Aljabar Matriks

1. Halaman 1
550
21. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
(- Λ)
3
| - Λ I
3
- Λ
-1
SEBUAH
2
|
| (- Λ) (- λ I - λ
-1
SEBUAH
2
) |
| Λ
2
I + A
2
|
|
|
|
|
|
|
λ
2
- 1
0
0
0
λ
2
- 1
0
0
0
λ

2. 2
|
|
|
|
|
|
(Λ
2
- 1)
2
λ
2
λ
2
[(Λ + 1) (λ - 1)]
2
dan karenanya itu (untuk semua λ)
q (λ)
(- Λ)
3
λ
2
[(Λ + 1) (λ - 1)]
2
(-1)
9
λ
5
(Λ + 1)
2
(Λ - 1)
2
.
Jadi, B ⊗ A memiliki tiga nilai eigen yang berbeda: 0, -1, dan 1, dengan multiplicities
aljabar
dari 5, 2, dan 2, masing-masing. Dengan demikian, B ⊗ A memiliki 9 (tidak harus
berbeda) eigenvalues,
sedangkan setiap matriks A dan B (yang dari urutan 3) hanya memiliki satu.
21,12 Dekomposisi Nilai Singular
Sebuah. Definisi, keberadaan, dan beberapa sifat dasar dan

3. hubungan
Misalkan A mewakili n × n simetris nonnegatif matriks definit. Kemudian, ia
mengikuti
dari hasil Bagian 5 (dan dari nonnegativity dari nilai eigen dari
nonnegatif matriks definit) bahwa A dapat dinyatakan dalam bentuk
SEBUAH
Q
(
D
1
0
0
0
)
Q,
(12. 1)
di mana Q adalah n × n matriks ortogonal dan di mana D
1
adalah matriks diagonal dengan
(ketat) elemen diagonal positif. Bahkan, dekomposisi (12.1) adalah spektral
dekomposisi A. Teorema berikut dapat digunakan untuk membangun sebuah
generalisasi
tion dekomposisi ini yang berlaku untuk setiap matriks.
Teorema 21.12.1. Misalkan A merupakan suatu m × n matriks rank r. Dan,
mengambil Q menjadi
setiap n × n matriks ortogonal dan D
1
akan ada r × r nonsingular matriks diagonal
seperti yang
QA AQ
(
D
2
1
0
0
0
)
(12. 2)
[di mana, kapan r
0 atau r

4. n,
(
D
2
1
0
0
0
)
sama dengan 0 atau D
2
1
, Masing-masing]. Selanjutnya,
partisi Q sebagai Q
(Q
1
, Q
2
), Di mana Q
1
memiliki kolom r, dan membiarkan P
(P
1
, P
2
), Di mana
P
1
AQ
1
D
-1
1
dan di mana P
2
adalah setiap m × (m - r) matriks sehingga
P
1
P
2
0.

5. (12. 3)
(Ketika r
0, Q
Q
2
, P
P
2
, Dan P
2
adalah sewenang-wenang; ketika r
n, Q
Q
1
; dan
ketika r
m, P
P
1
.) Kemudian,
P AQ
(
D
1
0
0
0
)
Halaman 2
21,12 Dekomposisi Nilai Singular
551
[di mana, kapan r
0, r
m, r
n, atau r
m
n,
(
D
1

6. 0
0
0
)
sama dengan 0, (D
1
, 0),
(
D
1
0
)
, Atau D
1
, Masing-masing].
Bukti. Sejak
QA AQ
(
Q
1
Sebuah AQ
1
Q
1
Sebuah AQ
2
Q
2
Sebuah AQ
1
Q
2
Sebuah AQ
2
)
.
wehavethat Q
1
Sebuah AQ
1
D

7. 2
1
.Further, (AQ
2
) AQ
2
Q
2
Sebuah AQ
2
0, menyiratkan (di
terang 5.3.2 Akibat) yang AQ
2
0. Dengan demikian, setelah mengamati bahwa P
1
D
-1
1
Q
1
SEBUAH
dan bahwa AQ
1
P
1
D
1
, Kami menemukan bahwa
P AQ
(
P
1
AQ
1
P
1
AQ
2
P
2
AQ

8. 1
P
2
AQ
2
)
(
D
-1
1
Q
1
Sebuah AQ
1
P
1
0
P
2
P
1
D
1
P
2
0
)
(
D
-1
1
D
2
1
0
(P
1
P
2
) D
1

9. 0
)
(
D
1
0
0
0
)
.
QED
Ada ada sebuah r × r diagonal matriks D
1
dengan (ketat) elemen diagonal positif
dan × n n matriks orthogonal Q yang memenuhi syarat (12,2) dari Teorema 21.12.1,
dan di sana ada sebuah m × (m - r) matriks P
2
yang tidak hanya kondisi memuaskan (12,3)
tetapi seperti yang P adalah orthogonal. Untuk melihat ini, mengambil D
1
diag (s
1
, ..., s
r
), Di mana
s
1
, ..., s
r
adalah akar kuadrat positif dari r nol (dan karenanya positif) tidak-
eigen tentu berbeda-AA. [Sejak AA adalah simetris dan (dalam terang
Wajar 14.2.14) nonnegatif yang pasti dan karena peringkat (AA)
rank (A)
r, itu
berikut dari corollaries 21.3.8 dan 21.5.8 AA yang memiliki r nol tidak-necessarily-
eigen yang berbeda dan dari Teorema 21.8.5 bahwa mereka eigen positif.]
Sekarang, memilih n × n matriks orthogonal Q untuk memenuhi kondisi (12,2) - yang
ini
mungkin terlihat dari Akibat 21.5.9.
Selanjutnya, amati (seperti dalam bukti Teorema 21.12.1) yang Q
1

10. Sebuah AQ
1
D
2
1
dan
maka yang
P
1
P
1
D
-1
1
Q
1
Sebuah AQ
1
D
-1
1
D
-1
1
D
2
1
D
-1
1
Aku
r
.
Dan, mengamati (dalam terang Lema 11.3.1) yang
dim [N (P
1
)]
m - rank (P
1
)
m - rank (P

11. 1
P
1
)
m - r,
mengambil P
2
akan ada × m (m - r) matriks yang kolom membentuk sebuah basis ortonormal
untuk N (P
1
). Kemudian,
PP
(
P
1
P
1
P
1
P
2
P
2
P
1
P
2
P
2
)
(
Aku
r
0
0 Saya
m - r
)
Aku
m
.
Dalam terang diskusi ini, kita memiliki konsekuensi berikut Teorema 21.12.1.

12. Akibat 21.12.2. Sesuai dengan setiap m × n matriks A dari peringkat r, terdapat
m × m orthogonal matriks P dan n × n matriks orthogonal Q sehingga
P AQ
(
D
1
0
0
0
)
.
Halaman 3
552
21. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
di mana D
1
adalah r × r matriks diagonal dengan elemen diagonal yang (ketat)
positif.
Misalkan A merupakan suatu m × n matriks. Dan,
biarkan P mewakili m × m orthogonal
matriks, Q merupakan × n n matriks orthogonal, dan D
1
{S
i
} R × r matriks diagonal
dengan (ketat) elemen diagonal positif sehingga
P AQ
(
D
1
0
0
0
)
- Keberadaan matriks tersebut dijamin oleh Akibat 21.12.2. Selanjutnya,
P partisi dan Q sebagai P
(P
1
, P
2

13. ) Dan Q
(Q
1
, Q
2
), Di mana P
1
memiliki kolom r,
mengatakan p
1
, ..., P
r
, Masing-masing, dan Q
1
memiliki kolom r, mengatakan q
1
, ..., Q
r
, Masing-masing.
Maka A dapat dinyatakan sebagai
SEBUAH
P
(
D
1
0
0
0
)
Q
(12. 4)
atau sebagai
SEBUAH
P
1
D
1
Q
1
(12. 5)
atau

14. SEBUAH
r
Σ
i 1
s
i
p
i
q
i
.
(12. 6)
Membiarkan α
1
, ..., α
k
mewakili nilai-nilai yang berbeda diwakili antara s
1
, ..., s
r
dan
(j untuk
1, ..., k) membiarkan L
j
{I: s
i
α
j
}, A juga dapat dinyatakan sebagai
SEBUAH
k
Σ
j 1
α
j
U
j
.
(12. 7)
mana (untuk j
1, ..., k) U

15. j
Σ
i ∈ L
j
p
i
q
i
.
Ekspresi (12.4) disebut singular-nilai dekomposisi m × n matriks
Sebuah. Kadang-kadang dekomposisi jangka tunggal-nilai yang digunakan juga
dalam mengacu
ekspresi (12,5), (12,6), atau (12,7).
Teorema berikut memberikan beberapa wawasan ke dalam sifat berbagai
komponen dekomposisi tunggal-nilai dan sejauh mana mereka
komponen yang unik.
Teorema 21.12.3. Misalkan A merupakan suatu m × n matriks. Dan,
mengambil P menjadi m × m
matriks orthogonal, Q n × n matriks orthogonal, dan D
1
r × r nonsingular
matriks diagonal sehingga
P AQ
(
D
1
0
0
0
)
.
(12. 8)
Selanjutnya, P partisi dan Q sebagai P
(P
1
, P
2
) Dan Q
(Q
1
, Q

16. 2
), Di mana masing-masing
matriks P
1
dan Q
1
memiliki kolom r. Kemudian,
r
rank (A),
(12. 9)
Halaman 4
21,12 Dekomposisi Nilai Singular
553
QA AQ
(
D
2
1
0
0
0
)
.
(12. 10)
P AA P
(
D
2
1
0
0
0
)
.
(12. 11)
P
1
AQ
1
D

17. -1
1
.
(12. 12)
Q
1
AP
1
D
-1
1
.
(12. 13)
Bukti. Kebenaran hasil (12,9) terlihat dari persamaan (12,8) pada observ-
ing peringkat yang (P AQ)
rank (A). Selanjutnya,
QA AQ QA PP AQ (P AQ) P AQ
(
D
1
0
0
0
) (
D
1
0
0
0
)
(
D
2
1
0
0
0
)
.
yang memverifikasi kesetaraan (12.10). Kesetaraan (12.11) dapat diverifikasi dalam
cara yang sama.

18. Dan mengamati bahwa P AQ
(
P
1
AQ
1
P
1
AQ
2
P
2
AQ
1
P
2
AP
2
)
[dan memanfaatkan kesetaraan
(12,8)], kami menemukan bahwa
P
1
P
1
D
1
D
-1
1
P
1
(P
1
AQ
1
) D
-1
1
(P
1

19. P
1
) AQ
1
D
-1
1
(Saya
m
- P
2
P
2
) AQ
1
D
-1
1
AQ
1
D
-1
1
- P
2
(P
2
AQ
1
) D
-1
1
AQ
1
D
-1
1
- P
2
0D
-1

20. 1
AQ
1
D
-1
1
.
Q yang
1
AP
1
D
-1
1
dapat dibangun melalui argumen analog.
QED
Dalam terang Teorema 21.5.1, jelas dari Teorema 21.12.3 bahwa skalar
s
1
, ..., s
r
, Yang muncul dalam dekomposisi tunggal-nilai (12,4) (sebagai diago- yang
elemen nal dari diagonal matriks D
1
) Adalah akar kuadrat positif dari nol yang
(tidak harus berbeda) eigen dari AA (atau, sama, dari tidak-nol
eigen tentu berbeda-AA). Selain itu, mereka unik (yaitu, mereka
tidak berbeda dengan pilihan yang orthogonal matriks P dan Q yang muncul dalam
bentuk tunggal-nilai dekomposisi), dan mereka sama jumlahnya dengan
peringkat (A). The
skalar s
1
, ..., s
r
disebut sebagai nilai-nilai singular dari matriks A. (Dalam beberapa
presentasi, akar kuadrat positif dari semua n atau m eigen dari AA dan AA,
termasuk yang sama 0, dianggap sebagai nilai-nilai singular dari A.) The skalar
α
1
, ..., α
k

21. , Yang muncul dalam dekomposisi (12,7) dan yang (menurut definisi) yang
nilai-nilai singular yang berbeda dari A, adalah akar kuadrat positif dari nol yang
berbeda
eigenvalues dari AA (atau, sama, dari nilai eigen nol berbeda dari AA).
Teorema 21.12.3 juga informatif tentang sifat dari matriks orthogonal
P dan Q, yang muncul dalam dekomposisi tunggal-nilai (12.4). Kolom m
P adalah vektor eigen dari AA, dengan kolom r pertama sesuai dengan nol
eigenvalues s
2
1
, ..., s
2
r
dan m tersisa - kolom r sesuai dengan 0
eigen. Demikian pula, kolom n Q adalah vektor eigen dari AA, dengan yang pertama
kolom r sesuai dengan nol eigen s
2
1
, ..., s
2
r
dan sisanya
Halaman 5
554
21. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
n - r kolom yang sesuai dengan 0 eigen. Selain itu, setelah r pertama
kolom Q ditentukan, kolom r pertama P secara unik ditentukan [oleh
hasil (12.12)]. Demikian pula, setelah kolom r pertama P yang ditentukan, r pertama
kolom Q secara unik ditentukan [oleh hasil (12.13)].
Untuk setiap pemesanan tetap dari nilai-nilai singular yang berbeda α
1
, ..., α
k
, Dekomposisi
(12.7) adalah unik. Untuk melihat ini, amati [mengingat hasil (12.12)] yang (untuk i
1, ..., r) p
i
s
-1
i

22. Aq
i
. Dengan demikian, untuk j
1, ..., k,
U
j
Σ
i ∈ L
j
p
i
q
i
Σ
i ∈ L
j
s
-1
i
Aq
i
q
i
α
-1
j
AE
j
.
di mana E
j
Σ
i ∈ L
j
q
i
q
i
. Selanjutnya, karena (untuk i ∈ L
j
) Q

23. i
adalah vektor eigen dari AA
sesuai dengan α eigenvalue
2
j
, Maka dari hasil Seksi 5f (pada
Keunikan dekomposisi spektral) yang E
j
tidak berbeda dengan pilihan
P, Q, dan D
1
dan karenanya bahwa U
j
tidak berbeda dengan pilihan ini. Kami menyimpulkan
bahwa dekomposisi (12,7) unik (selain dari pemesanan istilah).
The (biasa) norma m × n matriks A dengan singular-nilai dekomposisi
(12.4) dapat dinyatakan dalam bentuk tunggal nilai s
1
... s
r
. Memanfaatkan
Lemma 5.2.1, kami menemukan bahwa
SEBUAH
2
tr (AA)
tr
[
Q
(
D
1
0
0
0
)
PP
(
D
1
0
0

24. 0
)
Q
]
tr
[(
D
1
0
0
0
)
PP
(
D
1
0
0
0
)
QQ
]
tr
[(
D
1
0
0
0
)
Aku
m
(
D
1
0
0
0
)
Aku
n

25. ]
tr
[(
D
2
1
0
0
0
)]
s
2
1
+ ··· + S
2
r
.
Dengan demikian,
SEBUAH
(S
2
1
+ ··· + S
2
r
)
02/01
.
(12. 14)
Mari kita mempertimbangkan bentuk tunggal-nilai dekomposisi n × n simetris
matriks A. Biarkan d
1
, ..., d
n
mewakili (tidak harus berbeda) nilai eigen dari A,
orderedinsuchawaythat d
1
, ..., d
r
arenonzeroand d
r 1

26. ···
d
n
0.Andlet
q
1
, ..., Q
n
merupakan vektor eigen ortonormal dari A yang terkait dengan d
1
, ..., d
n
.
masing-masing, dan (untuk i
1, ..., n) biarkan
i
{
1,
jika d
i
≥ 0,
-1,
jika d
i
<0.
Selanjutnya, menentukan D
diag (d
1
, ..., d
n
), Q
(Q
1
, ..., Q
n
), Dan
diag (
1
, ...,
n
); dan mengambil P

27. Q menjadi n × n matriks yang i th kolom p
i
adalah baik q
i
atau - q
i
tergantung pada apakah d
i
≥ 0 atau d
i
<0.
Kemudian, P dan Q adalah ortogonal. Dan Q AQ
D, sehingga
P AQ
Q AQ
D
diag (
1
d
1
, ...,
n
d
n
) Diag (| d
1
|, ..., | D
n
|)
(
D
1
0
0
0
)
.
Halaman 6
21,12 Dekomposisi Nilai Singular
555

28. di mana D
1
diag (| d
1
|, ..., | D
r
|). Dengan demikian, nilai-nilai singular dari A adalah mutlak
nilai | d
1
|, ..., | D
r
| dari nilai eigen nol-nya. Dan, tunggal-nilai decompo-
sition A [dekomposisi (12,6)] adalah
SEBUAH
r
Σ
i 1
| D
i
| P
i
q
i
r
Σ
i 1
| D
i
| (
i
q
i
q
i
).
Sebagai perbandingan, dekomposisi spektral A [dekomposisi (5.4)] adalah
SEBUAH
n
Σ
i 1
d

29. i
q
i
q
i
r
Σ
i 1
d
i
q
i
q
i
.
Perhatikan bahwa, dalam kasus khusus di mana simetris matriks A adalah non-
negatif yang pasti,
d
1
, ..., d
r
positif, sehingga (untuk i
1, ..., n)
i
1, | d
i
|
d
i
, Dan p
i
q
i
.
Dengan demikian, dalam kasus khusus ini, nilai-nilai singular dari A adalah nilai
eigen nol-nya,
dan tunggal-nilai dekomposisi A pada dasarnya sama dengan spektral
dekomposisi A.
b. Singular-nilai dekomposisi kebalikan Moore-Penrose
Misalkan A merupakan suatu m × n matriks. Dan biarkan P mewakili m × m matriks
ortogonal,

30. Q merupakan × n n matriks orthogonal, dan D
1
{S
i
} R × r matriks diagonal dengan (ketat)
elemen diagonal positif sehingga
P AQ
(
D
1
0
0
0
)
.
Kemudian, menurut definisi, bentuk tunggal-nilai dekomposisi A adalah
SEBUAH
P
(
D
1
0
0
0
)
Q.
Menurut Teorema 20.5.6,
SEBUAH
+
Q
(
D
1
0
0
0
)
+
P.
Dan, mengingat hasil Bagian 20.2,
(

31. D
1
0
0
0
)
+
(
D
+
1
0
0
0
)
(
E
1
0
0
0
)
.
di mana E
1
diag (1 / s
1
, ..., 1 / s
r
). Dengan demikian,
SEBUAH
+
Q
(
E
1
0
0
0
)
P,

32. (12. 15)
atau, sama,
QA
+
P
(
E
1
0
0
0
)
.
Jelas, ekspresi (12.15) adalah tunggal-nilai dekomposisi A
+
. Dan
nilai-nilai singular dari A
+
adalah kebalikan dari nilai-nilai singular dari A.
Halaman 7
556
21. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
c. Perkiraan matriks dengan matriks rank lebih kecil
Teorema berikut menunjukkan bahwa jika beberapa nilai singular dari m × n
matriks A relatif kecil, m × n matriks yang diperoleh dari tunggal-nilai
dekomposisi (A) dengan menetapkan nilai-nilai singular sama dengan nol dapat
memberikan
"baik" pendekatan ke A.
Teorema 21.12.4. Biarkan A mewakili m × n matriks (peringkat r) dengan-nilai
singular
ues s
1
, s
2
, ..., s
r
memerintahkan agar s
1
≥ s
2

33. ≥ ··· ≥ s
r
. Biarkan D
1
diag (s
1
, s
2
, ..., s
r
),
dan membiarkan P mewakili m × m orthogonal matriks dan Q n × n matriks
orthogonal
sehingga P AQ
diag (D
1
, 0), sehingga
SEBUAH
P
(
D
1
0
0
0
)
Q
adalah tunggal-nilai dekomposisi A. Kemudian, untuk setiap m × n matriks B dari
peringkat k
atau kurang (di mana k <r),
B - A
2
≥ s
2
k 1
+ ··· + S
2
r
(12. 16)
(di mana norma adalah norma biasa). Selain itu, kesetaraan dicapai dalam
ketidaksetaraan

34. (12.16) dengan mengambil
B
P
(
D
*
1
0
0
0
)
Q,
di mana D
*
1
diag (s
1
, ..., s
k
).
Sebagai awal untuk membuktikan Teorema 21.12.4, akan lebih mudah untuk
membangun
Teorema berikut, yang merupakan dari beberapa kepentingan dalam dirinya sendiri.
Teorema 21.12.5. Misalkan A mewakili n × n matriks simetris dengan (tidak nec-
essarily berbeda) eigenvalues d
1
, d
2
, ..., d
n
memerintahkan agar d
1
≥ d
2
≥ ≥ d ···
n
.
Kemudian, untuk setiap n × k matriks X sehingga XX
Aku
k
atau, sama, untuk setiap n × k

35. matriks X dengan kolom ortonormal (di mana k ≤ n),
tr (X AX) ≤
k
Σ
i 1
d
i
.
dengan kesetaraan memegang jika kolom X adalah vektor eigen ortonormal dari A
sesuai dengan d
1
, d
2
, ..., d
k
, Masing-masing.
Bukti (dari Teorema 21.12.5). Biarkan U mewakili n × n matriks yang, ..., n th
pertama
kolom ortonormal (sehubungan dengan produk dalam biasa) vektor eigen dari
A yang terkait dengan d
1
, ..., d
n
, Masing-masing. Lalu ada sebuah n × k matriks
R
{R
aku j
} Sehingga X
UR. Selanjutnya, U AU
D, di mana D
diag (d
1
, ..., d
n
).
Dengan demikian,
tr (X AX)
tr (RU AUR)
tr (R DR)
k
Σ

36. j 1
n
Σ
i 1
d
i
r
2
aku j
n
Σ
i 1
w
i
d
i
.
Halaman 8
21,12 Dekomposisi Nilai Singular
557
mana (untuk i
1, ..., n) w
i
Σ
k
j 1
r
2
aku j
.
The skalar w
1
, ..., w
n
adalah seperti yang
0 ≤ w
i
≤ 1
(12. 17)
(untuk i

37. 1, ..., n) dan
n
Σ
i 1
w
i
k.
(12. 18)
Untuk melihat ini, amati bahwa
RR
RI
n
R
RU UR
XX
Aku
k
(yang menunjukkan bahwa kolom R adalah ortonormal). Kemudian, sebagai
konsekuensinya
Teorema 6.4.5, ada sebuah n × (n - k) matriks S sehingga kolom dari
matriks (R, S) membentuk sebuah basis ortonormal untuk R
n
atau, sama, sehingga (R, S)
adalah matriks ortogonal. Dan, RR + SS
(R, S) (R, S)
Aku
n
, jadi begitu
Aku
n
- RR
SS,
menyiratkan bahwa saya
n
- RR adalah non-negatif yang pasti. Dengan demikian, sejak jelas i diagonal
unsur Saya
n
- RR sama 1- w
i
, Kita memiliki 1- w
i

38. ≥ 0, yang (bersama-sama dengan
ketimpangan jelas w
i
≥ 0) menetapkan hasil (12,17). Selain itu,
n
Σ
i 1
w
i
k
Σ
j 1
n
Σ
i 1
r
2
aku j
tr (RR)
tr (Saya
k
)
k,
yang menetapkan hasil (12.18).
Hasil (12.17) dan (12.18) menyiratkan bahwa
Σ
n
i 1
w
i
d
i
≤
Σ
k
i 1
d
i
(seperti mudah
diverifikasi) dan karenanya yang
tr (X AX) ≤

39. k
Σ
i 1
d
i
.
Selain itu, dalam kasus khusus di mana kolom dari X yang ortonormal eigenvec-
tor dari A yang terkait dengan d
1
, ..., d
k
, Masing-masing, AX
X diag (d
1
, ..., d
k
) Dan
karenanya
X AX
XX diag (d
1
, ..., d
k
)
diag (d
1
, ..., d
k
).
Dengan demikian, dalam kasus khusus, tr (X AX)
Σ
k
i 1
d
i
.
QED
Bukti (dari Teorema 21.12.5). Sesuai dengan m setiap × n matriks B rank
k atau kurang, ada sebuah m × k matriks U dengan kolom ortonormal sehingga
C (B) ⊂ C (U) atau, sama, sehingga B
UL untuk beberapa k × n matriks L.

40. Sekarang, biarkan U mewakili m sewenang-wenang × k matriks dengan kolom
ortonormal atau,
ekuivalen, m sewenang-wenang × k matriks sehingga UU
Aku
k
. Dan, biarkan L mewakili
sebuah k sewenang-wenang × n matriks. Kemudian, untuk memverifikasi
ketidaksetaraan (12,16), itu sudah cukup untuk menunjukkan
bahwa
UL - Sebuah
2
≥ s
2
k 1
+ ··· + S
2
r
.
Halaman 9
558
21. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kami memiliki yang
UL - Sebuah
2
tr [(UL - A) (UL - A)]
tr (LL - Sebuah UL - LUA) + tr (AA).
Dan, karena
LL - Sebuah UL - LUA + A UU A
(L - UA) (L - UA)
dan karena (L - UA) (L - UA) adalah matriks definit nonnegatif, kami menemukan
(dalam cahaya
Teorema 14.7.2) yang
tr (LL - Sebuah UL - LUA + A UU A) ≥ 0
dan karenanya yang
tr (LL - Sebuah UL - LUA) ≥ -tr (A UU A)
-tr (U AA U).
Dengan demikian,
UL - Sebuah
2
≥ tr (AA) - tr (U AA U).

41. Selain itu, karena (dalam terang hasil ayat a) s
1
, ..., s
r
adalah positif
akar kuadrat dari nilai eigen nol dari AA (atau, sama, dari nol
eigen dari AA), maka dari Teorema 21.6.1 yang
tr (AA)
r
Σ
i 1
s
2
i
dan dari Teorema 21.12.5 yang
tr (U AA U) ≤
k
Σ
i 1
s
2
i
.
Kami menyimpulkan bahwa
UL - Sebuah
2
≥
r
Σ
i 1
s
2
i
-
k
Σ
i 1
s
2
i
s

42. 2
k 1
+ ··· + S
2
r
.
Dan bukti selesai pada mengamati (dalam terang Lema 8.4.2) yang
P
(
D
*
1
0
0
0
)
Q - Sebuah
2
P
(
D
*
1
0
0
0
)
Q - P
(
D
1
0
0
0
)
Q
2
(
D
*
1

43. 0
0
0
)
-
(
D
1
0
0
0
)
2
s
2
k 1
+ ··· + S
2
r
.
QED
Dalam kasus khusus di mana matriks A adalah simetris, Teorema 21.12.4 dapat (di
terang hasil ayat a) dinyatakan kembali dalam hal yang berkaitan dengan spektral
dekomposisi A, seperti yang dijelaskan dalam konsekuensi berikut.
Halaman 10
21,13 Simultan Diagonalisasi
559
Akibat 21.12.6. Misalkan A mewakili n × n matriks simetris (peringkat r) dengan
nol (tidak harus berbeda) eigenvalues d
1
, ..., d
r
memerintahkan agar | d
1
| ≥
| D
2
| ≥ · ≥ | d
r
|. Biarkan D

44. 1
diag (d
1
, ..., d
r
), Dan biarkan Q mewakili n × n
matriks orthogonal sehingga Q AQ
diag (D
1
, 0), sehingga
SEBUAH
Q
(
D
1
0
0
0
)
Q
adalah dekomposisi spektral A. Kemudian, untuk setiap n × n matriks B dari
peringkat k atau kurang
(di mana k <r)
B - A
2
≥ d
2
k 1
+ ··· + D
2
r
.
(12. 19)
Selain itu, kesetaraan dicapai dalam ketidaksetaraan (12,19) dengan mengambil
B
Q
(
D
*
1
0

45. 0
0
)
Q,
di mana D
*
1
diag (d
1
, ..., d
k
).
21,13 Simultan Diagonalisasi
Dalam Bagian 5, kita dianggap diagonalisasi dari n × n matriks. Sekarang, mari kita
SEBUAH
1
, ..., A
k
merupakan matriks k dimensi n × n, dan mempertimbangkan kondisi
di mana terdapat matriks Q tunggal n × n nonsingular yang mendiagonalisasi
semua k dari matriks tersebut; yaitu, kondisi di mana ada sebuah n × n
matriks taksingular Q sehingga Q
-1
SEBUAH
1
Q
D
1
, ..., Q
-1
SEBUAH
k
Q
D
k
untuk beberapa
matriks diagonal D
1
, ..., D
k
. Ketika suatu matriks taksingular Q ada, Q dikatakan

46. untuk secara bersamaan diagonalize A
1
, ..., A
k
(atau A
1
, ..., A
k
dikatakan simultane-
menerus didiagonalkan oleh Q), dan A
1
, ..., A
k
disebut sebagai simultan
didiagonalisasi.
Misalkan ada sebuah n × n matriks taksingular Q sehingga Q
-1
SEBUAH
1
Q
D
1
, ..., Q
-1
SEBUAH
k
Q
D
k
untuk beberapa matriks diagonal D
1
, ..., D
k
. Kemudian, untuk s
i
1, ..., k,
Q
-1
SEBUAH
s
SEBUAH

47. i
Q
Q
-1
SEBUAH
s
QQ
-1
SEBUAH
i
Q
D
s
D
i
D
i
D
s
Q
-1
SEBUAH
i
QQ
-1
SEBUAH
s
Q
Q
-1
SEBUAH
i
SEBUAH
s
Q,
menyiratkan bahwa
SEBUAH
s
SEBUAH
i
Q (Q

48. -1
SEBUAH
s
SEBUAH
i
Q) Q
-1
Q (Q
-1
SEBUAH
i
SEBUAH
s
Q) Q
-1
SEBUAH
i
SEBUAH
s
.
Dengan demikian, kondisi yang diperlukan untuk A
1
, ..., A
k
menjadi bersamaan didiagonalisasi
Apakah itu
SEBUAH
s
SEBUAH
i
SEBUAH
i
SEBUAH
s
(S> i
1, ..., k)
(13. 1)
(yaitu, bahwa A
1
, ..., A
k

49. perjalanan berpasangan).