Enseña Plano Cartesiano, ecuación de la recta, funciones, distancias y perímetros, áreas, sistemas de ecuaciones lineales y otros

1. -PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
-PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS -DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
-PERÍMETROS Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS
-LA FUNCIÓN LINEAL Y SU GRÁFICA
POSICIÓN Y DIRECCIÓN DE UNA RECTA
PARALELISMO, COINCIDENCIA Y
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
-ECUACION PRINCIPAL Y ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
ECUACIÓN DE LA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA RESUMEN
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Esc
Esc Sale
Sale Mouse ooAv. Pág. Avanza
Mouse Av. Pág. Avanza

2. y (3,4)
4
(-5,3)
3 (4½,2½)
2 (1,2)
(-4,1½)
(-2,1)
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
(-4½,-1)
(3,-1½)
-2
(-1½,-2)
(2,-2½)
-3
(-3,-3)
(5,-3½)
-4

3. y IDENTIFICA LOS PUNTOS
4 QUE SE INDICAN Y LUEGO
(-3, 3½)
(-4½, 3) COMPRUEBA.
3
(1½, 2)
2
(5, 1)
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2 (2, -1½)
(-4, -2)
-3
(-1½, -3) (3½, -3½)
-4

4. OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO
ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
y
y2 P2
y1 +y2 PM
2
P1
y1
x1 x2
x
x1 +x2
2
EL PUNTO MEDIO PM ENTRE P1
y P2 TIENE COORDENADAS:
PM( x1 +x2 , y1 +y2 )
2 2

5. OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO
ENTRE LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (6, 7)
SEGÚN FÓRMULA
ANTERIOR:
PM( x1 +x2 , y1 +y2 )
2 2
ESTO ES:
PM( 2 +6 , 3 +7 )
y P2 2 2
7
PM
5
LUEGO:
P1
3 PM( 4 , 5 )
2 4 6
x

6. APLICANDO EL y
8
TEOREMA DE
PITÁGORAS, ES
POSIBLE
7-4 = 3 6
= 5 3
DETERMINAR LA
DISTANCIA
d
ENTRE DOS 4
PUNTOS DEL
PLANO. 2 4
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
x
Según Pitágoras: -2
6-2 =4
d = 4 +3
2 2 2
-4
d = 16 + 9 ¡SIRVE EL TEOREMA
-6
d = 25 = 5 DE PITÁGORAS! ¡AH!

7. SEAN LOS PUNTOS P1 y P2,, DE
LA DISTANCIA
ENTRE DOS y COORDENADAS (x1,y1) y (x2,y2)
PUNTOS SE
y2
P2
OBTIENE COMO
CONCLUSIÓN
DEL PROCESO y2 -y1 d y2 -y1
SIGUIENTE: P1
y1
Aquí, Según Pitágoras: x2 -x1
x1 x2
x
d =
2 (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 x2 -x1
ESTO ES:
ESTA ES LA FÓRMULA
GENERAL PARA DETERMINAR
d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 LA DISTANCIA ENTRE DOS
PUNTOS

8. CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE
LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (14, 8)
y
P2 (14, 8)
8
6 d= 13
5
4 P1(2,3)
2
12
x
2 4 6 8 10 12 14
Según Pitágoras: d2 = (14 - 2)2 + (8 - 3)2 d=13

9. AL UNIR LOS VÉRTICES,
SEAN LOS PUNTOS : MEDIANTE SEGMENTOS DE
A(-2, -4) B( 3, 8) C(6, 4) RECTA, SE DETERMINA EL
TRIÁNGULO ABC
EN UN PLANO, ESTO ES:
y ENTONCES, EL PERÍMETRO
DEL TRIÁNGULO ABC SE
B OBTIENE SUMANDO LA
MEDIDA DE SUS LADOS AB,
BC Y AC.
C
PARA EL CÁLCULO DE ESTAS
MEDIDAS, SE APLICA LA
x FÓRMULA DE DISTANCIA:
A d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Continúa...

10. APLICANDO LA
FÓRMULA: d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
ENTRE LOS PUNTOS: A(-2, -4) B( 3, 8 )
d AB = (3 - -2)2 + (8 - -4)2 = 5 + 12 2 2
= 25 + 144 = 169 = 13
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS: B( 3, 8 ) C(6, 4)
d BC = (6 - 3)2 + (4 - 8)2 = 3 + (−4)
2 2
= 9 +16 = 25 = 5 Continúa...

11. Y CONSIDERANDO LOS PUNTOS: A(-2, -4) C(6, 4)
d AC = (6 - -2)2 + (4 - -4)2 = 8 +8 2 2
= 64 + 64 = 128 = 11,31
CON LO CUAL SE CONCLUYE QUE EL PERÍMETRO DEL
TRIÁNGULO QUE DETERMINAN LOS PUNTOS A,B,C, ES:
P= 13 + 5 + 11,31
P = 29,31
Continúa...

12. PARA RESOLVER EL PROBLEMA
DEL CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC ,
EXISTE UNA FÓRMULA QUE PERMITE DETERMINAR
EL ÁREA DE CUALQUIER TRIÁNGULO
CUANDO LAS MEDIDAS DE SUS LADOS SE CONOCEN
ESTA ES, A = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c )
p es la mitad del perímetro del triángulo
AQUÍ: a, b, c son las medidas de los respectivos
lados del triángulo ABC.
Continúa...

13. ASÍ, ENTONCES, CONSIDERANDO QUE LAS MEDIDAS
DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO ABC, SON:13, 5 y
11.31 Y QUE SU PERÍMETRO ES 29.31
CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
AREA = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c )
SE TIENE: a = 11,31 b = 5 c = 13 p = 14,66
ESTO ES:
AREA = 14,66 ⋅ 3,35 ⋅ 9,66 ⋅1,66
= 780.47 = 27,93

14. EN UN PLANO DE COORDENADAS, SE TIENEN
LOS PUNTOS A(-3, -2) , B (-2, 5) y C (7, -4)
y AL UNIR LOS VÉRTICES,
MEDIANTE SEGMENTOS DE
6 RECTA, SE DETERMINA EL
B TRIÁNGULO ABC.
4
¡DETERMINA SU PERÍMETRO
2 Y LUEGO COMPRUEBA!
2 4 6 8
-8 -6 -4
A
-2
-2
x
-4 C
¡DETERMINA SU ÁREA
-6
Y LUEGO COMPRUEBA!
Continúa...

15. APLICANDO LA
FÓRMULA: d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
ENTRE LOS PUNTOS: A(-3,-2) B( -2, 5 )
d AB = (-2 - -3)2 + (5 - -2)2 = 1 +7 2 2
= 1 + 49 = 50 = 7,07
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS: B( -2, 5 ) C(7, -4)
d BC = (7 - 2) + (-4 - 5)
- 2 2
= 9 + (−9)
2 2
= 81 +81= 162 = 12,72
Continúa...

16. ADEMÁS, CON LOS PUNTOS: A(-3,-2) C(7, -4)
d AC = (7 - 3) + (-4 - 2) = 10 + ( −2)
- 2 - 2 2 2
= 100 + 4 = 104 = 10,19
ASÍ, ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC ES:
P = 7,07 + 12,72 + 10,19 = 29,98
Y CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
AREA = p ⋅( p −a ) ⋅( p − ) ⋅( p −c )
b
AREA = 14,99 ⋅ 7,92 ⋅ 2,27 ⋅ 4,8
EL ÁREA DEL TRIÁNG. ES: = 264,7 = 16,27

17. UNA MANERA INGENIOSA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN
TRIÁNGULO, DIBUJADO EN UN PLANO, ES INSCRIBIRLO EN UN
RECTÁNGULO.
SEA EL TRIÁNGULO: P(-6, -2) , Q (-3, 4) y R (5, 1)
y AL INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO,
SE TIENE:
6
AHORA, EL ÁREA DEL
TRIÁNGULO PQR, SE OBTIENE
4
CALCULANDO EL ÁREA DEL
T2 T1
RECTÁNGULO Y LUEGO
2
RESTÁNDOLE LAS ÁREAS DE
LOS TRES TRIÁNGULOS
2 4 6
xRECTÁNGULOS T1, T2 Y T3
-8 -6 -4 -2
T3 QUE SE DETERMINARON
-2
POR LO TANTO, EL
ASÍ, EL ÁREA: ÁREA DEL
TRIÁNGULO PQR ES:
DEL RECTÁNGULO ES: 11 • 6 = 66
DE LOS TRIÁNGULOS 66 - 37.5 = 28.5
T1 + T2 + T3 ES: 12 + 9 + 16.5 = 37.5

18. ANÁLOGAMENTE AL CASO ANTERIOR, SE PUEDE CALCULAR
EL ÁREA DE UN CUADRILÁTERO, CON AYUDA DE UN
RECTÁNGULO.
¡INTÉNTALO CON EL CUADRILÁTERO:
A(-2, -3) , B(6, 0) , C (3, 4) y D (-5, 3)
¡LUEGO !
COMPRUEBA!
Área del rectángulo = 77
y
Área de T1 = 12
6
Área de T2 = 6
4 C
T3
D T2 Área de T3 = 2.5
2
Área de T4 = 9
B
2 4 6
x ASÍ, EL ÁREA DEL
-8 -6 -4 -2 CUADRILÁTERO ABCD ES:
T4 A -2 T1
77 - 29.5 = 47.5

19. DETERMINAR LA
DISTANCIA Y EL PUNTO
MEDIO, ENTRE LOS
PUNTOS SIGUIENTES: DISTANCIA PUNTO MEDIO
1.- A(-4,-5) y B (2,3) 10 (1, -1)
2.- C(-3,6) y D (9,1) 13 (3, 3½)
3.- E(1,-7) y F (10,5) 16,27 (5½, -1)
4.- G(-6,-2) y H (6,14) 20 (0, 6)
5.- I(0,-4) y J (3,0) 5 (1½, -2)
6.- K(-1,1) y L (7,7) 10 (3, 4)

20. CALCULAR EL PERÍMETRO Y
EL ÁREA, DEL POLÍGONO QUE
RESULTA AL UNIR LOS
PUNTOS SIGUIENTES: PERÍMETRO ÁREA
7.- A(-4,-5), B (2,3) y C (1,-7) 25.42 25.96
8.- D(-3, 6), E (9,1) y F (6, 0) 26.97 17.47
9.- G(-6,-2), H (6,14)
C(1,-7) y D(-3,6)
49.18 127.5
10.- A(-4,-5), H (6,14)
F(6, 0) y D(-3,6) 48.26 46

21. EL PLANO CARTESIANO PERMITE
DIBUJAR DIVERSOS TIPOS DE
LÍNEAS, RECTAS Y CURVAS .
y LA IMPORTANCIA DE LOS
GRÁFICOS RADICA EN QUE
6 PERMITEN DAR HA CONOCER,
MEDIANTE UN IMPACTO
4 VISUAL, DIVERSAS
SITUACIONES, COMO SER:
2 ESTADO DE UNA EMPRESA,
COMPRA VENTA DE
PRODUCTOS, MOVIMIENTO DE
2 4 6 8
-8 -6 -4 -2
- x UN MÓVIL, ÍNDICES DE
PRODUCIÓN, NACIMIENTO,
2 MORTALIDAD, INTERESES,
- PRECIPITACIONES Y OTROS
4 CASOS; QUE PERMITEN A
- SIMPLE VISTA OBTENER
6 INFORMACIÓN VÁLIDA, PARA
LA TOMA DE DESICIONES.

22. EN EL GRÁFICO DE LA
FIGURA, SE INDICAN LOS
y MILES DE PARES DE
400 CALZADO VENDIDOS POR
UNA FÁBRICA, ENTRE LOS
M
MESES DE ENERO Y
I 300
SEPTIEMBRE DEL AÑO 2005.
L
E
200 LAS LÍNEAS PERMITEN
S
UNA MEJOR APRECIACIÓN
DE LA SITUACIÓN.
100
x
E F M A M J J A S
MESES
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MÁS BAJAS?
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MEJOR?
¿QUÉ PRODUCCIÓN DE CALZADO DEBE ASEGURAR LA EMPRESA
PARA EL PRÓXIMO PERÍODO?

23. LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEA, QUE SE DIBUJAN EN UN
PLANO CARTESIANO, SE PUEDEN ESCRIBIR ALGEBRAICAMENTE,
DE ACUERDO A SU FORMA:
* LAS LÍNEAS RECTAS SE ESCRIBEN DE LA FORMA:
f ( x) = ax + b DONDE, a, b ∈ IR
Y ADEMÁS, xES UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
A LA CUAL SE LE PUEDEN DAR DIFERENTES
VALORES, PARA OBTENER RESPECTIVOS VALORES
DE f (x )
EN UN PLANO CARTESIANO, LOS VALORES QUE
SE LE VAYAN ASIGNANDO A LA VARIABLE x
SE UBICAN EN EL EJE DE LAS X, A PARTIR DE
DONDE SE UBICA, EN EL EJE Y, SU VALOR f (x )
CON LO CUAL: y = f (x )

24. A TODAS LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS y = f (x)
SE LES DENOMINA FUNCIONES.
EN PARTICULAR, A LAS FUNCIONES f ( x ) =ax +b
QUE REPRESENTAN LÍNEAS RECTAS, SE LES DENOMINA
FUNCIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO.
ASÍ, SU GRÁFICA ES:
y
Sea la función lineal: f ( x) = 2 x − 5
5
En una tabla de valores;
esto es:
f ( x) = 2 x − 5
x f ( x) = 2 x − 3 ( x, f ( x))
1 2•1 - 3= -1 (1, -1) 1 4 x
-1
4 2•4 - 3= 5 (4, 5)

25. ¡OBSERVA! GRAFICAMENTE;
y ESTO ES:
SI: f ( x) = 3x − 4 11
ENTONCES:
x f ( x) = 3x − 4 ( x, f ( x))
0 3•0 - 4= -4 (0, -4)
5 3•5 - 4= 11 (5, 11) 5 f ( x) = 3x − 4
SI: f ( x) = −2 x + 5
ENTONCES:
x
3 5
-1
x f ( x) = − 2 x + 5 ( x, f ( x))
0 -2•0 + 5= 5 (0, 5) -4 f ( x) = − 2 x + 5
3 -2•3 + 5= -1 (3, -1)

26. EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS
RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE
LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
y
f ( x) = x − 3
6
f ( x) = 2 x + 1 4
f ( x) = − x + 3 2
2 4 6 8
f ( x) = −2 x + 1
-8 -6 -4 -2
-2
x
-4
¡LUEGO
-6
COMPRUEBA! ¿QUÉ PUEDES CONCLUIR?

27. EN EL PLANO, LAS LÍNEAS SE
DIBUJAN DE IZQUIERDA A
DERECHA Y PRESENTAN UNA
y INCLINACIÓN ASCENDENTE O
DESCENDENTE, DENOMINADA
6 COEFICIENTE DE DIRECCIÓN O
PENDIENTE DE LA RECTA,
4 CUYO VALOR NUMÉRICO SE
REPRESENTA CON LA LETRA m.
2
AL PUNTO DONDE LAS
-6 -4 -2 2 4 6 x RECTAS CORTAN AL EJE
-2 DE LAS Y SE LE
DENOMINA COEFICIENTE
-4 DE POSICIÓN Y SU VALOR
NUMÉRICO SE
REPRESENTA CON LA
-6
LETRA n.

28. EN LAS FUNCIONES LINEALES f ( x) = ax + b
EL VALOR DE LA PENDIENTE COINCIDE CON EL
VALOR DEL COEFICIENTE DE a x
Y EL VALOR
DEL COEFICINTE DE POSICIÓN COÍNCIDE CON EL
TÉRMINO b
PENDIENTE COEF. DE POSICIÓN
FUNCIÓN LINEAL (m) (n)
f ( x) = x − 3 1 -3
f ( x) = 2 x + 1 2 1
f ( x) = − x + 3 -1 3
f ( x) = −2 x + 1 -2 1

29. COMPLETA LA TABLA CON EL VALOR DE LA
PENDIENTE Y EL COEFICIENTE DE POSICIÓN DE
CADA UNA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES:
PENDIENTE COEF. DE POSICIÓN
FUNCIÓN LINEAL (m) (n)
2 2
f ( x ) = x +5
3 5
3
1 -1
f ( x ) = − x +3
2 3
2
3 3
f ( x ) = x −7
4 -7
4
5 -5
f ( x ) = − x −1 7 -1
7
2 2
f ( x ) = x −2 -2
3 3

30. EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTAS
CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES
LINEALES SIGUIENTES:
f ( x ) = 3x − 7 y
f ( x ) = 3x − 1 6
f ( x ) = 3x + 5 4
2
2 4 6 8
-8 -6 -4 -2
-2
x
¿QUÉ PUEDES DECIR
DE SUS PENDIENTES? -4
¿POR QUÉ LAS RECTAS ¿DÓNDE CORTAN, LAS
-6
SON PARALELAS? RECTAS, AL EJE Y?

31. EN GENERAL, SIEMPRE QUE DOS O MÁS RECTAS
PRESENTEN LA MISMA PENDIENTE Y DISTINTO
COEFICIENTE DE POSICIÓN, PODEMOS ASEGURAR
QUE ESTAS SON PARALELAS; ES DECIR, NUNCA SE
INTERSECTAN.
f ( x) = 2 x + 9 m=2 n= 9
EJEMPLO:
f ( x) = 2 x − 5 m=2 n = -5
CUANDO DOS RECTAS COÍNCIDEN EN EL VALOR DE
AMBOS COEFICIENTES (PENDIENTE Y POSICIÓN), SE
DICE QUE ÉSTAS SON COINCIDENTES EN TODA SU
EXTENSIÓN.
f ( x ) = 3x + 4 m=3 n= 4
EJEMPLO:
f ( x ) = 3x + 4 m=3 n= 4

32. AHORA, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA
UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
2 y
f ( x) = x + 1
3
6
3
f ( x) = − x + 4 4
2
2
2 4 6 8
¿QUÉ PUEDES DECIR
-8 -6 -4 -2
-2
x
DE SUS PENDIENTES?
-4
¿QUÉ POSICIÓN PRESENTAN LAS ¿FORMAN UN
-6
RECTAS, UNA RESPECTO DE LA OTRA? ÁNGULO DE 90°?

33. EN GENERAL, SIEMPRE QUE EL VALOR DE LA
PENDIENTE DE UNA RECTA CORRESPONDA CON EL
VALOR DEL OPUESTO AL INVERSO MULTIPLICATIVO
DE OTRA RECTA, PODEMOS ASEGURAR QUE ESTAS
SON PERPENDICULARES; ES DECIR, SE INTERSECTAN
FORMANDO UN ÁNGULO DE 90°.
3 3
f ( x) = x − 2 m= 4
4
EJEMPLO:
4
f ( x) = − x + 7 m=- 4
3 3
NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS 3 -4
PENDIENTES, EL PRODUCTO ES -1. 4
•
3 = -1

34. EN ADELANTE, LAS FUNCIONES f ( x) = mx + n
SE ESCRIBEN COMO y = mx + n CUYA IGUALDAD
RECIBE EL NOMBRE DE ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA
RECTA.
PENDIENTE ECUACIÓN
COEF. DE POSICIÓN
(m) PRINCIPAL
(n)
2 2
3 4 y = x +4
3
-3 3
-1 y = − x −1
4 4
-5 -2 5 2
y =− x −
7 3 7 3
2 5 2
y = x +5
3 3
1 1
3 2
y =3 x +
2

35. CUANDO UNA ECUACIÓN PRINCIPAL PRESENTA
COEFICIENTES FRACCIONARIOS, ES POSIBLE
EVITARLOS APLICANDO PROPIEDADES DE LAS
IGUALDADES.
2
EJEMPLO: SI: y = x +4 ·3
3
3 y = 2 x + 12 + (−2 x)
3 y + (−2 x) = 2 x + 12 + (−2 x)
3 y − 2 x = 12 ·(-1)
ESTO ES: 2 x − 3 y = −12
A ESTA EXPRESIÓN DE LA RECTA, SE LE DENOMINA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

36. A PARTIR DE UNA ECUACIÓN GENERAL, TAMBIÉN
ES POSIBLE DETERMINAR SU ECUACIÓN PRINCIPAL
SI: 2 x − 3 y = −12 + (−2 x)
2 x − 3 y + (−2 x) = −12 + (−2 x)
1
− 3 y = −12 − 2 x ⋅ (− )
3
2
y =4 + x
3 LA ECUACIÓN
2 PRINCIPAL
ESTO ES: y = x+4 DE LA RECTA
3

37. CONSIDERANDO QUE LA PENDIENTE DE UNA RECTA SE
REPRESENTA POR LA LETRA m, Y QUE EL COEFICIENTE DE
POSICIÓN SE REPRESENTA POR LA LETRA n; COMPLETA,
SEGÚN CORRESPONDA, LA TABLA SIGUIENTE:.
ECUACIÓN ECUACIÓN
m n PRINCIPAL GENERAL
1 1
3 2 y = x+
3
2 x - 3y = -6
-3 3
4 3 y = − x +3
4
3x + 4y = 12
-3 3 21x - 7y = 3
3 y = x−
3
7 7
2 -2 2
3
y = x−
3
2 2x - 3y = 6
2 -1 2 1
5 2
y = x−
5 2 4x - 10y = 5

38. LA PENDIENTE m DE UNA RECTA TAMBIEN SE PUEDE OBTENER
A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS: P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
SE DEFINE A LA
y EN UN PLANO, ESTO ES: PENDIENTE DE
LA RECTA
y2 P2 COMO EL
CUOCIENTE
ENTRE LA
y 2 −y1 MEDIDA DEL
CATETO
P1 α OPUESTO, AL
y1 ÁNGULO α, Y
x2 −x1 LA MEDIDA DE
x1 x2
x SU CATETO
ADYACENTE.
y2 − y1
ASÍ, m= = tg (α) Donde α es
x2 − x1 la inclinación
de la recta
USANDO UNA CALCULADORA: α = tg -1 (m)

39. SI: P1(1, 4) y P2 (5, 12) DETERMINA, LA PENDIENTE
DE LA RECTA QUE PASA POR
ENTONCES, LA PENDIENTE LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 22)
DE LA RECTA QUE PASA POR APLICANDO LA FÓRMULA:
LOS PUNTOS P1 y P2 SE
PUEDE DETERMINAR y2 − y1
APLICANDO LA FÓRMULA: m=
x2 − x1
y2 − y1
m=
x2 − x1 ¡VEAMOS!
22 - 7 15
ESTO ES: m= 8-3 = 5
12 - 4 8
m= 5-1 = 4 =2 m=3

40. PARA LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 2); EN
UN PLANO CARTESIANO, SE TIENE:
y P1
7
P1P2 = 5 + 6 = 61 2 2
5
2
6 P2 m P1P2 = -5
6
3 9
x
¿PORQUÉ LA PENDIENTE DA NEGATIVA?
¿QUÉ SIGNO TIENE LA PENDIENTE CUANDO
LA RECTA ES ASCENDENTE?

41. LA ECUACIÓN DE UNA RECTA TAMBIÉN SE PUEDE OBTENER A
PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS PUNTOS : P1 (1, 2) y P2 (9, 7)
SI SE UBICA EN LA
EN UN PLANO, ESTO ES: RECTA UN PUNTO
y P2 CUALQUIERA (x,y),
7 SE DETERMINA UN
NUEVO TRIÁNGULO
RECTÁNGULO, CON
y 7-2 LO CUAL SE
PRESENTAN DOS
y-2
P1 α ALTERNATIVAS
2 x-1
PARA EL CÁLCULO
DE LA PENDIENTE;
1 x 9
x ESTO ES :
9-1 8y - 16 = 5x - 5
ASÍ:
y-2 7-2 DE DONDE: 5x - 8y = -11
m= x-1 = 9-1

42. EN GENERAL, A PARTIR DE DOS PUNTOS , LA ECUACIÓN DE UNA
RECTA SE OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DE LO SIGUIENTE:
SEAN LOS PUNTOS CONOCIDOS : P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
EN UN PLANO, ESTO ES: AL UBICAR EN LA
y RECTA UN PUNTO
CUALQUIERA (x,y), SE
y2 P2 DETERMINA UN
NUEVO TRIÁNGULO
RECTÁNGULO, CON
y LO CUAL SE
y2 - y1 PRESENTAN DOS
y - y1 ALTERNATIVAS
PARA EL CÁLCULO
P1 α DE LA PENDIENTE;
y1 x - x1
x1 x x2
x DE DONDE SE OBTIENE
LA FÓRMULA PARA
OBTENER LA ECUACIÓN
x2 - x1 GENERAL DE LA RECTA.
ASÍ:
y - y1 y2 - y1 y2 - y1 ·(x - x )
m= x - x1 = x2 - x1 y - y1 = x2 - x1 1

43. SEAN LOS PUNTOS : P1(2, 3) y P2 (7, 9)
y2 - y1 ·(x - x )
ENTONCES, SEGÚN LA FÓRMULA: y - y1 = x2 - x1 1
SE TIENE: 9 - 3 ·(x - 2)
y- 3 = 7- 2
6
ESTO ES: y- 3 = 5
·(x - 2) ·5
5y - 15 = 6x - 12
DE DONDE LA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA ES: 6x - 5y = -3
¡COMPRUEBA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA
RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS : P 1(1, 6) y P2 (5, 7)
ES x - 4y = -23 !

44. m
y2 - y1 ·(x - x )
EN LA ECUACIÓN : y - y1 = x2 - x1 1
ESTO ES: y - y1 = m ·(x - x1)
IGUALDAD QUE TAMBIÉN PERMITE DETERMINAR LA
ECUACIÓN DE UNA RECTA, A PARTIR DE UN PUNTO
CONOCIDO Y SU PENDIENTE CONOCIDA
EJEMPLO: SI UNA RECTA PASA POR EL PUNTO (5, -2) y
TIENE PENDIENTE m = 4; ENTONCES:
DE ACUERDO A: y - y1 = m ·(x - x1)
SE TIENE: y - -2 = 4 ·(x - 5)
DE DONDE LA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA ES:
4x - y = 22

45. EN VIRTUD DE TUS AVANCES, EN LOS TEMAS
CONSIDERADOS, INTENTA COMPLETAR LA TABLA DE
DOBLE ENTRADA, A PARTIR DE LOS DATOS QUE SE
APORTAN.
ECUACIÓN ECUACIÓN
P1(x1, y1) P2(x2, y2) m PRINCIPAL GENERAL
3 3
(6, 2) (1, 5) y =− x +
5
5
5 3x + 5y = 28
(7, 1) -3 y =− x +22
3 3x + y = 22
3 3
y =− x +
(-3, 4) (5, -2) 4
1
4 3x + 4y = 7
y =2 x +
(-1, 3) 2
5
2x - y = -5
1 1
(4, 0) (1, -1)
y = x+
3
1
3 x - 3y = 4

46. LA DISTANCIA ENTRE UN
PUNTO P1(x1, y1) Y UNA
RECTA DE ECUACIÓN a x1 + b y1 - c
CONOCIDA ax + by = c SE d= a2 + b2
PUEDE DETERMINAR
APLICANDO LA FÓRMULA :
LA DISTANCIA, ENTRE EL 5 ·2 + 12 · 3 - 7
PUNTO P(2, 3) Y LA RECTA d= 52 + 122
DE ECUACIÓN CONOCIDA
5x + 12y = 7, APLICANDO
LA FÓRMULA ES:
d=3

47. EN EL PRESENTE PROGRAMA, TE HABRÁS DADO CUENTA QUE:
UNA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO, 3
GRÁFICAMENTE, ES UNA RECTA QUE SE y = x−5
PUEDE EXPRESAR ALGEBRAICAMENTE EN 4
FORMA DE ECUACIÓN PRINCIPAL
(y = mx + n) Y/O EN FORMA DE 3x − 4 y = 20
ECUACIÓN GENERAL ( ax + by =c ).
y
DOS O MAS RECTAS SON PARALELAS SI Y y = 2x + 1
SOLO SI TIENEN LA MISMA PENDIENTE Y
DISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN. y = 2x + 3 x
y
DOS O MÁS RECTAS PARALELAS QUE
TIENEN EL MISMO COEFICIENTE DE 2x + 3y = 5
POSICIÓN SON COINCIDENTES EN TODA 4 x + 6 y = 10 x
SU EXTENCIÓN (es una misma recta)
DOS RECTAS SON PERPENDICULARES 2
y = x +
1
3
SI Y SOLO SI EL PRODUCTO ENTRE SUS
3
PENDIENTES DA -1, y =− x +7
2

48. ADEMÁS, LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE PUEDE OBTENER A
PARTIR DE :
UN PUNTO CONOCIDO P1(x1, y1)
Y SU PENDIENTE CONOCIDA m.
y - y1 = m ·(x - x1)
DOS PUNTOS CONOCIDOS y2 - y1 ·(x - x )
P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
y - y1 = x2 - x1 1
Y, LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(x1, y1) Y UNA
RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA ax + by = c SE
PUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA :
a x1 + b y1 - c
d= a2 + b2

49. CORRESPONDE A DOS IGUALDADES ALGEBRAICAS, EN FORMA DE
ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS, QUE PRESENTAN LAS MISMAS
VARIABLES O INCÓGNITAS Y QUE BUSCA DETERMINAR, MEDIANTE
ALGÚN PROCEDIMIENTO APROPIADO, EL VALOR DE AMBAS
INCÓGNITAS QUE SATISFACEN LA IGUALDAD DE LAS ECUACIONES.
SU FORMA ES: DONDE,
a1 x +b1 y =c1 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 ∈ IR
a2 x +b2 y =c2 Y LAS INCÓGNITAS SON: x, y
LOS VALORES QUE SATISFACEN
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, AMBAS IGUALDADES A LA
3 x +2 y =9 VEZ SON:
2 x −5 y = 25 x =5 Y y = −3
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!

50. LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS PUEDEN
RESULTAR DE LA INTERPRETACIÓN DE PROBLEMAS COMO LOS
SIGUIENTES:
SI EN UN CIRCO INGRESARON 600 INTERPRETACIÓN
PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS
ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, N+A = 600
REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS NIÑOS
300N + 500A = 220000
Y CUÁNTOS ADULTOS INGRESARON?
POR DOS NOVILLOS Y CINCO INTERPRETACIÓN
CABALLOS, SE CANCELARON $640000. SI
LA DIFERENCIA ENTRE EL COSTO DE UN N - C = 40000
NOVILLO Y UN CABALLO ES $40000.
¿CÚANTO COSTARÁN 12 NOVILLOS Y UN 2N + 5C = 640000
CABALLO, AL MISMO PRECIO ANERIOR?
LA SUMA DE LAS EDADES ENTRE DOS INTERPRETACIÓN
PERSONAS ES 100 AÑOS Y SU E1 + E2 = 100
DIFERENCIA ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON
SUS EDADES? E1 - E2 = 20

51. PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SE
PUEDEN UTILIZAR DIFERENTES PROCEDIMIENTOS. EN ESTE
PROGRAMA SE ESTUDIAN LOS SIGUIENTES:
MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN, POR SUSTITUCIÓN,
POR REDUCCIÓN Y POR DETERMINANTE.
9− x
3
PARA EL
3x + 2 y = 9 y =
2
SISTEMA:
2 x − 5 y = 25 2 x −25
=y
5
POR IGUALACIÓN DE LA VARIABLE y, SE TIENE:
9 −3 x 2x − 25 • 10 Amplificando por el m.c.d.
=
2 5
45 - 15x = 4x - 50 + 15 x + 50
REEMPLAZANDO x = 5, EN
45 + 50 = 4x + 15x CUALESQUIERA DE LAS
ECUACIONES INICIALES, SE
95 = 19x 5=x OBTIENE EL VALOR y = -3

52. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN SE DESPEJA
UNA DE LAS INCÓGNITAS EN CUALESQUIERA DE AMBAS
ECUACIONES Y SE REEMPLAZA EN LA OTRA ECUACIÓN.
9− x
3
3x + 2 y = 9 y =
PARA EL 2
SISTEMA: 2 x − 5 y = 25
REEMPLAZANDO EN LA 9 −3 x •2
SEGUNDA ECUACIÓN, SE 2x − 5 ( ) = 25
TIENE: 2
ESTO ES: 4 x − 45 +15 x = 50 + 45
15x = 50 + 45
15x = 95 x=5
5
REEMPLAZANDO x = 5, EN LA ECUACIÓN 3x + 2y = 9
SE TIENE: 15 + 2y = 9 2y = -6 y = -3

53. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN SE BUSCA IGUALAR LOS
COEFICIENTES DE UNA MISMA INCÓGNITA EN AMBAS ECUACIONES, A SU
MÍNIMO COMÚN U OTRO MÚLTIPLO EN COMÚN, MEDIANTE
AMPLIFICACIÓN, PARA LUEGO SUMAR O RESTAR, SEGÚN CONVENGA, DE
MANERA QUE QUEDE UNA SOLA ECUACIÓN CON UNA SOLA INCÓGNITA.
EL MÍNIMO COMÚN ENTRE LOS
EN EL SISTEMA: COEFICIENTES DE LAS y ES 10
3x + 2 y = 9 • 5 REEMPLAZANDO x = 5, EN LA
2 x − 5 y = 25
ECUACIÓN QUE SE CONSIDERE
• 2 MÁS SIMPLE; EN ESTE CASO EN,
5
15x + 10 y = 45 3x + 2y = 9
15 + 2y = 9 -15
4x - 10 y = 50 + 2y = 9 -15
19x = 95 1
2y = -6 •
x=5 2
y = -3

54. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES SE PUEDEN
DETERMINAR LAS INCÓGNITAS, APLICANDO EL CONCEPTO DE
DETERMINANTE, CON AYUDA DE LOS COEFICIENTES QUE PRESENTAN LAS
ECUACIONES, DE ACUERDO AL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE:
REEMPLAZANDO x = 5, EN
3x + 2y = 9 CUALESQUIERA DE LAS
EN EL ECUACIONES INICIALES, SE
SISTEMA: 2x - 5y = 25 OBTIENE EL VALOR y = -3
9 2
EL VALOR DE y TAMBIÉN SE
25 -5 9 · 5 - 25 · 2
-
PUEDE OBTENER AL
x = =
3 2 3 · -5 - 2 · 2 RESOLVER LA EXPRESIÓN:
3 9 57
2 -5
2 25 75 - 18
-45 - 50 -95 y = =
x = = 3 2 -15 - 4
-15 - 4 -19 -19
2 -5
x =5 y = -3

55. TODA ECUACIÓN NO SIMPLIFICADA, DEBE SER ESCRITA EN SU FORMA
GENERAL, PARA UNA MEJOR OPERACIÓN DE LA MISMA.
EJEMPLO: EN LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
1 1 1 2 2
3 4 2 3 5
0, 3x − 0,25 y + 2,5 = 2 −1, 6 ⋅ (9 x − 0,4)
1 1 5 5 2
x − y + = − ⋅ 9x − )
2 (
3 4 2 3 5
1 1 5 2 • 12
x− y + = − x+
2 15
3 4 2 3
4 x - 3 y + 30 = 24 - 180 x + 8 + 180x - 30
184 x - 3y = 24 + 8 - 30
ESTO ES: 184 x - 3 y = 2 SU FORMA GENERAL

56. EN UN CIRCO INGRESARON 600 POR DOS NOVILLOS Y CINCO
PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS CABALLOS, SE CANCELARON
ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, $640000. SI LA DIFERENCIA ENTRE
REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS EL COSTO DE UN NOVILLO Y UN
NIÑOS Y CUÁNTOS ADULTOS CABALLO ES $40000. ¿CUÁL ES EL
INGRESARON? PRECIO DE UN CABALLO Y EL
PRECIO DE UN NOVILLO?
INTERPRETACIÓN
N = 600 - A INTERPRETACIÓN
N+A = 600
N - C = 40000 • 5
300N + 500A = 220000
2N + 5C = 640000
DESARROLLO, POR SUSTITUCIÓN:
+
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
300 (600-A) + 500A = 220000
7N = 200000 + 640000
180000 - 300A + 500A = 220000
7N = 840000 N = $120000
200A = 220000 - 180000
200A = 40000 ESTO ES: ADULTOS ESTO ES: NOVILLO $120000 Y
200 Y NIÑOS 400 CABALLO $ 80000
A = 200

57. LA SUMA DE LAS EDADES POR LA VENTA DE 3 TORTAS Y 6
EMPANADAS SE CANCELARON
ENTRE DOS PERSONAS ES
$17100. SI EN OTRA VENTA DE 2
100 AÑOS Y SU DIFERENCIA TORTAS Y 9 EMPANADAS SE
ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON CANCELAN $ 13150, ¿CUÁL ES EL
SUS EDADES?. PRECIO DE CADA PRODUCTO?.
INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN
E1 + E2 = 100 3T + 6E = $ 17100
E1 - E2 = 20
+ 2T + 9E = $ 13150
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
DESARROLLO, POR DETERMINANTES
2E1 = 120
17100 6
E1 = 60
13150 9 153900 -78900
ESTO ES: T = =
3 6 27 - 12
UNA EDAD ES 60 AÑOS Y LA
OTRA ES 40 AÑOS T = $ 5000
2 9
E = $ 350

58. LOS PROCESOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO, CON DOS INCÓGNITAS, NO SIEMPRE SE PUEDEN
APLICAR INMEDIATAMENTE. HAY CASOS EN LOS CUALES LAS
ECUACIONES DEBEN PLANTEARSE EN FUNCIÓN DE NUEVAS
VARIABLES O INCÓGNITAS, DENOMINADAS VARIABLES
AUXILIARES, PARA FACILITAR LA APLICACIÓN DE LOS
PROCEDIMIENTOS.
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, SE TIENE EL SISTEMA:
3 2 3m - 2n = 5
− =5
x +2 y− 1
m + 4n = -7
1 4
+ =− 7 LAS SOLUCIONES DE ESTE NUEVO
x +2 y− 1
SISTEMA SE REEMPLAZAN EN:
1 1
SI SE CONSIDERA: =m Y =n
x +2 y− 1
1 1
= m Y =n PARA OBTENER LOS VALORES DE x
x+2 y −1 Y DE y DEL SISTEMA INICIAL.

59. EN EL SISTEMA, POR SUSTITUCIÓN DE m, QUEDA:
2 + 2n
8
−
2
=2 7( ) + 5n = 4 •8
4 x +1 5 y −11 8
14 + 14n + 40n = 32 -14
7 5
+ =4
4 x +1 5 y −11 1
54n = 18 n=
3
SI: 1
1 1 REEMPLAZANDO EN: n=
m= Y n= 5 y − 11
4x + 1 5 y − 11 SE TIENE:
1 1
SE TIENE EL SISTEMA = 5 y − 11 = 3 ( )2
AUXILIAR, 3 5 y − 11
2 + 2n 5y - 11 = 9
8m - 2n = 2 m= DE DONDE, y=4
7m + 5n = 4 8
ANÁLOGAMENTE x=3

60. SON DE LA FORMA:
DONDE,
a1 x +b1 y + c1 z = d1
SUS COEFICIENTES ∈ IR
a2 x +b2 y + c2 z = d 2
Y SUS INCÓGNITAS SON: x,y,z
a3 x +b3 y + c3 z = d 3
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, LOS VALORES QUE SATISFACEN
TODAS LAS IGUALDADES A LA VEZ
2x + 3y - 5z = 18 SON:
5x - 4y + 2z = -4
x=2 y=3 Y z = -1
x - y - 7z = 6
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!

61. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES
ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS.
IGUALANDO LOS COEFICIENTES DE y AL
EN EL SISTEMA: MÍNIMO COMÚN ENTRE ELLOS, SE TIENE:
2x + 3y - 5z = 18 •4 8x + 12y - 20z = 72
5x - 4y + 2z = -4 •3 15x - 12y + 6z = -12
+
x - y - 7z = 6 • 12 12x - 12y - 84z = 72 -
SUMANDO O RESTANDO DE A DOS 23x - 14z = 60
ECUACIONES, CONVENIENTEMENTE,
SE OBTIENE EL SISTEMA: 3x + 90z = -84
APLICANDO CUALESQUIERA DE LOS MÉTODOS DE x=2
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS SE OBTIENEN LOS VALORES: z = -1
FINÁLMENTE, REEMPLAZANDO LOS VALORES DE x Y
DE z, EN CUALESQUIERA DE LAS TRES ECUACIONES y=3
INICIALES, SE OBTIENE EL VALOR DE y.

62. SISTEMAS DE ECUACIONES LITERALES
¡OBSERVA Y ANALIZA!
(a + b)x - (a - b)y = 4ab (a + b)
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2 (a - b) +
Igualando los coeficientes de las y a su MCM que es a2 -b2 ,
a fin de aplicar la reducción de coeficientes, se tiene:
[(a + b)2 + (a - b)2 ]x = 4ab (a + b) + [2a2 - 2b2] (a - b)
(2a2 +2b2)x = 4ab (a + b) + 2(a2 - b2) (a - b)
2(a2 + b2)x = 2(a + b) [2ab + (a - b)2]
1
2(a + b )x = 2(a + b) [a + b ]
2 2 2 2
2(a2 + b2)
Esto es: x =a+b
Continúa ...

63. Ahora, remplazando el valor obtenido de x
en cualquiera de las ecuaciones, se tiene que:
Como , x =a+b entonces en ;
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2
Se tiene:
(a - b)(a + b) + (a + b)y = 2a2 - 2b2
a2 -b2 + (a + b)y = 2a2 - 2b2
1
(a + b) y = a - b
2 2
(a + b)
Esto es: y = a- b
Luego el conjunto solución es: {(a+b, a-b)}

64. AL FINALIZAR EL ESTUDIO DEL PLANO CARTESIANO,
FUNCIONES LINEALES Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DE PRIMER GRADO;TE INVITAMOS A INCREMENTAR
TUS CONOCIMIENTOS EN OTROS TÓPICOS DE
LA MATEMÁTICA, MEDIANTE EL ESTUDIO DE
PROGRAMAS COMO ÉSTE. Solicítame copia de este u otros al email
apoloniofigueroa@gmail.com
¡DESCUBRIRÁS EL GENIO QUE HAY EN TI!
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