1. เอกสารแนะแนวทางที่ 8
เรื่อง ความหมายของอนุกรมเรขาคณิต
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ ลาดับเรขาคณิต อัตราส่วนร่วม อนุกรมเรขาคณิต
1 3, 9, 27, 81, . . . , 3n 3 3 + 9 + 27 + 81+ . . . +
3n
2 2, 4, 8, . . . , 2n 2 2 + 4 + 8 + . . . + 2n
3 5, 15, 45, . . . , 5(3)n – 1
4 4, 1, 1 , 1 , . . . , 4-n + 2
4 16
5 x + 2, 2x + 4, 4x + 8, 8x + 16, . . ., (x + 2)(2) n –
1
6 0.3, 0.03, 0.003, 0.0003, . . ., 0.3(0.1)n – 1
7 5, 10, 20, 40, . . ., 5(2)n – 1
8 4, 16, 64, 256, . . . , 4n
อนุกรมเรขาคณิต คือ ……………………………………………………….…………………...
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

2. เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 8
เรื่อง ความหมายของอนุกรมเรขาคณิต
ข้อที่ อัตราส่วนร่วม อนุกรมเรขาคณิต
3 3 5 + 15 + 45 + . . . + 5(3)n – 1
4 1
4 + 1 + 1  16  . . .  4-n + 2
1
4 4
5 2 (x + 2) + (2x + 4) + (4x + 8) + (8x + 16) + . . . + (x + 2)(2) n – 1
6 0.1 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + . . . + 0.3(0.1)n – 1
7 2 5 + 10 + 20 + 40 + . . . + 5(2)n – 1
8 4 4 + 16 + 64 + 256 + . . . + 4n
อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่ได้จากการบวกแต่ละพจน์ของลาดับเรขาคณิต ดังนี้
ถ้าให้ a1 , a2 , a3 , . . . , an เป็นลาดับเรขาคณิต
จะได้ว่า a1 + a2 + a3 + . . . + an เป็นอนุกรมเรขาคณิต
เช่น 1, 2, 4, 8, . . ., 2 n – 1 เป็นลาดับเรขาคณิต
n–1
 1+2+4+8+...+2 เป็นอนุกรมเรขาคณิต

3. แบบฝึกหัดที่ 13
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่าแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ คาถาม คาตอบ
1 กาหนด a1 และ r จงเขียนอนุกรมเรขาคณิต 4 พจน์
ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1.1 a1 = 10 , r = 2 1.1 …………………………
1.2 a1 = 3 , r = 1 1.2 …………………………
3
1.3 …………………………
1.3 a1 = 1 , r = 4 1.4 …………………………
2
1.4 a1 = 5 , r = 1
2
2 จงหาอัตราส่วนร่วม (r) จากอนุกรมเรขาคณิตที่กาหนดให้
ในแต่ละข้อต่อไปนี้
2.1 5 + 5 + 5 + 5 + 5 2.1 ………………………….
2.2 - 9 + 3 – 1 + 1 - 1 2.2 ………………………….
3 9
2.3 ………………………….
2.3 2 + 6 + 18 + 54
2.4 ………………………….
2.4 5 + 20 + 80 + 320

4. เฉลยแบบฝึกหัดที่ 13
1) 1.1 10 + 20 + 40 + 80
1.2 3 + 1 + 1  1
3 9
1
1.3 + 2 + 8 + 32
2
5 5 5
1.4 5 + 2

4

8
2) 2.1 1
2.2  1
3
2.3 3
2.4 4

5. ใบความรู้ที่ 10
จุดประสงค์การเรียนรู้
หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
สาระสาคัญ
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ใช้สูตรดังนี้
Sn = na1 เมื่อ r = 1
n
Sn = a1 (1 - r ) เมื่อ r  1
1-r
a1 - a nr
หรือ Sn = เมื่อ r  1
1-r
สาระการเรียนรู้
การหาสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ที่มี a1 เป็นพจน์แรก และ
r เป็นอัตราส่วนร่วม
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an
Sn = a1 + a1r + a1r2 + . . . + a1rn – 2 + a1rn – 1 ……………….. 1
2 3 n–2 n–1 n
1  r ; rSn = a1r + a1r + a1r + . . . + a1r + a1r + a1r ……………….. 2
1 - 2 ; Sn - rSn = a1 – a1rn
(1 – r)Sn = a1(1 – rn) , r  1 …………………… 3
เมื่อ r = 1 จากสมการ  จะได้
Sn = a11 a11

a 
 
 ...  a

n พจน์
= na1 ……………………. 4
จากสมการ 3 และ 4 สรุปได้ว่า
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ
Sn = na1 เมื่อ r = 1
a1 (1 - r n )
Sn = เมื่อ r  1
1-r
a1 (r n - 1)
หรือ Sn = เมื่อ r  1
r -1
a1 - a nr
หรือ Sn = 1-r
เมื่อ r  1
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 2 + 6 + 18 + . . .
n
วิธีทา จากสูตร Sn = a1 (1 - r )
1-r
จากโจทย์ จะได้ a1 = 2 , r = 3 , n = 8

6. 2(1  310 )
แทนค่า S10 =
1-3
2(1 - 59049)
=
2
= 59,048
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด a1 = 5 , r = -2 และ an = 80 จงหา n และ Sn
วิธีทา จากสูตร an = a1rn – 1
แทนค่า 80 = 5(-2)n – 1
80
5
= (-2)n – 1
16 = (-2)n – 1
(-2)4 = (-2)n – 1
n–1 = 4
 n = 5
a1 (1 - r n )
จากสูตร Sn =
1-r
5[1 - (-2)5 ]
= 1 - (-2)
5(1  32)
= 3
=5(11) = 55
 n = 5 , Sn = 55
ตัวอย่างที่ 3 อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกของพจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 2 เท่ากับ 36
และผลบวกของพจน์ที่ 3 กับพจน์ที่ 4 เท่ากับ 4 จงหาผลบวก 4 พจน์แรก
วิธีทา จากโจทย์ a1 + a2 = 36
a1 + a1r = 36 …………………… 
และ a3 + a4 = 4
2 3
a1r + a1r = 4 …………………… 
a1r 2 (1  r) 4
 a1 (1  r)
= 36
1
r2 = 9
1
 r = 
3
1
แทนค่า r = 3
ใน  จะได้

7. a1 + 1 a1 =
3
36
4a1
3
= 36
 a1 = 27
1
แทนค่า r = - 3
ใน  จะได้
a1 - 1 a1 =
3
36
2a1
3
= 36
 a1 = 54
a1 (1 - r n )
จากสูตร Sn =
1-r
  1 4 
27 1 -   
 3 
S4 =  
1
1-
3
 1 
27 1 - 
 81 
= 2
3
80 3
= 27 
81 2

= 40
1
เมื่อ a1 = 54 และ r = - 3
  1 4 
54 1 -    
  3 
 S4 =  
 1
1 -  
 3
 1 
54 1 - 
 81 
= 1
1
3
 80 
54  
 81 
= 4
3
80 3
= 54 
81 4

= 40
 ผลบวก 4 พจน์แรก คือ 40

8. 3
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้อนุกรมเรขาคณิต มี a1 = 160 , r = และ Sn = 2110 จงหาค่า n
2
a1 (1 - r n )
วิธีทา จากสูตร Sn =
1-r
  3 n 
160 1 -   
 2 
แทนค่า 2110 =  
3
1-
2
n
3
1- 
211 2
16
= 1

2
n
211 3

32
= 1- 
2
n
3 211
  = 1
32
2
n
3 243
  = 32
2
n 5
3 3
  =  
2 2
 n = 5

9. แบบฝึกหัดที่ 14
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาให้ถูกต้อง
665
1. ถ้าพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่งเป็น 27 ผลบวก n พจน์แรกเท่ากับ 9
32
และพจน์ที่ n เท่ากับ 9
แล้ว จงหาผลบวก 5 พจน์แรก
3
2. กาหนด a1 + a2 = - 3 และ a5 + a6 = 
16
จงหา S10
3
3. อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่งมีอัตราส่วนร่วมเป็น พจน์ที่ n คือ 81 และผลบวก n พจน์
4
แรกเท่ากับ 781 อนุกรมนี้มีกี่พจน์
4. อนุกรมเรขาคณิต คือ 3 + 6 + 12 + . . . จงหาค่า n ที่ทาให้ Sn = 1,533

10. เฉลยแบบฝึกหัดที่ 14
211
1) 3
1023
2) 
256
3) 5
4) 9