0 → x = 195°→ x =
▪ 2x – 330° = -60° + k.360°
2x = 270° + k.360°
x = 135° + k.180°
k = 0 → x = 135° → x =
k = 1 → x = 315° → x =
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah
12
1
12
13
4
3
4
7
  4
7
12
13
4
3
12
1
,,,

33. Thankyou…..