Ecuacion de Euler-Lagrange, Deduccion con técnicas elementales de Cálculo

1. F d F
0.
y dx y'

2. Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a los
alumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo es
mostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo
elemental para deducir una de las ecuaciones más
importantes de la Física.
Nos hemos basado en “Deriving Lagrange’s Equation
Using Elementary Calculus” por Josef Hanc, Edwin F.
Taylor y Slavomir Tuleja.
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3. Lagrange (1736- 1813) y Euler (1707- 1783)
fueron dos matemáticos eminentes que
aportaron enormemente a la ciencia.
Utilizando cada uno sus propios
procedimientos para encontrar el extremo
de una integral dedujeron una de las
fórmulas más importantes de la Mecánica,
base de su formulación Variacional. [1]
3

4.  VECTORIAL, se ocupa en determinar todas las
fuerzas que actúan en una partícula.
 VARIACIONAL, se basa en la diferencia entre la
Energía Cinética y la Energía Potencial de una
partícula.
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5.  Brachistos y Cronos significan –en griego- Corto y
Tiempo, respectivamente.
 La Braquistócrona es la curva de descenso más
rápido.
El problema fue originalmente expuesto al público
por Johannes Bernoulli en 1686.
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6. “Dentro de la infinita cantidad de formas que puede
tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M,
por donde se deslizará una cuenta, para que,
partiendo del punto a llegue al
a
punto b, situado más abajo,
(pero no debajo del punto a),
en el menor tiempo (Fig. 1).”
M
Fig. 1 b
6

7.  “Arte diabólico es…” puede decir uno
parafraseando a Moratín, hallar dentro de todas las
formas posibles aquella que minimice el tiempo de
recorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tres
endiablados matemáticos encontraron la respuesta:
tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La
curva determinada resultó ser una Cicloide, la cual se
obtiene integrando:
b 2
1 1 y'
t dx,
2g a a y
en donde g es la aceleración de la gravedad.
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8.  Sin embargo esta solución no era general, y por lo
tanto, el establecimiento de una teoría que cubra el
conjunto de problemas variacionales era una
necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella.
 Su método se basó en la utilización de la ecuación
que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno
tomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nos
ocupamos en las láminas que siguen.
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9.  El primero, Lagrange, utilizó un enfoque analítico [2] y su
procedimiento desborda al Cálculo tradicional.
 Lagrange, para su hallazgo-¡realizado a los 19 años de
edad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción [3] y en su
invención, el Cálculo de Variaciones.
 El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo,
empleó una visualización geométrica (su propio diagrama
es el de la figura 2) y utilizó el análisis infintesimal.
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10.  Nosotros nos enfocaremos en el trabajo de Euler.
 El carácter explícito de su plan de ataque constituye
una excelente herramienta didáctica.
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11. 1. Dividir a la curva a-z en intervalos finitos, (Fig. 2). Esta curva
representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo,
puede ser la forma que debe de tener la proa de un
submarino para tener la resistencia mínima al agua.
2. Reemplazar por una Variación
suma a la integral a ser minimizada.
3. Evaluar la suma Fig. 2
en M y N (Fig. 2)
donde se produce una
variación en
la ordenada (de N-n hacia N-v).
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12.  Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá que
recorrer una ruta muy particular y única para cubrir la
distancia en el menor tiempo.
 Pero así como toma ese camino, es posible imaginar que
puede “decidirse” por otros.
 A las rutas alternas que se diferencian de la que por
hipótesis es la correcta, se les llama variaciones.
 Euler tomó una variación (ordenada de N-n a N-v en la
figura 2) y utilizando un razonamiento muy similar al que
veremos a continuación, comparó los trayectos para
finalmente descubrir su fórmula [4].
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13. Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo
utilizaremos dos principios establecidos por los
pioneros del Cálculo de Variaciones [5] :
 Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimal
alrededor de un extremo, es proporcional a (∆x)2por lo
que se puede tomar como nula.
Principio 2. Si una curva que representa un trayecto
entre dos puntos es una curva extrema (sea máxima o
mínima), entonces cualquier segmento tendrá las
mismas características, es decir, será extremo también.
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14. Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que
lo explicaremos al detalle.
 Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x)
en un punto cercano a x 0 , y para ello utilizamos la
aproximación cuadrática,
df ( x 0 ) d 2 f ( xo )
P( x) f ( xo ) x ( x) 2
dx 2dx 2
 Supongamos, además, que x 0 está situada en un
df ( x0 )
extremo. Entonces, y por la razón de que = 0 en
dx
ese punto, la expresión anterior puede
escribirse así: d 2 f ( x0 )
P( x) f ( xo ) ( x) 2
2dx 2 14

15.  …donde vemos claramente que la diferencia entre
d 2 f ( x0 )
P ( x) y f ( x o ) , que es ( x) 2 , depende de
2dx 2
un infinitésimo al cuadrado, ( x ) 2.
 Refiriéndonos otra vez al gráfico de la figura 2, la variación
v, que Euler imprime a la curva a-z, es de segundo orden (está
situada sobre un trayecto que, por hipótesis es ya un mínimo)
y por lo tanto su diferencia Fig. 2
con el segmento m-o, es,
en la práctica, nula.
 Nota: a esto es lo que se
refieren los matemáticos
cuando dicen “ignoremos
la variación de segundo
orden.” 15

16.  En palabras del Marqués de L’Hôpital, “dos
cantidades que difieren entre sí infinitesimalmente,
pueden tomarse por iguales”; con mayor razón si la
diferencia es un infinitésimo al cuadrado [6].
 En efecto, el Análisis Infinitesimal moderno, el cual
se basa en la Teoría de las Categorías, tiene como
elemento fundamental al infinitésimo. Dentro de este
análisis el infinitésimo de segundo grado es llamado
“nilpotente” y se define como idéntico a cero.
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17. Repaso a guisa de aclaración:
La idea fundamental del Cálculo de Variaciones es el
estudio entre un mínimo y su entorno, pero en este
caso el mínimo no es un punto; es más bien una función
integral que describe un trayecto. Para estudiar dicha
diferencia infinitesimal,
Se asume una ruta mínima –dada como correcta-
que existe dentro de una familia de rutas.
Se compara la “correcta” con otra apenas alejada
de ella.
Por la razón de que la correcta es, por hipótesis, un
trayecto mínimo, cualquier diferencia es
proporcional a un infinitésimo al cuadrado y por lo
tanto, despreciable.
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18. Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo de
una función, el tema de la Curva de Menor Tiempo
consiste en hallar la función mínima dentro de un
conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras,
buscar el extremo de la función f(x) (un tema del Cálculo)
no es lo mismo a buscar aquella función y = f(x) que
b
haga que la integral I f ( x)dx sea un extremo (un
a
tema del Cálculo de Variaciones).
18

19. En la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresión
depende de y, y’, y en muchos casos, de x también, razón por la
cual los problemas variacionales se generalizan con una función
F de tres variables,
F = F ( y, y’, x)
y la integral definida,
z
I F ( y, y' , x)dx
a
que se busca minimizar.
Con esto en mente, regresemos al trabajo de Euler.
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20.  Primero dividimos la curva a-z (Fig. 2) en
intervalos finitos x y escogemos dos v
n o
...z
a... m
puntos cualesquiera, Xk , Xk+1. Por la razón
de que han sido escogidos
arbitrariamente, el Segundo Principio nos
asegura que sea donde quiera que xk xk+1
estemos sobre la curva a-z, siempre Fig. 2
estaremos en un segmento extremo.
Segundo, reemplazamos la integral a ser minimizada
por una suma:
z n
I F ( y, y' , x)dx F ( y k , y' k , xk ) x
a k o
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21.  Tercero, evaluamos la suma en x k y xk+1
justo donde está la variación v, para v
n o
...z
m
formar los elementos Lk y Lk+1 siendo, a...
Lk F ( y k , y ' k , x k ) x k y
Lk 1 F ( y k 1 , y'k 1 , xk 1 ) xk 1 xk xk+1
Fig. 2
 Estas son las funciones cuya estructura trataremos
de dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada
‘y’ en una cantidad infinitesimal de segundo orden.
21

22. Con tal fin, derivamos Lk F ( y k , y ' k , x k ) x k con
respecto a yk,
Lk F dyk F dy'k F dxk F F dy'k F dxk
xk = xk xk xk
yk yk dyk y' dyk x dyk yk y' dyk x dyk
Arreglando términos,
Lk F F F o, lo que es lo mismo,
xk
yk yk y 'k y 'k
Lk F F
xk 2 por la razón de que,
yk yk y'
dy ' dxk 1
1,y
y´ dy k y'
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23.  Operando de la misma manera con Lk+1 y teniendo
y
en cuenta que la pendiente x y' del segmento v – o
es negativa, obtenemos,
Lk 1 F F
xk 2
yk 1
yk 1 y' k 1
 Como buscamos el comportamiento de todo el
Lk Lk 1
segmento m-o, sumamos + y, para encontrar
yk yk 1
la diferencia mínima, igualamos a cero:
L Lk 1 F F F F F
Segmento x 2 0
yk yk 1 yk ( k 1) yk yk 1 y 'k y 'k 1
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24. Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuenta
que y ' k 1 y ' k dy' obtenemos:
1 F F 1 F
2 yk yk 1 x y'
 Recordando que estamos tratando con cantidades tan
cercanas como queramos [7], finalmente escribimos la
última expresión como
F d F
0
y dx y'
que no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange.
René F. Gastelumendi, 5 de Diciembre de 2004 / 5 de Febrero de 2005. 24

25. Referencias
[1] A
diferencia de la formulación vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas
que actúan en una partícula, la variacional o analítica se basa en la diferencia entre la Energía
Cinética y la Energía Potencial de una partícula.
[2] Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado ‘Mecánica Analítica’, “sin utilizar una sola figura”.
[3] Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfección de la Naturaleza enuncia que dicho ideal
debería de incluir una “economía” en la administración de la energía y postuló su principio basado
en una cantidad llamada por él, “Acción”. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas
conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su “vis viva”, mv2 -el doble
de la energía cinética. Este producto debe de ser siempre un mínimo, o tener una Mínima Acción.
[4] Ver Cornelius
Lanczos - “The Variational Principles of Mechanics”, para una breve exposición de
la deducción de Euler.
[5] Ver Woodhouse – “A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century”.
[6] Citado en la p 241 de “The Mathematical Experience” de Hersh y Davis, primera edición.
[7] El primer término lo podemos interpretar como el punto medio en v del segmento m-o
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