1. “INTEGRAL”
Oleh :
Jahratun Nisa & Zurida
XII IPA - 1

2. Tujuan
TUJUAN Menyelesaikan integral tak
MATERI tentu dan integral tentu
CONTOH SOAL
fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri. Serta mampu
UJI
KOMPETENSI mengaplikasikannya dalam
DAFTAR
PUSTAKA
kehidupan sehari-hari.

3. Materi
TUJUAN 1. Integral Tak Tentu Fungsi
Aljabar
MATERI a. Integral merupakan lawan dari turunan.
Jika F′(x) = f(x) maka :
CONTOH SOAL
∫f(x) d(x) = F(x) + C
UJI
KOMPETENSI  ∫ = lambang integral yang
DAFTAR
PUSTAKA menyatakanoperasIantidiferensial
 f(x) = fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
 C = konstanta

4. Materi
b. Rumus integral tak tentu fungsi aljabar
TUJUAN ∫ xn dx = xn+1 + C
c. Sifat-sifat dalam mengintegralkan fungsi
MATERI
1. ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
CONTOH SOAL 2. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
3. ∫(f(x) – g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫ g(x) dx
UJI 4. ∫ un.u΄dx = un du = ∫ (u(x))n+1 + C
KOMPETENSI
5. ∫ u dv = uv - ∫ v du
DAFTAR
PUSTAKA

5. Materi
2. Integral Tak Tentu Fungsi
TUJUAN
Trigonometri
MATERI Rumus-rumus yang digunakan sebagai berikut.
a. ∫ cos x dx = sin x + C
CONTOH SOAL b. ∫ sin x dx = -cos x + C
c. ∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + C
UJI
KOMPETENSI d. ∫ sin (ax - b) dx = - cos (ax + b) + C
e. ∫ cos u .u΄ dx = ∫ cos u du = sin u + C
DAFTAR
PUSTAKA f. ∫ sin u . u΄ dx = ∫ sin u du = -cos u + C

6. Materi
TUJUAN 3. Integral Tentu
a. Jika ∫ f(x) dx = F(x) + C maka
MATERI f(x) dx = F(b) – F(a)
CONTOH SOAL b. Sifat-sifat integral tentu sebagai berikut.
1. kf(x) dx = k f(x) dx
UJI
KOMPETENSI 2. (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx
3. (f(x) – g(x)) dx = f(x) dx – g(x) dx
DAFTAR
PUSTAKA 4. f(x) dx = 0
5. f(x) dx = - f(x) dx
6. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

7. Materi
Menentukan Luas Daerah
TUJUAN
1. Menentukan Luas Daerah di Atas
Sumbu-x
MATERI
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva
y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x =
CONTOH SOAL b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luas
daerah R adalah sebagai berikut.
UJI
KOMPETENSI b
DAFTAR LR f x dx
PUSTAKA
a

8. Materi
TUJUAN  Grafik kurva di atas sumbu -x
MATERI
y = f(x)
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI L(R)
DAFTAR
PUSTAKA
b
a

9. Materi
TUJUAN 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah
Sumbu-x
Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y
MATERI = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b,
dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telah
CONTOH SOAL dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S
adalah
UJI
b
KOMPETENSI
DAFTAR
LS f x dx
PUSTAKA a

10. Materi
 Grafik kurva di bawah sumbu-x
TUJUAN
MATERI a b
CONTOH SOAL
S
UJI
KOMPETENSI
y = f(x)
DAFTAR
PUSTAKA
Luas daerah di bawah sumbu

11. Materi
3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak
TUJUAN Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x
Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y =
MATERI f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c,
dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b] dan f(x) ≤ 0 pada [b,
CONTOH SOAL c], maka luas daerah T adalah
b b
UJI
KOMPETENSI LT f x dx f x dx
a a
DAFTAR
PUSTAKA

12. Materi
TUJUAN  Rumus ini didapat dengan
membagi daerah T menjadi T1
MATERI dan T2 masing- masing pada
interval [a, b] dan [b, c]. Kalian
CONTOH SOAL
dapat menentukan luas T1
UJI sebagai luas darah yang terletak
KOMPETENSI di atas sumbu-x dan luas T2
DAFTAR sebagai luas daerah yang
PUSTAKA terletak di bawah sumbu-x.

13. Materi
 Grafik kurva y = f(x) dan sumbu-x
TUJUAN
MATERI
y = f(x)
T1
CONTOH SOAL
T2
a b c
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu x
PUSTAKA

14. Materi
TUJUAN 4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di
Antara Dua Kurva
 Luas daerah U pada gambar di bawah adalah
MATERI
 L(U) = Luas ABEF - Luas ABCD
CONTOH SOAL
U
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
a b
PUSTAKA

15. Materi
 ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva
TUJUAN y1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga
b
Luas ABEF
MATERI f x dx
a
CONTOH SOAL  Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi
oleh kurva y2 = g(x), x = a, x = b, dan y = 0
sehingga b
UJI
Luas ABEF g x dx
KOMPETENSI
a
DAFTAR
PUSTAKA

16. Materi
TUJUAN Dengan demikian, luas
daerah U adalah
MATERI
b b b
CONTOH SOAL LU f x dx g x dx f x g x dx
a a a
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA

17. Materi
TUJUAN Menentukan volume Benda
Putar
MATERI
 1. Menentukan Volume Benda Putar yang
Diputar Mengelilingi Sumbu-x
CONTOH SOAL
 Secara umum, volume dinyatakan sebagai
UJI
luas alas dikali tinggi. Secara matematis,
KOMPETENSI
ditulis
DAFTAR V=A.h
PUSTAKA

18. Materi
TUJUAN  perhatikan sebuah benda yang
bersifat bahwa penampang-
MATERI penampang tegak lurusnya pada
suatu garis tertentu memiliki luas
CONTOH SOAL
tertentu. Misalnya, garis tersebut
UJI adalah sumbu-x dan andaikan
KOMPETENSI luas penampang di x adalah A(x)
DAFTAR dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a,
PUSTAKA b] dengan titik-titik bagi a = x0 <
x1< x2< ... < xn = b.

19. Materi
TUJUAN  Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak
lurus pada sumbu-x, sehingga
MATERI diperoleh pemotongan benda menjadi
lempengan yang tipis-tipis. Volume
CONTOH SOAL suatu lempengan ini dapat dianggap
sebagai volume tabung, yaitu
UJI
KOMPETENSI Vi A x xi ,
dengan .
DAFTAR
PUSTAKA
xi 1 xi xi

20. Materi
TUJUAN Kita dapatkan
n
V A xi xi
MATERI t 1
CONTOH SOAL
kemudian akan menjadi
UJI b
KOMPETENSI
V A x dx
DAFTAR a
PUSTAKA

21. Materi
TUJUAN  A(x) adalah luas alas benda
putar, oleh karena alas benda
MATERI putar ini berupa lingkaran, maka
CONTOH SOAL
jari-jari yang dimaksud
merupakan sebuah fungsi dalam
UJI xi misalnya f(x). Dengan
KOMPETENSI demikian volume benda putar
DAFTAR dapat dinyatakan sebagai
PUSTAKA
b
2
V f x dx
a

22. Materi
 Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik
TUJUAN fungsi f(x), sumbu-x, garis x = a, garis x = b,
dengan a < b, maka volume benda putar yang
MATERI diperoleh dengan memutar daerah R
mengelilingi sumbu-x adalah
CONTOH SOAL 2
V f x dx
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA

23. Materi
TUJUAN 2. Menentukan Volume Benda Putar
yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
MATERI
Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik
CONTOH SOAL fungsi x f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x
= b, dengan a < b, maka volume benda putar
yang diperoleh dengan memutar daerah S
UJI mengelilingi sumbu-y adalah V.
KOMPETENSI
DAFTAR b
PUSTAKA V f y dy
a

24. Materi
 Grafik Volume Benda Putar yang Diputar
TUJUAN Mengelilingi Sumbu-y
MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
Volume benda putar mengelilingi sumbu
y

25. Materi
TUJUAN 3. Menentukan Volume Benda Putar
yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x)
MATERI jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x
 Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan
CONTOH SOAL g(x) dengan , pada interval [a, b] diputar
mengelilingi sumbu-x seperti yang telah
UJI dijelaskan di subbab E.1, maka volume
KOMPETENSI benda putar yang diperoleh adalah sebagai
berikut.
DAFTAR
PUSTAKA 2 2
VT f x g x dx

26. Materi
 Grafik Volume Benda Putar yang Dibatasi
TUJUAN Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi
Sumbu-x
MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
Volume benda putar yang dibatasi kueva f(x) dan g(x) jika diputar
mengelilingi sumbu x

27. Materi
TUJUAN 4. Menentukan Volume Benda Putar yang
Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar
Mengelilingi Sumbu-y
MATERI
 Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan
CONTOH SOAL g(y) dengan pada interval [a, b] diputar
mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah
UJI  dijelaskan di subbab sebelumnya maka volume
KOMPETENSI benda putar yang diperoleh adalah sebagai
berikut.
DAFTAR b
PUSTAKA 2 2
VU f x g x dx
a

28. Materi
 Grafik Volume Benda Putar yang Dibatasi
TUJUAN Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi
Sumbu-y
MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA

29. Contoh Soal
1. Hasil dari ∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx = . . . .
TUJUAN A. (x2 + 3x)11 + C
B. 2x (x2 + 3x)11 + C
MATERI C. x (x2 + 3x)11 + C
D. (x2 + 3x)11 + C
CONTOH SOAL
E. x (x2 + 3x)11 + C
(Ujian Nasional 2011/2012)
UJI
KOMPETENSI Jawaban : A
∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx
DAFTAR
PUSTAKA = ∫ (x2 + 3x)10 d(x2 + 3x)
= (x2 + 3x)11 + C

30. Contoh Soal
2. Hasil dari ∫ cos4 2x sin 2x dx =
TUJUAN A. - sin5 2x + C
B. - cos5 2x + C
MATERI C. - cos5 2x + C
D. cos5 2x + C
CONTOH SOAL
E. sin5 2x + C
(Ujian Nasioanal 2010/2011)
UJI
KOMPETENSI Jawaban : B
∫ cos4 2x sin 2x dx
DAFTAR
= - ∫cos4 2x d(cos 2x)
PUSTAKA
= - . cos5 2x + C
=- cos5 2x + C

31. Contoh Soal
TUJUAN  Tentukan hasil integral- integral berikut!
MATERI
CONTOH SOAL  Misal U = 2X -7
» du = 2 dx dx =
UJI
KOMPETENSI »
DAFTAR
PUSTAKA
Kunci: +c

32. Contoh Soal
TUJUAN
MATERI
 Misal: u = cos x
CONTOH SOAL  du = -sin x dx maka -du = sin x dx
UJI Jadi
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
Kunci

33. Contoh Soal
TUJUAN Contoh 1: menghitung luas
MATERI Hitunglah luas daerah yang
CONTOH SOAL
dibatasi kurva y = 3x2 + 6x ,
sumbu X, dan garis-garis x =
UJI
KOMPETENSI 0 dan x = 2
DAFTAR
PUSTAKA

34. Contoh Soal
TUJUAN  Penyelesaian:
Sketsalah terlebih dahulu grafik
MATERI y = 3x2 + 6x
CONTOH SOAL
Titik potong dengan sumbu X
UJI y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0
KOMPETENSI x = 0 atau x = -2
DAFTAR sehingga titik potong dengan sumbu X
PUSTAKA adalah di (0,0) dan (-2,0)

35. Contoh Soal
TUJUAN  Sketsa grafik y = 3x2 + 6x
MATERI Y
CONTOH SOAL y = 3x2 + 6x
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR X
PUSTAKA
O
-2 x =2

36. Contoh Soal
2
2 3 2 2
TUJUAN L = (3x 6 x)dx x 3x
0
0
MATERI 3 2
(2 3.2 ) 0 20 satuan luas
CONTOH SOAL Y
y = 3x2 + 6x
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR L=? X
PUSTAKA
-2 O x =2

37. Contoh Soal
TUJUAN  Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4
bagian .
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang
MATERI tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi
kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu
diperhitungkan kembali.
CONTOH SOAL  Bagian I: LI 2 (4)( 7) 56
VI (4)( 7) 2 196
UJI
 Bagian II:
KOMPETENSI 5
LII 2 12 (12 ) 288 cm
DAFTAR 7 I II III IV
2 cm
PUSTAKA VII 2 12 12 3456
12 7
6
cm cm
cm
4
cm satu

38. Contoh Soal
 Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV
TUJUAN diperlukan pembagian area , misalkan dengan
mengambil h=1 diperoleh:
MATERI
CONTOH SOAL  Pada bagian II dan IV: dan
 Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat
diperoleh:
UJI 4
KOMPETENSI h
LII ( LIV ) 2 y0 y5 2 yi 108
2 i 1
DAFTAR h 2 4
2
PUSTAKA VII VIV y0 y5 2 yi2 1187.5
2 i 1

39. Contoh Soal
 Luas permukaan dari botol adalah:
TUJUAN
L LI LII LIII LIV
MATERI 56 108 288 108
560
CONTOH SOAL 1758.4
UJI  Luas = 1758.4 cm2
KOMPETENSI  Volume botol adalah:
V VI VII VIII VIV
DAFTAR 196 1187.5 3456 1187.5
PUSTAKA
6024
 Volume = 18924.78 cm3

40. Contoh Soal
TUJUAN Luas daerah yang dibatas
MATERI
oleh
grafik fungsi y = 2 – x2, dan
CONTOH SOAL
garis
UJI
KOMPETENSI y = x adalah…
DAFTAR
PUSTAKA

41. Contoh Soal
TUJUAN Penyelesaian:
MATERI Karena kedua titik batas
Pengintegralan belum diketahui,
CONTOH SOAL
maka kita harus menentukannya,
UJI dengan cara menentukan titik
KOMPETENSI
potong kedua grafik
DAFTAR
PUSTAKA
fungsi

42. Contoh Soal
TUJUAN Penyelesaian:
Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2
MATERI
dan y = x sebagai berikut;
CONTOH SOAL 2 – x2 = x
x2 + x – 2 = 0
UJI
KOMPETENSI
(x + 2)(x – 1) = 0 x1 = -2 dan x2 = 1
Luas daerah yang dimaksud seperti
DAFTAR
PUSTAKA gambar berikut:

43. Contoh Soal
TUJUAN Luas daerah yang dimaksud
Seperti gambar berikut:
MATERI Y
2
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
–2 X
DAFTAR 1
PUSTAKA
y = 2 - x2

44. Contoh Soal
TUJUAN 1
2 1 3 1 2 1
MATERI L= (2 x x) dx (2x 3 x 2 x)
2
2
CONTOH SOAL 1 3 1 2 1 3 1 2
(2.1 .1 3 2 .1 ) 2.( 2) .( 2)
3 2 .( 2)
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA

45. Contoh Soal
TUJUAN L =(2.1 1
3 .13 1
2 .12 ) 2.( 2) 13 .( 2)3 1
2 .( 2) 2
1 1 8
MATERI (2 3 2 ) ( 4) 3 2
1 8 1
CONTOH SOAL 2 6 3 3 2
UJI 9 1
KOMPETENSI
8 3 2
DAFTAR 41
2
PUSTAKA
Jadi,
luasnya adalah 4 1 satuan luas
2

46. Uji Kompetensi
1. Hasil ∫ cos3x dx adalah . . . .
TUJUAN A. sin x - sin3 x + C
B. cos4 x + C
MATERI C. 3 cos2 x sin x + C
D. sin3 x – sin x + C
CONTOH SOAL E. sin x - 3 sin3 x + C
2. Hasil dari x dx . . . .
UJI
KOMPETENSI A. (9 + 76) D. (3 - 76)
B. (9 - 76) E. ( + 76)
DAFTAR
PUSTAKA C. (3 + 76)

47. Uji Kompetensi
TUJUAN
MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA

48. Uji Kompetensi
 Luas daerah yang dibatasi oleh
TUJUAN kurva y = x3, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…
MATERI
 Luas daerah yang dibatasi oleh
CONTOH SOAL kurva y = x2, sumbu Y, dan garis
y = x + 6 adalah…
UJI
KOMPETENSI  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
DAFTAR y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…
PUSTAKA
 Luas daerah yang dibatasi oleh
Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis
x = -1 dan x = 2 adalah…

49. Daftar Pustaka
TUJUAN
MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA