Rachunek predykatów pierwszego rzędu

Wstep
˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum

Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe
Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu

Aleksander Pohl

Wy˙ sza Szkoła Zarzadzania i Bankowo´ ci
z ˛ s

10 marzec 2009

Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
˛

Wstep

Plan prezentacji

Wstep
˛

Twierdzenia

Prawa Rachunku Predykatów

Postscriptum

˛

Wstep

Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛
edu
Klasyczny rachunek logiczny to system logiczny, na
◮
´
który składaja sie rachunek zdan oraz rachunek
˛˛
predykatów pierwszego rz˛ edu (czyli rachunek
kwantyﬁkatorów). Klasyczny rachunek logiczny w pełni
wystarcza do przeprowadzenia zdecydowanej wiekszo´ ci
˛ s
´
rozumowan matematycznych.
Tautologia to deﬁnicja, twierdzenie lub zdanie warunkowe,
◮
które jest uniwersalnie prawdziwe w ka˙ dej niepustej
z
dziedzinie (np. Zachodzi p lub nie p)
Term to wyra˙ enie składajace sie ze zmiennych oraz
z ˛ ˛
◮
symboli funkcyjnych o dowolnej liczbie argumentów
(w tym o zerowej liczbie argumentów, czyli stałych)
z pewnego ustalonego zbioru.
˛

Wstep

edu

Rachunek predykatów pierwszego rzedu (ang. first
˛
◮
order predicate calculus) to system logiczny, w którym
kwantyfikatory moga mówi´ tylko o obiektach, nie za´ o ich
˛ c s
zbiorach. Tak wiec nie moga wystepowa´ kwantyfikatory
˛ ˛ ˛ c
s´
typu dla ka˙ dej funkcji X na Y. . . istnieje własno´ c p, taka
z
˙
ze. . . czy dla ka˙ dego podzbioru X zbioru Z. . .
z

Rachunek ten nazywa sie te˙ po prostu rachunkiem
˛z
◮
kwantyfikatorów.

˛

Wstep

edu

System rachunku predykatów pierwszego rz˛
edu składa sie z:
˛
1, “a“, π – stałych
◮

a, b, c, x, y, z – zmiennych
◮

f (x), g(x, y) – funkcji n-argumentowych dla pewnego
◮
n naturalnego
has(x, y) – relacji n-argumentowych dla pewnego
◮
n naturalnego
∨ ∧ ¬ ⇒ – symboli logicznych (takich jak alternatywa,
◮
koniunkcja, negacja czy implikacja)
∀ ∃ – kwantyﬁkatora ogólnego i egzystencjalnego
◮

˛

Wstep

Rachunki wy˙ szych rz˛
z edów

Rachunek drugiego rz˛
edu:
∀F : F (x) ∨ ¬F (x)
◮

W ogólnym wypadku nie jest równowa˙ ny rachunkowi
z
◮
pierwszego rz˛
edu
Nie istnieje dobry model dowodów dla rachunków drugiego
◮
rz˛
edu – nie u˙ ywany przez logików
z
W teorii zło˙ ono´ ci deﬁniujemy klasy problemów
z s
◮
rachunkiem drugiego rz˛ edu
W rachunkach wy˙ szych rz˛
z edów predykaty staja sie
˛˛
parametrami

˛

Wstep

edu –
twierdzenia

Wa˙ niejsze twierdzenia:
z
twierdzenie o zwarto´ ci
s
◮

twierdzenie Herbranda
◮

twierdzenie Craiga
◮

˛

Wstep

Twierdzenie o zwarto´ ci
s

´
Twierdzenie o zwartosci (ang. compactness theorem) to
˙ ´ ´
twierdzenie mówiace, ze nieskonczony zbiór zdan rachunku
˛
predykatów pierwszego rz˛ edu jest spełnialny (istnieje jego
model – czyli zbiór obiektów matematycznych, które go
´
spełniaja), je´ li tylko ka˙ dy jego skonczony podzbiór jest
˛ s z
spełnialny.

Równowa˙ nie, je´ li taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego
z s
´
skonczony podzbiór, który jest sprzeczny.

˛

Wstep

Twierdzenie Herbranda
Rozwiniecie Herbranda dla formuły rachunku predykatów
˛
pierwszego rz˛
edu, to formuła, w której:
wszystkie kwantyﬁkatory ogólne (tak˙ e zmienne wolne)
z
◮
∀x : φ(x) zostały zastapione przez koniunkcje
˛
φ(x1 ) ∧ φ(x2 ) ∧ . . . ∧ φ(xn ),
wszystkie kwantyﬁkatory egzystencjalne ∃x : φ(x) przez
◮
alternatywy φ(x1 ) ∨ φ(x2 ) ∨ . . . ∨ φ(xn ),
´
gdzie x1 , x2 , . . . , xn to pewien podzbiór skonczony
◮
uniwersum Herbranda (które zawiera wszystkie zamkniete ˛
termy zło˙ one ze stałych i symboli funkcyjnych
z
wystepujacych w formule).
˛ ˛

˛

Wstep

Twierdzenie Herbranda

Formuła jest tautologia, gdy ka˙ de jej rozwiniecie
˛ z ˛
◮
Herbranda jest tautologia.
˛

Formuła nie jest tautologia, gdy które´ jej rozwiniecie
˛ s ˛
◮
Herbranda nie jest tautologia.˛

˛

Wstep

Twierdzenie Craiga

˙
Twierdzenie Craiga mówi, ze:
dla ka˙ dego zdania rachunku predykatów pierwszego
z
◮
rz˛
edu postaci X ⇒ Y bedacego tautologia
˛˛ ˛
˙
istnieje interpolant, czyli taka formuła Z , ze:
◮
X ⇒ Z i Z ⇒ Y sa tautologiami i
˛
◮

˙
w Z nie wystepuje zadna relacja ani symbol funkcyjny
˛
◮

(w tym stała), która nie wystepuje jednocze´ nie w X i Y .
˛ s

˛

Wstep

Problem rozstrzygalno´ ci
s

Teoria T w jezyku L jest rozstrzygalna, je´ li istnieje
˛ s
◮
algorytm, który dla ka˙ dego zdania X napisanego w jezyku
z ˛
L rozstrzyga, czy T dowodzi X .

Rachunek predykatów pierwszego rz˛ edu jest
◮
´ ´
nierozstrzygalny (w przeciwienstwie do rachunku zdan),
ale nadaje sie do komputerowej analizy (co ju˙
˛ z
niekoniecznie mo˙ na powiedzie´ o rachunku predykatów
z c
wy˙ szych rz˛
z edów, które dopuszczaja kwantyﬁkowanie po
˛
zbiorach).

˛

Wstep

s´
Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu

def f(g)
if(zatrzyma_sie(g))
nieskonczona_petla
else
return
end
end

˛

Wstep

s´
Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu

Sprawdzamy f(f):
je´ li sie zatrzyma, to zatrzyma_sie(f) zwróciło false,
s ˛
◮
s´
czyli f nie mo˙ e sie zatrzyma´ – sprzeczno´ c
z ˛ c
je´ li sie nie zatrzyma, to
s ˛
◮
albo zatrzyma_sie(f) nie zatrzymało sie – wadlie
˛
◮

zatrzyma_sie,
s´
albo f powinno wykona´ return – sprzeczno´ c
c
◮

˛

Wstep

Definicje

A – wyra˙ enie
z
◮

x – zmienna
◮

t – term
◮

Stx A – instancjacja A, t instancja x
◮

∀x : φ(x) – kwantyfikator uniwersalny
◮

∃x : φ(x) – kwantyfikator egzystencjalny
◮

˛

Wstep

´
Prawa Klasycznego Rachunku Zdan

(X ⇒ Y ∧ ¬Y ) ⇒ ¬X – kontrapozycja, Modus Tolens
◮

((X ⇒ Y ) ∧ X ) ⇒ Y – dedukcja, twierdzenie o odrywaniu,
◮
Modus Ponens

˛

Wstep

Prawa dla kwantyﬁkatorów

∀x : φ(x) ⇒ Stx φ instancjacja uniwersalna
φ ⇒ ∀x : φ(x) generalizacja uniwersalna
Stx φ ⇒ ∃x : φ(x) generalizacja egzystencjalna
x
∃x : φ(x) ⇒ Sa φ instancjacja egzystencjalna

˛

Wstep

Formuły równowa˙ no´ ci (1)
zs

∃x : A ⇔ A dla x wolnej w A
∀x : A ⇔ A dla x wolnej w A
∃x : A ⇔ Stx A ∨ ∃x : A dla dowolnego t
∀x : A ⇔ Stx A ∧ ∀x : A dla dowolnego t

˛

Wstep

zs

x
∃x : A ⇔ ∃y : Sy A dla x wolnej w A
∃x : A ∧ B ⇔ A ∧ ∃x : B dla x wolnej w A
¬∀x : A ⇔ ∃x : ¬A
¬∃x : A ⇔ ∀x : ¬A

˛

Wstep

zs

∃x ∃y : P(x, y) ⇔ ∃y ∃x : P(x, y)
∀x ∀y : P(x, y) ⇔ ∀y ∀x : P(x, y)
∀x : A(x) ∧ ∀x : B(x) ⇔ ∀x : (A(x) ∧ B(x))
∃x : A(x) ∨ ∃x : B(x) ⇔ ∃x : (A(x) ∨ B(x))

˛

Wstep

Formuły wnioskowania

∃x ∀y : P(x, y) ⇒ ∀y ∃x : P(x, y)
∃x : P(x) ∧ ∀x : Q(x) ⇒ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))
∀x : P(x) ∨ ∀x : Q(x) ⇒ ∀x : (P(x) ∨ Q(x))
∃x : P(x) ∧ ∃x : Q(x) ⇐ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))

˛

Wstep

Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych Peano (1889)

0 jest liczba naturalna
˛ ˛
◮

s(n) – nastepnik liczby n
˛
◮

Je´ li n jest liczba naturalna to s(n) jest liczba naturalna
s ˛ ˛ ˛ ˛
◮

∀n : s(n) = 0
◮

s(n) = s(m) ⇒ n = m
◮

˛

Wstep

Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych – cd.

Suma:
◮
∀n : n + 0 = n
◮

∀n ∀m : (m + s(n)) = s(m + n)
◮

Iloczyn:
◮
∀n : (n ∗ 0 = 0)
◮

∀n ∀m : (n ∗ s(m) = n ∗ m + n)
◮

Indukcja
◮
P(0) ∧ ∀n : (P(n) ⇒ P(s(n))) ⇒ ∀n : P(s(n))
◮

˛

Wstep

Rekurencja
G-ciag dla predykatu binarnego G(x, y)
˛
◮
x = s(y) ⇒ G(x, y) – zachodzi
Domena jest dobrze okre´ lona ze wzgledu na G je´ li
s ˛ s
◮
´
wszystkie G-ciagi sa skonczone
˛ ˛
Dowód rekurencyjny:
◮
˙
Wybieramy predykat G i dowodzimy, ze wszystkie G-ciagi˛
◮

´
sa skonczone
˛
Je´ li x jest elementem minimalnym, to dowodzimy, ze P(x )
˙
s
◮

zachodzi
Dla dowolnego x zakładamy, ze P(y ) zachodzi dla
˙
◮

wszystkich y , takich, ze G(x , y ) zachodzi
˙
Udowadniamy, ze P(x ) zachodzi
˙
◮

Wniosek: ∀x : P(x )
◮

˛

Wstep

Materiały zródłowe
´

W.K. Grassman, J.P. Tremblay „Logic and Discrete
◮
Mathematics – A Computer Science Perspective”
Slajdy zostały przygotowane za zgoda˛
◮
dr. Michała Korzyckiego na podstawie jego wykładu.

˛

Wstep

Dziekuje!
˛ ˛

˛

Rachunek predykatów pierwszego rzędu

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (12)

Plus de Aleksander Pohl

Plus de Aleksander Pohl (11)

Rachunek predykatów pierwszego rzędu