19. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
19
4. ลิมิตของลาดับอนันต์
ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาสมบัติบางประการของลาดับอนันต์ โดยเราจะพิจารณาว่า เมื่อ n มีค่ามาก
ขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จะทาให้ an มีค่าเป็นอย่างไร
พิจารณา ลาดับอนันต์ต่อไปนี้
an =
1
n
สามารถเขียนแจกแจงพจน์ของลา1ดับได้เป็น 1 ,
1
2
,
1
3
, ... ,
1
1000
, ...
ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ an มีค่าเข้าใกล้ 0
bn =
n
n +1
สามารถเขียนแจกแจงพจน์ของลาดับได้เป็น
1
2
,
2
3
,
3
4
, ... ,
999
1000
, ...
ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ bn มีค่าเข้าใกล้ 1
จะเห็นได้ว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ลาดับ an และ bn มีค่าลู่เข้าสู่จานวนจริงที่แน่นอนค่าหนึ่ง ซึ่ง
เราเรียกค่านี้ว่า ลิมิตของลาดับ (limit of sequence) และเรียกลาดับอนันต์ที่หาค่าลิมิตได้ว่า ลาดับคอนเวอร์
เจนต์ (convergent sequence)
cn = n สามารถเขียนแจกแจงพจน์ของลาดับได้เป็น 1 , 2 , 3 , ... , 1000 , ...
ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ cn มีค่ามาขึ้นเรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด
dn = (-1)n
สามารถเขียนแจกแจงพจน์ของลาดับได้เป็น -1 , 1 , -1 , ...
ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อ n ค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ไม่สามารถสรุปได้ว่า dn มีค่าเข้าใกล้ค่าใด
จะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ลาดับ cn และ dn ไม่มีค่าลิมิตที่เป็นจานวนจริง (ไม่สามารถหาค่า
ลิมิตได้) เราเรียกลาดับอนันต์ที่หาค่าลิมิตไม่ได้ว่า ลาดับไดเวอร์เจนต์ (divergent sequence)
ถ้ากาหนดให้ลาดับอนันต์ an เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์ที่มีลิมิตเท่ากับจานวนจริง L เราจะเขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์
n
n
lim a L
20. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
20
แต่ถ้า an เป็นลาดับไดเวอร์เจนต์ เราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
n
n
lim a หาค่าไม่ได้ (ในกรณีที่ an
มีค่ามากขึ้นหรือลดลงอย่างไม่สิ้นสุดเราอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
n
n
lim a หรือ
n
n
lim a )
4.1 ทฤษฏีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับ
ทฤษฏีบทพื้นฐาน
กาหนดให้ an , bn , cn , tn เป็นลาดับอนันต์ A , B เป็นจานวนจริง และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ โดย
n
n
lim a A และ
n
n
lim b B
1. ถ้า tn = c แล้ว
n
n n
lim t lim c c
2.
n n
n n
lim ca c lim a cA
3.
n n n n
n n n
lim (a b ) lim a lim b A B
4.
n n n n
n n n
lim (a b ) lim a lim b AB
5.
n
nn
n
n n
n
lim aa A
lim ( )
b lim b B
เมื่อ nb 0 ทุก n N และ B 0
ทฤษฏีบทเพิ่มเติม
กาหนดให้ an , bn เป็นลาดับอนันต์ t , r เป็นจานวนจริง และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
1.
tn
1
lim 0
n
เมื่อ t > 0
2.
n
n
lim r 0 เมื่อ r < 1
3. ถ้า n
n
c
a
b
และ
n
n
lim b หรือ แล้ว
n
n n
n
c
lim a lim 0
b
4. ถ้า n
n
lim a L
และ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f(L) หาค่าได้แล้ว ลาดับอนันต์ f(an) จะมีลิมิตเป็น f(L)
21. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
21
5. (Squeeze Theorem) ถ้า n n nb a c ทุก n N และ n n
n n
lim b lim c L
แล้วเรา
สามารถสรุปได้ว่า n
n
lim a L
6. กาหนด an เป็นลาดับซึ่งแต่ละพจน์มีเครื่องหมายบวกและลบสลับกันแล้ว
- ถ้า n
n
lim a 0
แล้ว ลาดับอนันต์ดังกล่าวจะเป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
- ถ้า n
n
lim a 0
แล้ว ลาดับอนันต์ดังกล่าวจะเป็นลาดับไดเวอร์เจนต์
ตัวอย่าง จงหาค่าลิมิตของลาดับอนันต์ต่อไปนี้
(1) 2n
2
lim
n
(2) nn
3
lim cos
5
(3) nn
7 1
lim 2
n ( 3)
(4)
2
log5 2nn
1
lim 9
n e
(5)
n
nn
( 1) sin(n)
lim
2
(6) n 1
n
1
lim ( 1)
n
22. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
22
4.2 ลิมิตของลาดับอนันต์ชนิดต่างๆ
1. ลาดับตรรกยะ (rational sequence) คือ ลาดับที่เกิดจากฟังก์ชันพหุนาม 2 ฟังก์ชันหารกัน นั่น
คือ an =
p(n)
q(n)
เมื่อ p(n) และ q(n) เป็นฟังก์ชันพหุนาม
ตัวอย่าง จงหาค่าลิมิตของลาดับอนันต์ต่อไปนี้
( 1) 2n
2n
lim
n 1
(2)
n
n 1
lim
6
(3)
n
n 1
lim
n 1
ข้อควรรู้ กาหนดลาดับตรรกยะ
p p 1
p p 1 1 0
n q q 1
q q 1 1 0
a n a n ... a n a
a
b n b n ... b n b
ซึ่งจะสามารถ
พิจารณาลิมิตของลาดับได้เป็น 3 กรณีย่อย คือ
1. กรณีกาลังสูงสุดของเศษน้อยกว่ากาลังสูงสุดของส่วน
2. กรณีกาลังสูงสุดของเศษมากกว่ากาลังสูงสุดของส่วน
3. กรณีกาลังสูงสุดของเศษเท่ากับกาลังสูงสุดของส่วน
23. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
23
ตัวอย่าง จงหาค่าลิมิตของลาดับอนันต์ต่อไปนี้
(1)
2
2n
3n 2n
lim
n 5n 6
(2)
2
n
2n n
lim
n
(3)
5
2 4 6n
4n
lim
n n n
(4)
n
n n 1
lim
3n 2
(5)
23
n
2n 4
lim
3n 1
(6)
1
en
n 7n
lim
2n
(7) 2 2
n
lim ln(2n ) ln(n 1)
(8)
3 3
n
8n 2n
n
lim 2
(9)
8 54
n 1
2n
n 5n
lim ( 1)
n 3n
2. ลาดับเศษส่วนที่มีฟังก์ชันเอ็กซ์โพแนนเชียล
ข้อควรรู้ วิธีหาลิมิตของลาดับเศษส่วน expo ให้นาเลขยกกาลังที่มีฐานสูงสุดหารทั้งเศษและส่วน
ซึ่งสามารถแบ่งได้เป็น 3 กรณี
1. กรณีฐานสูงสุดของเศษน้อยกว่าฐานสูงสุดของส่วน
2. กรณีฐานสูงสุดของเศษมากกว่าฐานสูงสุดของส่วน
3. กรณีฐานสูงสุดของเศษเท่ากับฐานสูงสุดของส่วน
24. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
24
ตัวอย่าง จงหาค่าลิมิตของลาดับอนันต์ต่อไปนี้
(1)
n
nn
2 1
lim
3 2
(2)
n
n 1 nn
1 3
lim
3 2
(3)
3n n
n 1 nn
2 1
lim
5 2
ตัวอย่าง จงหาค่าลิมิตของลาดับอนันต์ต่อไปนี้
(1)
2
nn
n 1
lim
5
(2)
n
10 5n
(1.1)
lim
n n
(3)
3 2 2n 1
3 1 nn
2n 8n 2
lim
n 3n n 4
25. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
25
3. ลาดับเลขคณิต
เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติความเป็นคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์ของลาดับเลขคณิตได้ ดังนี้
- ถ้า d = 0 จะได้ว่า a1 = a2 = a3 = ... = an = ... นั่นคือ ลาดับเป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์ที่
ลู่เข้าสู่ค่า a1 ( n 1 1
n n
lim a lim a a
)
- ถ้า d 0 จะได้ว่า เมื่อ n มากขึ้น ลาดับมีค่ามากขึ้นหรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด นั่นคือ
ลาดับเป็นลาดับไดเวอร์เจนต์ ( n
n
lim a
หรือ n
n
lim a
)
4. ลาดับเรขาคณิต
เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติความเป็นคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์ของลาดับเรขาคณิตได้ ดังนี้
- ถ้า r < 1 จะได้ว่า ลาดับเป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์ที่ลู่เข้าสู่ค่าศูนย์ นั่นคือ n
n
lim a 0
(เป็นไปตามทฤษฏีบทเพิ่มเติมข้อ 2)
- ถ้า r = 1 จะได้ว่า a1 = a2 = a3 = ... = an = ... นั่นคือ ลาดับเป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์ที่ลู่
เข้าสู่ค่า a1 ( n 1 1
n n
lim a lim a a
)
- ถ้า r > 1 หรือ r= -1 จะได้ว่า ลาดับมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (กรณี r > 1) หรือ
ลาดับแกว่งกวัด ไม่มีค่าลิมิต (กรณี r -1) นั่นคือ ลาดับเป็นลาดับไดเวอร์เจนต์ ( n
n
lim a
หรือ
n
n
lim a
หาค่าไม่ได้)
ตัวอย่าง จงหาค่าลิมิตของลาดับอนันต์ต่อไปนี้
(1)
2
2
2n
3n 2n 1
lim
4n
27. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
27
PAT1 ก.ค.52 ถ้า A =
k
3n
2n
lim
1 8 27 ... n
มีค่าเป็นจานวนจริงบวกแล้ว แล้วค่าของ A
เท่ากับเท่าใด
PAT1 มี.ค.53 ถ้า {an} เป็นลาดับของจานวนจริงที่ an = 2
2 4 6 ... 2n
n
สาหรับทุกจานวนเต็ม
บวก n แล้ว n
n
lim a
มีค่าเท่ากับเท่าใด
PAT1 ก.ค.53 ให้ {an} เป็นลาดับของจานวนจริง โดยที่ a1 + a2 + a3 + ... + an = n2
an สาหรับ
n = 1 , 2 , 3 , ... ถ้า a1 = 100 แล้ว 2
n
n
lim n a
มีค่าเท่ากับเท่าใด
28. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
28
PAT1 มี.ค.54 กาหนดให้ {an} เป็นลาดับของจานวนจริง โดยที่ a1 = 1 และ an + 1 an+1 และ
an+5 an + 5 สาหรับ n = 1 , 2 , 3 , ... แล้วค่าของ
n
k
n
k 1
1
lim (a 6 k)
n
เท่ากับเท่าใด
4.3 ลิมิตของลาดับอนันต์ที่ควรทราบเพิ่มเติม
1.
n
lnn
lim 0
n
2. n
n
lim n 1
3.
1
n
n
lim x 1
เมื่อ x > 0 4.
n
x
n
x
lim 1 e
n
เมื่อ x R
5.
n
n
x
lim 0
n!
เมื่อ x R
ตัวอย่าง จงหาค่าลิมิตของลาดับอนันต์ต่อไปนี้
(1)
2
n
ln(n )
lim
n
(2) n
n
lim 3n
(3)
n
n
n 2
lim
n
(4)
n
n
100
lim
n!
29. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
29
5. ผลบวกของอนุกรมอนันต์
ดังที่ได้กล่าวในหัวข้อที่ 3 ไปแล้วว่า อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่เกิดจากลาดับอนันต์ ในหัวข้อนี้ เรา
จะศึกษาเกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ว่ามีค่าผลบวกเป็นอย่างไร
พิจารณา อนุกรมอนันต์ a1 + a2 + a3 + ... + an + ... และ Sn คือ ผลบวกย่อย n พจน์แรกของ
อนุกรม จะได้ว่า S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
.
.
.
Sn = a1 + a2 + a3 + .. + an
เมื่อนาผลบวกย่อย n พจน์แรก มาเรียงเป็นลาดับอนันต์ คือ S1 , S2 , S3 , ... , Sn , ... เราจะเรียก
ลาดับอนันต์ที่ได้นี้ว่า ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม (sequence of partial sums)
ถ้าลาดับ Sn นี้ลู่เข้า โดย n
n
lim S
= S เมื่อ S เป็นจานวนจริง แล้วอนุกรมอนันต์
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ (convergent series) และเรียก S ว่า ผลบวกของ
อนุกรม
แต่ถ้าลาดับ Sn เป็นลาดับลู่ออก ( n
n
lim S
หาค่าไม่ได้) จะกล่าวว่าอนุกรมอนันต์
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ (divergent series)
5.1 อนุกรมเลขคณิตอนันต์
เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติความเป็นคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์ของอนุกรมเลขคณิตได้ ดังนี้
- ถ้า a1 = 0 และ d = 0 (ซึ่งก็คืออนุกรม 0 + 0 + 0 + ...) อนุกรมจะเป็นอนุกรมคอนเวอร์
เจนต์ที่ลู่เข้าสู่ค่าศูนย์ นั่นคือ n
n
lim S 0
- ถ้า a1 0 หรือ d 0 อนุกรมจะเป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์
35. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
35
PAT1 ต.ค.53 กาหนดให้ Sk = 13
+ 23
+ 33
+ ... + k3
สาหรับ k = 1 , 2 , 3 , ... ค่าของ
n
1 2 3 n
1 1 1 1
lim ...
S S S S
เท่ากับเท่าใด
PAT1 ก.ค.52 ถ้า 4 2
n 2
1
A
n n
แล้ว 2
n 2
1
n
มีค่าเท่ากับเท่าใด
PAT1 ต.ค.53 ค่าของ
9999
4 4
n 1
1
( n n 1)( n n 1)
เท่ากับเท่าใด
PAT1 มี.ค.53 กาหนดให้ Sn =
n
k 1
1
k(k 1) k( k 1)
สาหรับ n = 1 , 2 , 3 , ... ค่าของ
n
n
lim S
เท่ากับเท่าใด
36. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
36
5.5 อนุกรมพี (p-series)
อนุกรมพี คือ อนุกรมที่สามารถเขียนอยู่ในรูป p p p p
n 1
1 1 1 1
1 ... ...
n 2 3 n
เมื่อ
p R ซึ่งเราจะพิจารณาความเป็นคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์ของอนุกรมพีได้ ดังนี้
- ถ้า p > 1 แล้ว อนุกรมพี จะเป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
- ถ้า p 1 แล้ว อนุกรมพี จะเป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์
ตัวอย่าง อนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ อนุกรมใดเป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
(1)
1 1 1
1 ...
2 3 4
(2)
1 1 1
1 ...
2 3 4
(3)
1 1 1
1 ...
2 2 3 3 4 4
PAT1 ก.ค.53 กาหนดให้อนุกรมต่อไปนี้ A =
1000
k
k 1
( 1)
, B =
20
2
k 3
k
, C =
100
k 1
k
, D =
k
k 1
1
2
2
ค่าของ A + B + C + D เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
37. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
37
PAT1 ก.ค.53 ให้ k เป็นค่าคงที่ และถ้า
n 15 4
5n
k(n n) 3n 2 12 2
lim 15 6 ... 15 ...
(n 2) 5 5
แล้ว k มีค่าเท่ากับเท่าใด
ENT’24 อนุกรม
n
n 1
n 3
n 1
sin n ( 1)
2
( 1) 5
มีผลบวกเท่ากับเท่าใด
38. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
38
6. คุณสมบัติบางประการเกี่ยวกับลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์
ในหัวข้อนี้ เราจะศึกษาเกี่ยวกับวิธีการพิจารณาว่าลาดับอนันต์หรืออนุกรมอนันต์ที่เราสนใจ มี
คุณสมบัติเป็นคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์ โดยที่เราไม่จาเป็นที่จะต้องหาค่าลิมิตออกมาโดยตรง-
6.1 คุณสมบัติความเป็นคอนเวอร์เจนต์และไดเวอร์เจนต์ระหว่างลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์
ทฤษฏีบท 1 ถ้า n
n 1
a
เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์แล้ว จะได้ว่า an เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
ทฤษฏีบท 2 ถ้า n
n 1
a
เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์แล้ว จะได้ว่า n
n
lim a 0
6.2 คุณสมบัติอื่นๆเพิ่มเติม
1. ถ้า n
n 1
a
และ n
n 1
b
เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ทั้งคู่แล้ว จะได้ว่า n n
n 1
(a b )
เป็น
อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ด้วย
2. n
n 1
ca
จะเป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ ก็ต่อเมื่อ n
n 1
a
เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
3. การตัดพจน์ต้นๆของอนุกรมออกไปเป็นจานวนจากัดพจน์ จะไม่มีผลต่อความเป็นคอนเวอร์เจนต์
หรือไดเวอร์เจนต์ของอนุกรมอนันต์
4. กาหนด an , bn เป็นลาดับอนันต์ซึ่ง n nb a 0 ทุก n N แล้วจะได้ว่า
ข้อควรรู้ จากทฤษฏีบททั้ง 2 ข้อ จะสามารถสรุปตามหลักตรรกศาสตร์ได้ว่า
39. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
39
4.1 ถ้า n
n 1
b
เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์แล้ว n
n 1
a
จะเป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ด้วย
4.2 ถ้า n
n 1
a
เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์แล้ว n
n 1
b
จะเป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ด้วย
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
.......... (1) ถ้าลาดับ an ลู่เข้าแล้วอนุกรม n
n 1
a
ลู่เข้า
.......... (2) ถ้าอนุกรม n
n 1
a
ลู่เข้าแล้ว อนุกรม n
n
n 1
a
1
2
ลู่เข้า
.......... (3) ถ้า n
n
lim a 0
แล้ว n
n 1
a
เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
.......... (4) อนุกรมที่ได้จากลาดับไดเวอร์เจนต์ย่อมเป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ และอนุกรมที่ได้จาก
ลาดับคอนเวอร์เจนต์ย่อมเป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
.......... (5) ถ้าอนุกรมที่เกิดจากลาดับ an และ bn เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ทั้งคู่ จะได้ว่าอนุกรมที่เกิด
จากลาดับ an + bn เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ด้วย
.......... (6) ถ้าอนุกรมที่เกิดจากลาดับ an และ an + bn เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้วจะได้ว่า อนุกรมที่เกิด
จากลาดับ bn ลู่เข้า
.......... (7) ถ้า an เป็นพจน์ที่ n ของลาดับ ซึ่งมี an+1 > an สาหรับทุก n จะได้ว่าลาดับนี้เป็นลาดับได
เวอร์เจนต์
.......... (8) ถ้า an เป็นพจน์ที่ n ของอันดับคอนเวอร์เจนต์ จะได้ว่า 1a , 2a , 3a , ... เป็น
ลาดับคอนเวอร์เจนต์ด้วย
.......... (9) ถ้า n 1
n
a
r
a
เป็นค่าคงตัวสาหรับทุกๆ n > 1 และ r > 1 แล้วอนุกรม n
n 1
a
ลู่เข้า
40. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
40
สมาคม’52 ข้อความ “ถ้า n
n 1
a
เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้ว n
n
lim a 0
” สมมูลกับข้อความในข้อใด
ก . ถ้า n
n 1
a
เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว n
n
lim a 0
ข. ถ้า n
n
lim a 0
แล้ว n
n 1
a
เป็นอนุกรมลู่เข้า
ค. ถ้า n
n
lim a 0
แล้ว n
n 1
a
เป็นอนุกรมลู่ออก
ง . ถ้า n
n
lim a 0
แล้ว n
n 1
a
เป็นอนุกรมลู่เข้า
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์
(1)
2
n 1
n
n 1
(2) 2
n 1
1
n 1
(3) n 2
n 1
1
2 n
41. คณิตศาสตร์ ลาดับและอนุกรม www.clipvidva.com
41
เอกสารอ้างอิง
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้
เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6, กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ครุสภาลาดพร้าว,
พิมพ์ครั้งที่ 3, 2550.
อรรณพ สุขธารง. คณิตศาสตร์ Entrance เล่ม 4. ม.ป.ป.
Entrance Problem Book II for successful students, กรุงเทพมหานคร: Tutor Publisher, 2549.
ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 ภาคเรียนที่ 2, กรุงเทพมหานคร:
บริษัท สานักพิมพ์แม็ค จากัด, ม.ป.ป.
สมัย เหล่าวานิชย์, รศ. คณิตศาสตร์พื้นฐาน+เพิ่มเติม 6, กรุงเทพมหานคร: บริษัท ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จากัด,
ม.ป.ป.
ณัฐพล ศุจิจันทรรัตน์. New Math Tests book I, Science Center, ม.ป.ป.
ธีระ ตีรณานุสิษฐ์. เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ทุนเล่าเรียนหลวงปี 37-48, Science Center, ม.ป.ป.
ดารงค์ ทิพย์โยธา, สุรชัย สมบัติบริบูรณ์ และ ณัฏฐนาถ ไตรภพ. แคลคูลัส 2, กรุงเทพมหานคร:
โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, พิมพ์ครั้งที่ 4, 2553.
