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Ingeniería
CAPÍTULO IV: Raíces de Ecuaciones
Elkin Rodolfo Santafé Rangel
Ingeniero de Petróleos
Bucaramanga – Colombia © 2009
2. Tipos de Métodos
f ( x) = 0
• Métodos Gráficos
• Métodos Abiertos
• Métodos Cerrados
ANÁLISIS GRÁFICO
SELECCIÓN DE [ ] O DE Xo
ABIERTO ANÁLISIS
CERRADO
ADICIONALES
TRATAMIENTO
POLINOMIAL
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Santafé Numé Ingenierí CAP. III: Raíces de Ecuaciones
Raí
3. Métodos Gráficos
Características:
• Los cálculos no son precisos.
• Tienen valor práctico limitado.
• Permite estimar valores iniciales.
• Permite a comprensión de las propiedades de las
funciones.
• Pueden ayudar a prevenir fallas en los métodos.
• Se puede considerar en general como ¨cerrado¨
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4. Métodos Gráficos
Primer Caso Segundo Caso
f ( x)
g ( x)
Raíz
Raíz
h ( x)
f ( x) = 0 g ( x) = h ( x)
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5. Métodos Gráficos
Formas en que la raíz puede o no encontrarse
f ( a ) ≠ f (b)
f(a)
Hay por lo menos una raíz +
(en este caso el número de
raíces sería impar). Raíz
f ( a ) = f (b) b
Hay raíces pares o no hay a
raíces en el intervalo. -
f(b)
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6. Métodos Gráficos
a b a b
Sin raíces Dos raíces
Una raíz Tres raíces
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7. Métodos Gráficos
Casos especiales
a b a b
Tangencial
( x − 2 )( x − 2 )( x − 4 ) = 0 Discontinuidad
Ejemplo de una RAÍZ MÚLTIPLE
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8. Métodos Cerrados
Son los que limitan el dominio de búsqueda. Los más
conocidos son:
• Método de Bisección
• Método de Falsa Posición
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9. Métodos Cerrados
Método de Bisección
Conocido también como método de:
• Corte Binario.
• Partición.
• Bolzano.
Es un tipo de búsqueda incremental que se basa en dividir el
intervalo siempre a la mitad y en el cambio de signo sobre el
intervalo.
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10. Métodos Cerrados - Bisección
Metodología de búsqueda
1. Se debe definir un intervalo inicial acotado.
b
a
2. Se chequea que exista una raíz.
f ( a ) f (b ) < 0
Si se cumple existe al
menos 1 raíz real
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11. Métodos Cerrados - Bisección
Metodología de búsqueda
3. Se divide por la mitad el intervalo y se chequea.
Si f ( a ) f ( r ) < 0
⇒ [a, r ]
La mitad
r
Se desecha
Si f ( a ) f ( r ) > 0
⇒ [r , b ]
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12. Métodos Cerrados - Bisección
Metodología de búsqueda
4. Se revisa el criterio de parada. Si no se cumple se
continúa con la búsqueda.
El método se puede frenar de 2 formas:
• Con el número máximo de iteraciones.
• Cuando se alcanza el %E.
x actual
−x anterior
% Ea = r r
actual
*100
x r
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13. Métodos Cerrados - Bisección
Metodología de búsqueda
Cuando se habla del número de iteraciones se puede estimar
bajo condiciones controladas que tanto tiempo tomará llegar
a la raíz. La relación que permite expresar esto se muestra a
continuación:
a
n
≤ε
2
a → longitud del intervalo
ε → error
n → #iteraciones
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14. Métodos Cerrados - Bisección
Metodología de búsqueda a
n
≤ε
a 2
a
a
20 Ln n ≤ Ln ( ε )
a/2 2
a
Ln ( a ) − Ln ( 2n ) = Ln ( ε )
21
−nLn ( 2 ) = Ln ( ε ) − Ln ( a )
a/4
a Ln ( a ) − Ln ( ε )
2 n=
2 Ln ( 2 )
a/8
a Esta expresión para n
23a
permite predecir cuantas
iteraciones se requieren en
… 2n ausencia de error de
redondeo.
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15. Métodos Cerrados - Bisección
Ventajas y Desventajas
VENTAJAS
•Tiene garantizada la convergencia por encerrar la raíz.
• Es de fácil implementación.
• Posee un manejo muy claro del error.
DESVENTAJAS
• La convergencia puede tardar mucho.
• No tiene en cuenta los valores extremos (cotas) como
posibles raíces.
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16. Métodos Cerrados - Bisección
Ejercicio
1. Utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de
arrastre c necesario para que un paracaidista con masa de 68,1
kg tenga una velocidad de 40 m/s después de un caída libre de
10 s.
2. Use el método de bisección para resolver el ítem 1 y calcule
adicionalmente:
• Número de iteraciones teóricas.
• %Ea en cada iteración
• %Et en cada iteración asumiendo que el valor real es 14,7802.
• Construya una gráfica en donde compare %Ea y %Et vs
Iteraciones.
NOTA: Use como criterio de parada %Es = 0,5.
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17. Métodos Cerrados
Falsa Posición
La función es aproximada
Raíz falsa
a través de una línea
recta donde se asume y
que su corte con el eje x
corresponde al valor
aproximado de la raíz. xl
x xu
f ( xu )( xl − xu )
xr = xu − f (x)
f ( xl ) − f ( xu ) Raíz real
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18. Métodos Cerrados – Falsa Posición
Metodología de búsqueda
Primera iteración
Segunda iteración
Tercera iteración
f (x)
y
x
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19. Métodos Abiertos
Son los que limitan el dominio de búsqueda. Los más
conocidos son:
• Método de Punto Fijo
• Método de Newton Raphson
• Método de Secante
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20. Métodos Abiertos
Punto Fijo
Usa el concepto de
replantear la forma del
problema original. y
x = g (x ) g (x)
x Raíz
xi +1 = g ( xi )
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21. Métodos Abiertos
Método de Newton
Usa la proyección de
la recta tangente
y f (x)
para encontrar el
valor aproximado de
la raíz.
f ( xi ) x0 x
xi +1 = xi − x1
f ´( xi )
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22. Métodos Abiertos
Método de Secante
Soluciona el problema de enfrentar
funciones que no son fácilmente derivables.
y
x−1 f (x)
x1 x0
x
f ( xi )( xi −1 − xi )
xi +1 = xi −
f ( xi −1 ) − f ( xi )
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23. Atribución No Comercial 2.5 Colombia
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