ЛЕКЦИЯ 10. Осуществимость решения задач на вычислительных системах Пазников Алексей Александрович к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики

1. Лекция 10
Осуществимость решения задач на
вычислительных системах
http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching/index.php?n=Site.DCSFT-spring2014
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных систем
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики

2. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
2
Функция осуществимости:
𝐹 𝑡 = 𝑅(𝑡)Φ(𝑡)
где 𝑅(𝑡) – функция надёжности системы или
вероятность безотказной работы ВС в
течение времени 𝑡.
Φ(𝑡) – вероятность решения задачи на 𝑛
работоспособных ЭМ за время 𝑡, т.е. Φ 𝑡 =
𝑃 0 ≤ 𝜁 < 𝑡 , 𝜁 – случайная величина,
являющаяся моментом решения задачи на
множестве из 𝑛 исправных ЭМ.
(1)

3. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
3
В момент начала решения задачи: 𝑖 ∈ 𝐸 𝑛
𝑁
=
{𝑛, 𝑛 + 1, … , 𝑁} , т.е. в ВС может быть
исправно 𝑖 ЭМ.
Если во множестве из 𝑖 работоспособных ЭМ
можно выделить множество из 𝑛 < 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸 𝑛
𝑁
связных машин, тогда это подмножество
будет подсистемой, способной выполнять
программу из 𝑛 ветвей.
Функция Φ(𝑡) – вероятностный закон
решения сложной задачи на любой
совокупности из 𝑛 работоспособных ЭМ.

4. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
4
Статистически установлено, что закон
распределения времени решения простых
задач на одной ЭМ является
экспоненциальным. Поэтому
Φ 𝑡 = 1 − 𝑒−𝛽 𝑛 𝑡
где 𝛽 𝑛 - интенсивность ( 1/𝛽 𝑛 - среднее
время) решения задач на 𝑛 машинах.
Практически 𝛽 𝑛 ≈ 𝑛𝛽1
(1)

5. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
5
Функция (1) позволяет судить о том, с
какой вероятностью за время 𝑡 ≥ 0
сложная задача, представленная
параллельной программой с 𝑛 ветвями,
будет решена на неабсолютно надёжной
ВС, в которой из 𝑁 машин (𝑁 − 𝑛) ЭМ
составляют структурную избыточность.

6. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
6
Поскольку 𝑅(𝑡) и Φ(𝑡) являются
соответственно невозрастающей и
неубывающей функциями, то существует
такой момент 𝑡 𝑚 , при котором 𝐹(𝑡)
достигает максимума: 𝐹(𝑡 𝑚) = max
𝑡
𝐹(𝑡).
⇒ наиболее вероятно ожидать решения
задачи в момент 𝑡 𝑚, после прохождения
этого времени вероятность решения
задачи уменьшается и асимптотически
стремится к нулю.

7. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
7
Функция 𝐹(𝑡) (1) – функция осуществимости
решения задачи на ВС со структурной
избыточностью.
Решение сложной задачи осуществимо на
ВС, если для некоторого 𝑡 одновременно
имеют место 𝐹 𝑡 ≥ 𝐹°
, 𝑡 ≤ 𝑡°
; 𝐹°
и 𝑡°
-
пороги осуществимости параллельного
решения задачи и их значения выбирают
эмпирически.

8. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
8
Методика расчёта 𝐹(𝑡) не отличается от
расчёта функции надёжности ВС, т.е. 𝑅(𝑡), и
связан с применением численных методов.
Для ВС, режим которой стационарен, вместо
(1) достаточно использовать:
𝐹∗
𝑡 = 𝑅∗
𝑡 Φ(𝑡)
где 𝑅∗
𝑡 рассчитывается по известным
формулам.
Функцию 𝐹∗
𝑡 назовём функцией
оперативной осуществимости решения
задачи на ВС со структурной избыточностью.

9. Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью
9
На практике при расчёте 𝐹∗
(𝑡) достаточно
учесть лишь оценку 𝑅∗
(𝑡) снизу.
Но даже в этом случае расчёт является
трудоёмким.
Ниже рассчитаем показатели, позволяющие
легко оценить потенциальную
осуществимость решения задачи на ВС.

10. Функция осуществимости на живучих ВС
10
Мат. ожидание 𝓃(𝑖, 𝑡) числа работоспособных
ЭМ при условии, что в начальный момент
исправно 𝑖 ∈ 𝐸0
𝑁
= {0,1,2, … , 𝑁} ЭМ, достаточно
точно говорит об уровне потенциальной
производительности ВС в любой момент 𝑡 > 0.
Тогда осуществимость решения задачи:
ℱ 𝑖, 𝑡 = 1 − exp −𝛽
0
𝑡
𝓃 𝑖, 𝜏 𝑑𝜏
где 𝛽 = 𝛽1 - интенсивность решения задач
на 1 ЭМ.
(3)

11. Функция осуществимости на живучих ВС
11
(3) ⇒ функция ℱ 𝑡 является вероятностью того,
что сложная задача, представленная
адаптирующейся параллельной программой,
будет решена за время 𝑡 на ВС, начавшей
функционировать в состоянии 𝑖 ∈ 𝐸0
𝑁
.
Если ВС функционирует долго (стац. режим), то
вероятность решения задачи может быть
выражена просто:
ℱ 𝑡 = 1 − exp(−𝛽𝓃𝑡)
Здесь 𝓃 = lim
𝑡→∞
𝓃(𝑖, 𝑡)
(4)

12. Функция осуществимости на живучих ВС
12
Функции ℱ 𝑖, 𝑡 и ℱ 𝑡 позволяют
проанализировать процесс параллельного
решения задачи в переходном и
стационарном режимах.
Решение задачи осуществимо на промежутке
[0, 𝑡) , если выполняются неравенства
ℱ 𝑖, 𝑡 ≥ 𝐹°
, 𝑡 ≤ 𝑡°
для переходного режима
и ℱ 𝑡 ≥ 𝐹°
, 𝑡 ≤ 𝑡°
для стационарного
режима функционирования системы.
𝐹°
, 𝑡°
- пороги осуществимости решения
сложной задачи.

13. Функция осуществимости на живучих ВС
13
Использовав полученные ранее результаты,
можно найти, что
ℱ 𝑖, 𝑡 =
= 1 − exp
−𝛽
𝑁𝜇
𝜆 + 𝜇
𝑡 +
𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇
(𝜆 + 𝜇)2
1 − 𝑒−(𝜆+𝜇)𝑡
если 𝑖 ∈ 𝑁 − 𝑚, 𝑁 − 𝑚 + 1, … , 𝑁 , 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇
−𝛽
𝑚𝜇
𝜆
𝑡 +
𝑖𝜆 − 𝑚𝜇
𝜆2
1 − 𝑒−𝜆𝑡
если 𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑁 − 𝑚 − 1 , 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.
(5)

14. Функция осуществимости на живучих ВС
14
Расчёт значений ℱ(𝑖, 𝑡) проще, чем 𝐹(𝑡) (1).
Допустимо ещё одно упрощение. Для ВС
характерен стационарный режим, в который
система входит достаточно быстро.
Поэтому в ряде случаев можно ограничиться
анализом стационарного режима работы. Тогда
после элементарных преобразований:
ℱ 𝑡 = 1 − exp
−𝛽𝑁𝜇 𝜆 + 𝜇 −1
,
если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;
−𝛽𝑚𝜇𝜆−1
𝑡,
в противном случае.
(6)

15. Анализ обслуживания потока задач на ВС
15
В потоке задачи различных рангов 𝑟, 1 ≤ 𝑟 ≤
𝑁 , 𝑁 – количество ЭМ некоторой ВС,
используемых для обслуживания
Упрощённая постановка:
Пусть на ВС поступает пуассоновский поток
простых задач с интенсивностью 𝛼. Каждая
задача – последовательная и решается на ЭМ в
среднем за время 1/𝛽.
Требуется рассчитать: мат. ожидания 𝒜(𝑡) и
ℬ(𝑡) количества задач, находящихся с
системе, и количество ЭМ, занятых
решением, в момент времени 𝑡.

16. Анализ обслуживания потока задач на ВС
16
Случай 1. Поток задач имеет слабую
интенсивность и такую, что ∀𝑡 ≥ 0:
𝒜(𝑡) ≤ 𝓃(𝑖, 𝑡)
т.е. в системе всегда есть
работоспособные и свободные машины
для решения поступающих задач. Из (7)
видно, что 𝒜 𝑡 = ℬ(𝑡).
(7)

17. Анализ обслуживания потока задач на ВС
17
Мат. ожидание количества задач в системе в
момент 𝑡 + ∆𝑡:
𝒜 𝑡 + ∆𝑡 = 𝒜 𝑡 + 𝛼∆𝑡 − 𝒜 𝑡 𝛽∆𝑡
Преобразования приводят к следующему
дифференциальному уравнению:
𝑑
𝑑𝑡
𝒜 𝑡 = 𝛼 − 𝛽𝒜 𝑡
Неравенство (7) устанавливают область
допустимых значений для 𝒜 𝑡 при 𝑡 = 0:
𝒜 𝑡 = 𝑗; 𝑗 ∈ 0,1, … , 𝑖 = 𝐸0
𝑖
, 𝑖 ∈ 𝐸0
𝑁
(8)
(9)
(10)

18. Анализ обслуживания потока задач на ВС
18
Применяя преобразования Лапласа-Карсона,
вместо (9) получаем
𝑝 𝒜 𝑝 − 𝒜 0 = 𝛼 − 𝛽 𝒜(𝑝)
где 𝑝 – комплексный параметр, 𝒜(𝑝) –
изображение функции 𝒜 𝑡 . Из последнего с
учётом (10) следует
𝒜 𝑝 = (𝑗𝑝 + 𝛼)/(𝑝 + 𝛽)
Используя формулу обращения
преобразования Лапласа-Карсона
𝑗𝑝 + 𝛼
𝑝 + 𝛽
~
𝛼
𝛽
+
𝑗𝛽 − 𝛼
𝛽
𝑒−𝛽𝑡

19. Анализ обслуживания потока задач на ВС
19
находим решение (9) при начальных
условиях (10):
𝒜 𝑡 =
𝛼
𝛽
+ 𝑗 −
𝛼
𝛽
𝑒−𝛽𝑡
Подстановка t=0 в (11) и самой функции
𝒜 𝑡 в (9) убеждает в том, что (11)
удовлетворяет начальному условию (10) и
уравнению (9).
(11)

20. Анализ обслуживания потока задач на ВС
20
В стационарном режиме среднее
количество задач, находящихся в ВС, не
зависит от начального условия:
𝒜 = lim
𝑡→∞
𝒜(𝑡) = 𝛼/𝛽
Вместо (7) выведем простое условие. Для
этого учтём, что (7) должно выполняться
на всём промежутке [0, ∞)
lim
𝑡→∞
𝒜(𝑡) ≤ lim
𝑡→∞
𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝒜 ≤ 𝓃
(12)

21. Анализ обслуживания потока задач на ВС
21
Следовательно, потока поступающих на ВС
задач считается слабоинтенсивным, если
выполняются неравенства:
𝛼
𝛽
≤
𝑁𝜇(𝜆 + 𝜇)−1
при 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;
𝑚𝜇𝜆−1
в противном случае.
Если учесть, что для современных ЭВМ
𝜆 ≪ 𝜇, то (13) принимает вид:
𝛼 ≤
𝑁𝛽 при 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;
𝑚𝜇𝛽𝜆−1
при 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.
(13)
(14)

22. Анализ обслуживания потока задач на ВС
22
Т.о. (13), (14) указывают на условия,
при которых справедлива формула
(11) для расчёта мат. ожидания
количества задач, находящихся в ВС
в момент времени 𝑡.

23. Анализ обслуживания потока задач на ВС
23
Случай 2. Поток поступающих на ВС задач -
сильноинтенсивный и имеет место неравенство
𝒜 𝑡 > 𝓃(𝑖, 𝑡)
Следовательно, имеется очередь задач на
обслуживание. Тогда ℬ 𝑡 = 𝓃(𝑖, 𝑡) и справедливы
формулы:
𝒜 𝑡 + ∆𝑡 = 𝒜 𝑡 + 𝛼∆𝑡 + 𝓃 𝑖, 𝑡 𝜆Δ𝑡 − 𝓃 𝑖, 𝑡 𝛽Δ𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝒜 𝑡 = 𝛼 + (𝜆 − 𝛽)𝓃 𝑖, 𝑡
𝒜 0 = 𝑗, 𝑗 ∈ 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, … = 𝐸𝑖+1
∞
(15)

24. Анализ обслуживания потока задач на ВС
24
Действуя аналогичным образом, получаем
формулу для мат. ожидания количества задач,
находящихся в ВС в момент t при
невыполнении неравенства (7):
𝒜 𝑡 = 𝑗 +
𝑖(𝜆 − 𝛽)
𝑥
−
𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)
𝑥2
+
+ 𝛼 +
𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)
𝑥
𝑡
−
𝑖(𝜆 − 𝛽)
𝑥
−
𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)
𝑥2
𝑒−𝑥𝑡
(17)
(18)

25. Анализ обслуживания потока задач на ВС
25
где
𝑥 =
𝜆 + 𝜇, если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ,
𝜆, если 𝑁𝜆 > 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;
𝑦 =
𝑁, если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ,
𝑚, если 𝑁𝜆 > 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;
Выражения (16)-(18) характеризуют процесс
обслуживания сильноинтенсивного потока
задач независимо от режима её работы.
(17)
(18)

26. Анализ обслуживания потока задач на ВС
26
Условие роста очереди нерешённых задач:
𝛼 >
𝑁 𝛽 − 𝜆 , если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;
𝑚𝜇 𝛽 − 𝜆 𝜆−1
, если 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.
Из (19) следует, что показатель 𝒜 𝑡 следует
рассчитывать по формулам (16)-(18), если
интенсивность потока задач выше суммарной
интенсивности их решения всеми ЭМ ВС.
Случай 1 практически наиболее важен.
(19)

27. Анализ обслуживания потока задач на ВС
27
1. Показатели осуществимости решения задач
устанавливают взаимосвязь между
количественными характеристиками
надёжности или живучести ВС и
вероятностными параметрами поступающих
задач.
2. Моделирование показало, что до 10 ч
устанавливается стационарный режим.
3. Континуальный подход является
эффективными при анализе
осуществимости.

28. ХаимСутин