1. O documento é uma apostila sobre dinâmica de engenharia civil que introduz conceitos básicos de sistemas dinâmicos. 2. Aborda tópicos como definição de sistema dinâmico, tipos de carregamentos dinâmicos, formulação de equações de movimento e estudos de vibrações livres e resposta a carregamentos harmônicos. 3. Inclui diversos exemplos ilustrativos e listas de figuras e tabelas.

1. E
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V I LI
Universidade Estadual de Goi´as
Unidade de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas
Coordenac¸ ˜ao do Curso de Engenharia Civil
Apostila de Dinˆamica
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An´apolis, outubro de 2006

2. Lista de Figuras
1.1 Exemplos de carregamentos dinˆamicos precritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Diferenc¸a b´asica entre a an´alise est´atica e a an´alise dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Sistema Dinˆamico Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Influˆencia da gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Exemplo de movimento de vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Gr´afico do movimento de vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Gr´afico do movimento de vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas com velocidade inicial . . . . 19
2.4 Defasagens entre os movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Defasagens entre os movimentos - an´alise parametrizada no c´ırculo . . . . . . . . . . . 20
2.6 Viga com mossa no meio do v˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Deslocamento para viga com mossa no meio do v˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Deslocamento para viga com mossa no meio do v˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Comparac¸˜ao entre movimentos de viga com mossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Exemplo de movimento de vibrac¸˜oes livres criticamente amortecidas . . . . . . . . . . . 24
2.11 Gr´afico de movimento criticamente amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Gr´afico de movimento criticamente amortecido com velocidade inicial . . . . . . . . . . 26
2.13 Raz˜ao entre as freq¨uˆencias angulares em func¸˜ao do taxa de amortecimento . . . . . . . . 28
2.14 Gr´afico de movimento com amortecimento subcr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.15 Comparac¸˜ao geral dos movimentos de vibrac¸˜oes livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Sistema dinˆamico sujeito a carregamento harmˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Respostas para sistema sujeito a carregamento harmˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Fator de amplificac¸˜ao dinˆamicaem sistemas amortecidos com carregamento harmˆonico . 36
3.4 ˆAngulo de fase em sistemas amortecidos com carregamento harmˆonico . . . . . . . . . 37
3.5 Picos da raz˜ao de freq¨uˆencia em func¸˜ao da taxa de amortecimento . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Raz˜ao de amplificac¸˜ao din˜amica para sistemas amortecidos e n˜ao amortecidos . . . . . . 39
3.7 Func¸˜ao envolt´oria para resposta ressonante n˜ao amortecida . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2

3. Lista de Tabelas
3

4. Sum´ario
1 Introduc¸˜ao aos Sistemas Dinˆamicos 5
1.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Definic¸˜ao de Sistema Dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Objetivos Fundamentais da An´alise Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Tipos de Carregamentos Dinˆamicos Prescritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Caracter´ıticas Essenciais de um Problema Dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Formulac¸˜ao das Equac¸˜oes do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 O Princ´ıpio de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Sietema Dinˆamico Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.9 Equac¸˜ao do Movimento para um Sietema Dinˆamico Elementar . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10 Princ´ıpio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11 Influˆencia da gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.12 Excitac¸˜oes na base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Estudo de vibrac¸˜oes livres 14
2.1 Vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Vibrac¸˜oes livres criticamente amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Vibrac¸˜oes livres com amortecimento subcr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Determinac¸˜ao experimental da taxa de amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Resposta ao Carregamento Harmˆonico 31
3.1 Sistemas n˜ao amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Sistemas amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Resposta Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Carregamentos Peri´odicos 41
5 Carregamentos Impulsivos 42
6 Carregamentos Gen´ericos 43
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5. Cap´ıtulo 1
Introduc¸˜ao aos Sistemas Dinˆamicos
1.1 Introduc¸˜ao
Neste cap´ıtulo ser´a iniciado o estudo de conceitos at´e agora pouco explorados no n´ıvel de graduac¸˜ao.
Estudaremos os conceitos que envolvem a formulac¸˜ao de modelos que explicam o comportamento dos
sistemas mecˆanicos dinˆamicos. J´a de in´ıcio torna-se necess´ario discutir o que vem a ser um sistema
dinˆamico, qual a sua definic¸˜ao, quais suas caracter´ısticas e mais importante ainda, como se d´a a mecˆanica
dos sistemas dinˆamicos.
1.2 Definic¸˜ao de Sistema Dinˆamico
Em ´ultima an´alise, um sistema dinˆamico ´e aquele, onde uma determinada estrutura, ou elemento estru-
tural est´a sujeito a carregamentos que variam no tempo. Esta definic¸˜ao nos remete a um fato, do qual,
at´e agora, n˜ao tinhamos nos percebido, ou at´e mesmo, convenientemente “fugido”: O fato de que todas
as cargas variam no tempo. Mas e agora ? quer dizer que toda aquela teoria da est´atica que estudamos
est´a errada ? N˜ao ´e bem assim... Afinal os modelos de an´alise est´atica est˜ao a´ı em pleno funcionamento.
Mas sigamos adiante na explorac¸˜ao do conceito de sistema dinˆamico. Do ponto de vista pr´atico nenhuma
carga ´e aplicada estaticamente, uma vez que nenhuma estrutura “nasce” pronta. Os carregamentos s˜ao
adicionados gradativamente, variando com o tempo, ou algu´em acha que ´e poss´ıvel para um pedreiro
estalar os dedos e assentar todo o piso em todos os andares de um pr´edio ? Uma vez entendido que em
essˆencia todas as cargas s˜ao dinˆamicas, vamos agora entender como ´e que a est´atica existe.
Para o analista estrutural, o que realmente interessa s˜ao os efeitos que os carregamentos causam sobre
as estruturas, e entenda-se por efeitos, no caso dos analistas estruturais, os deslocamentos sofridos pelas
estruturas, pois a partir dos deslocamentos s˜ao calculadas as tens˜oes e deformac¸˜oes, possibilitando assim
o processo de dimensionamento racional dos elementos que constituem a estrutura.
Fac¸amos ent˜ao uma analogia simples para entender a diferenc¸a entre uma carga “considerada” dinˆamica e
uma carga “considerada” quasi-est´atica: Imaginemos ent˜ao um tanque de ´agua parada, vamos considerar
a ´agua contida dentro do tanque como sendo o nosso elemento estrutural. Agora, vamos adicionar uma
esfera de isopor sobre a superf´ıcie da ´agua, e vamos fazer isso de dois modos distintos: Em uma ocasi˜ao
colocaremos a esfera com todo o cuidado do mundo, bem devagarinho mesmo. Do outro jeito vamos
simplesmente “jogar” a esfera de uma certa altura h e deixar que ela colida com a superf´ıcie da ´agua.
Agora resta-nos analizar o que acontece com a superf´ıcie da ´agua nos dois casos de carregamento. E
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6. para facilitar nossa an´alise a ´unica forc¸a externa considerada ´e a forc¸a peso da esfera.
No primeiro caso, ocorrer˜ao deslocamentos de modo que surgir´a na superf´ıcie d’agua uma calota esf´erica
onde se acomodar´a a esfera. J´a no segundo caso, surgir˜ao aquelas famosas ondinhas que aparecem
quando jogamos uma pedra em um lago. Para ser mais cient´ıfico, a partir do instante em que o impacto
ocorrer, ser˜ao formadas ondas de choque concˆentricas e intercaladas por um determinado per´ıodo. Por-
tanto a mesma bolinha de isopor provoca efeitos diversos sobre a lˆamina d’agua dependendo do modo
em que se relaciona com a superf´ıcie de ´agua.
Podemos ent˜ao distinguir os dois tipos de carregamentos ilustrados pelos seus efeitos. Em um, a estrutura
sai de uma posic¸˜ao inicial e instantes depois que a carga ´e aplicada atinge uma posic¸˜ao deslocada final
que se mant´em constante. Em outra, n˜ao existe UMA posic¸˜ao deslocada final, e sim V ´ARIAS posic¸˜oes
de deslocamente que VARIAM com o TEMPO. Ao primeiro carregamento d´a-se o nome de carrega-
mento quasi-est´atico, ou simplesmente, carregamento est´atico, como ´e mais comumente conhecido. Ao
segundo d´a-se o nome de carregamento dinˆamico.
De forma bastante simplificada, o carregamento pode ser considerado est´atico quando, a velocidade de
aplicac¸˜ao de carga n˜ao ´e suficiente para provocar reac¸˜oes inerciais de massa com intensidade sufici-
ente para interferir nos deslocamentos da estrutura. Ou seja, quando for poss´ıvel desprezar a reac¸˜oes
inerciais de massa no c´alculo dos deslocamentos da estrutura, pode-se dizer que estamos diante de um
carregamento est´atico. Quando tais reac¸˜oes n˜ao puderem ser desprezadas, estamos ent˜ao, diante de um
carregamento dinˆamico. Mas... o que s˜ao reac¸˜oes inerciais de massa ?.
Lembremos que todo sistema tem in´ercia de movimento, ou seja, tende a permanecer no estado de mo-
vimento em que se encontra. As reac¸˜oes inerciais de massa s˜ao aquelas forc¸as que surgem no sistema
opondo-se a mudanc¸a do estado inercial do mesmo. Veremos melhor isso mais adiante, quando estiver-
mos estudando o princ´ıpio de D’Alambert.
1.3 Objetivos Fundamentais da An´alise Dinˆamica
A an´alise dinˆamica, assim como a an´alise est´atica tem como objetivo maior, estudar os efeitos (desloca-
mentos) causados na estrutura devido a ac¸˜ao de uma carga solicitante, com a ´unica diferenc¸a de que tanto
as cargas solicitantes quanto os deslocamentos resultantes VARIAM no tempo. Uma vez que os desloca-
mentos VARIAM no tempo, o mesmo ocorre com as grandezas derivadas do c´alculo dos deslocamentos,
ou seja, as tens˜oes e deformac¸˜oes em um sistema dinˆamico tamb´em variam com o tempo.
Existem basicamente duas formas diferentes de avaliar a resposta de uma estrutura submetida a carre-
gamentos dinˆamicos: a determin´ıstica e a n˜ao determin´ıstica. A escolha do m´etodo a ser utilizado na
an´alise depende do modo que o carregamento ´e definido. Se os valores da carga s˜ao plenamente conhe-
cidos ao longo do tempo, este carregamento ´e chamado de carregamento dinˆamico prescrito e a an´alise
dos efeitos de um carregamento dinˆamico prescrito ´e feita de modo determin´ıstico. Por outro lado, se
os valores de carga n˜ao s˜ao exatamente conhecidos ao longo do tempo mas podem ser determinados
estatisticamente, o carregamento ´e chamado de carregamento dinˆamico aleat´orio. E a an´alise dos efei-
tos de uma carregamento dinˆamico aleat´orio ´e feita com t´ecnicas n˜ao determin´ısticas. Inicialmente ´e
extremamente importante entender e realizar as an´alises dinˆamicas determin´ısticas, uma vez que as n˜ao
determin´ısticas podem ser constru´ıdas a partir do conhecimento adquirido com aquelas outras.
6

7. Como j´a dissemos, a resposta estrutural para qualquer carregamento dinˆamico prescrito ´e expresso em
termos de dislocamentos que surgem na estrutura. Assim, uma an´alise determin´ıstica nos leva direta-
mente a uma correlac¸˜ao entre os carregamentos e os deslocamentos ao longo do tempo. Ou seja, a an´alise
dinˆamica consiste em investigar como se comporta a relac¸˜ao Carga × Deslocamento ao longo do tempo.
As outras grandezas de interesse, tais como tens˜oes e deformac¸˜oes s˜ao obtidas em uma segunda fase da
an´alise dinˆamica, onde s˜ao obtidos os hist´oricos das grandezas de interesse ao longo do tempo.
1.4 Tipos de Carregamentos Dinˆamicos Prescritos
Quase todos os tipos de estrutura s˜ao submetidas, em algum momento de sua vida ´util, a carregamentos
dinˆamicos de alguma esp´ecie, basta citar, apenas como exemplo, que as cargas oriundas do vento s˜ao
considereadas dinˆamicas. Do ponto de vista anal´ıtico, ´e conveniente dividir os carregamentos dinˆamicos
prescritos em duas categorias: Os peri´odicos e os n˜ao peri´odicos. Alguns exemplos de carregamentos
dinˆamicos prescritos e algumas situac¸˜oes onde esses tipos de carregamento podem ocorrer s˜ao apresen-
tadas na Figura 1.1.
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(a)
(b)
(c)
(d)
em uma casa de
máquinas
Hélice do propulsor
de um navio
Terremoto sobre
um reservatório
de água
Motor desbalanceado
Periódicos
Não Periódicos Violento deslocamento
de ar devido a uma
explosão
Figura 1.1: Exemplos de carregamentos dinˆamicos precritos
7

8. Como pode ser visto na Figura 1.1, um carregamento peri´odico exibe a mesma variac¸˜ao de intesidade,
suscessivamente, durante um grande n´umero de ciclos. O carregamento peri´odico mais simples que
existe ´e aquele que apresenta a variac¸˜ao de intensidade na forma senoidal, assim como ´e mostrado na
Figura 1.1a. Esse tipo de carregamento ´e mais conhecido como Harmˆonico Simples. Na mesma Figura
1.1 s˜ao apresentadas algumas formas de carregamento dinˆamico peri´odico tais como aqueles causados
pela press˜ao hidrodinˆamica de uma h´elice propulsora de navio, ou aquelas cargas oriundas da ac¸˜ao de
m´aquinas desbalanceadas sobre estruturas de casa de m´aquinas ou de qualquer ambianete destinado a
maquinaria. No caso dos exemplos citados, a an´alise do caso da h´elice ´e mais complexo do que aquele
dos motores, por´em a utilizac¸˜ao das s´eries de Fourier facilitam consideravelmente a an´alise.
Os carregamentos n˜ao peri´odicos tanto podem ser de curta durac¸˜ao, tais como as cargas impulsivas, ou
de longa durac¸˜ao assim como a ac¸˜ao de vento em estruturas. Quando um avi˜ao rompe a barreira do som,
provoca uma esp´ecie de explos˜ao que desloca violentamente as massas de ar no local do fenˆomeno. Esse
deslocamento de ar repentino e violento provoca press˜oes sobre as superf´ıcies das edificac¸˜oes vizinhas,
e em alguns casos chega a trincar ou a quebrar as esquadrias externas das edificac¸˜oes. O mesmo ocorre
quando algum outro tipo de explos˜ao provoca o deslocamento das massas de ar, ´e por esse motivo que
muitos pr´edios pr´oximos a atentados terroristas a bomba apresentam enorme quantidade de vidros que-
brados. O deslocamento violento do ar devido a explos˜oes ´e um exemplo cl´assico de cargas dinˆamicas
impulsivas (n˜ao peri´odicas). A ac¸˜ao dos terremotos sobre as estruturas de edif´ıcios ´e um tipo de carrega-
mento n˜ao peri´odico. As cargas transmitidas as estruturas n˜ao tem uma distribuic¸˜ao peri´odica ao longo
do tempo, apresentando oscilac¸˜oes aleat´orias parecidas com aquelas mostradas no gr´afico da Figura 1.1d.
1.5 Caracter´ıticas Essenciais de um Problema Dinˆamico
Um problema dinˆamico difere de uma an´alise est´atica no que diz respeito a dois importantes aspectos.
A primeira diferenc¸a a ser notada, por definic¸˜ao, ´e que o carregamento dinˆamico varia no tempo, pois ´e
da pr´opria natureza do problema dinˆamico. Devido ao fato de tanto o carregamento quanto os desloca-
mentos variarem no tempo, ´e evidente que os problemas dinˆamicos n˜ao tˆem uma soluc¸˜ao ´unica, assim
como acontece com a an´alise est´atica. Ao inv´es disso os problemas dinˆamicos apresentam uma colec¸˜ao
de soluc¸˜oes, cada uma delas correspondendo a um instante de tempo espec´ıfico. Portanto, como alguns
j´a devem estar percebendo, a an´alise dinˆamica consome consideravelmente mais tempo que a an´alise
est´atica.
A segunda, e principal diferenc¸a entre as an´alises est´atica e dinˆamica ´e ilustrada na Figura 1.2. Se uma
simples barra bi-apoiada ´e submetida a um carregamento est´atico P, conforme ´e mostrado na Figura
1.2a, seus esforc¸os internos e os deslocamentos dependem apenas do valor dessa carga P e podem ser
calculados atrav´es das equac¸˜oes de equil´ıbrio de forc¸as dispon´ıveis na Est´atica. Por outro lado, se ´e
aplicado um carregamento dinˆamico P(t), assim como ´e mostrado na Figura 1.2b, os deslocamentos
n˜ao dependem somente do valor de P(t), mas tamb´em dependem das forc¸as inerciais que se op˜oe as
acelerac¸˜oes que surgem no interior da barra. Desse modo, os esforc¸os internos passam a depender das
acelerac¸˜oes que surgem na barra devido a aplicac¸˜ao da carga P(t).
As forc¸as inerciais que resistem as acelerac¸˜oes da estrutura, s˜ao deste modo, a mais importante carac-
ter´ıstica distintiva do probelma dinˆamico em relac¸˜ao ao problema est´atico. Portanto, de modo geral,
pode-se dizer que se as forc¸as inerciais exercem significante papel no equil´ıbrio da estrutura, estamos
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P P(t)
(a) (b)forças inerciais
Figura 1.2: Diferenc¸a b´asica entre a an´alise est´atica e a an´alise dinˆamica
tratando de um problema dinˆamico, ao passo que se essas mesmas forc¸as inerciais podem ser negligen-
ciadas quando da an´alise do equil´ıbrio da estrutura, estamos diante de um problema est´atico.
Outra grandeza importante na an´alise dinˆamica ´e o amortecimento, ou em outras palavras, o mecanismo
de dissipac¸˜ao de energia que tende a dissipar a energia que provoca os deslocamentos dinˆamicos fa-
zendo com que eles diminuam ao longo do tempo. Mais adiante faremos maiores considerac¸˜oes sobre o
amortecimento em sistemas dinˆamicos.
1.6 Formulac¸˜ao das Equac¸˜oes do Movimento
Como j´a foi mencionado anteriormente, o principal objetivo da an´alise de estruturas submetidas atrav´es
de m´etodos dinˆamicos determin´ısticos ´e o c´alculo dos deslocamentos ao longo do tempo para uma dada
estrutura sujeita a um carregamento dinˆamico prescrito. Em muitos casos, uma an´alise aproximada,
considerando apenas alguns graus de liberdade dinˆamica ´e suficiente para gerar resultadados com uma
precis˜ao satisfat´oria. Desse modo o problema consiste na determinac¸˜ao dos hist´oricos de deslocamento
de alguns pontos espec´ıficos da estrutura. Calcular os deslocamentos nesses pontos discretos da estrutura
´e suficiente para descrever o comportamento da mesma (como um todo) devido a ac¸˜ao da carga dinˆamica.
As express˜oes matem´aticas que descrevem o equil´ıbrio em qualquer ponto da estrutura s˜ao chamadas
de equac¸˜oes do movimento da estrutura, e ´e a soluc¸˜ao dessas equec¸˜oes que nos fornece o valor dos
deslocamentos (ao longo do tempo) da estrutura nos pontos especificamente estudados.
A formulac¸˜ao das equac¸˜oes do movimento para um sistema dinˆamico ´e possivelmente o passo mais im-
portante, e algumas vezes, o mais dif´ıcil em todo o processo de an´alise dinˆamica. Existem na literatura,
v´arios m´etodos dispon´ıveis para a formulac¸˜ao dessas equac¸˜oes, cada um deles apresentando especifici-
dades que os tornam mais adequados a esta ou a aquela situac¸˜ao. Independente de qual seja o m´etodo
utilizado na obtenc¸˜ao das equac¸˜oes do movimento, ´e necess´ario saber como as forc¸as inerciais de massa
s˜ao matematicamente representadas. Deduziremos essa equac¸˜ao, usando o princ´ıpio de D’Alambert.
1.7 O Princ´ıpio de D’Alambert
As equac¸˜oes do movimento de qualquer sistema dinˆamico representam express˜oes da segunda lei do
moviemto de Newton, que diz que a taxa de variac¸˜ao da quantidade de movimento de qualquer part´ıcula
de massa m ´e igual a forc¸a que est´a agindo sobre essa part´ıcula. Esta relac¸˜ao pode ser matematicamente
expressa pela seguinte equac¸˜ao diferencial:
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10. P(t) =
d
dt
m
du
dt
(1.1)
Onde P(t) ´e o vetor forc¸a aplicada e u(t) ´e o vetor posic¸˜ao da part´ıcula de massa m. Felizmente, para
a grande maioria dos problemas de nosso interesse a massa do sistema permanece constante, o que nos
leva a reescrever a Equac¸˜ao (1.1) do seguinte modo:
P(t) = m
d2u
dt2
≡ m ¨u(t) (1.2)
Onde os dois pontos significam a derivada segunda em relac¸˜ao ao tempo. A Equac¸˜ao (1.2) indica que
para os sistemas onde a massa ´e constante em relac¸˜ao ao tempo, a forc¸a aplicada ´e igual ao produto da
massa pela acelerac¸˜ao. Uma outra forma tamb´em usada para a mesma equac¸˜ao ´e a seguinte:
P(t)−m ¨u(t) = 0 (1.3)
Onde m ¨u(t) ´e chamado de forc¸a inercial de resistˆencia a acelerac¸˜ao da massa. O conceito de que a
acelerac¸˜ao da massa de um sistema gera o surgimento de forc¸as ierciais proporcionais a acelerac¸˜ao dos
sistema ´e conhecido como o Princ´ıpio de D’Alambert. ´E uma abordagem bastante conveniente em pro-
blemas de an´alise estrutural dinˆamica porque permite que as equac¸˜oes do movimento sejam expressa
na formas de equac¸˜oes de equil´ıbrio dinˆamico. Podem existir para a forc¸a P(t) diversas func¸˜oes que
expressem as mais variadas formas de carregamento agindo em um sistema onde a massa pode ser con-
centrada. A forc¸as el´asticas que se op˜oe aos deslocamentos assim como tamb´em as forc¸as viscosas que
se op˜oe as velocidades podem ser facilmente inclu´ıdas nessa formulac¸˜ao das equac¸˜oes do movimento,
permitindo levar em considerac¸˜ao a elasticidade dos corpos e o amortecimento do movimento. Para os
problemas que estudaremos, esta abordagem para a obtenc¸˜ao das equac¸˜oes do movimento se mostrar´a
bastante conveniente, por´em n˜ao devemos esquecer que existem outras abordagens mais convenientes
em outras situac¸˜oes, como pro exemplo, o princ´ıpio dos trabalhos virtuais, que tamb´em pode ser utili-
zado na formulac¸˜ao das equac¸˜oes do movimento em sistemas dinˆamicos mais complexos, envolvendo
um grande n´umero de graus de liberdade dinˆamica.
1.8 Sietema Dinˆamico Elementar
As propriedades f´ısicas essenciais de qualquer sistema dinˆamico linear el´astico, ou sistema mecˆanico
sujeito a uma excitac¸˜ao externa ou carregamento dinˆamico, que leva em considerac¸˜ao a massa e as
energias dissipativas do sistema podem ser definidas a partir do modelo simplificado apresentado na
Figura 1.3, que define o que chameremos de Sistema Dinˆamico Elementar, que ´e o sistema dinˆamico de
um grau de liberdade mais simples que pode existir.
Toda a massa do sistema ´e inclu´ıda em um bloco r´ıgido que est´a apoiado sobre dois roletes de tal modo
que somente possa existir um ´unico movimento de translac¸˜ao, controlado pelo deslocamento u(t), que
define a posic¸˜ao do bloco para qualquer instante de tempo t. A resistˆencia el´astica aos deslocamentos
´e proporcionada pela mola de massa despres´ıvel e de constante k, equanto o mecanismo de dissipac¸˜ao
de energia (amortecimento) ´e representado pelo amortecedor C. O carregamento dinˆamico externo que
solicita o sistema ´e representado pela func¸˜ao de carregamento P(t).
10

11. u(t) u(t)
fI
fD(t)
fS(t) P(t)
0000000000000000000
0000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
1111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111
00000000000000000
00000000000000000
00000000000000000
11111111111111111
11111111111111111
11111111111111111
m
(a) (b)
C
k
P(t)
Figura 1.3: Sistema Dinˆamico Elementar
1.9 Equac¸˜ao do Movimento para um Sietema Dinˆamico Elementar
A equac¸˜ao do movimento para um sistema dinˆamico elementar ´e mais facilmente obtida a partir da
aplicac¸˜ao direta do princ´ıpio de D’Alambert, expressando o equil´ıbrio de todas as forc¸as que atuam
no sistema. Assim como ´e mostrado na Figura 1.3b s˜ao quatro as forc¸as que atuam na direc¸˜ao do
grau de liberdade dinˆamica: 1) A solicitac¸˜ao externa P(t), 2) As forc¸as inerciais fI, 3) As forc¸as de
amortecimento fD e 4) As forc¸as de mola fS. A equac¸˜ao do movimento ´e simplesmente a express˜ao do
equil´ıbrio dessas quatro forc¸as, sendo escrita do seguinte modo:
fI(t)+ fD(t)+ fS(t) = P(t) (1.4)
Cada uma das forc¸as do lado esquedo da Equac¸˜ao (1.4) ´e uma func¸˜ao do deslocamento u(t), ou de alguma
de suas derivadas.
De acordo com o princ´ıpio de D’Alambert, a forc¸a inercial ´e o produto da massa pela acelerac¸˜ao, assim:
fI(t) = m ¨u(t) (1.5)
Assumindo a hip´otese de que o amortecimento ´e viscoso, a forc¸a de amortecimento ´e proporcional a
velocidade de acordo com a seguinte equac¸˜ao:
fD(t) = c ˙u(t) (1.6)
E finalmente, a forc¸a el´astica ´e igual ao produto entre o deslocamento e a constante de mola, portanto:
fS(t) = ku(t) (1.7)
Quando substituimos as Equac¸˜oes (1.5 - 1.7) na Equac¸˜ao (1.4) temos a seguinte equac¸˜ao do movimento:
m ¨u(t)+c ˙u+ku(t) = P(t) (1.8)
Portanto, a Equac¸˜ao (1.8) ´e a equac¸˜ao do movimento para um sistema dinˆamico elementar, obtida a partir
da aplicac¸˜ao direta do princ´ıpio de D’Alambert na determinac¸˜ao das forc¸as inerciais de massa.
11

12. 1.10 Princ´ıpio dos trabalhos virtuais
1.11 Influˆencia da gravidade
Para analisar-mos a influˆencia da gravidade nos problemas dinˆamicos examinemos o sistema mecˆanico
apresentado na Figura 1.4
∆e
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
m
P F(t)
m
m u(t) U(t)
Figura 1.4: Influˆencia da gravidade
No sistema apresentado na Figura 1.4, temos um sistema mecˆanico elementar de um grau de liberdade
sujeito a ac¸˜ao da gravidade e tamb´em a uma ac¸˜ao dinˆamica F(t). Devido a ac¸˜ao exclusiva da forc¸a peso,
o bloco r´ıgido de massa m ”desce” uma distˆancia ∆e e l´a permaneceria se somente o peso atuasse sobre o
bloco. Esse deslocamento devido ao peso ser´a considerado est´atico, uma vez que a estrutura em poucos
instantes assume uma configurac¸˜ao de equil´ıbrio est´atico, e tamb´em porque o peso j´a ”nasce” com a
estrutura.
Portanto, o deslocamento dinˆamico u(t) (u pequeno) ser´a medido a partir da posic¸˜ao de equil´ıbrio
est´atico. de modo que um deslocamento total U(t) (U grande) provocado pela ac¸˜ao conjunta do peso e
do carregamento dinˆamico ser´a medido a partir de um referencial de posic¸˜ao do sistema sem a atuac¸˜ao
dessas forc¸as. (apenas didaticamente, uma vez que n˜ao d´a para tirar o peso da estrutura).
Assim, se escrevermos a equac¸˜ao do movimento para o referencial de deslocamento U(t) (U grande)
teremos:
M ¨U +C ˙U +KU = P+F(t) (1.9)
Como U(t) = u(t)+∆e, teremos que:
M ¨u+M ¨∆e +C ˙u+C ˙∆e +Ku+K∆e = P+F(t) (1.10)
Uma vez que ∆e ´e um deslocamento est´atico, provocado por um carregamento est´atico (Peso), tanto sua
velocidade de aplicac¸˜ao quanto o campo de acelerac¸˜oes provocados pela ac¸˜ao do peso s˜ao nulos, assim
¨∆e = ˙∆e = 0. O que nos leva a reescrever a Equac¸˜ao (1.10) como sendo:
12

13. M ¨u+C ˙u+Ku+K∆e = P+F(t) (1.11)
Sabemos ainda que ∆e ´e um deslocamento causado exclusivamente pelo peso, e que a partir do equil´ıbrio
est´atico, determina-se que K∆e = P, assim, temos que:
M ¨u+C ˙u+Ku+P = P+F(t) (1.12)
O que nos leva a:
M ¨u+C ˙u+Ku = F(t) (1.13)
Que nos permite concluir que o peso nenhuma influˆencia exerce sobre a resposta dinˆamica do sistema,
e que se quisermos calcular o deslocamento total em um sistema din˜amico sujeito a gravidade basta
acrescentar aos deslocamentos dinˆamicos do sistema, os deslocamentos est´aticos causados pelo peso.
1.12 Excitac¸˜oes na base
13

14. Cap´ıtulo 2
Estudo de vibrac¸˜oes livres
O primeiro problema dinˆamico que analisaremos ´e o estudo das vibrac¸˜oes livres, ou seja, estudaremos
o que acontece com um sistema dinˆamico quando n˜ao submetido a nenhum carregamento ou excitac¸˜ao
externa. Matematicamente falando, estudar vibrac¸˜oes livres ´e o mesmo que fazer F(t) = 0 na equac¸˜ao
do movimento. Assim, termos que:
M ¨u+C ˙u+Ku = 0 (2.1)
A Equac¸˜ao (2.1) ´e uma equac¸˜ao diferencial ordin´aria homogˆenia de segunda ordem. E em nosso
curso assumiremos que o estudante tenha uma familiaridade m´ınima com o assundo de forma a permir
o entendimento do tratamento matem´atico que ser´a dado a soluc¸˜ao do problema.
A soluc¸˜ao de uma equac¸˜ao diferencial ´e uma func¸˜ao, e no caso da equac¸˜ao do movimento deve ser
uma func¸˜ao cont´ınua com primeira e segunda derivadas tamb´em cont´ınuas, e um bom palpite para essa
func¸˜ao que ´e resposta da equac¸˜ao do movimento ´e a func¸˜ao:
u(t) = G est
(2.2)
Onde G ´e uma constante complexa que depender´a das condic¸˜oes iniciais do problema.
Supondo que nosso palpite esteja correto, teremos que:
u(t) = G est
˙u(t) = G.s est
¨u(t) = G.s2 est (2.3)
Assim, substituindo as Equac¸˜oes (2.3) na Equac¸˜ao (2.1), teremos que:
M G.s2
est
+C G.s est
+KG est
= 0 (2.4)
Colocando G.est em evidˆencia teremos que:
G.est
. M s2
+C s+K = 0 (2.5)
Como G.est = 0, forc¸osamente teremos que a soluc¸˜ao equac¸˜ao alg´ebrica M s2 +C s + K = 0 ser´a a
soluc¸˜ao da equac¸˜ao do movimento proposta em (2.1). No estudo das equac¸˜oes diferenciais chama-se a
14

15. equac¸˜ao alg´ebrica M s2 +C s+K = 0 de equac¸˜ao caracter´ıstica do problema.
Dividindo todos os termos da equac¸˜ao caracter´ıstica por M, teremos que:
s2
+
C
M
.s+
K
M
= 0 (2.6)
Lembrando ainda que K
M = ω2, onde ω ´e a freq¨uˆencia natural circular do sistema, teremos que:
s2
+
C
M
.s+ω2
= 0 (2.7)
A equac¸˜ao s2 + C
M .s+ω2 = 0 ´e uma equac¸˜ao do segundo grau cuja a soluc¸˜ao ´e dada por:
s1,2 =
−C
M ± C
M
2
−4ω2
2
(2.8)
Ou rearranjado em um modo mais conveniente, a soluc¸˜ao da equac¸˜ao caracter´ıstica ´e dada por:
s1,2 = −
C
2M
±
C
2M
2
−ω2 (2.9)
A Equac¸˜ao (2.9) ´e a soluc¸˜ao geral da equac¸˜ao caracter´ıstica para todos os casos de vibrac¸˜oes livres.
Veremos agora alguns casos espec´ıficos de vibrac¸˜oes livres, que essencialmente depender˜ao do amorte-
cimento do sistema mecˆanico.
2.1 Vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas
Nos casos de vibrac¸˜oes n˜ao amortecidas (C = 0) teremos por soluc¸˜ao da equac¸˜ao caracter´ıstica:
s1,2 = ± −ω2 = ± iω (2.10)
Deste modo, e lembrando que se duas func¸˜oes linearmente independentes s˜ao soluc¸˜oes de uma equac¸˜ao
diferencial, ent˜ao a soma dessas func¸˜oes ser´a a soluc¸˜ao completa da equac¸˜ao diferencial, e como as
duas soluc¸˜oes S1 = iω e S2 = −iω s˜ao linearmente independentes, substituindo ambas na equac¸˜ao (2.2),
teremos como soluc¸˜ao geral para vibrac¸˜oes n˜ao amortecidas a Equac¸˜ao (2.11):
u(t) = G1 eiωt
+G2 e−iωt
(2.11)
Onde G1 e G2 s˜ao constantes complexas que dependem das condic¸˜oes iniciais do problema.
Lembrando que o valor de qualquer func¸˜ao em um ponto espec´ıfico pode ser obtido a partir da expans˜ao
em s´erie de Taylor apresentada na Equac¸˜ao (2.12):
f(x) =
∞
∑
n=0
fn(a)
n!
(x−a)n
(2.12)
Temos que expandindo a func¸˜ao ex em torno do ponto a = 0, obteremos que:
15

16. ex
=
∞
∑
n=0
fn(0)
n!
(x)n
= 1+
x1
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+... (2.13)
Assim, podemos expandir eiωt em torno do ponto a = 0, de forma que:
eiωt
= 1+
iωt
1
+
(iωt)2
2!
+
(iωt)3
3!
+
(iωt)4
4!
+
(iωt)5
5!
+
(iωt)6
6!
+... (2.14)
Lembrando que:
i = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
·
·
·
(2.15)
E agrupando os termos reais e os termos imagin´arios, podemos reescrever a Equac¸˜ao (2.14) na forma da
Equac¸˜ao (2.16):
eiωt
=
∞
∑
n=0
(−1)n
2n!
(ωt)2n
+ i
∞
∑
n=0
(−1)(2n+1)
(2n+1)!
(ωt)(2n+1)
(2.16)
Analisando a Equac¸˜ao(2.16), observamos que o termo real corresponde a expans˜ao em s´erie de Taylor
da func¸˜ao cosseno de ωt ao passo que o somat´orio que multiplica i ´e a expans˜ao em da func¸˜ao seno de
ωt. Substituindo esses valores na Equac¸˜ao (2.11), teremos que:
u(t) = G1 (cos(ωt)+ i sen(ωt))+G2 (cos(ωt)− i sen(ωt)) (2.17)
Agrupando os termos comuns da Equac¸˜ao (2.17), temos:
u(t) = (G1 +G2)cos(ωt)−(G1 +G2)sen(ωt) (2.18)
Lembrando que G1 e G2 s˜ao constantes complexas dadas por:
G1 = G1R +i G1I
G2 = G2R +i G2I (2.19)
Substituindo (2.19) em (2.18), teremos:
u(t) = {(G1R +i G1I)+(G2R +i G2I)}cos(ωt)−{(G1R +i G1I)+(G2R +i G2I)}sen(ωt) (2.20)
Efetuando as multiplicac¸˜oes e somas necess´arias, e fazendo as simplificac¸˜oes poss´ıveis na Equac¸˜ao
(2.20), chegaremos a:
16

17. u(t) = cos(ωt)(G1R +G2R)+sen(ωt)(−G1I +G2I)i sen(ωt)(G1R −G2R)+i cos(ωt)(G1I +G2I)
(2.21)
Agrupando os termos reais e im´agin´arios separadamente, teremos que:
u(t) = (G1R +G2R)cos(ωt)−(G1I −G2I)sen(ωt)+i {(G1I +G2I)cos(ωt)+(G1R −G2R)sen(ωt)}
(2.22)
Como o deslocamento u(t) deve ser real, teremos que:
G1I = −G2I = GI
G1R = G2R = GR (2.23)
Portanto,
G1 = GR +i GI
G2 = GR −i GI (2.24)
Assim, a Equac¸˜ao (2.24), cont´em o valor das constantes complexas G1 e G2 que aparecem na Equac¸˜ao
(2.18). Substituindo os valores de G1 e G2 expressos em (2.24) na equac¸˜ao (2.18), teremos que:
u(t) = 2GRcos(ωt)−2GIsen(ωt) (2.25)
Fazendo A = 2GR e B = −2GI na Equac¸˜ao (2.25), chegaremos a:
u(t) = A.cos(ωt)+B.sen(ωt) (2.26)
Onde A e B s˜ao constantes reais que dependem das condic¸˜oes iniciais do problema, ou seja dependem
da posic¸˜ao inicial u(0) e da velocidade inicial ˙u(0).
Fazendo u = 0 na Equac¸˜ao (2.26), teremos que:
A = u(0) (2.27)
Derivando a Equac¸˜ao (2.26) em func¸˜ao do tempo, teremos:
˙u(t) = −Aωcos(ωt)+Bωsen(ωt) (2.28)
Fazendo u = 0 na Equac¸˜ao (2.28), teremos que
˙u(0) = Bω ⇒ B =
˙x(0)
ω
(2.29)
Assim substituindo os valores de A e B encontrados na Equac¸˜oes (2.27) e (2.29) na Equac¸˜ao (2.26),
teremos que a soluc¸˜ao da equac¸˜ao do movimento para vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas ser´a dada por:
17

18. u(t) = u(0).cos(ωt)+
˙u(0)
ω
.sen(ωt) (2.30)
Onde u(0) e ˙u(0) s˜ao as condic¸˜oes iniciais do problema.
Vejamos um exemplo para entender melhor o movimento da vibrac¸˜ao livre n˜ao amortecida: Considere-
mos que o sistema indicado na Figura 2.1.
000000000000000000
000000000000000000000000000
000000000
000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111111111111
111111111
111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111
m
m
2 mm
u(t)
P = 20.000 N
K = 2 x 10 N / m
6
Figura 2.1: Exemplo de movimento de vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas
No sistema apresentado na Figura 2.1 um bloco que pesa 20.000 Newtons cuja rigidez do sistema ´e
de 2 ×106 N/m ´e deslocado 2mm de sua posic¸˜ao de equil´ıbrio conforme indicado na figura e logo em
seguida abandomado, com velocidade inicial nula, em movimento livre e n˜ao amortecido. Vejamos agora
como descrever o movimento do sistema ao longo do tempo:
Inicialmente determinaremos a freq¨uˆencia angular (ω)do sistema:
ω = K
M
M =
P
g
=
20000
10
.
N
m
s2
= 2000
N.s2
m
K = 2×106N/m
ω = 2×106
2×103 = 31.623 rad/s
Deslocar 2mm a partir do equil´ıbrio, significa que u(0) = 0,02 m e ser abandonado com velocidade
inicial nula significa ˙u(0) = 0, logo a equac¸˜ao desse movimento ser´a dada por:
u(t) = 0,02.cos(31,623t)+
0
31,623
.sen(31,623t)
18

19. Como o termo que depende da velocidade inicial ´e nulo, teremos que:
u(t) = 0,02.cos(31,623t)
Na Figura 2.2, apresenta-se o hist´orico do deslocamento u(t), em func¸˜ao do tempo t.
T =
2π
ω
u(0)
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.2: Gr´afico do movimento de vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas
Em um caso mais geral podemos supor que o movimento inicie com velocidade de 6 m/s. Neste caso,
ter´ıamos a seguinte equac¸˜ao do movimento:
u(t) = 2.cos(31,623t)+
6
31,623
.sen(31,623t)
O que nos conduz ao gr´afico de movimento apresentado na Figura 2.3
u(0)
ω
θ− ω
θ
t +
u(0)
ρ
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.3: Gr´afico do movimento de vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas com velocidade inicial
19

20. Observe agora, com velocidade inicial n˜ao nula existe uma certa defasagem no movimento quando
comparado ao apresentado na Figura 2.2, onde a velocidade inicial era nula. Essa defasagem ´e provocada
pela parcela
˙u(0)
ω
.sen(ωt) Ou seja, a parcela da velocidade inicial faz com que o sistema v´a mais longe
(tenha uma amplitude maior), fazendo com que ele demore um pouco mais para retornar para a posic¸˜ao
de equil´ıbrio. Analisando o gr´afico da Figura 2.4, pode-se perceber essa diferenc¸a.
defasagem de amplitude
defasagem de tempo
−3
−2
−1
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Velocidade inicial nula
Veloc inicial dif de zero
Figura 2.4: Defasagens entre os movimentos
Uma outra forma de interpretar graficamente esse movimento est´a apresentada na Figura 2.5.
ωt
tω
t+ θ)(ω
ω
u(0)
u(0)
ρ
+2
+1
u(t)
Im
−1
−2
ρ
u(0)
− θ
Re
Figura 2.5: Defasagens entre os movimentos - an´alise parametrizada no c´ırculo
No c´ıculo da Figura 2.5 apresenta-se a parametrizac¸˜ao da Equac¸˜ao (2.30), de modo que a posic¸˜ao do
sistema ´e dada pela soma dos vetores u(0) e
˙u(0)
ω
, vetores esses que ser˜ao sempre ortogonais e est˜ao
girando em torno da posic¸˜ao de equil´ıbrio com velocidade angular ωt. Uma vantagem dessa interpretac¸˜ao
´e que permite calcular de forma mais compacta algumas vari´aveis e parˆametros de interesse, como o
ˆangulo de fase θ, a amplitude ρ e a posic¸˜ao u(t) do sistema para um dado instante de tempo t qualquer.
20

21. Analisando o c´ırculo percebemos que o ˆangulo de defasagem entre os dois movimentos pode ser obtido
como sendo:
θ = atan
− ˙u(0)
ω
u(0)
= atan
− ˙u(0)
ω u(0)
(2.31)
J´a a aplitude ρ ´e dada por:
ρ = (u(0))2
+
˙u(0)
ω
2
(2.32)
E, se desejamos a posic¸˜ao do sistema em um dado instante de tempo, teremos que:
u(t) = ρ.cos(ωt +θ) (2.33)
2.1.1 exemplo
Considere uma viga simplesmente apoiada com uma mossa aplicada no meio do v˜ao conforme indica
a figura 2.6. Sabendo que a mossa pesa 45.000 Newtons e que o peso pr´oprio da viga ´e desprez´ıvel
para esse problema, determine a equac¸˜ao do movimento do sistema e esboc¸e o gr´afico do movimento,
considerando o mesmo n˜ao amortecido e que a mossa ´e deslocada 20 mm de sua posic¸˜ao de equil´ıbrio
e depois abandonada com velocidade inicial nula. Considere que a in´ercia da sec¸˜ao transversal vale
8,325 ×10−5 m4, que o m´odulo de elasticidade linear ´e igual a 2,0 ×1011 N/m2, que o v˜ao da viga ´e
de 6 metros e que a acelerac¸˜ao da gravidade vale 10 m/s2.
00000000
00000000
11111111
11111111P
L/2 L/2
Figura 2.6: Viga com mossa no meio do v˜ao
Primeiramente, calculamos a massa do sistema:
M =
P
g
=
45000
10
N
m/s2
⇒ M = 4500 N.s2
/m
Depois calculamos a rigidez de mola na direc¸˜ao do movimento (a rigidez que a viga oferece no meio do
v˜ao) que pode ser facilmente encontrada em tabelas de livros de resistˆencia dos materiais ou teoria das
estruturas:
K =
48EI
L3
=
48×2×1011 ×8,325×10−5
63
N
m2
×m4
×
1
m3
= 3,7×106 N
m
Agora podemos calcular a freq¨uˆencia angular do sistema:
ω =
K
M
=
3,7×106
4500
N/m
N.s2/m
= 28,674 rad/s
21

22. Agora podemos calcular o per´ıodo:
T =
2×π
ω
=
2×π
28,674
= 0,21912 s
E a freq¨uˆencia f:
f =
1
T
=
1
0,21919
= 4.5637 Hz
Em termos gerais a equac¸˜ao do movimento para vibrac¸˜oes livres n˜ao amortecidas ´e dada por:
u(t) = u(0)cos(ω t)+
˙u(0)
ω
sen(ω t)
Como:
u(0) = 0,02 m
˙u(0) = 0 m/s
Temos a equac¸˜ao do movimento dada por:
u(t) = u(0)cos(ω t)
Cujo gr´afico ´e apresentado na Figura 2.7:
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.7: Deslocamento para viga com mossa no meio do v˜ao
2.1.2 exemplo
Considere agora que a mesma viga do exemplo anterior inicia o movimento com velocidade inicial de
6 m/2. Para essa situac¸˜ao calcule o ˆangulo de fase, a amplitude do sistema e esboc¸e o gr´afico do novo
movimento.
O ˆangulo de fase ´e dado pela Equac¸˜ao (2.31), ent˜ao:
22

23. θ = atan
˙u(0)
ω u(0)
= atan
60
28,674×0,02
= 1,5612 rad
A amplitude ´e dada pela Equac¸˜ao (2.32), ent˜ao:
ρ = (u(0))2
+
˙u(0)
ω
2
= (0,02)2
+
6
28,674
2
= 0,21020m
A Equac¸˜ao do movimento pode ser dada pela Equac¸˜ao (2.30)
u(t) = 0,02.cos(28,674t)+
6
28,674
.sen(28,674t)
Cujo gr´afico do movimento ´e apresentado na Figura 2.8:
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.8: Deslocamento para viga com mossa no meio do v˜ao
O gr´afico da Figura (2.9), permite verificar a defasagem entre os movimentos com e sem velocidade
inicial.
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.9: Comparac¸˜ao entre movimentos de viga com mossa
23

24. 2.2 Vibrac¸˜oes livres criticamente amortecidas
Para que um sistema em vibrac¸˜oes livres esteja criticamente amortecido, ´e necess´ario que ap´os retirado
da posic¸˜ao inicial de equil´ıbrio, retorne a mesma sem oscilac¸˜oes. Em termos matem´aticos basta que o
radical da soluc¸˜ao geral para vibrac¸˜oes livres seja nulo. A soluc¸˜ao geral para vibrac¸˜oes livres ´e dada pela
Equac¸˜ao (2.9), e fazendo o radical igual a zero nesta equac¸˜ao teremos o amortecimento cr´ıtico dado por:
Cc = 2ωM (2.34)
Substituindo o amortecimento cr´ıtico na soluc¸˜ao geral teremos que:
s1,2 = −
Cc
2M
±
Cc
2M
2
−ω2 (2.35)
Deste modo, a soluc¸˜ao geral da equac¸˜ao caracter´ıstica para vibrac¸˜oes livres com amortecimento cr´ıtico ´e
dada por:
s1,2 = −ω (2.36)
Substituindo a soluc¸˜ao geral na equac¸˜ao do movimento teremos que:
u(t) = (G1 +G2 t))e−ω t
(2.37)
Onde G1 e G2 s˜ao constantes reais, uma vez que a soluc¸˜ao da equac¸˜ao caracter´ıstica n˜ao apresenta
termos imagin´arios. Aplicando as condic¸˜oes iniciais para a Equac¸˜ao (2.37), pode-se reescreve-la da
seguinte forma:
u(t) = [u(0)×(1+ω t)+ ˙u(0) t]e−ω t
(2.38)
2.2.1 exemplo
Considere que o sistema dinˆamico apresentado na Figura 2.10 est´a submetido a um amortecimento
cr´ıtico. Nesse sistema a massa ´e deslocada 2 mm de sua posic¸˜ao de equil´ıbrio e depois abandonada
com velocidade inicial nula.
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
m
m
2 mm
u(t)
P = 20.000 N
K = 2 x 10 N / m
6
Figura 2.10: Exemplo de movimento de vibrac¸˜oes livres criticamente amortecidas
24

25. Inicialmente determinaremos a freq¨uˆencia angular (ω)do sistema:
ω = K
M
M =
P
g
=
20000
10
.
N
m
s2
= 2000
N.s2
m
K = 2×106N/m
ω = 2×106
2×103 = 31.623 rad/s
Deslocar 2mm a partir do equil´ıbrio, significa que u(0) = 0,02 m e ser abandonado com velocidade
inicial nula significa ˙u(0) = 0 m/s, logo a equac¸˜ao desse movimento ser´a dada por:
u(t) = [0,02×(1+31,623 t)]e−31,623 t
O gr´afico do movimento ´e o apresentado na Figura 2.11.
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Figura 2.11: Gr´afico de movimento criticamente amortecido
Supondo que a massa fosse abandonada com velocidade inicial de 20 m/s, a equac¸˜ao do movimento seria
dada por:
u(t) = [0,02×(1+31,623 t +20 t)]e−31,623 t
Sendo o movimento representado no gr´afico da Figura 2.12.
Pode-se notar que nos casos em que o amortecimento ´e cr´ıtico n˜ao existe oscilac¸˜ao em torno da posic¸˜ao
de equil´ıbrio. As estruturas assim que retiradas de sua posic¸˜ao original retornam a mesma sem nenhuma
oscilac¸˜ao.
25

26. 0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Figura 2.12: Gr´afico de movimento criticamente amortecido com velocidade inicial
2.3 Vibrac¸˜oes livres com amortecimento subcr´ıtico
Um outro caso de interesse para a an´alise estrutural ´e o caso das vibrac¸˜oes livres submetidas a um
amortecimento subcr´ıtico. Ali´as esta ´e a realidade da grande maioria das estruturas de Engenharia Civil.
J´a vimos que nos casos em que o amortecimento ´e cr´ıtico, o radical presente na soluc¸˜ao da equac¸˜ao
caracter´ıstica deve ser nulo. Como amortecimento subcr´ıtico obviamente significa amortecimento abaixo
do critico, teremos que o mesmo radical da mesma soluc¸˜ao deve ser negativo, sen˜ao vejamos: A soluc¸˜ao
geral da equac¸˜ao caracter´ıstica ´e dada pela Equac¸˜ao (2.9), reescrita a seguir:
s1,2 = −
C
2M
±
C
2M
2
−ω2
J´a sabemos que o amortecimento cr´ıtico ´e dado pela Equac¸˜ao (2.34), desse modo podemos obter uma
raz˜ao de amortecimento em relac¸˜ao ao amortecimento cr´ıtico dada por:
ξ =
C
Cc
(2.39)
Como C < Cc, teremos que ξ < 1, e podemos representar a soluc¸˜ao geral da equac¸˜ao caracter´ıstica dada
por:
s1,2 = −
C
2M
±
C
2M
2
−ω2 (2.40)
Substituindo (2.39) em (2.40), e lembrando que Cc = 2ωM teremos:
s1,2 =
ξ2ωM
2M
±
ξ 2ωM
2M
2
−ω2 (2.41)
26

27. Assim, a soluc¸˜ao geral da equac¸˜ao caracter´ıstica para vibrac¸˜oes livres sujeitas a amortecimento subcr´ıtico
´e dada por:
s1,2 = −ξω± (ξω)2 −ω2
s1,2 = −ξω± −ω2 ×(1−ξ2)
s1,2 = −ξω±−iω 1−ξ2
(2.42)
Por analogia com o movimento n˜ao amortecido, poderemos calcular uma freq¨uˆencia angular amortecida
dada por:
ωD = ω 1−ξ2 (2.43)
Desse modo, podemos reescrever a Equac¸˜ao (2.42) do seguinte modo:
s1,2 = −ξω±i ωd (2.44)
Substituindo as soluc¸˜oes da equac¸˜ao caracter´ıstica na equac¸˜ao do movimento teremos que:
u(t) = u(0)cos(ωD t)+
˙u(0)+u(0)ξω
ωD
sen(ωD t) e−ξω t
(2.45)
Ou de modo alternativo:
u(t) = ρcos(ωD t +θ)e−ξω t
ρ = u(0)2 +
˙u(0)+u(0)ξω
ωD
2
θ = atan
˙u(0)+u(0)ξω
u(0) ωD
(2.46)
Note que para para baixos valores de amortecimento (ξ < 0,20), o que ´e comum no caso de estruturas
civis, a raz˜ao de freq¨uˆencia ωD/ω dada pela Equac¸˜ao (2.43) ´e muito pr´oxima da unidade. Nestes casos
a relac¸˜ao existente entre a raz˜ao de amortecimento e a freq¨uˆencia amortecida pode ser graficamente
representada como um c´ırculo de raio 1, conforme mostra a figura 2.13.
2.3.1 exemplo
Consideremos que o sistema apresentado na Figura 2.10 apresentasse agora um amortecimento subcrico
de 20%, ou seja, ξ = 0,20. Consideremos ainda que o sistema foi retirado do repouso, deslocado em
2 mm e dopois abandonado com velocidade inicial nula. Admtindo as mesmas propriedades el´asticas e
mecˆanicas podemos calcular a freq¨uˆencia angular amortercida, como sendo:
ωD = 31,623 1−(0,20)2 = 30,948 rad/s
Considerando as condic¸˜oes inicias u(0) = 0,02 m e ˙u(0) = 0 m/s, teremos que:
27

28. ωD
ξ
ω
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.13: Raz˜ao entre as freq¨uˆencias angulares em func¸˜ao do taxa de amortecimento
u(t) = [0,02cos(30,948 t)]e−0,20×31,623 t
Ou ent˜ao:
u(t) = [0,02cos(30,948 t)]e−6,3246 t
Portanto, o gr´afico do movimento ´e apresentado na Figura 2.14
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.14: Gr´afico de movimento com amortecimento subcr´ıtico
Supondo agora que a massa fosse abandonada com velocidade inicial de 20 m/s, a equac¸˜ao do movimento
seria dada por:
28

29. u(t) = 0,02cos(30,948 t)+
20+0,02ξω
30,948
sen(30,948 t) e6,3246 t
Consideremos agora o sistema da Figura 2.10 deslocado 2 mm do repouso e colocado em movimento
com a mesma velocidade inicial, e vejamos a comparac¸˜ao entre os movimentos de vibrac¸˜oes livres n˜ao
amortecidas, criticamente amortecidas e subcriticamente amortecidas. Essa comparac¸˜ao est´a apresentada
no gr´afico 2.15.
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 2.15: Comparac¸˜ao geral dos movimentos de vibrac¸˜oes livres
2.4 Determinac¸˜ao experimental da taxa de amortecimento
Devemos ter em mente que as verdadeiras caracter´ısticas de amortecimento para sistemas estruturais
dinˆamicos s˜ao muito dif´ıceis de serem determinadas. Entretanto, ´e uma pr´atica comum expressar o
amortecimento desses sistemas reais em termos das raz˜oes de amortecimento visco-el´astico ξ, que apre-
senta taxas de decaimento similar `as obtidas nas condic¸˜oes de vibrac¸˜oes livres.
Existem experimentos que permitem obter a taxa de amortecimento ξ com base na observac¸˜ao dos deslo-
camentos do movimento em vibrac¸˜oes livres. Podemos considerar por exemplo dois picos suscesivos un
e un+1 para um determinado movimento que ocorrem precisamente nos tempos n 2π
ωD
e (n+1) 2π
ωD
.
Substituindo os tempos n 2π
ωD
e (n+1) 2π
ωD
. na Equac¸˜ao (2.46), chegaremos a:
un
un+1
= e(2 π ξ ω/ωD)
(2.47)
Aplicando o logar´ıtimo neperiano em ambos lados da Equac¸˜ao (2.47), e substituindo ωD = ω 1−ξ2,
podemos obter o chamado decremento logar´ıtimico do amortecimento (δ), definido como sendo:
δ ≡ ln
un
un+1
=
2πξ
1−ξ2
(2.48)
Para pequenos valores de amortecimento, a Equac¸˜ao (2.48), pode ser aproximada para:
δ
.
= 2πξ (2.49)
29

30. Nos casos de sistemas com baixos valores de amortecimento, pode-se ainda obter experimentalmente,
com aproximac¸˜ao razo´avel, os valores da taxa de amortecimento a partir da informac¸˜ao de picos n˜ao
suscessivos que ocorrem entre um n´umero qualquer de ciclos, digamos m ciclos. para estes casos o
decremento logar´ıtimico de amortecimento ´e dado por:
δ ≡ ln
un
un+m
=
2m π ξ
1−ξ2
(2.50)
O que nos leva a:
ξ
.
=
un − un+m
2m π un+m
(2.51)
2.4.1 exemplo
30

31. Cap´ıtulo 3
Resposta ao Carregamento Harmˆonico
Assumiremos agora que o sistema dinˆamico est´a sujeito a um carregamento harmˆonico p(t), conforme
indicado na figura 3.1:
u(t)
0000000000000000000
0000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111
1111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111
m
C
k
P(t)
Figura 3.1: Sistema dinˆamico sujeito a carregamento harmˆonico
O carregamento harmˆonico p(t), inidcado na Figura 3.1 ´e do tipo senoidal, possuindo amplitude igual a
Po, freq¨uˆencia circular ω e descrito por:
p(t) = Po sen ω t (3.1)
Desse modo a Equac¸˜ao do movimento para um sistema sujeito a esse carregamento harmˆonico ser´a dada
por:
m ¨u(t)+C ˙u(t)+ku(t) = Po sen ωt (3.2)
3.1 Sistemas n˜ao amortecidos
Antes de considerar o amortecimento viscoel´astico, ´e interessante analisar o que acontece com os casos
n˜ao amortecidos. Nestes casos, a equac¸˜ao do movimento ser´a dada por:
m ¨u(t)+ku(t) = Po sen ω t (3.3)
A soluc¸˜ao geral da Equac¸˜ao (3.3) ´e dividida em duas partes: a primeira, chamada de suluc¸˜ao comple-
mentar ´e dada pela soluc¸˜ao da equac¸˜ao do movimento para o caso de vibrac¸˜oes livres (p(t) = 0), ou seja,
31

32. a soluc¸˜ao complementar ´e dada por:
uc(t) = A cos ω t +B sen ω t (3.4)
A segunda parte da soluc¸˜ao geral ´e chamada de soluc¸˜ao particular, pois depende da natureza do car-
regamento harmˆonico p(t). Nos casos de carregamento harmˆonico ´e razo´avel assumir que a resposta
perticular esteja em fase com o carregamento harmˆonico que a provoca, desse modo, a soluc¸˜ao particu-
lar para os casos em que p(t) = Po sen ω t ´e dada por:
up(t) = C sen ω t (3.5)
Devemos ainda calcular o valor da amplitude C da soluc¸˜ao particular.
Substituindo a Equac¸˜ao (3.5) na Equac¸˜ao (3.3), chegaremos a:
−mω2
C sen ω t +k C sen ω t = Po sen ω t (3.6)
Dividindo todos os termos da Equac¸˜ao (3.6) por sen ω t (que geralmente ´e diferente de zero) e por k, e
fazendo os rearranjos matem´aticos necess´arios, teremos que a constante C da soluc¸˜ao particular ´e dada
por:
C =
Po
k
1
1−β2
(3.7)
Onde β ´e definida como a raz˜ao entre a freq¨uˆencia do carregamento e a freq¨uˆencia natural, dada por:
β =
ω
ω
(3.8)
SOLUC¸ ˜AO GERAL
Portanto, a soluc¸˜ao geral da Equac¸˜ao (3.3) ´e obtida somando-se a soluc¸˜ao particular com a soluc¸˜ao
complementar, o que nos leva a:
u(t) = up(t)+uc(t) = A cos ω t +B sen ω t +
Po
k
1
1−β2
sen ω t (3.9)
As constantes A e B da Equac¸˜ao (3.9) dependem das condic¸˜oes iniciais do problema. Assumindo que o
movimento parte do repouso, isto ´e, u(0) = 0 e ˙u(0) = 0, ent˜ao teremos:
A = 0 B = −
Po β
k
1
1−β2
(3.10)
E neste caso, a equac¸˜ao do movimento apresentada em (3.9) ser´a dada por:
u(t) =
Po
k
1
1−β2
( sen ω t −β sen ω t) (3.11)
Na Equac¸˜ao (3.11) o termo Po
k ´e o deslocamento que seria produzido no sistema caso o carregamento p(t)
fosse aplicado estaticamente, ou em outras palavras, Po
k ´e o deslocamento est´atico, enquanto que o termo
32

33. 1
1−β2 representa o fator de amplificac¸˜ao (FA) da resposta est´atica, devido ao fato do carregamento ser
harmˆonico. Ainda na Euqac¸˜ao (3.11), o termo sen ω t representa o componente da resposta devido
a freq¨uˆencia do carregamento, e ´e chamado de resposta permanente do sistema, enquando que o termo
β sen ω t representa a resposta devido a freq¨uˆencia da estrutura, que em sistemas amortecidos, desaparece
com o tempo, sendo portanto esse termo chamado de resposta transiente do sistema. Em nosso exemplo
o sistema ´e n˜ao amortecido e portanto essa resposta tamb´em ´e permanente, mas nos casos reais, que s˜ao
amortecidos, essa resposta ser´a transiente, ou seja, influencia apenas no in´ıcio do movimento.
RAZ ˜AO DE RESPOSTA
Uma modo conviniente de medir a influencia do carregamento dinˆamico na resposta do sistema ´e forne-
cido pela raz˜ao de resposta do sistema, que na realidade divide a resposta dinˆamica pela resposta est´atica,
chegando-se a:
R(t) =
u(t)
uest
=
u(t)
Po/k
(3.12)
Substituindo a Equac¸˜ao (3.11) em (3.12), chegaremos a:
R(t) =
1
1−β2
( sen ω t −β sen ω t) (3.13)
3.1.1 exemplo
Imaginemos que o sistema dinˆamico apresentado na Figura 3.1, tem peso de 45.000 Newtons, e que a
constante el´astica do sistema vale k = 3,5 × 105 N/m. Admitindo que a acelerac¸˜ao da gravidade vale
g = 10 m/s2 ; que o sistema parte do repouso e que o carregamento harmˆonico aplicado vale p(t) =
20.000 sen 20 t, vamos calcular a resposta do sistema ao longo do tempo.
Em primeiro lugar determinemos a massa do sistema:
M =
45.000
10
= 450 N.s2
/m
Agora, calculemos a freq¨uˆencia angular do sistema:
ω =
3,5×105
450
= 27,889 rad/s
Podemos calular β:
β =
ω
ω
=
20
27,889
= 0,71714
O fator de amplificac¸˜ao FA, dado por:
FA =
0,71714
1−(0,71714)2
= 1,4765
O deslocamento est´atico pode ser dado por
Po
k
=
20.000
3,5×105
= 0,057143 m
33

34. A equac¸˜ao do movimento ser´a dada por:
u(t) = 0,057143
1
1−(0,71714)2
( sen 20 t −0,71714 sen 27,889 t)
No gr´afico da Figura 3.2, est´a apresentado o movimento do sistema em func¸˜ao do tempo. Nesse gr´afico
apresenta-se a resposta geral, a complementar e a particular. Como o sistema n˜ao ´e amortecido a resposta
complementar permanece no tempo.
T =
ω
2π
Geralcomplementar
T =
2π
ω
FA
β x FA
particular
Figura 3.2: Respostas para sistema sujeito a carregamento harmˆonico
3.2 Sistemas amortecidos
Retornando a equac¸˜ao do movimento e agora incluindo o amortecimento, e lembrando que: k/M = ω2
e que C/M = 2 ξ ω, teremos que:
¨u(t)+2 ξ ω ˙u(t)+ω2
u(t) =
Po
m
sen ω t (3.14)
A soluc¸˜ao complementar da Equac¸˜ao (3.14) ´e a soluc¸˜ao para vibrac¸˜oes livres amortecidas, ou seja:
uc(t) = [A cos (ωD t)+B sen (ωD t)]e(−ξω t)
(3.15)
A soluc¸˜ao particular para a Equac¸˜ao (3.14) ´e dada por:
34

35. up(t) = G1 cos ω t +G2 sen ω t (3.16)
Onde os senos e cossenos s˜ao necess´arios porque geralmente a resposta dos sistemas amortecidos n˜ao
est˜ao em fase com o carregamento.
Substituindo a Equac¸˜ao (3.16) na Equac¸˜ao (3.14), e colocando os termos de sen ω t e cos ω t em
evidˆencia, teremos que:
−G1ω2
+G2ω(2 ξω)+G1ω2
cos ω t + −G2ω2
−G1ω(2 ξω)+G2ω2
−
Po
m
sen ω t = 0 (3.17)
Afim de satisfazer a Equac¸˜ao (3.17), teremos que:
−G1ω2
+G2ω(2 ξω)+G1ω2 = 0
−G2ω2
−G1ω(2 ξω)+G2ω2 − Po
m = 0
(3.18)
Dividindo-se ambos os lados da igualdade na Equac¸˜ao (3.18) por ω2 e lembrando que β = ω/ω teremos
que:
G1 1−β2 +G2 (2 ξ β) = 0
G2 1−β2 −G1 (2 ξ β) = Po
m
(3.19)
Resolvendo o sistema de Equac¸˜oes (3.19), teremos que:
G1 = Po
k
−2 ξ β
(1−β2)2+(2 ξ β)2
G2 = Po
k
1−β2
(1−β2)2+(2 ξ β)2
(3.20)
Portanto, substituindo a Equac¸˜ao (3.20) na Equac¸˜ao (3.16), podemos obter a express˜ao da soluc¸˜ao geral
para sistemas amortecidos submetidos a carregamento harmˆonico; soluc¸˜ao dada por:
u(t) =
sol.complementar
[A cos (ωD t)+B sen (ωD t)]e(−ξω t)
+
Po
k
1
(1−β2)2 +(2 ξ β)2
(1−β2
) sen ω t −2 ξ β cos ω t
sol.particular
(3.21)
Na Equac¸˜ao (3.21) a soluc¸˜ao complementar ´e transiente, ou seja, desaparece com o tempo, sendo impor-
tante apenas nos instantes iniciais do movimento, equanto que a soluc¸˜ao complementar ´e permanente no
sistema.
Nos casos em que os instantes iniciais n˜ao s˜ao de interesse a resposta do sistema resume-se a soluc¸˜ao
particular, que tamb´em ´e chamada de soluc¸˜ao permanente, desse modo, ter´ıamos que:
35

36. u(t) =
Po
k
1
(1−β2)2 +(2 ξ β)2
(1−β2
) sen ω t −2 ξ β cos ω t (3.22)
De maneira an´aloga ao que foi feito no estudo de vibrac¸˜oes livres amortecidas, ´e poss´ıvel representar o
movimento da Equac¸˜ao (3.22) atrav´es da soma de dois vetores perpendiculares e girando com velocidade
igual a ω t de modo que:
up(t) = ρ sen (ω t −θ)
ρ = Po
k (1−β2)2 +(2 ξ β)2 −1
2
θ = arctan 2 ξ β
1−β2
(3.23)
A raz˜ao entre a amplitude dinˆamica ρ e a amplitude dinˆamica, tamb´em chamado de fator de amplificac¸˜ao
dinˆamica, ´e dado por:
D =
ρ
Po
k
= (1−β2
)2
+(2 ξ β)2 −1
2
(3.24)
Tanto o fator de aplificac¸˜ao, quanto o ˆangulo de fase, dependem de ξ e de β. Os gr´aficos das Figuras 3.3
e 3.4, expressam essas relac¸˜oes para v´arias combinac¸˜oes de ξ e β.
ξ = 0
ξ = 0,2
ξ = 0,5
ξ = 0,7
ξ = 1,0
β
D
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figura 3.3: Fator de amplificac¸˜ao dinˆamicaem sistemas amortecidos com carregamento harmˆonico
36

37. 0,05
0,2
0,5
ξ =
ξ =
ξ =
ξ = 1,0
β
90
0
180
θ
1.5 2 2.5 30.2 0.4 0.6 0.8 1
1
Figura 3.4: ˆAngulo de fase em sistemas amortecidos com carregamento harmˆonico
3.3 Resposta Ressonante
Analisando a Equac¸˜ao (3.13), percebemos que a medida que β tende a unidade o a raz˜ao entre a resposta
dinˆamica e a resposta est´atica R(t) tende ao infinito. Essa tendˆencia pode ser observada na Figura 3.3
quando ξ = 0. Para sistemas com baixos valores na taxa de amortecimento, pode ser verificado na mesma
Figura 3.3 que a amplitude m´axima da resposta permanente ocorre para valores em que β ´e um pouco
abaixo da unidade.
A condic¸˜ao para que β = 1 ´e que a freq¨uˆencia do carregamento ω seja igual a freq¨uˆencia natural n˜ao
amortecida da estrutura ω. Neste caso, o fator de amplificac¸˜ao dinˆamica D, dado pela Equac¸˜ao (3.24),
ser´a dado por:
Dβ=1 =
1
2 ξ
(3.25)
Para determinar o valor m´aximo para o fator de aplificac¸˜ao dinˆamica D, ´e necess´ario derivar a Equac¸˜ao
(3.24) em func¸˜ao de β e resolver a express˜ao resultante para β, fazendo isto, teremos que o m´aximo valor
de β ser´a dado por:
βmax = 1−2 ξ2 (3.26)
A equac¸˜ao (3.26) conduzir´a a valores positivos de βmax para baixos valores das taxas de amortecimentos
(ξ < 1√
2
) O gr´afico da Figura 3.5, apresenta a relac¸˜ao entre os valores m´aximos de β em func¸˜ao da taxa
de amortecimento ξ.
Substituindo o valor de βmax apresentado na Equac¸˜ao (3.26) na Equac¸˜ao (3.24), teremos que:
Dmax =
1
2 ξ 1−ξ2
=
1
2 ξ
ω
ωD
(3.27)
37

38. ξ
max
β
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Figura 3.5: Picos da raz˜ao de freq¨uˆencia em func¸˜ao da taxa de amortecimento
Para valores de amortecimento usuais em estruturas civis, isto ´e, ξ < 0,10, a diferenc¸a entre as Equac¸˜oes
(3.27) e (3.25) s˜ao muito pequenas, cerca de um e meio por cento quando ξ varia de 10 % para 20 %.
Para um entendimento mais completo da resposta ressonante ´e necess´ario analisar a soluc¸˜ao geral para
sistemas amortecidos sujeitos a carregamentos harmˆonicos, soluc¸˜ao essa apresentada na Equac¸˜ao (3.21).
Fazendo β = 1 na Equac¸˜ao (3.21), teremos que:
u(t) = (A cos ωD t +B sen ωD t)e(−ξω t)
−
Po
k
cos ω t
2 ξ
(3.28)
Assumindo que o movimento parte do repouso, as constantes A e B ser˜ao dadas por:
A =
Po
k
1
2 ξ
B =
Po
k
ω
2ωD
=
Po
k
1
2 1−ξ2
(3.29)
Substituindo os valores de A e B apresentados em (3.29) na Equac¸˜ao (3.28), teremos:
u(t) =
1
2 ξ
Po
k
ξ
1−ξ2
sen ωD t + cos ωD t e(−ξω t)
− cos ω t (3.30)
Para taxas de amortecimento usuais em estruturas civis, o termo 1−ξ2 tende a unidade, e ent˜ao a
Equac¸˜ao (3.30) pode ser reescrita em sua forma aproximada, dada por:
R(t) =
u(t)
Po
k
.
=
1
2 ξ
e(−ξω t)
−1 cos ω t +ξ e(−ξω t)
sen ω t (3.31)
Para amortecimentos nulos, a soluc¸˜ao aproximada da Equac¸˜ao (3.31) tende a uma indeterminac¸˜ao,
por´em, aplicando a regra de L’Hospital a resposta R(t) para sistemas n˜ao amortecidos ´e dada por:
R(t)
.
=
1
2
( sen ω t −ω t cos ω t) (3.32)
A Figura 3.6 mostra a raz˜ao de amplificac¸˜ao din˜amica R(t) para os casos de sistemas n˜ao amortecidos e
amortecidos.
38

39. 1
2ξ
t
π
t
R(t)
R(t)
sistema nao amortecido
sistema amortecido
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−15
−10
−5
0
5
10
15
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figura 3.6: Raz˜ao de amplificac¸˜ao din˜amica para sistemas amortecidos e n˜ao amortecidos
Percebe-se analisando o gr´afico da Figura 3.6 que para o caso de sistemas n˜ao amortecidos, os picos da
resposta ressonante ao longo do tempo apreentam uma relac¸˜ao linear, apresentando um crescimento de
+π a cada ciclo. No caso dos sistemas amortecidos os picos da resposta ressonante ficam enclausurados
em uma func¸˜ao n˜ao linear que ´e (1/2ξ)[e(−ξω t)−1]. O gr´afico da Figura 3.7 mostram essa func¸˜ao de
enclausuramento para diferentes valores de ξ.
39

40. ξ=0,20
ξ=0,10
ξ=0,05
ξ=0,02
0
0 5 10 15 20 25
Figura 3.7: Func¸˜ao envolt´oria para resposta ressonante n˜ao amortecida
40

41. Cap´ıtulo 4
Carregamentos Peri´odicos
41

42. Cap´ıtulo 5
Carregamentos Impulsivos
42

43. Cap´ıtulo 6
Carregamentos Gen´ericos
43