Praktisk eksempel, bruk av Geogebra, S2 matematikk

1. EDU6100
20. oktober 2008
Funksjonsdrøfting – derivasjon,
en beskrivelse av et undervisningsopplegg der det inngår bruk av GeoGebra.
Målsetting
Følgende kompetansemål fra S2 er valgt:
- elevene skal kunne drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i praktiske sammenhenger ved å
bruke første deriverte og andre deriverte.
Elevene kjenner til den førstederiverte fra S1-kurset. Den andrederiverte er ny. De har også ferdigheter
innenfor funskjonsdrøfting. Det kommer flere mål senere med mer derivasjon, og det vil forhåpentligvis
være enklere å forstå når de har fått noen visuelle knagger å henge funksjonsdrøftingen på. De skal også
kunne modellere praktiske økonomiske problemstillinger ved å drøfte kostnads- og inntektsfunksjoner.
Bakgrunn
Dette er tredje året jeg benytter IKT i matematikkundervisningen. Jeg har erfart at dette kan være
vanskelig for enkelte elever. De faller lett for fristelsen til å gå inn på nettsteder som ikke har noe med
matematikk å gjøre. For noen elever har det vært såpass ille at de har bedt selv om å slippe å bruke PC og
heller ha med seg en Casio/Texas kalkulator, de sier at de ikke har selvdisiplin nok. Jeg tror ikke dette
tilfelle er enestående. Det kan diskuteres hva vi gjør med dette, men det egner seg ikke her. Jeg har tatt
hensyn til slike elever i dette undervisningsopplegget. Det er et undervisningsopplegg basert på
samarbeidslæring og IKT. Da dekker jeg også det grunnleggende målet om å kunne uttrykke seg muntlig.
Jeg har laget Geogebrafilen ferdig for elevene, da det ikke står noe konkret om digitale verktøy i dette
læreplanmålet, og verktøyet er her ment som en visuell støtte og hjelp.
Det er et år siden de har tegnet og drøftet funksjoner, så det er viktig med repetisjon, læreboken legger
også opp til det. Jeg tar utgangspunkt i utviklingen på Oslo børs fra januar og frem til i dag. Dette blir et
praktisk eksempel fordi jeg har så mange elever som har økonomifag ved siden av, samtidig som
læreplanmålet indikerer at det er det praktiske de skal ha fokus på. Jeg tro også at dette kan gi en bedre
forståelse av den deriverte. For de av elevene som ikke har økonomifag, har kursutviklingen på Oslo børs
vært gjenstand for unormalt stor mediadekning, så det skader ikke for dem heller å analysere den nærmer.
Selve undervisningsopplegget
1
Elevene organiseres i grupper på 2. De skal bruke en PC. De får utdelt to A4 ark med beskrivelser og plass
til å notere på.
Anne Cathrine Gotaas |

2. EDU6100
20. oktober 2008
Oppgave 1:
Utviklingen på Oslo børs fra januar og frem til midten av oktober kan illustreres ved hjelp av en graf. Jeg
viser bilde av kursutviklingen grafisk (fig. 1) slik
den finnes på Oslo børs’ sider.
Figur 1
Den røde streken tegner jeg inn mens jeg viser
det på projektor for elevene. (Bruker Tablet PC,
eller man kan la bilde gå rett på en Whiteboard
tavle(droppe lerret) og tegne med tusj på tavlen.
Jeg ber elevene diskutere i gruppen hva jeg skal gjøre for å komme med frem til en funksjon. (Da får vi
repetert litt regresjon). Jeg har ikke blitt enig med meg selv ennå om jeg skal la dem bruke tid på å plotte
verdier og selv komme frem til grafen eller om jeg skal vise dem hva jeg gjorde. Vi kan evt. ta dette opp
igjen når vi kommer til regresjon senere.
Jeg får følgende funksjon: f ( x) 4,138 x3 62, 79 x 2 261, 26 x 691,56 . Dette forklarer jeg at jeg har
funnet ut ved regresjon, og at det blir en ”trend-linje” som gjelder bare for den perioden (januar til
oktober). Trendlinje forklarer jeg ved at jeg har fjernet mindre variasjoner som skjer dag for dag. Spørsmål
til elevene: Kan den brukes til å fremskrive situasjonen om en måned eller to? Hvorfor ikke?
De får utdelt et ark. (Fig. 2) Med det samme bildet som jeg har vist dem tidligere, med følgende
instruksjoner:
1. Studer grafen og markere topp- og bunnpunkter.
2. Skriv opp koordinatene (ca). Januar er 1 osv.
3. Undersøke hvordan vekstfarten ( f '( x) ) varierer langs grafen. Når den er
Studer grafen og markere topp- og positiv og når den er negativ. Tegn + og – langs grafen.
bunnpunkter.
Skriv opp koordinatene (ca). Januar er 1 osv.
Undersøke hvordan vekstfarten () varierer 4. Skriv opp intervallene (ca) der den vokser og synker.
langs grafen. Når den er positiv og når den er
negativ. Tegn + og – langs grafen.
Skriv opp intervallene (ca) der den vokser og
Figur 2
synker.
2
4
2
Anne Cathrine Gotaas |

3. EDU6100
20. oktober 2008
Oppgave 2:
De henter opp den ferdige tegnede grafen i en Geogebrafil som jeg legger ut på It’slearning. Der skal de
studere den deriverte, og svare på en del spørsmål mens de bruker filen. Svarene skriver de på arket på
samme måte som under trinn 1. Den ene eleven klikker på Pc’en, den andre noterer - bytter.
På baksiden av arket i fig 2 har jeg limt inn bilde av funksjonen i GeoGebra på tilsvarende måte (fig 3).
Instruksjonene vil følge nedenfor.
Figur 3
Jeg skriver følgende på arket: Her ser dere funksjonen f(x)og dens tangentlinje
sammen med en trekant som viser stigningstallet til tangenten. Helningen s blir
skissert og former en ny funksjon fordi det er lagt inn sporing etter hvert som
du flytter på tangenten ved hjelp av punktet T. Utfør følgende og skriv ned
resultatene:
1. Dra punktet T vha av musen. Du ser at dette skaper en ny funksjon. Hva slags
funksjon er dette?
2. Prøv å finne funksjonsuttrykket for denne funksjonen.
3. Regn ut den deriverte av den opprinnelige funksjonen på arket deres.
4. Klikk Ctrl + f på Geogebra arket deres, da visker dere bort sporet dere lagde i punkt 1.
5. Skriv inn funksjonen i Input-feltet nederst i Geogebrafilen deres. Hva ser dere?
6. Dra på nytt i punkt T: Hva skjer?
7. Hvilken sammenheng er det mellom ekstremalpunktene til f(x) og den deriverte? Skriv ned som en ligning.
8. Hva er sammenhengen mellom ekstremalpunktene til den deriverte og selve funksjonen? Beskriv den med
utgangspunkt i den deriverte.
9. Dette er det som kalles vendepunktet til grafen. Hvordan kan vi beregne dette ved hjelp av den deriverte?
10. Skisser fortegnslinjer for f’(x) og f’’(x) basert på grafen. Sammenlign med observasjonene dere gjorde i
oppgave 1.
Etter at de er ferdige med dette opplegget tenker jeg at de har fått et bedre grunnlag for å gå i gang med
funksjonsdrøfting.
Selve Geogebrafilen ber jeg dem lagre på egen maskin. Den kan de benytte som utgangspunkt til å tegne inn andre
funksjoner de kommer bort i senere. 3
Innenfor dette kunnskapsmålet er det viktig å understreke for elevene at de skal kunne skissere og drøfte grafer uten
bruk av digitale hjelpemidler også. Altså skissere for hånd.
Anne Cathrine Gotaas |